(完整版)北师大版高中数学必修4、5知识点,推荐文档

高中数学必修4第一章知识点
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角: 不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，
则称
?
为第几象限角．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数 的绝对值是
?
?
l
．
r
?
180
?7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1
?
，
1?
?
?57.3
o
．
?
180?
?
?
o
o
?
o
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，
11
则
l?r
?
，
C?2r?l
，
S?lr?
?
r
2< br>．
22
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360? 90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?< br>k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?3 60,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
? ?
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为< br>?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

ooo
oooo
oooo
oooo
o
oo
o
o
9、设
?
是一个任意 大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点的
距离是
rr?x
2
?y
2
?0< br>，则
sin
?
?
?
?
yxy
，
co s
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rrx
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第 三象限正
切为正，第四象限余弦为正．
11、三角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
? ??
．
12、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin< br>2
?
?cos
2
?
?1

y
PT
OM
A
x
?
sin
2
?
?1?co s
2
?
,cos
2
?
?1?sin
2
?< br>?
；
?
2
?
sin
?
??
sin< br>?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
4、已知
?
是第几象限角，确定
?
n???
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等份，
?
n
*< br>13、三角函数的诱导公式：
再从
x
轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上 一、二、三、四，则
?
原来是第几
象限对应的标号即为
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
? cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?< br>，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?< br>．
?
终边所落在的区域．
n

1

?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
???tan
?
．
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
函数
y? ?sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x< br>1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2
时，取得最大
值为
y
max
，则
??
11?
?< br>y
max
?y
min
?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1
?
x
1
?x
2
?
．
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
?

5
?
sin
?
?

函


?
数
y?sinx

?
2
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
性
?
2
?
?
?
?
?
sin
?
．
质
?
6
?
sin
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?
?
?
??
si n
?
．
图
?
2
??
2
?
象
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、（1）一般地，函数Y=AsinX （A>0且A≠1)的图像可以看作是把Y=sinX的图像
定
上所有的纵坐标伸长(当A>1 时)或缩短(当0义
R

得到的。
域
（2）一般地，函数Y=sinωX（A>0且A ≠ 1)图像可以看作是把Y=sinX的图像上
值
?
?1,1
?
所有的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得
域
到的。
当
x?
2
k
?
?
?
2< br>?
k??
?
（3）一般地，函数Y=sin（x+ φ），（ φ ≠0）的图 像，可以看作是把Y=sinx的图
最
时，
y
max
?1
； 当
像上所有的点向左（当φ>0）时或向右(当φ<0)时平行移动|φ|个单位而得到的
值
x?2k
?
?
?
2

函数
y??s in
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0?
的性质：
?
k??
?
时，
y
min
??1
． ①
振幅：
?
；
②
周期：
??
2
??
；
③
频率：
f?
1
?
?
?
2
?
；
④
相位：
?
x?
?
；
⑤< br>初相：
?
．
周
2
?


2
y?cosx


R

?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

y?tanx


?
?
?
xx?k
?
?
?
?
2
,k??
?
?

R


既无最大值也无最小值
?

期
性
奇
偶
性
奇函数 偶函数 奇函数
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．

单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
单
调
性
??
??
在
?
2
k?
?
,2
k
?
?
?

22
? ?
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?< br>?
k??
?
上
是增函数；
相等向量：长度相等且方向相同的向
量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
?
k??
?
上是增函数；在
?
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?

??
22
??
??
??
在
在
?
k
?
?
,
k
?
?
?

2 2
??
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是减函数．
称中
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对
称
性





对称中心
?
k
?
,0< br>??
k??
?

对
对
x?k
?
?< br>心对称中心
称轴
?
2
?
k??
?

?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??




r
r
r
r
r
r
⑶三角形不等式：
a?b?a?b? a?b
．
无对称轴
r
r
r
rr
r
r< br>r
rr
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
????
r
rr
rr
a?0? 0?a?a
．
C

r
r
r
r
⑸坐 标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b??
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
r
a

r
b

?

16、向量：既有大小，又有方向的量．
?

ruuuruuur
r
r
uuu
a?b??C?????C


3

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
r
r
r
r
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
uuur
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1< br>?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
uuuruuur
?
x?
?
x
2
y
1
?< br>?
y
2
?
,
当
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是
?
1
?
．
1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
r
r
r
r
?
r
r
r
r
oo?
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b ?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；
?
a?
?
a
；
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr< br>r
r
当
a
与
b
反向时，
a?b??ab；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
r
r
rr
r
r
r
r
r
rr
r
rrr
r
r
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b；③
a?b?c?a?c?b?c
．
r
r
r
r
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向 相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方 向相反；当
?
?0
r
r
时，
?
a?0
．
??????
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
22
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x?y
，或
a?
r
r
r
r
r< br>r
r
r
rrrrr
⑵运算律：①
?
?
?a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③?
a?b?
?
a?
?
b
．
??
r< br>r
2
r
x
2
?y
2
．
⑶坐标运算 ：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
rr
r
r
r
r
设
a?
?x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
rr
r
rr
r
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一 个实数
?
，使
b?
?
a
．
??
r
r
r
r
r
rr
r
设
a?
?
x< br>1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0
??
r
r
r
r
r
r
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
r< br>r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a ?b
cos
?
?
r
r
?
．
2222ab
x
1
?y
1
x
2
?y
2
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
??
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?s in
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑷
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
共线．
uruur
21、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的
uruururuur
r
r
任意向量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一
平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?< br>，
?
x
2
,y
2
?
，

4

tan
?
?tan
?
⑸
tan
?< br>?
?
?
?
?
（
tan
?
?tan< br>?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
3、 三角形面积公式：
S
???C
?
111
bcsin??absinC ?acsin?
．
222
222222
4、余弦定理：在
???C
中，有
a?b?c?2bccos?
，
b?a?c?2accos?
，
tan
?
?tan
?
（
tan
?
?t an
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?
tan
?
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC< br>．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cos C?
．
2bc2ab
2ac
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
1?cos2
?
）．
2
（
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
6、设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：①若
a?b?c
，则
C?90
；
，
②若
a?b?c
，则
C?90
；③若
a?b?c
，则
C?90
．
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
8、数列的项：数列中的每一个数．
222
o
222
o
2 22
o
sin
2
?
?
⑶
tan2
?
?
2tan
?
．
2
1?tan
?
?
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
，其中
tan
?
?
?
．
?
26、
?sin
?
??cos
?
?

9、有穷数列：项数有限的数列．
10、无穷数列：项数无限的数列．
高中数学必修5知识点
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C< br>的对边，
R
为
???C
的外接圆
的半径，则有
11、 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
13、常数列：各项相等的数列．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15 、数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与 序号
n
之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
17、如 果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等
abc
? ??
2
R
．
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式： ①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
②
sin
??
abc
，
sin??
，
sinC?
；
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
④
a?b?cabc
???
．
sin??sin??sinCsin?sin?sinC

5

差数列，这个常数称为等差数列的公差．
18、由三个数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
?
称为
a
与
b
的等差
中项．若
b?
25、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的 等比中项．若
G
2
?ab
，则称
G
为
a
与
b
的等比中项．
n?1
26、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
．
a?c
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
2
19、若等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
，公差是
d
，则
a
1
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
．
27、通项公式的变形：①
a< br>n
?a
m
q
n?m
；②
a
1
?a< br>n
q
?
?
n?1
?
；③
q
n?1< br>?
20、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
；③
d?
a
n
?a
1
n?1
a
n
；④
a
1
；
q< br>n?m
?
a
n
?a
m
a
n
?a1
?1
；⑤
d?
④
n?
n?m
d
a< br>n
．
a
m
．
*
*
28、若
?< br>a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
? a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n< br>?
21、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n ?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
，则
2a
n
?a
p
?a
q
．
?
a
n
?
是等差数列，且
2n?p?q< br>（
n
、
p
、
q??
*
）
?a
n
?a
p
?a
q
；若
是等比数列，且
2n?p? q
（
n
、
p
、
q??
），则
a
n
*
2
?a
p
?a
q
．
n
?a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S?
d
．
22、等差数列的前
n
项和的公式：①
n
；②
S
n
?na
1
?
2
2
23、等差数 列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn??
?
na
1?
q?1
?
?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式：
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
．
1n
?< br>?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
30、等比数 列的前
n
项和的性质：①若项数为
2nn??
*
，则
②S
n?m
?
*
?
，则
S
2n
?n?
a
n
?a
n?1
?
，且
??
S偶
S
奇
?q
．
S
a
S
偶
? S
奇
?nd
，
奇
?
n
S
偶
an?1
②若项数为
2n?1n??
．
?S
n
?q
n
?S
m
．
?
*< br>?
，则
S
S?S
偶
?a
n
，
2n? 1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
奇
S
奇
n
（其中
?
S
偶
n?1
③
S< br>n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列．
31、
a?b?0?a?b
；
a ?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
32、不等式的性质： ①a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b? c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?b c
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d ?0?ac?bd
；⑦
a?b?
0
?a?b
nn
S
奇
?na
n
，
S
偶
?
?
n?
1< br>?
a
n
）．
24、如果一个数列从第
2
项起，每一 项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等
比数列，这个常数称为等比数列的公比．
?
n??
,
n?
1
?
；

6

⑧
a?b?
0
?
n
a?
n
b
?
n??
,
n?
1
?
．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b?4ac

2
所有这样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的上方．
??0

??0

??0

②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y? C?0
的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
二次函数
y?ax?bx?c

2
?
a?0
?
的图象

有两个相异实数根
一元二次方程
ax?bx?c?0

2
①若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域；
?x??y?C?0
表示
直线
?x??y?C?0
下方的区域．
② 若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0下方的区域；
?x??y?C?0
表示
有两个相等实数根
没有实数根
直线
?x??y?C?0
上方的区域．
40、线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
2


?
a?0
?
的根
x
1,2
?
?b??

2a
x
1
?x
2
??
?
x
1
?x
2
?

ax
2
?bx?c?0

一元二次
不等式的
b

2a
?
xx?x或x?x< br>?
1
?
a?0
?

ax
2
?bx?c?0


?b?
xx??
??

2a
??
R

线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
解集
?
a?0
?

?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（ 组）的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
，
41、设
a
、
b
是两个正数， 则
a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab称为正数
a
、
b
的几何
2

7

平均数．
42、均值不等式定理： 若
a?0
，
b ?0
，则
a?b?2ab
，即
22
a?b
?ab
．
2
a
2
?b
2
43、常用的基本不等式：①
a?b ?2ab
?
a,b?R
?
；②
ab?
?
a,b?R
?
；
2
22
③
ab?
?
?
a? b
?
?
2
?
?
?
a?0,b?0
?
；④
a
2
?b
2
2
?
?
?
a? b
?
?
2
?
?
?
a,b?R
?
．
44、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有
x?y?s< br>（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值
s
2
⑴若
4
．
⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x ?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．



8