高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)

高中数学必修四第二章单元测试题
《平面向量》
（时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．已知向量
a
与
b
的夹角是
120?
，且
a?5
，
b?4
，则
a?b
=（ ）．
A.
20
B.
10
C.
?10
D.
?20

2．已知向量
BA?
?
A.
?
31
?
?
2
,
2
?
?
，
BC?
?
0,1
?
，则向量
BA
与
BC
夹角的大小为（ ）
??
πππ
2π
B. C. D.
6433
3.已知向量
a?
?
1，?1
?
，
b?
?
?1，2
?
，则
2a?b?a
＝（ ）
A.
?1
B.
0
C.
1
D.
2

4．已知向量
A. 0 B. 2 C.
，若
D. 2或
，则实数m的值为 （ ）
??
5．如上图，向量
e
1
，
e
2
，
a
的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量
a
用基底
e
1
，
e
2
表示为
( )

A.
e
1
＋
e
2
B. 2
e
1
－
e
2
C. －2
e
1
＋
e
2
D. 2
e
1
＋
e
2

6．若三点
A
?
?1,?2
?
、
B
?
0,?1
?
、
C
?
5,a
?
共线，则
a
的值为（ ）
A.
4
B.
?4
C.
2
D.
?2

7．已知平面向量
a,b
的夹角为60°，
a?1,3
，
b?1
，则
a?b?
（ ）
A. 2 B.
23
C.
7
D. 4
??

8．已知向量
a
与
b
的夹角是
120?
，且
a ?5
，
b?4
，则
a?b
=（ ）．
A.
20
B.
10
C.
?10
D.
?20

9.已知向量
a?
?
3,1,b?
?
0,?1
?
,c?k,3
，若（
a?2b
）与
c
互相垂直，则
k
的值为
???
A.
1
B.
?1
C.
3
D.
?3

10.已知点
A
?
0,1
?
，
B
?
1,2
?
，
C
?
?2,?1
?
，
D
?
3,4
?
，则向量
AB
在
CD
方向上的投影为（ ）
A.
32
32315
B.
2
C.
?
D.
?

2
22
11．在矩形
ABCD
中，
AB?3
，
BC?3
，
BE?2EC
，点
F
在边
CD
上，若
AB?AF?3
，则
AE?BF
的值为（ ）
A.
0
B.
83
C.
?4
D.
4

3
12．已知
?ABC
是边长为4的等边三角形，
P
为平面
ABC
内一点，则
PA?PB?PC
的最小值为
（ ）
A.
?3
B.
?6
C.
?2
D.
?

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设
a
与
b
是两个不共线向量，且向量
a?
?
b
与
2a?b
共线，则
?
?
__________．
14.已知单位向量
a
，
b
满足
a
?2
a?
3
b?
??
8

3
??
1
， 则向量
a
与
b
的夹角为__________．
2
15．在平行四边形
ABCD
中，
AC
与
BD
交于点
O
，
E
是线段
OD
的中点，
AE
的延长线与
CD
交
于点
F
. 若
AC?a
，
BD?b
，则
AF
等于_______（用
a
，
b
表示）.
16．已知正方形
ABCD
的边长为
1
，点
E
在线段
AB
边上运动（包含线段端点），则
DE?CB的值为
__________；
DE?DB
的取值范围为__________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题10 分）已知四点A（-3，1），B（-1，-2），C（2，0），D（
3m,m?4
）
2

（1）求证：
AB?BC
；
(2)
ADBC
，求实数m的值.









18．（本小题12分）已知向量
a?
?
1 ,2
?
，
b?
?
?3,4
?
．
（1）求
a?b
与
a?b
的夹角；
（2）若
a?a?
?
b
，求实数
?
的值．














??

19．（本小题12分）已知
（1）求
（2）求










；
与的夹角.
是夹角为的两个单位向量，，.
20．（本小题12分）如图，在平行四边形
（1）求实数的值；
（2）记，，试用表示向量
中，，是上一点，且.
，，.

21．（本小题12分）已知向量
a
与
b
的夹角为
120?
，
a?2,b?3
，
m?3a?2b,n?2a?kb
.
（I）若
m?n
，求实数k的值；
（II）是否存在实数k，使得
mn
？说明理由.










22.（本小题12 分）已知点
A(?1,0),B(0,1)
，点
P(x,y)
为直线
y?x?1
上的一个动点.
（1）求证：
?APB
恒为锐角；
（2）若四边形
ABPQ
为菱形，求
BQ?AQ
的值.

高中数学必修四第二章单元测试题
《平面向量》参考答案
（时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．已知向量
a
与
b
的夹角是
120?
，且
a?5
，
b?4
，则
a?b
=（ ）．
A.
20
B.
10
C.
?10
D.
?20

【答案】C
【解析】向量
a
与
b
的夹角是
120 ?
，且
a?5
，
b?4
，则
ab??a?b
故选：C．
2．【2017届北京房山高三上期末】已知向量
BA?
?
小为（ ）
A.

cos120??5?4?
?
?
?
1
?

?
??10
．
2
??
?
31
?
?
2
,
2
?
?
，
BC?
?
0,1
?
，则向量
BA
与
BC
夹角的大
??
πππ
2π
B. C. D.
6433
【答案】C

ba?
3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量
a?< br>?
1

b?
?
?1
则
2a?
，?1
?
，
，2
?
，
A.
?1
B.
0
C.
1
D.
2

??
＝（ ）

【答案】C
【解析】
2a?b?a?
?
1,0
?
故选：C.
4．已知向量
A. 0 B. 2 C.
【答案】C
【解析】∵向量
∴
∴
，
.选C.
，且
，若
D. 2或
，则实数m的值为 （ ）
??
?
1,?1
?
?1
,
5．如上图，向量
e
1
，
e
2
，
a< br>的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量
a
用基底
e
1
，
e
2
表示为
( )

A.
e
1
＋
e
2
B. 2
e
1
－
e
2
C. －2
e
1
＋
e
2
D. 2
e
1
＋
e
2

【答案】C
6．若三点
A
?
?1,?2
?
、
B
?
0,?1
?
、
C
?
5,a
?
共线，则
a
的值为（ ）
A.
4
B.
?4
C.
2
D.
?2

【答案】A
【解析】
A
?
?1,?2
?
,
B
?0,?1
?
,C
?
5，a
?
三点共线
AC
???
?
?

AB

即
?
11，
?
?
?
?
6，a?2
?

1?6
?
{

1?
?
?
a?2
?
?
?
?
1
,
a?4

6
故答案选
A
.

7．【2018届全国名校大联考高三第 二次联考】已知平面向量
a,b
的夹角为60°，
a?1,3
，
b?1
，
则
a?b?
（ ）
A. 2 B.
23
C.
7
D. 4
【答案】C
??

8．已知向量
a
与
b
的夹角是
12 0?
，且
a?5
，
b?4
，则
a?b
=（ ）．
A.
20
B.
10
C.
?10
D.
?20

【答案】C
【解析】向量
a
与
b
的夹角是
120?
，且
a?5
，
b?4
，则
ab??a?b
故选：C．
9.【2018届福建省福 安市一中上学期高三期中】已知向量
a?
（
a?2b
）与
c
互相垂直，则
k
的值为
A.
1
B.
?1
C.
3
D.
?3

【答案】D

cos120??5?4?
?
?
?
1
?

?
??10
．
2
??
?
3,1,b?
?
0 ,?1
?
,c?k,3
，若
???

【解析】
a?2b?
选D.
?
3,3
，因为（
a?2b
）与
c
互相垂直，则
a?2b?c?3k?33?0?k??3
，
?
? ?
10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点
A
?
0,1< br>?
，
B
?
1,2
?
，
C
?
?2,?1
?
，
D
?
3,4
?
，则
向量
AB
在
CD
方向上的投影为（ ）
A.
32
323
2
B.
2
C.
?
2
D.
?
15
2

【答案】B
【解析】
AB?
?
1,1
?
.CD?
?
5,5
?
则向量
AB
在
CD
方向上的投 影为
ABcosAB,CD?AB?
AB?CD
ABCD
?
1052
?2

故选B.
11．【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形
ABCD
中，
AB?3
，
BE?2EC
，点
F
在边
CD
上，若
AB?AF?3
，则
AE?BF
的值为（ ）
A.
0
B.
83
3
C.
?4
D.
4

【答案】C
【解析】
BC?3
，

12．【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知
?AB C
是边长为4的等边三角形，
P
为平面
ABC
内一点，则
PA?
?
PB?PC
?
的最小值为 （ ）
A.
?3
B.
?6
C.
?2
D.
?
8
3

【答案】B
【解析】
如图建立坐标系，
A
?
0,23
?
,B
?
?2,0
?
,C
?
2,0
?
，设
P
?< br>x,y
?
，
则
PA?
?
?x,23?y
?
,PB?
?
?2?x,?y
?
,PC?
?
2?x, ?y
?
，
?PA?
?
PB?PC
?
?
?
?x,23?y
?
?
?
?2x,?2y
?
?2x< br>2
?2y
2
?43y

?2
?
?
?
x
2
?
?
y?3
?
2
?
?
?
?6??6
，
?
最小值为
?6
，故选B.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设
a
与
b
是两个不共线向量，且向量
a?
?
b
与
2a?b
共线，则
?
?
__________．
【答案】
?
1
2

【解析】由题意得
1:
?
?2:
?
?1
?
?
?
??
1
2
.

14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量
a
，
b
满足
a
?2
a?
3
b?
量
a
与
b
的夹角为__________．
【答案】60°（或
??
1
，则向
2
?
）
3
【解析】因为
a?2a?3b?
??
111
2
，化简得 ：
2a?3a?b?2?3a?b?
，即
a?b?
，所以
222< br>cosa,b?
a?b
a?b
?
1
?
?
，又
0?a,b?
?
，所以
a,b?
，故填.
33
2
15．【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形
ABCD
中 ，
AC
与
BD
交于点
O
，
E
是线段
OD
的中点，
AE
的延长线与
CD
交于点
F
. 若
AC?a
，
BD?b
，则
AF
等于_______（用
a
，
b
表示）.
【答案】
21
a?b

33
【解析】
∵
AC?a
，
BD?b
，∴
AD?
∵E是OD的中点，∴
∴
DF?

1111
AC?BD?a?b
.
2222
＝，∴DF＝AB .
11
?
111
?
1
AB?
?
AC?BD< br>?
?a?b
，
33
?
226
?
6
111121
a?b?a?b?a?b
.

226633
∴
AF?AD?DF?
16．已知正方形
ABCD
的边长为
1
，点E
在线段
AB
边上运动（包含线段端点），则
DE?CB
的值为
__________；
DE?DB
的取值范围为__________．
【答案】 1
1,2

【解析】如图，以
D
为坐标原点，
??

以
DC
，
DA
分别为
x
，
y
轴，建立平面直角坐标系，
D
?
0,0
?
，
DE
?
x
0
,1
?
，
B
?
1,1
?
，
CB
?
0,1
?
，
C
?
1,0
?
，
DB
?
1,1
?
，
E
?
x
0
,1
?
，
x
0
?
?
0,1
?
，∴
DE?CB?1
，
DE?D B?x
0
?1
，∵
0?x
0
?1
，
1? x
0
?1?2
，∴
DE?DB
的取值范围为
?
1, 2
?
，故答案为1，
?
1,2
?
.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题10 分）已知四点A（-3，1），B（-1，-2），C（2，0），D（
3m
2
,m? 4
）
（1）求证：
AB?BC
；
(2)
ADBC
，求实数m的值.
【答案】(1)见解析(2)
?
1
或1
2
，BC
算出
AB?BC
（2 ）由向量的平行进行坐【解析】试题分析：（1）分别根据向量的坐标运算得出
AB
标运算即可 .
试题解析：
(1)依题意得，
AB?
?
2,?3
?
,BC?
?
3,2
?

所以
AB?BC?2?3?
?
?3
?
?2?0

所以
AB?BC
.

18．（本小题12分）已知 向量
a?
?
1,2
?
，
b?
?
?3,4< br>?
．
（1）求
a?b
与
a?b
的夹角；
（2）若
a?a?
?
b
，求实数
?
的值．
【答案】（1）
【解析】
（1）因为
a?
?
1,2
?
，
b?
?
?3,4
?
，所以
a?b?
?
?2,6
?
，
a?b?
?
4,?2
?

所以
cosa?b,a?b?
??
3
?
；（2）
? 1
．
4
?
?2,6
?
?
?
4,?2?
?
40?20
?202
，由
a?b,a?b?
?0,
?
?
，则
??
2
40?20
a?b,a? b?
3
?
；
4
（2）当
a?a?
?
b< br>时，
a?a?
?
b?0
，又
a?
?
b??
1?3
?
,2?4
?
?
，所以
1?3
?
?4?8
?
?0
，解
得：
?
??1
.

19．（本小题12分）已知
（1）求
（2）求
；
与的夹角.
;(2) 与的夹角为.
再展开根据向量点积公
是夹角为的两个单位向量，，.
????
【答案】(1)
【解析】试题分析：（1）向量点积的运算规律可得到

式得最终结果；（2）同第一问，由向量点积公式展开
∵
(1)
(2)
,
∴
∴与的夹角为.
，
,
是夹角为的两个单位向量，∴，
=0.


20．（本小题12分）如图，在平行四边形
（1）求实数的值；
（2）记，，试用表示向量
中，，是上一点，且.
，，.

【答案】(1)；(2) ， ， .
，由系数和等于1，得到
，。
【 解析】试题分析：（1）根据平面向量共线定理得到
即。（2）根据平面向量基本定理，选择适当的基底
，所以

三点共线，所以



，所以
，
，
.
.
，
，
（1）因为
所以
因为
（2）
21．（本小题12分）【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已 知向量
a
与
b
的夹角为
120?
，

a?2,b?3
，
m?3a?2b,n?2a?kb
.
（I）若
m?n
，求实数k的值；
（II）是否存在实数k，使得
mn
？说明理由.
【答案】（Ⅰ）
44
；（Ⅱ）存在实数
k??
时，有
mn
．
33【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出
a?b??3
，由
m?n
即可得出3a?2b?2a?kb?0
，结合
????
a?2,b?3
即可求出< br>k
的值；（Ⅱ）根据共线向量基本定理，若
mn
，则有
n?
?
m
，可得
2a?kb?
?
3a?2b
，从而可求出实数k
的值.
试题解析：（Ⅰ）∵向量
a
与
b
的夹角为< br>120?
，
a?2,b?3

??
?
1
?
?

a?b?a?bcos120??2?3?
?
?
?
??3

?
2
?
又
m?n
且
m?3a?2b,n?2a?k b

?

m?n?3a?2b2a?kb?6a
2
?
?
3k?4
?
a?b?2kb
2
?0

?

6?2
2
?
?
3k?4
?
?
?
?3
?
?2k?3
2
?0
，
?

k?
4

3
????

22.（本小题12分）已知点
A(? 1,0),B(0,1)
，点
P(x,y)
为直线
y?x?1
上的一 个动点.
（1）求证：
?APB
恒为锐角；
（2）若四边形
ABPQ
为菱形，求
BQ?AQ
的值.

【答案】（1）证明见解析;（2）2.
【解析】（1）∵点
P(x ,y)
在直线
y?x?1
上，∴点
P(x,x?1)
,
∴
PA?(?1?x,1?x),PB?(?x,2?x)
，
∴
P A?PB?2x
2
?2x?2?2(x
2
?x?1)=2[(x?)
2
?]?0
,
∴
cos?PA,PB??
1
2
3
4
PA?PB
?0
,
|PA||PB|
若
A, P,B
三点在一条直线上，则
PAPB
，
得到
(x?1)(x?2)?(x?1)x?0
，方程无解，
∴
?APB?0
,∴
?APB
恒为锐角.
（2）∵四边形
ABPQ
为菱形，
∴
|AB|?|BP|
，即
2?x
2
?(x?2)
2
，化简得到
x
2?2x?1?0
，
∴
x?1
，∴
P(1,0)
,
设
Q(a,b)
，∵
PQ?BA
，
∴
(a?1, b)?(?1,?1)
，∴
?
?
a?0
,
b??1
?
∴
BQ?AQ?(0,?2)?(1,?1)?2
.