高中数学课怎么评-高中数学中一些典型的找规律题
数学必修4课后习题答案
第二章 平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念
练习(P77)
uuur
uuur
1、略.
2、
AB
,
BA
. 这两个向量的长度相等,但它们不等.
uu
uruuuruuuruuur
3、
AB?2
,
CD?2.5
,EF?3
,
GH?22
.
4、(1)它们的终点相同;
(2)它们的终点不同.
习题2.1 A组(P77)
1
、
B
45°
(
2
)
O
30°
C
A
D
. C
A
B
uuuruuuruuuruuur
uuuruuur
3
、与
DE
相等的向量有:
AF,FC
;与
EF
相等的向量有
:
BD,DA
;
uuuruuur
uuur
与
FD
相等的向量有:
CE,EB
.
rr
uuuruuuruuruuuuru
uur
CO,QP,SRPM,DO
; 4、与
a
相等的向量有:;与
b
相等的向量有:
r
uuuruuuruuur
与
c
相等
的向量有:
DC,RQ,ST
uuur
33
5、
AD?
. 6、(1)×;
(2)√; (3)√; (4)×.
2
习题2.1 B组(P78)
1、海拔和高度都不是向量.
uuuur
2、相等的向量共有24对.
模为1的向量有18对. 其中与
AM
同向的共有6对,
uuuuruuuruuur
与
AM
反向的也有6对;与
AD
同向的共有3对,与
AD<
br>反向的也有6对;模为
2
的向量共有4对;模为2的向量有2对
2.2平面向量的线性运算
练习(P84)
uuur
uuur
1、图略. 2、图略.
3、(1)
DA
; (2)
CB
.
r
urur
ur
4、(1)
c
;
(2)
f
; (3)
f
; (4)
g
.
练习(P87)
uruuur
uuuuuur
uu
ruuur
1、图略.
2、
DB
,
CA
,
AC
,
AD
,
BA
. 3、图略.
练习(P90)
1、图略.
uuu
r
5
uuuruuurr
2
uuu
2、
AC?AB
,
BC??AB
.
77
uuur
说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案.
值得注意的是
BC
uuur
与
AB
反向.
rr
r
8
r
rr
7
r
1
r
3、(1)
b
?2a
; (2)
b??a
; (3)
b??a
;
(4)
b?a
.
9
42
4、(1)共线; (2)共线.
rr
r
11
r
1
r
5、(1)
3a?2b
; (2)
?a?b
; (3)
2ya
.
6、图略.
123
习题2.2 A组(P91)
1、(1)向东走20 km;
(2)向东走5 km; (3)向东北走
102
km;
(4)向西南走<
br>52
km;(5)向西北走
102
km;(6)向东南走
102
km.
2、飞机飞行的路程为700 km;两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500
km.
uuuruuur
3、解:如右图所示:
AB
表示船速,
A
D
表示河水
的流速,以
AB
、
AD
为邻边作
□<
br>ABCD
,则
uuur
AC
表示船实际航行的速度.
B
C
uuuruuur
在Rt△ABC中,
AB?8
,
AD?2
,
uuur
所以
AC?
uuur
2
uuur
2
AB?AD?8
2<
br>?2
2
?217
A
D
水流方向
因为
tan?CAD?4
,由计算器得
?CAD?76?
所以,实际航行的速
度是
217
kmh
,船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
rrruuur
uuuruuur
4、(1)
0
;
(2)
AB
; (3)
BA
; (4)
0
;
(5)
0
; (6)
CB
; (7)
r
0
.
5、略
6、不一定构成三角形. 说明:结合向量加法的三角形法则,让
学生理解,若三
个非零向量的和为零向量,且这三个向量不共线时,则表示这三个向量的有向线段
一定能构成三角形.
rr
rrrr
7、略. 8、(1)略;
(2)当
a?b
时,
a?b?a?b
rrrrr
r
r
1
r
9、(1)
?2a?2b
;
(2)
10a?22b?10c
; (3)
3a?b
;
(4)
2(x?y)b
.
2
rrurrruruurrruruur
10、
a?b?4e
1
,
a?b??e
1
?4e
2
,
3a?2b??3e
1
?10e
2
.
uuu
rruuurr
11、如图所示,
OC??a
,
OD??b
,
uuurrruuurrr
DC?b?a
,
BC??a?b
.
(第11题)
rrr
uuuuuur
1
r
uu
u
r
1
rruuur
3
r
12、
AE?b
,
BC?b?a
,
DE?(b?a)
,
DB?a
,
444
uuur
3
ruuur
1
rruuur
1
uuuur
1
rr
EC?b
,
DN?(b?a)
,
AN?AM?(a?b)
.
4848
13、证明:在
?ABC
中,
E,F
分别是
AB,BC
的中点,
1
所以
EFAC
且
EF?AC
,
2
uuur
1
uuur
即
EF?AC
;
2
uuur
1
uuur
同理,
HG?AC
,
2
uuuruuur
所以
EF?HG
.
习题2.2
B组(P92)
1、丙地在甲地的北偏东45°方向,距甲地1400 km.
rr
2、不一定相等,可以验证在
a,b
不共线时它们不相等.
(第12题)
G
D
C
F
H
E
A
(第13题)
B
乙
丙
uuuuruuuruuuur
uuur
1
uuur
uuuur
1
uuur
3、证明:因为
MN?AN?AM
,而
AN?AC
,
AM?AB
,
33
uuuur
1
uuur
1
uuur
1
uuuruuur
1
uuur
所以
MN?AC?AB?(AC?AB)?BC
.
3333
4、(1)四边形
ABCD
为平行四边形,证略
(2)四边形
ABCD
为梯形.
uuur
1
uuur
证明:∵
AD?BC
,
3
∴
ADBC
且
AD?BC
∴四边形
ABCD
为梯形.
D
(3)四边形
ABCD
为菱形.
甲
(第1题)
C
B
A
(第4题(2))
uuuruuur
证明:∵
AB?DC
,
∴
ABDC
且
AB?DC
∴四边形
ABCD
为平行四边形
uuuruuur
又
AB?AD
∴四边形
ABCD
为菱形.
5、(1)通过作图可以发现四边形
ABCD
为平行四边形.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
证明:因为
OA?OB?BA
,
OD?OC?CD
C
B
A
D
(第4题(3))
M
uuuruuuruuuruuur
而
OA?OC?OB?OD
uuuruuuruuuruuur
所以
OA?OB?OD?OC
uuuruuur
所以
BA?CD
,即
AB
∥
CD
.
A
B
D
C
O
(第5题)
因此,四边形
ABCD
为平行四边形.
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
练习(P100)
rrrrrrrr1、(1)
a?b?(3,6)
,
a?b?(?7,2)
;
(2)
a?b?(1,11)
,
a?b?(7,?5)
;
rrrrrrrr
(3)
a?b?(0,0)
,
a?b?(4,6)
;
(4)
a?b?(3,4)
,
a?b?(3,?4)
.
rrrr<
br>2、
?2a?4b?(?6,?8)
,
4a?3b?(12,5)
.
uuuruuuruuuruuur
3、(1)
AB?(3,4)
,
BA?(?3,?4)
;
(2)
AB?(9,?1)
,
BA?(?9,1)
;
uuuruuuruuuruuur
(3)
AB?(0,2)
,
BA?(0,?2)
;
(4)
AB?(5,0)
,
BA?(?5,0)
uuuruuur
uuuruuur
4、
AB
∥
CD
. 证明:
AB?(1,?1)
,
CD?(1,?1)
,所以
AB?CD
.所
以
AB
∥
CD
.
1014
5、(1)
(3,2)
;
(2)
(1,4)
; (3)
(4,?5)
.
6、
(,1)
或
(,?1)
33
uuur
3uuuruuurr
3
uuu
7、解:设
P(x,y)
,由点<
br>P
在线段
AB
的延长线上,且
AP?PB
,得
AP?
?PB
22
uuuruuur
AP?(x,y)
?(2,3)?(x?2,y?3)
,
PB?(4,?3)?(x,y)?(4?x,?3?y
)
3
?
x?2??(4?x)
?
3
?
2
∴
(x?2,y?3)??(4?x,?3?y)
∴
?
3
2
?
y?3??(?3?y)
?
?2
?<
br>x?8
∴
?
,所以点
P
的坐标为
(8,?15)
.
?
y??15
习题2.3 A组(P101)
1、(1)
(?2,1)
; (2)
(0,8)
;
(3)
(1,2)
.
说明:解题时可设
B(x,y)
,利用向量坐标的定义解题.
uuruur
uur
2、
F
1
?F
2
?F
3
?(8,0
)
uuuruuur
OA?(?1,?2)BC?(5?3,6?(?1))?(2
,7)
3、解法一:,
uuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuur
而
AD?BC
,
OD?OA?AD?OA?BC?(1,5)
.
所以点
D
的坐
标为
(1,5)
.
uuur
解法二:设
D(x,y)
,则
AD?(x?(?1),y?(?2))?(x?1,y
?2)
,
uuur
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7)
uuuruuur
?
x?1?2
由
AD?BC<
br>可得,
?
,解得点
D
的坐标为
(1,5)
.
?
y?2?7
uuuruuur
4、解:
OA?(1,1)
,AB?(?2,4)
.
uuuruuur
uuur
1
uuur
uuurr
1
uuu
AC?AB?(?1,2)
,AD?2AB?(?4,8)
,
AE??AB?(1,?2)
.
22
uuuruuuruuur
OC?OA?AC?(0,3)
,所以,点
C
的坐标为
(0,3)
;
uuuruuuruuur
OD?OA?AD?(?3,9)
,
所以,点
D
的坐标为
(?3,9)
;
uuuruuuruuur
OE?OA?AE?(2,?1)
,
所以,点
E
的坐标为
(2,?1)
.
rr
23
5
、由向量
a,b
共线得
(2,3)?
?
(x,?6)
,所以
?
,解得
x??4
.
x?6
uuuruuurr
uuuruuur
uuur
uuu
6、
AB?(4,4)
,
CD?(?8,?8)
,
CD??2AB
,所以
AB
与
CD
共线.
uuuruuur
?
OA?2OA?(2,4)
,所以点<
br>A
?
的坐标为
(2,4)
; 7、
uuuruuur
OB
?
?3OB?(?3,9)
,所以点
B
?
的坐
标为
(?3,9)
; 故
uuuur
A
?
B
?
?(?3,9)?(2,4)?(?5,5)
习题2.3 B组(P101)
uuuruuur
1、
OA?(1,2)
,
AB?(
3,3)
.
uuuruuuruuuruuur
当
t?1
时,
OP?OA?AB?OB?(4,5)
,所以
P(4,5)
;
uuuruuur
1
uuur
1335757
当
t?<
br>时,
OP?OA?AB?(1,2)?(,)?(,)
,所以
P(,)
;
222
22222
uuuruuuruuur
当
t??2<
br>时,
OP?OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(?5,?4)
,所以
P
(?5,?4)
;
uuuruuuruuur
当
t?2
时,<
br>OP?OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(7,8)
,所以
P(7,8)
.
uuuruuur
uuuruuur
AB?(?4,?6)AC?(1,1.5
)
2、(1)因为,,所以
AB??4AC
,所以
A
、
B<
br>、
C
三
点共线;
uuuruuuruuuruuur
(
2)因为
PQ?(1.5,?2)
,
PR?(6,?8)
,所以
PR
?4PQ
,所以
P
、
Q
、
R
三
点共线;
uuuruuur
uuuruuur
(3)因为
EF?(?8,?4)<
br>,
EG?(?1,?0.5)
,所以
EF?8EG
,所以
E<
br>、
F
、
G
三点共线.
urur
uruurr
?
2
u
3、证明:假设
?
1
?0
,则由
?
1
e
1
?
?
2
e
2
?0
,得
e
1
??e
2
.
?
1
uruur
uruur
所以
e
1
,e
2
是共线向量,与已知
e
1
,e
2
是平面内的一组基底矛盾,
因此假设错误,
?
1
?0
.
同理
?
2
?0
.
综上
?
1
?
?
2
?0
.
uuur
uuururuur
4、(1)
OP?19
.
(2)对于任意向量
OP?xe
1
?ye
2
,
x,y
都是唯一确
定的,
所以向量的坐标表示的规定合理.
2.4平面向量的数量积
练习(P106)
urrurrurr
1
1、
p?q?p?q?c
os?p,q??8?6??24
.
2
rrrr
2、当
a?b?0
时,
?ABC
为钝角三角形;当
a?b?0
时,
?ABC<
br>为直角三角形.
3、投影分别为
32
,0,
?32
. 图略
练习(P107)
rr
rr
2222
1、
a?(?3)?
4?5
,
b?5?2?29
,
a?b??3?5?4?2??7
.
rr
rrrrrrrrr
2
2、
a?b?8
,
(a
?b)(a?b)??7
,
a?(b?c)?0
,
(a?b)?49
.
rr
rr
3、
a?b?1
,
a?13<
br>,
b?74
,
?
?88?
.
习题2.4
A组(P108)
rr
2
r
2
rrr
2
rrrr
1、
a?b??63
,
(a?b)?a?2a?b?b?25?12
3
,
a?b?25?123
.
uuuruuuruuuruuur
2、
BC
与
CA
的夹角为120°,
BC?CA??20
.
rrr
2
rrr
2
rrr
2
rrr
23、
a?b?a?2a?b?b?23
,
a?b?a?2a?b?b?35
.
rr
4、证法一:设
a
与
b
的夹角为
?
.
(1)当
?
?0
时,等式显然成立;
rrrr
(2)当<
br>?
?0
时,
?
a
与
b
,
a
与
?
b
的夹角都为
?
,
所以
rrrrrr(
?
a)?b?
?
abcos
?
?
?
abcos
?
rrrr
?
(a?b)?
?
abcos
?
rrrrrr
a?(
?
b)?a
?
bcos
?
?
?
abcos
?
rrrrrr
所以
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
;
rrrr
(3)当
?
?0
时,
?
a
与
b<
br>,
a
与
?
b
的夹角都为
180??
?
,
rrrrrr
则
(
?
a)?b?
?
abc
os(180??
?
)??
?
abcos
?
rr
rrrr
?
(a?b)?
?
abcos
?
??
?<
br>abcos
?
rrrrrr
a?(
?
b)?a?
bcos(180??
?
)??
?
abcos
?
rrrrrr
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
; 所以
综上所述,等式成立.
rr
证法二
:设
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2<
br>,y
2
)
,
rr
那么
(
?
a
)?b?(
?
x
1
,
?
y
1
)?(x2
,y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2
rr
?
(a?b)
?
?
(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)?
?
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2
rr
a?(
?
b)?(x1
,y
1
)?(
?
x
2
,
?
y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2
rrrrrr
所以
(
?<
br>a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
;
5、(1)直角三角形,
?B
为直角.
uuuruuur
证明:∵
BA?(?1,?4)?(5,
2)?(?6,?6)
,
BC?(3,4)?(5,2)?(?2,2)
uuuruuur
∴
BA?BC??6?(?2)?(?6)?2?0
uuuruuur
∴
BA?BC
,
?B
为直角,
?AB
C
为直角三角形
(2)直角三角形,
?A
为直角
uuuruuur
证明:∵
AB?(19,4)?(?2,?3)?(21
,7)
,
AC?(?1,?6)?(?2,?3)?(1,?3)
uuuruuur
∴
AB?AC?21?1?7?(?3)?0
u
uuruuur
∴
AB?AC
,
?A
为直角,
?ABC为直角三角形
(3)直角三角形,
?B
为直角
uuuruuur
证明:∵
BA?(2,5)?(5,2)?(?3,3)
,
BC?(10,7)?(5,2)?(5,5)
uuuruuur
∴
BA?BC??3?5?3?5?0
uuur
uuur
∴
BA?BC
,
?B
为直角,
?ABC
为
直角三角形
6、
?
?135?
.
7、
?
?120?
.
rr
rrrrr
2
rrr
2
(2a?3b)
(2a?b)?4a?4a?b?3b?61
,于是可得
a?b??6
,
r
r
a?b1
cos
?
?
rr
??
,所以
?
?120?
.
2
ab
23
,
?
?55?
.
40
uuuruuur
9、证明:∵
AB?(5,?2)?(1,0)?(4,?2)
,
BC?(8,4)?(5,?2)?(3,6)
,
8、
cos
?<
br>?
uuur
DC?(8,4)?(4,6)?(4,?2)
uuur
uuur
uuuruuur
∴
AB?DC
,
AB?BC?4?3?(
?2)?6?0
∴
A,B,C,D
为顶点的四边形是矩形.
r
a
10、解:设
?(x,y)
,
?
?
35
35
?
x?y?9
?
x?
?
x??
?
?
?
5
5
则
?
,解得,或.
?
?
y
?
y?
65
?
y??
65
?
x?
?2
?
?
5
5
?
?
22
rr
35653565
,)
或
a?(?,?)
. 于是<
br>a?(
5555
r
r
11、解:设与
a
垂直的单位向
量
e?(x,y)
,
??
55
x?x??
22
?
?
?
x?y?1
??
55
则
?
,解得
?<
br>或
?
.
4x?2y?0
?
?
y??
25<
br>?
y?
25
??
55
??
rr
525525
,?)
或
e?(?,)
.
于是
e?(
5555
习题2.4 B组(P108)
rrrrrrrrr
rrrrr
1、证法一:
a?b?a?c?a?b?a?c?0?a?(b?c)?0?a?(
b?c)
证法二:设
a?(x
1
,y
1
)
,
b?(x
2
,y
2
)
,
c?(x
3
,y
3
)
.
rrr
rrrrrrr
先证
a?b?a?c?a?(b?c)
rrrr
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
,
a?c?x
1
x
3
?y
1
y
3
由
rrrr
a?b?a?c
得
x
1
x
2
?y
1
y
2
?x
1
x
3
?y
1
y
3
,即
x
1
(x
2
?
x
3
)?y
1
(y
2
?y
3
)?0
rrr
rr
而
b?c?(x
2
?x
3
,y
2
?y
3
)
,所以
a?(b?c)?0
rrrrrrr
再证
a?(b?c)?a?b?a?c
rrr
由
a?(b?c)?0
得
x
1
(x
2
?x
3
)?y
1
(y
2
?y
3
)?0
,
rrrr
即
x
1
x
2
?y<
br>1
y
2
?x
1
x
3
?y
1
y
3
,因此
a?b?a?c
uuuruuur
OA?OB
2、
cos?AOB?
uuuruuur
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
.
OAOB
rr
u?(a,b)v
3、证明:构造向量,
?(c,d)
.
rrrrrr
rr
2222
u?v?uvcos?
u,v?
,所以
ac?bd?a?bc?dcos?u,v?
rr
∴
(ac?bd)?(a?b)(c?d)cos?u,v??(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)
222222
uuu
ruuur
4、
AB?AC
的值只与弦
AB
的长有关,与圆的半径无
关.
C
uuuur
AM
uuuruuuruuuruuur
又
AB?AC?ABACcos?BAC
,而
?BAC?
uuur<
br>
AC
uuuruuuruuuruuuur
1
uuur
2<
br>所以
AB?AC?ABAM?AB
2
uuur
2
u
uur
2
uuur
2
5、(1)勾股定理:
Rt?ABC
中
,
?C?90?
,则
CA?CB?AB
uuuruuuruuur
证明:∵
AB?CB?CA
证明:取
AB
的中点
M
,连接
CM
,
u
uuur
1
uuur
则
CM?AB
,
AM?AB
2
uuur
2
uuuruuur
2
uuur
2uuuruuuruuur
2
∴
AB?(CB?CA)?CB?2CA?CB?C
A
.
uuuruuur
由
?C?90?
,有
CA?CB<
br>,于是
CA?CB?0
uuur
2
uuur
2uuur
2
∴
CA?CB?AB
(2)菱形
ABCD
中,求证:
AC?BD
uuuruuuruu
ur
uuuruuuruuur
证明:∵
AC?AB?AD
,
DB?
AB?AD,
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
2uuur
2
∴
AC?DB?(AB?AD)?(AB?AD)?AB?AD
.
uuur
2
uuur
2
∵四边形
ABCD
为
菱形,∴
AB?AD
,所以
AB?AD?0
uuuruuur
∴
AC?DB?0
,所以
AC?BD
(3)长方形
ABCD
中,求证:
AC?BD
uuuruuur
证明:∵ 四边形
ABCD
为长方形,所以
AB?
AD
,所以
AB?AD?0
uuur
2
uuuruuur
uuur
2
uuur
2
uuuruuuruuur
2
∴AB?2AB?AD?AD?AB?2AB?AD?AD
.
uuur
2
uuur
2
uuuruuur
2
uuuruuur
2
∴(AB?AD)?(AB?AD)
,所以
AC?BD
,所以
AC?BD<
br>
(4)正方形的对角线垂直平分. 综合以上(2)(3)的证明即可.
2.5平面向量应用举例
习题2.5 A组(P113)
1、解:设
P(x,y)
,
R(x
1
,y
1
)
uuur
uuur
则
RA?(1,0)?(x
1,y
1
)?(1?x
1
,?y
1
)
,
AP?(x,y)?(1,0)?(x?1,0)
uuuruuur
?
x
1
??2x?3
由<
br>RA?2AP
得
(1?x
1
,?y
1
)?2(x?1
,y)
,即
?
?
y
1
??2y
代入直线
l
的方程得
y?2x
.
所以,点
P
的轨迹方程为
y?2x
.
2、解:(1)易知,
?OFD
∽
?OBC
,
DF?
A
1
BC
,
2
D
O
F
2
所以
BO?BF
. 3
uuuruuuruuur
2
uuurr
21
rrr
1
rr
AO?BO?BA?BF?a?(b?a)?a?(a?b)
332
3
B
uuur
1
rr
(2)因为
AE?(a?b)
2
uuur
2
uuur
AO
所以
AO?AE
,因此
A,O,E
三点共线,而且
?2
OE
3
BOCOAOBOCO
同理可知:
?2,?2
,所以
???2
OFODOEOFOD
ruuruur
3、解:(1)
v?v
B
?v
A
?(?2,7)
;
ruur
v?v
A
13
r
uur
(2
)
v
在
v
A
方向上的投影为
uur
?
.
5
v
A
urur
uuuruurur
4、解:设
F
1
,
F
2
的合力为
F
,
F
与F
1
的夹角为
?
,
E
(第2题)
C
(第4题)
uruur
uuruur
则
F?3?1,
?
?30?
;
F
3
?3?1
,
F
3
与
F
1
的夹角为150°.
习题2.5
B组(P113)
uur
uuruur
1、解:设
v
0
在
水平方向的速度大小为
v
x
,竖直方向的速度的大小为
v
y
,
uuruuruuruur
则
v
x
?v
0
co
s
?
,
v
y
?v
0
sin
?
.
设在时刻
t
时的上升高度为
h
,抛掷距离为
s
,则
uur
1
?
h?vtsin
?
?gt,(g为重力加速度)
0
?
2
?
uur
?
s?v
0<
br>tcos
?
?
所以,最大高度为
uruur
uur
2
2
v
0
sin
?
2g
,最大投掷距离为
r
uur
uur
2
v
0
sin2
?
g
.
2、解:设
v
1
与
v
2
的夹角为
?
,合速度为
v
,
v
2
与
v
的夹角为
?
,行驶距离为
d
.
r
ur
v
v
1<
br>sin
?
10sin
?
0.5
d1
d??
则
sin
?
?
,. ∴
r
?
.
?
rr
sin
?
20sin
?
20sin
?v
vv
r
所以当
?
?90?
,即船垂直于对岸行驶时所
用时间最短.
3、(1)
(0,?1)
uuuruuur
解:设
P(x,y)
,则
AP?(x?1,y?2)
.
AB?(2,?22)
.
uuuruuur
?
7
将
AB
绕点
A
沿顺时针方向旋转到
AP
,相当于沿逆时针方向旋转<
br>?
到
44
uuur
AP
,
uuur
777
7
于是
AP?(2cos
?
?22sin
?
,2sin?
?22cos
?
)?(?1,?3)
4444
所以
?
(2)
y??
?
x?1??1
,解得
x?0,y??1
y?2??3
?
3
2x
uuur
?
解:设曲线
C
上任一点
P
的坐标为
(x,y)
,
O
P
绕
O
逆时针旋转后,点
P
的坐
4
标为
(
x
?
,y
?
)
?
??
?
?x?xcos?ysin
?
x
?
?
?
?
44<
br>,即
?
则
?
?
??
?
y
?
?
?
y
?
?xsin?ycos
?
?
44
?
?
2
(x?y)
2
2
(x?y)
2<
br>113
又因为
x
?
2
?y
?
2
?3
,所以
(x?y)
2
?(x?y)
2
?3
,化简得
y??
222x
第二章 复习参考题
A组(P118)
1、(1)√; (2)√; (3)×; (4)×.
2、(1)
D
; (2)
B
;
(3)
D
; (4)
C
; (5)
D
;
(6)
B
.
uuur
1
rruuur
1
rr3、
AB?(a?b)
,
AD?(a?b)
22
uu
uruuuruuuruuur
2
r
1
r
4、略解:
DE?
BA?MA?MB??a?b
33
uuur
2
r
2
ruuur
1
r
1
r
AD?a?b
,
BC?a?
b
3333
uuuruuuruuur
1
r
2
r
1
r
1
r
EF??a?b
,
FA?DC?a?b<
br>
3333
uuurr
2
r
1
r
1
r
2
ruuu
CD??a?b
,
AB?a?b
3333
uuurrr
CE??a?b
uuur
uuur
AB?(8,?8)
5、(1),
AB?82
;
uuuruuur
uuuruuur
OC?(2,?16)OD?(?8,8)
(2),;
(3)
OA?OB?33
.
(第4题)
r
uuu
r
uuu
6、
AB
与
CD
共线.
uuuruuu
r
uuuruuurr
uuur
uuu
AB?(1,?1)CD?(1,?1
)
证明:因为,,所以
AB?CD
.
所以
AB
与
CD
共线.
7、
D(?2,0)
.
8、
n?2
.
9、
?
??1,
?
?0
.
34
10、
cosA?,cosB?0,cosC?
55
rurur
rururrurur
2
11、证明:
(2n?m)?m?2n?
m?m?2cos60??1?0
,所以
(2n?m)?m
.
rrrr
519
12、
?
??1
.
13、
a?b?13
,
a?b?1
.
14、
cos
?
?,cos
?
?
820
第二章 复习参考题
B组(P119)
1、(1)
A
; (2)
D
; (3)
B
;
(4)
C
; (5)
C
; (6)
C
;
(7)
D
.
rrrrrr
2、证明:先证
a?b?a?b?a?b
.
rrrr
2
a?b?(a?b)?
rrr
r
a?b?(a?b)
2
?
r
2
r
2
rr
a?b?2a?b
.
r
2
r
2
rr
a?b?a?b
.
r2
r
2
rr
a?b?2a?b
,
rrrr
rr
因为
a?b
,所以
a?b?0
,于是a?b?
rrrrrr
再证
a?b?a?b?a?b
.
rrr
2
rrr
2
rrr
2
rrr
2
由于
a?b?a?2a?b?b
,
a?b?a?2a?b?b
rrrr
rrrr
由
a?b?a?b
可得
a?b?0
,于是
a?b
rrrrrr
所以
a?b?a?b?a?b
.
【几何意义是矩形的两条对角线相等】
rrrur
3、证明:先证
a?b?c?d
rurrrrrr
2
r
2
c?d?(a?b)?(a?b)?a?b
rurrur
rr
又
a?b
,所以
c?d?0
,所以
c?d
rurrr
再证
c?d?a?b
.
rrrrr
2
r
2
rurrur
由
c?d
得
c?d?0
,即
(a?b)?(a?b)?a?b?0<
br>
(第3题)
rr
所以
a?b
【几何意义为菱形的对角线互相垂直,如图所
示】
uuuruuuruuur
uuur
1
rruuur
1
r
1
r
4、
A
D?AB?BC?CD?a?b
,
AE?a?b
242
uuur<
br>3
ruuuur
1
ruuuuruuuruuuur
1
r1
r
1
r
1
rr
而
EF?a
,<
br>EM?a
,所以
AM?AE?EM?a?b?a?(a?b)
444
242
uuuruuuruuuuruuuruuuuruuurr
5、证明:如图所示,OD?OP
1
?OP
2
,由于
OP
1
?OP<
br>2
?OP
3
?0
,
uuuruuur
uuur所以
OP
3
??OD
,
OD?1
P
3
O
P
2
uuuruuuruuur
所以
OD?OP
?PD
11
P
1
所以
?OPP
12
?
30?
,同理可得
?OPP
13
?30?
(第5题) <
br>D
所以
?P
3
PP
12
?60?
,同理可得
?PP
12
P
3
?60?
,
?P
2
P
3
P
1
?60?
,所以
?PP
12
P
3
为
正三角形.
6、连接
AB
.
uuuuruuurrr
由对称性可知,
AB
是
?SMN的中位线,
MN?2AB?2b?2a
.
N
7、(1)实际前进速度大
小为
4
2
?(43)
2
?8
(千米/时),
沿与水流方向成60°的方向前进;
(2)实际前进速度大小为
42
千米/时,
沿与水流方向成
90??arc
cos
M
A
B
6
O
S
的方向前进.
3<
br>uuuruuuruuur
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
(第6
题)
8、解:因为
OA?OB?OB?OC
,所以
OB?(OA?OC)?
0
,所以
OB?CA?0
uuuruuuruuuruuur
同理,
OA?BC?0
,
OC?AB?0
,所以点
O
是?ABC
的垂心.
9、(1)
a
2
x?a
1
y?a
1
y
0
?a
2
x
0
?0
;
(2)垂直;
(3)当
A
1
B
2
?A
2B
1
?0
时,
l
1
∥
l
2
;
当
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0时,
l
1
?l
2
,
夹角
?
的余弦<
br>cos
?
?
Ax
0
?By
0
?C
A
?B
22
A
1
A
2
?B
1
B
2<
br>A?B
2
1
2
1
A
2
?B
2
22
;
(4)
d?
第三章 三角恒等变换
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习(P127)
???
1、
cos(?
?
)?cosc
os
?
?sinsin
?
?0?cos
?
?1?sin?
?sin
?
.
222
cos(2
?
?
?
)?cos2
?
cos
?
?sin2
?
sin
?
?1?cos
?
?0?sin
?
?co
s
?
.
34
3
?
2、解:由
cos
?<
br>??,
?
?(,
?
)
,得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)
2
?
;
55
52
???
23242
所以
cos(?
?
)?coscos
?
?sinsin
?
?
. <
br>?(?)???
444252510
3、解:由
sin
?
?<
br>158
15
,
?
是第二象限角,得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??
;
1717
17
???
81153?8?153
所以<
br>cos(
?
?)?cos
?
cos?sin
?
sin
?????
.
?
33317217234
25
23
?4、解:由
sin
?
??,
?
?(
?
,),得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?(?)2
??
;
33
32
37
33
?
又由
cos
?
?,
?
?(,2
?
)
,得
sin
?
??1?cos
2
?
??1?()
2
?
?
.
44
42
所
3572?35?27
.
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?<
br>?sin
?
sin
?
??(?)?(?)?(?)?
4343
12
练习(P131)
以
1、(1)
6?26?26?2
;
(2); (3); (4)
2?3
.
444
34
3
?
2、解:由
cos
?
??,
?
?(,
?
)
,得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)<
br>2
?
;
55
52
???
41334?33
所以
sin(
?
?)?sin
?
cos?cos
?
sin???(?)?
.
?
333525210
3、解:由
sin
?
??
125
12
,得
cos
?
??1?
sin
2
?
??1?(?)
2
??
;
?
是第三象限角,
1313
13
所
???
35112?53?12
.
cos(?
?
)?c
oscos
?
?sinsin
?
??(?)??(?)?
66621
321326
?
tan
?
?tan
?
4
?
3?1
??2
. 4、解:
tan(
?
?)?
4
1
?tan
?
?tan
?
1?3?1
4
以
3
1
5、(1)1; (2); (3)1; (4)
?
;
2
2
1
(5)原式=
?(cos34?cos26??sin3
4?sin26?)??cos(34??26?)??cos60???
;
2
(6)原式
=
?sin20?cos70??cos20?sin70???(sin20?c
os70??cos20?sin70?)??sin90???1
.
???
6、(
1)原式=
coscosx?sinsinx?cos(?x)
;
333
31
???
(2)原式=
2(sinx?cosx)?2
(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
;
22666
22
???
(3)原式=
2(sinx?cosx)
?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
;
22444
13
???
(4)原式=
22(cosx?sinx
)?22(coscosx?sinsinx)?22cos(?x)
.
22333
3
7、解:由已知得
sin(
?
?
?
)cos
?<
br>?cos(
?
?
?
)sin
?
?
,
5
33
即
sin[(
?
?
?
)?
?
]?
,
sin(?
?
)?
55
3
所以
sin
?
??
.
又
?
是第三象限角,
5
34
于是
cos<
br>?
??1?sin
2
?
??1?(?)
2
??
.
55
因
5
?
5
?
5
?
324272
.
sin(
?
?)?sin
?
cos?cos
?
sin?(
?)(?)?(?)(?)?
444525210
练习(P135)
?
3<
br>?
1、解:因为
8
?
?
?
?12
?
,所以
?
??
82
3
?
?
43
?
4
8
?
5
?
3
又由
c
os??
,得
sin??1?(?)
2
??
,
tan?8
cos
?
?
4
4
855
85
85<
br>sin?
此
?
???
3424
?sin(2?)?
2sincos?2?(?)?(?)?
48885525
????
437
cos?cos(2?)?cos
2
?sin
2
?(?)
2
?(?)
2
?
48885525
所以sin
3
??
8
?
4
?
3
?
16
?
24
tan?tan(2?)?
4
8
1?tan
2
?
1?(
3
)
2
277<
br>84
2tan
2?
?
?
33316
2、解:由
sin(
?
?
?
)?
,得
sin
?
??
,所以
cos
2
?
?1?sin
2
?
?1
?(?)
2
?
55525
1637
?(?)
2
?
25525
1
3、解:由
sin2
?
??sin
?
且
sin
?
?0
可得
c
os
?
??
,
2
所以
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?
又
tan
?
?
由
?
?
?(,
?
)
2
,得
13
sin
?
?1?cos
2
?
?1
?(?)
2
?
22
,所以
sin
?
3
??
(?2)??3
.
cos
?
2
12tan
?
1<
br>2
4、解:由
tan2
?
?
,得. 所以
tan<
br>?
?6tan
?
?1?0
,所以
?
2
31?
tan
?
3
tan
?
??3?10
???
2
11
5、(1)
sin15?cos15??sin30??
;
(2)
cos
2
?sin
2
?cos?
;
8842
24
2
12tan22.5?11
(3)原式=
?
; (4)原式=.
cos45??
?tan45??
2
21?tan
2
22.5?22
习题3.1 A组(P137)
3
?
3
?
3
?
1、(1)
cos(??
)?coscos
?
?sinsin
?
?0?cos
?
?(?1)?sin
?
??sin
?
;
222
3
?
3
?
3
?
(2)
sin(?
?
)?sincos
?
?cossin
?
??1
?cos
?
?0?sin
?
??cos
?
;
222
(3)
cos(
?
?
?
)?cos?
cos
?
?sin
?
sin
?
??1?co
s
?
?0?sin
?
??cos
?
;
(4)
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?<
br>?cos
?
sin
?
?0?cos
?
?(?1)?s
in
?
?sin
?
.
34
3
2、解:由
cos
?
?,0?
?
?
?
,得
sin
?<
br>?1?cos
2
?
?1?()
2
?
,
55
5
???
433143?3
所以
cos(
?
?)?cos
?
cos?sin
?
sin??
.
???
666525210
25
2
?
3、解:由
s
in
?
?,
?
?(,
?
)
,得
cos?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??
,
33
32
37
33
?
又由
cos
?
??,
?
?(
?
,)
,得
sin
?<
br>??1?cos
2
?
??1?(?)
2
??
,
44
42
所
cos(
?
?
?
)
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
??
532735?27
.
?(?)??(?)?
343412
以
143
1
4、解:由
cos
?
?
,
?是锐角,得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?()2
?
77
7
因为
?
,?
是锐角,所以
?
?
?
?(0,
?
)
,
又因为
cos(
?
?
?
)??
11
2
53
)?
1414
11
14
,所以
sin(
?
?
?
)?1?cos
2(
?
?
?
)?1?(?
所以
cos<
br>?
?cos[(
?
?
?
)?
?
]?cos(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin
?
11153431
)????
1471472
5、解:由
60??
?
?150?
,得
90
??30??
?
?180?
?(?
34
3
又由
sin(30??
?
)?
,得
cos(30??
?)??1?sin
2
(30??
?
)??1?()
2
?
?
55
5
所以
cos
?
?co
s[(30??
?
)?30?]?cos(30??
?
)cos30??si
n(30??
?
)sin30?
4331?43?3
??????
525210
6?22?6
6、(1)
?
;
(2)
?
; (3)
?2?3
.
44
25
2
?
7、解:由
sin
?
?,
?
?(,
?<
br>)
,得
cos
?
??1?sin
2
?
??1
?()
2
??
.
33
32
又由
cos
?
??
3
4
,
?
是第三象限角,得
37
si
n
?
??1?cos
2
?
??1?(?)
2
??<
br>.
44
所以
cos(
?
?
?
)?cos<
br>?
cos
?
?sin
?
sin
?
5327
?(?)??(?)
3434
35?27
?
12
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
??
2357
??(?)?(?)?(?)
3434
?6?35
?
12
53
8、解:∵sinA?,cosB?
且
A,B
为
?ABC
的内角
135
?
124
∴
0?A?
?
,0?B?
,
cosA??,sinB?
2135
12
当
cosA??
时,
sin(A?
B)?sinAcosB?cosAsinB
13
?
5312433
??(?)????0
13513565
A?B?
?
,不合题意,舍去
124
∴
cosA?,sinB?
135
∴
co
sC??cos(A?B)??(cosAcosB?sinAsinB)
1235416
?(???)??
13513565
34
3
?
9、解:由
sin
?
?,
?
?(,
?
)
,得
cos
?
??1?sin
2
?
??
1?()
2
??
.
55
52
∴
tan
?
?
sin
?
353
??(?)??
.
cos?
544
31
??
tan
?
?tan
?
42
??
2
.
?
∴
tan(
?
??
)?
1?tan
?
?tan
?
1?(?
3<
br>)?
1
11
42
31
??
tan
?
?tan
?
42
??2
.
?
tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
?tan
?
1
?(?
3
)?
1
42
10、解:∵
tan
?
,tan
?
是
2x
2
?3x?7?0
的两个实数根. <
br>37
∴
tan
?
?tan
?
??
,
tan
?
?tan
?
??
.
22
∴
ta
n(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?1
???
.
1?tan
?
?tan
?
1?(
?
7
)
3
2
?
3
2
11、解:∵
tan(
?
?
?
)?3,tan(
?
?
?
)?5
∴
tan2
?
?tan[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
tan(
?
??
)?tan(
?
?
?
)
3?54
???
1?tan(
?
?
?
)?tan(
?
??
)
1?3?57
tan(
?
?
?
)?tan
(
?
?
?
)
3?51
tan2
?
?tan
[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
???
1?tan(
?
?
?
)?tan(
??
?
)
1?3?58
B
D
12、解:∵
BD:
DC:AD?2:3:6
BD1DC1
∴
tan
?
??,
tan
?
??
AD3AD2
11
?
tan
?
?tan
?
32
?1
?
∴
tan?
BAC?tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
?ta
n
?
1?
1
?
1
32
α
又∵
0?
??BAC?180?
,∴
?BAC?45?
A
β
(第12题)
C
27
?
?<
br>?
x
?
13、(1) (2)
3sin(?x)
; (3)
(4)
sin(?x)
;
65sin(x?)
;
2sin(?)<
br>;
212
6326
2
1
(5); (6);
(7)
sin(
?
?
?
)
;
(8)
?cos(
?
?
?
)
;
(9)
?3
;
(10)
2
2
tan(
?
?
?
)
. ?
14、解:由
sin
?
?0.8,
?
?(0,),得
cos
?
?1?sin
2
?
?1?0.8
2
?0.6
2
∴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
?2?0.8?0.6?0.96
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?0.6
2<
br>?0.8
2
??0.28
15、解:由
cos
?<
br>??
36
3
得
sin
?
??1?cos
2<
br>?
??1?(?)
2
??
,180??
?
?270?
,
33
3
∴
sin2
?
?2sin?
cos
?
?2?(?
6
)?(?
3
3
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?(?)
2
?(?
3
tan2
?
?
sin2
?
22
??(?3)??22
cos2
?
3
322
)?
33
6
2
1
)??
33
1
6、解:设
sinB?sinC?
512
,且
0??B?90?
,所
以
cosB?
.
1313
512120
∴
sinA?si
n(180??2B)?sin2B?2sinBcosB?2???
1313169
125119
cosA?cos(180??2B)??c
os2B??(cos
2
B?sin
2
B)??(()
2
?
()
2
)??
1313169
sinA120169120
tanA???(?)??
cosA169119119
2?
113
?2tan
?
3tan
?
?tan2
?
374
?
1
.
??
,
tan(
?
?2
?
)??<
br>17、解:
tan2
?
?
2
1?tan
?
1
?(
1
)
2
4
1?tan
?
?tan2
?
1?
1
?
3
3
74
18、解:
cos(<
br>?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin
?
?
又
?
?(
111
?
cos[(
?
?
?
)?
?
]?
,即
co
s
?
?
333
122
3
?
,
2
?
)
,所以
sin
?
??1?cos
2
?
??1?()
2
??
33
2
22142
)???
339
122
2
7
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?()
2
?(?)??
339
∴
∴
sin2
?
?2sin
?<
br>cos
?
?2?(?
???
72422?72?8
cos(2
?
?)?cos2
?
cos?sin2
?
sin
????(?)??
444929218
1
19、(1)
1?
sin2
?
; (2)
cos2
?
;
(3)
sin4x
; (4)
tan2
?
.
4
习题3.1 B组(P138)
1、略.
2、解:∵
tan
A,tanB
是
x
的方程
x
2
?p(x?1)?1?0,即
x
2
?px?p?1?0
的两个实
根
∴
tanA?tanB??p
,
tanA?tanB?p?1
∴
tanC?tan[
?
?(A?B)]??tan(A?B)
??由于
0?C?
?
,所以
C?
tanA?tanB?p
?
???1
1?tanA?tanB1?(p?1)
3
?
.
4
3、反应一般的规律的等式是(表述形式不唯一)
3
(证明略)
4
本题是开放型问题,反映一般规律的等式的表述形式还可以是:
3
sin
2
(
?
?30?)?cos
2
?
?sin(
?
?30?)cos
?
?
4
3
sin
2
(
?
?15?)?cos
2
(
?
?15?)?s
in(
?
?15?)cos(
?
?15?)?
4
3
sin
2
?
?cos
2
?
?sin
?<
br>cos
?
?
,其中
?
?
?
?30?
,等等
4
思考过程要求从角,三角函数种类,式子结构形式三个方面寻找共同特点,从
而作出归纳.
对认识三角函数式特点有帮助,证明过程也会促进推理能力、运算能
力的提高.
sin
2
?
?cos
2
(
?
?30?)?sin
?cos(
?
?30?)?
4、因为
PA?PP
则
(co
s(
?
?
?
)?1)
2
?sin
2
(?
?
?
)?(cos
?
?cos
?
)
2
?(sin
?
?sin
?
)
2
12<
br>,
即
2?2cos(
?
?
?
)?2?2cos
?
cos
?
?2sin
?
sin
?
所
以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
3.2简单的三角恒等变换
练习(P142)
1、略. 2、略. 3、略.
1
?
?
k
??
k
?
4、(1)
y?sin4x
. 最
小正周期为,递增区间为
[??,?],k?Z
,最
228282
1
大值为;
2
(2)
y?cosx?2
. 最小正周期为
2
?
,递增区间为
[
?
?2k
?
,2
?
?2
k
?
],k?Z
,最大值
为3;
?
?
5
?
k
??
k
?
(3)
y?2sin(4x?)
.
最小正周期为,递增区间为
[??,?],k?Z
,最
32242242
大值为2.
习题3.2 A组( P143)
1、(1)略;
(2)提示:左式通分后分子分母同乘以2; (3)略;
(4)提示:用
sin<
br>2
?
?cos
2
?
代替1,用
2sin
?<
br>cos
?
代替
sin2
?
;
(5)略; (
6)提示:用
2cos
2
?
代替
1?cos2
?
;
(7)提示:用
2sin
2
?
代替
1?cos2
?
,用
2cos
2
?
代替
1?cos2
?
; (8)略.
11
2、由已知可有
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
……①,
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
……
②
23
(1)②×3-①×2可得
sin
?
cos
??5cos
?
sin
?
(2)把(1)所得的两边同除以cos
?
cos
?
得
tan
?
?5tan?
注意:这里
cos
?
cos
?
?0
隐含与①、②之中
1
2?(?)
2tan
?
1
2
??
4
?
3、由已知可解得
tan
?
??
. 于是
tan
2
?
?
1?tan
2
?
1?(?
1
)2
3
2
2
1
??1
?
1
42
tan(
?
?)???
4
1?tan
?
?tan
?
1?(?
1
)?1
3
42
tan
??tan
?
?
∴
tan2
?
??4tan(
?
?)
4
4、由已知可解得
x?sin
?
,
y?cos
?
,于是
x
2
?y
2
?sin
2
?
?cos
2
?
?1
.
?
?
?
k
?
7
?
k
?
5、
f(x)?2si
n(4x?)
,最小正周期是,递减区间为
[?,?],k?Z
.
32242242
习题3.2 B组(P143)
1、略.
2、由于<
br>76?2?7?90
,所以
sin76??sin(90??14?)?cos14??
m
即
2cos
2
7??1?m
,得
cos7
??
3、设存在锐角
?
,
?
使
?
?2
?<
br>?
m?1
2
2
?
??
?
,所以<
br>?
?
?
,
tan(?
?
)?3
,
3232
又
tan
?
2
tan
?
?2
?3
,又因为
tan(
?
2
tan
?
?
)
?
?
2
?tan
?
1?tan
?
2
, <
br>tan
?
所以
tan
?
?tan
?
?tan
(?
?
)(1?tantan
?
)?3?3
222
??
由此可解得
tan
?
?1
,
??
经检验
?
?
?
4
,所以
?
?
?
6
.
?
6
,
?
?
?
4
是符合题意的两锐角.
11
4、线段
AB
的中点
M
的坐标为
((cos<
br>?
?cos
?
),(sin
?
?sin
?
)
)
. 过
M
作
MM
1
垂
22
11
y
直于
x
轴,交
x
轴于
M
1
,
?
MOM
1
?(
?
?
?
)?
?
?(
?
?
?
)
.
22
B
?
?
??<
br>?
?
C
在
Rt?OMA
中,
OM?OAcos
.
?cos
M
22
A
?
?
??
??
在
Rt?OM
1
M
中,
OM
1
?O
Mcos?MOM
1
?cos
,
cos
22
O
M
1
?
?
??
?
?
.
M
1
M?OMsin?MOM
1
?sincos
22
1
?
?<
br>??
?
?
于是有
(cos
?
?cos
?
)?cos
,
cos
222
1
?
?
??
?
?
(sin
?
?sin
?
)?sincos
(第4题) 222
x
5、当
x?2
时,
f(
?
)?sin
2
?
?cos
2
?
?1
;
当x?4
时,
f(
?
)?sin
4
?
?cos<
br>4
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2
?
cos
2
?
11
?1?sin
2
2
?
,此时有
≤f(
?)≤1
;
22
时
x?6
当,
f(
?<
br>)?sin
6
?
?cos
6
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
3
?3sin
2
?
cos
2
?
(sin
2
?
?cos
2
?
)
31
?1?sin
2
2
?
,此时有
≤f(
?
)≤1
;
44
1
由此猜
想,当
x?2k,k?N
?
时,
k?1
≤f(
?
)
≤1
2
3434
6、(1)
y?5(sinx?cosx)?5s
in(x?
?
)
,其中
cos
?
?,sin
??
5555
所以,
y
的最大值为5,最小值为﹣5;
(2)
y?a
2?b
2
sin(x?
?
)
,其中
cos
??
a
a?b
22
,sin
?
?
b
a?
b
22
所以,
y
的最大值为
a
2?b
2
,最小值为
?a
2
?b
2
;
第三章 复习参考题
A组(P146)
1、
16
.
提示:
?
?(
?
?
?
)?
?
65
565
??
. 提示:
sin(
??
?
)??sin[
?
?(
?
?
?
)
]??sin[(?
?
)?(?
?
)]
6544
3、1.
tan
?
?tan
?
4、(1
)提示:把公式
tan(
?
?
?
)?
变形;
1?tan
?
tan
?
2、
(2)
3
; (3)2; (4)
?3
.
提示:利用(1)的恒等式.
cos10??3sin10?4sin(30??10?)
??4
;
sin10?cos10?sin20?
sin10?sin10??3cos10?
(2)原式=
sin40?(
?3)?sin40??
cos10?cos
10?
?2sin40?cos40??sin80?
=
???1
;
cos10?cos10?
5、(1)原式=
(3)原式=
tan70?
cos10?(
3sin20?3sin20??cos20?
?1)?tan70
?cos10??
cos20?cos20?
sin70??2sin10??sin20?<
br>=
?cos10?????1
;
cos70?cos20?cos70?3sin10?cos10??3sin10?
)?sin50??
cos10
?cos10?
2cos50?sin100?
?sin50????1
cos10?cos10?
924
6、(1); (2);
5
25
(4)原式=
sin50??(1?
22
. 提
示:
sin
4
?
?cos
4
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2?
cos
2
?
;
3
17
(4). 25
sin
?
sin
?
1
21
?
.
7、由已知可求得
cos
?
cos
?
?
,
sin<
br>?
sin
?
?
,于是
tan
?
tan
?
?
cos
?
cos
?
2
55
(3
)
?
8、(1)左边=
2cos
2
2
?
?1?4c
os2
?
?3?2(cos
2
2
?
?2cos2
?
?1)
?2(cos2
?
?1)
2
?2(2co
s
2
?
)
2
?8cos
4
?
=右边 sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
(sin
?
?cos
?
)
2
?
(2)左边=
2
2cos
?
?2sin
?
c
os
?
2cos
?
(cos
?
?sin
?
)
sin
?
?cos
?
11
?tan
?
?
=右边
2cos
?
22
sin(2
?
?
?
)?2cos(
?
?
?
)sin
?
sin[(<
br>?
?
?
)?
?
]?2cos(
?
?
?
)sin
?
?
(3)左边=
sin
?
2c
os
?
(cos
?
?sin
?
)
?
?sin(
?
?
?
)cos
?
?cos(
??
?
)sin
?
sin
?
=右边
?
sin
?
sin
?
3?4cos2A?2cos
2
2A?1
2(cos
2
2A?2cos2A?1)
?
(4)左边=
3?
4cos2A?2cos
2
2A?12(cos
2
2A?2cos2A?1)
(1?cos2A)
2
(2sin
2
A)
2
???tan
4
A
=右边
222
(1?cos2A)(2
cosA)
?
9、(1)
y?1?sin2x?1?cos2x?sin2x?cos
2x?2?2sin(2x?)?2
4
?
5
?
递减区间为
[?k
?
,?k
?
],k?Z
88
(2)最大值为
2?2
,最小值为
2?2
. ?
10、
f(x)?(cos
2
x?sin
2
x)(c
os
2
x?sin
2
x)?2sinxcosx?cos2x?sin2x?
2cos(2x?)
4
(1)最小正周期是
?
;
?
??
5
?
?
3
?
(2)由
x?[0,]
得
2x??[,]
,所以当
2x??
?
,即<
br>x?
时,
f(x)
的
244448
3
?
最小
值为
?2
.
f(x)
取最小值时
x
的集合为
{}
.
8
?
11、
f(x)?2sin
2
x?2sinxcosx?1?cos2x
?sin2x?2sin(2x?)?1
4
(1)最小正周期是
?
,最大值为
2?1
;
??
(2)
f(x)
在
[?,]
上的图象如右图:
22
?12、
f(x)?3sinx?cosx?a?2sin(x?)?a
.
6
(1)由
2?a?1
得
a??1
;
2
?
(2)
{x2k
?
≤x≤?2k
?
,k?Z}
.
3
13、如图,设
?ABD?
?
,则
?CAE?
?
,
hh
AB?
2
,
AC?
1
sin
?
cos
?
1hh
?
所以
S
?ABC
??AB?AC?
12
,
(0?
?
?)
2sin2
?
2
?
?
当
2?
?
,即
?
?
时,
S
?ABC
的最小
值为
h
1
h
2
.
24
(第12(2)题) E
C
h
1
l
1
A
h
2
D?
(第13题)
B
l
2
第三章
复习参考题
B组(P147)
1
?
4
?
sin
?
?cos
?
?
5
,及
0≤
?
≤
?
,可解得
sin
?
?
, 1、解法一:由
?
5?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?<
br>13247
,
cos2
?
??
,
cos
?
?sin
?
??
,所以
sin2
?
?
55
2525
???
312
.
sin(2
?
?)?sin2<
br>?
cos?cos2
?
sin?
44450
解法二:由
sin
?
?cos
?
?
cos
2
2
?
?
49
.
625
1124
得
(
sin
?
?cos
?
)
2
?
,
sin2<
br>?
?
,所以
52525
?
2
1
又由
sin
?
?cos
?
?
,得
sin(
?
?
)?
.
410
5
??
3
?
因为
?
?[0,
?
]
,所以
?
??[?,]
.
444
??
?
而当
?
??[?,0]
时,
sin(
?
?)≤0
;
444
?
22
??
3
?
当
?
??[,]
时,
sin(
?
?)≥
.
?
4210
444
??
??
所以
?
??(
0,)
,即
?
?(,)
4442
?
312
?
7
所以
2
?
?(,
?
)
,
c
os2
?
??
.
sin(2
?
?)?
4
50
225
11
2、把
cos
?
?cos
?
?
两边分别平方得
cos
2
?
?cos
2
??2cos
?
cos
?
?
24
11
把
sin
?
?sin
?
?
两边分别平方得
sin<
br>2
?
?sin
2
?
?2sin
?
sin?
?
39
13
把所得两式相加,得
2?2(c
os
?
cos
?
?sin
?
sin
?
)?
,
36
1359
即
2?2cos(
?
?
?
)?
,所以
cos(
?
?
?
)??
<
br>3672
?
433343
?
4
3、由
sin(
?
?)?sin
?
??
可得
sin
?
?
,
sin(
?
?)??
. <
br>cos
?
??
35225
65
?
???
?<
br>3
又
??
?
?0
,所以
??
?
??
,于是
cos(
?
?)?
.
236665
??
33?4
所以
cos
?
?cos[(
?
?)?]?
661
0
sin2x?2sin
2
x2sinxcosx?2sin
2
x2
sinxcosx(cosx?sinx)
4、
??
sinx
1?tanx
cosx?sinx
1?
cosx
1?tanx
?
?sin2x?s
in2xtan(?x)
1?tanx4
17
?
7
?5
??
?
3
由得
?x??x??2
?
,又
cos(?x)?
,
1243445
?
4
?
4
所以
sin(?x)??
,
tan(?x)??
4543
??????
2
所以
cosx?cos[(?x)?]?cos(?x)cos?sin(?x)sin??
,
44444410
72
sin2x?2sin
2
x28
7<
br>,
sin2x?2sinxcosx?
,
所以
sinx??
??
,
10
1?tanx75
255、把已知代入
sin
2
?
?cos
2
?
?(
sin
?
?cos
?
)
2
?2sin
?
c
os
?
?1
,得
(2sin
?
)
2
?2sin
2
?
?1
.
变形得
2(1?c
os2
?
)?(1?cos2
?
)?1
,
2cos2
?
?cos2
?
,
4cos
2
2
?
?4
cos
2
2
?
本题从对比已知条件和所证等式开始,可发现应消去已知条件中含
?
的三角函
数. <
br>考虑
sin
?
?cos
?
,
sin
?
cos
?
这两者又有什么关系?及得上解法.
5、6两题上述解法称为消去法 <
br>?
6、
f(x)?3sin2x?1?cos2x?m?2sin(2x?)?m?1<
br>.
6
?
??
7
?
由
x?[0,]
得
2x??[,]
,于是有
2?m?1?6
.
解得
m?3
.
2666
?
f(x)?2sin(2x?)?4(x?R)
的最小值为
?2?4?2
,
6
?
3
?
2
?
此时
x
的取值集合
由
2x???2k
?
(k?Z)
,求得为
x??k
?
(k?Z)
623
7、设
AP?x
,
AQ?y
,
?BCP?
?
,
?DCQ?
?
,则
tan
?
?1?x
,
tan
?
?1?y
于是
tan(
?
?
?
)?
2?(x?y)
(x?y)?xy
又
?APQ
的周长为2,即
x?y?x2
?y
2
?2
,变形可得
xy?2(x?y)?2
于是
tan(
?
?
?
)?
又
0?<
br>?
?
?
?
2?(x?y)
?1
.
(x?
y)?[2(x?y)?2]
?
2
,所以
?
?
?
?
?
4
,
?PCQ?
?
2
?(
?
?
?
)?
?
4
.
1
?
?
sin<
br>?
?cos
?
?
8、(1)由
?
5
,可得<
br>25sin
2
?
?5sin
?
?12?0
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
43
解得
sin
?
?
或
sin
?
??
(由
?
?(0,
?
)
,舍去)
55
134
所以
cos
?
??sin
?<
br>??
,于是
tan
?
??
553
(2
)根据所给条件,可求得仅由
sin
?
,cos
?
,tan
?
表示的三角函数式的值,
sin
?
?cos
?
sin<
br>?
?cos
?
?
例如,
sin(
?
?),
cos2
?
?2
,,,等等.
2tan
?
3sin
?
?2cos
?
3