北师大版高中数学必修四知识点汇总

北师大高中数学必修四知识点

第一章 三角函数
< br>?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按 顺时针方向旋转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、象 限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落
在第几象限，就是 第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何
象限，叫做轴线角。
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终 边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?< br>
终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180? 90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

3、与角
?
终边相同的角，连同角
?
在内，都可以表示为 集合{
?
|
?
?
?
?k?360,k?Z
}
4、弧度制：
（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
半径为< br>r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
（2）度数与弧度数的换算：
180?
?< br> rad，1 rad
?(
?
?
l
．
r
1 80
?
)
?
?57.30
?
?57
?
18
'

（3）若扇形的圆心角为
?
（
?
是角的弧度数 ），半径为
r
，则：
弧长公式：
l?|
?
|r
；扇形面积：
S?
11
lr??|
?
|r
2

22
5、三角函数:
（1）定义:①设
α
是一个任意角，它的终边 与单位圆交于点
P
(u,v)，
那么v叫做
α
的正弦，记作sin
α
,即sin
α
= v;u叫做
α
的余
P(u,v)

y


弦，记作cos
α
，即cos
α
=u; 当
α
的终边不在y轴上时，
v
叫
u
o
x
- 1 -

做
α
的正切，记作tan
α
, 即tan
α
=
v
.
u
②设
?
是一个任意 大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标
是
?
x ,y
?
，它与原点的距离是
rOP?r?
则
sin
?
?
y

P(x,y)

o

x

?
x
2
?y
2
?0
，
?
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?< br>x?0
?

rrx
（2）三角函数值在各象限的符号：

y
y
y

_
_
+
口诀：第一象限全为正；
O
x
x
O
x
二正三切四余弦.
O
_
_
_
_
+

+

tan
?

cos
?

sin
?


（3）特殊角的三角函数值
+
+
+
?
的角度
?
的弧度
sin
?

cos
?

0?

0

0

30?

45?

60?

90?

120?

135?

150?

180?

?

6
1

2
3

2
3

3
5
?

4
?

4
2

2
?

3
3

2
?

2
1

0

2
?

3
3

2
3
?

4
2

2
5
?

6
?

0

1

2
1

0

2

2
1

2
?
1

?
2

?
3

2
22
?1

0

tan
?

1

3

不存在
?3

?1

?
3

3
?
的角度
210?

225?

240?

270?

300?

315?

330?

360?

?
的弧度
sin
?

7
?

6
4
?

3
3
?

2
5
?

3
?
7
?

4
11
?

6
2
?

1
3
2
?

?

?

2
2
2
?
?1

1
3
2

?

?

2
2
2
0

cos
?

1
3
2

?

?

2
2
2
3

3
0

1

2
2

2
3

2
?
3

3
1

0

tan
?

1

3

不存在
?3

?1

6、三角函数的诱导公式：
?
1< br>?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?< br>?
?tan
?
?
k??
?
．
口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．
?
2
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
??
?
?
?cos
?
，
tan
?
??
?
??tan
?
．
- 2 -

?
3
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
???tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?
5
?
sin
?
2
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
2
?
?
?
?
?c os
?
，
tan
?
2
?
?
?
?< br>??tan
?
．
口诀：函数名称不变，正负看象限．
?
?
??
?
??
?
?
6sin?
?
?cos< br>?
cos?
?
?sin
?
tan
，，
??< br>?????
?
?
?
?cot
?
．
?
2
??
2
??
2
?
?
7
?
si n
?
?
??
?
??
?
?
?
??
?cos
?
，
cos
?
?
?
???sin
?
，
tan
?
?
?
?
?? cot
?
．
?
2
??
2
??
2
?
?
口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．
7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

y?sinx

y?cosx

y?tanx

图

象

定
义
域

R

值域：
?
?1,1
?

R

值域：
?
?1,1
?

?
?
?
?
xx?k
?
?,k??
?

2
??
值 < br>?
当
x?2k
?
?
?
k??
?
时，

2

?
y
max
?1
；当
x? 2k
?
?


2
域
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周
期
T?2k
?
,k?Z
且
k?0
；
性
最小正周期为
2
?

奇
偶
性
奇函数
周期为
y?sinx
是周期函数；
值域：
R


当
x?2k
?
?
k??
?
时，
既无最大值也无最小值

y
max
?1
；当
x? 2k
?
?
?




?
k??
?
时，
y
min
??1
． y?cosx
是周期函数；周期周
y?tanx
是周期函数；
为
T?2k
?
,k?Z
且
k?0
； 期为
T?k
?< br>,k?Z
且
最小正周期为
2
?

偶函数
k?0
；最小正周期为
?

奇函数
单
??
??
调
在
?
2k
?
?,2k
?
?
?

22
??
性
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上
在
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?
- 3 -

?
k??
?
上是增函数；在
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?

??
22
??
是增函数；在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
对
对称中心< br>?
k
?
,0
??
k??
?

称
?
性
对称轴
x?k
?
?
?
k??
?

对称中心
?
??
k
?
?,0
?
?
k??< br>?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?< br>k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
?
2
?
无对称轴 2
8、函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b(A?0,
?
?0)
的相关知识：
（1）
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
的图象与
y?sinx
图像的关系：
①振幅变换：
y?sinx

y?Asinx



图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍

图象上每个点的横坐标变为原来的
②周期变换：
y?sinx

y?sin
?
x


③相位变换：
y?sinx

y?sin(x?
?
)


④平移变换：
y?Asin(
?
x?
?
)

y??sin
?
?
x?
?
?
?b

平移
图象整体向上（
b?0
）或向下（
b?0
）
图象整体向左（
?
1
?
倍，纵坐标不变
?0
）或向右（
?
?0
）平移
?
个单位
b
个单位

先平移后伸缩：
函数
y?sinx
的 图象整体向左（
?
?0
）或向右（
?
?0
）平移
?
个单位，
得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上每个点的 横坐标变为原
来的
1
倍，纵坐标不变，得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?< br>x?
?
?
的图
?
象上每个点的纵坐标变为原来的
?< br>倍，横坐标不变，得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象；再
将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象整体向上（
b?0
）或向下（
b?0
）平移
b< br>个单位，得到函
数
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
．
先伸缩后平移：
函数
y?sinx
的图象上每个 点的横坐标变为原来的
1
倍，纵坐标不变，得到
?
函数
y?sin< br>?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象整体向 左（
?
?0
）或向右（
?
?0
）平
- 4 -

移
?
个单位，得到函数
y?sin
??
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上每个点
?
的纵坐标变为原来的
?
倍，横坐标不变，得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?< br>的图象整体向上（
b?0
）或向下（
b?0
）平移
b
个单位，得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
．
（2）函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b< br>①振幅：
?
；②周期：
??
定义域：
R

值域：
?
?A?b,A?b
?

当
?
x?
?
?2k
?
?
当
?
x?
?
?2k
?
?
(A?0,
?
?0)
的性质：
；③频率：< br>f?
2
?
?
1
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
?
?2
?
?
2
?
k??
?
时，
y
max
?A?b
；
?
k??
?
时，
y
min
??A?b
．
(A?0,
?
?0)
是周期函数；周期为
T?
?
2
周期性：函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b
单调 性：
?
x?
?
在
?
2k
?
?
2< br>?
?

?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
k??
?
上时是增函数；
?
?
2
?
?
x?
?
在
?
2k
?
?对称性：对称中心为
?

?
?
?
2
,2k?
?
3
?
?
?
k??
?
上时是减函数 ．
2
?
?
?
?
k
?
?
?
?
,0
?
?
k??
?
；对称轴为
?
x?
?
?k
?
?
?
k??
?

2
?
?
?
第二章 平面向量

1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．
2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作
0
；零向量的方向是任意的．
e??
3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量
a
平行的单位 向量：
a
|a|
．
4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 叫平行向量也叫共线向量，记作
ab
；
规定
0
与任何向量平行．
- 5 -

5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.
注意：
任意两个相等的非零向量，
都可以用同一条有向线段来表示，
并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：
首尾相接
⑵平行四边形法则的特点：
起点相同

⑶运算性质：
①交换律 ：
a?b?b?a
；②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0 ?0?a?a
．
⑷坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y1
?y
2
?
．
7、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
????
C

a

b

?

a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?< br>．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2< br>?
，则
?

a?b??C?????C

???
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
．
8、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
②当
?
?0< br>时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；
当
?
?0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?< br>?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b< br>．
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,< br>?
y
?
．
9、向量共线定理：向量
aa?0
与b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b ?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
10、 平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不 共线向量，那么对于这一平面内
??
??
??
- 6 -

的任意向量
a
，有且只有一对实数
?
1< br>、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、e
2
作为
这一平面内所有向量的一组基底）
11、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，当
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
12、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b ?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；
当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；
a ?a?a?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
⑶运算律 ：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1< br>?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x?y
，或
a?
22
2
2
2
?
x
1
?< br>?
x
2
y
1
?
?
y
2
?< br>,
?
．
1?
?
1?
?
??
??< br>??????
x
2
?y
2
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x< br>2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
设
a
、b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，?
是
a
与
b
的夹角，则
cos
?
?

a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
12
1
x?y
2
2
2
2
．
第三章 三角恒等变形

1、同角三角函数基本关系式
（１）平方关系：
sin
?
?cos
?
?1
（２）商数关系：
tan
?
?
（３）倒数关系：
tan
?
cot
?
?1

22
sin
?

cos
?
tan
2
?
1
2

sin
?
?
；
cos
?
?
2< br>1?tan
2
?
1?tan
?
2
注意：
sin
?
,cos
?
,tan
?
按照以上公式可以“知一求二”
2、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

S
(
?
?
?
)
：
sin(
??
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

- 7 -

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

C< br>(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)? cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

T
(
?
?
?
)
：
tan(
?< br>?
?
)?
T
(
?
?
?
)
：
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan< br>?

1?tan
?
tan
?
ta n
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
正切和公式：
tan
?
?tan
?
?tan(
?< br>?
?
)?(1?tan
?
tan
?
)
3、辅助角公式：
asinx?bcosx?a
2
?b
2
??
??
ab
?
sinx?cosx
?

222 2
a?b
?
a?b
?
?a
2
?b
2
(sinx?cos
?
?cosx?sin
?
)?a
2
? b
2
?sin(x?
?
)

（其中
?
称为 辅助角，
?
的终边过点
(a,b)
，
tan
?
?< br>4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

S
2
?
：
sin2
?
?2sin
?
cos
?

b
）
a
C
2
?
：
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
2
?
?1

T
2
?
：
tan2
?
?
2tan
?

2
1?tan
?
2|sin
?
|
，
1?cos2
?
?2|cos
?
|
； 二倍角公式的常用变 形：①、
1?cos2
?
?
②、
1
?
1
c os2
?
?|sin
?
|
，
1
?
1< br>cos2
?
?|cos
?
|

2 2
22
4422
sin
2
2
?
③、
sin
?
?cos
?
?1?2sin
?
cos
?
?1?
；
2
cos
4
?
?sin
4
?
?cos2
?
；
降次公式：
sin
?
cos< br>?
?
11?cos2
?
11
sin2
?

sin
2
?
???cos2
?
?

222 2
1?cos2
?
11
cos
2
?
??cos2< br>?
?

222
1?cos
?
?
1?cos
?
；
cos??
，
222
5、半角的正弦、余弦和正切公式：
sin
?
2
??
- 8 -

t an
?
2
??
1?cos
?
1?cos
?
sin
?

??
1?cos
?
sin
?
1 ?cos
?
6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）
22
①
sin
?
?1?cos
?
；
sin
?
??1?cos
2
?
；
cos
2
?
?1?sin
2
?
；
cos
?
??1?sin
2
?
；
cos
2
?
?sin
2
?
2
②
tan
?
?cot
?
?
，
?
sin
?
cos
?sin2
?
cos
2
?
?sin
2
?
2cos2
?
cot
?
?tan
?
???2cot2
?

sin
?
cos
?
sin2
?
③
(sin
?
?cos
?
)
2
?1?2sin?
cos
?
?1?sin2
?
；
1?sin2
?
?|sin
?
?cos
?
|

7、补充公式：
①万能公式
2tan
sin
?
?
1?tan
②积化和差公式
?
2
2
2
1?tan
?
?
2
；
tan
?
?
2
?
2
；
cos
?
?
2tan
2
1?tan
2
?
1?tan2
?
2

1
[sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)]

2
1

cos
?
sin
?
?
[sin(
?
??
)
?
sin(
?
?
?
)]

2
1

cos
?
cos
?
?
[cos(
?
?
?
)
?
cos(
?
??
)]

2
1

sin
?
sin
?
??
[cos(
?
?
?
)
?
c os(
?
?
?
)]

2

sin
?
cos
?
?
③和差化积公式
sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?
22
?
?
??
?
?

sin
?
?sin
?
?2cossin
22
?
?
??
?
?
?
?cos
?
?2coscos

cos

22
?
?
??
?
?
co s
?
?cos
?
??2sinsin

22


cos
?
?
?

- 9 -