高中数学必修四三角函数考点及单元测试题

高一必修四：三角函数

一 任意角的概念与弧度制
（一）角的概念的推广
1、角概念的推广：
2、特殊命名的角的定义：
(1)正角，负角，零角 ：
(2)象限角：角的终边落在象限内的角,根据角终边所在的象 限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等
(3)轴线角：角的终边落在坐标轴上的角
终边在x轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180?
,k?Z
?

终边在y轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180
?
?90
?
,k?Z
?

终边在坐标轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?9 0
?
,k?Z
?

(4)终边相同的角：与
?
终边 相同的角
x?
?
?2k
?

(5)与
?
终边反向的角：
x?
?
?(2k?1)
?

终边在y=x轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
?

终边在
y??x
轴上的角的集合：
??
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z?

(6)若角
?
与角
?
的终边在一条直线上，则角< br>?
与角
?
的关系：
?
?180
?
k?
?

(7)成特殊关系的两角
若角
?
与角
?
的 终边关于x轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360?
k?
?

若角
?
与角
?
的终边关于 y轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?< br>k?180
?
?
?

若角
?
与角
?
的终边互相垂直，则角
?
与角
?
的关系：
?
?36 0
?
k?
?
?90
?

注：(1)角的集合表示形式不唯一.
(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.
3、本节主要题型：
1.表示终边位于指定区间的角.
例1:写出在
?720?
到
72 0?
之间与
?1050?
的终边相同的角.
例2:若
?
是第二象限的角,则
2
?
,
?
2
是第几象限的角?写出它们 的一般表达形式.
例3:①写出终边在
y
轴上的集合.
②写出终边和函数
y??x
的图像重合,试写出角
?
的集合. < br>③
?
在第二象限角,试确定
2
?
,
??
2< br>,
3
所在的象限.
④
?
角终边与
168?
角终边相同,求在
[0?,360?)
内与
?
3
终边相同的角.

（二）弧度制
1、弧度制的定义：
?
?
l
R



2、角度与弧度的换算公式：
360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
一个式子中不能角度,弧度混用.
3、题型
（1）角度与弧度的互化
例 :
315?,330?,
7
6
?
,
4
3
?

（2）
?
?
L11
R
，
l?r
?
,s?
2
2
lr?
2
r
?
的应用问题
例1:已知扇形周长
10cm
,面积
4cm
2
,求中心角.
例2:已知扇形弧度数为
72?
,半径等于
20cm
,求扇形的面积 .
例3:已知扇形周长
40cm
,半径和圆心角取多大时,面积最大.
例 4:
?
1
??570?,
?
?750?,
?
37< br>21
?
5
?
,
?
2
??
3
?

a.求出
?
1
,
?
2
弧度,象限.
b.< br>?
1
,
?
2
用角度表示出,并在
?720?~0?< br>之间找出，他们有相同终边的所有角.
二 任意角三角函数
（一）三角函数的定义
1、任意角的三角函数定义
正弦
sin
?
?
y
r
，余弦
cos
?
?
x
y
r
，正切
tan
?
?
x

2、三角函数的定义域：
三角函数 定义域
f(x)?
sinx
?
x|x?R
?

f(x)?
cosx
?
x|x?R
?

f(x)?
tanx
?
?
?
x|x?R且x?k
?
?
1
?
2
?
,k?Z
?
?


（二）单位圆与三角函数线

1、单位圆的三角函数线定义
如 图(1)PM表示
?
角的正弦值，叫做正弦线。OM表示
?
角的余弦值，叫做 余弦线。
如图(2)AT表示
?
角的正切值，叫做正切线。
注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负
1

对称
2
对称中心为
(k
?
,0)
，
k?Z

对称轴为
x?k
?
?
?
，
对称轴为
x?k
?
，
对称中心为
(k
?
?
?
,0)
k?Z
2

无对称轴，
对称中心为
(
k
?
,0)
k?Z
2


（三）同角三角函数的基本关系式

同角三角函数关系式
(1) 商数关系：



（三）、常见结论：
1.
y?sinx
与
y?cosx
的周期是
?
.
sin
?
?tan
?

cos
?
?
x?
?
)
(
?
?0
)的周期
T?
2.< br>y?sin(
?
x?
?
)
或
y?cos(
? 1

3.
y?tan
2
?
(2) 平方关系：
si n
2
?
?cos
2
?
（四）诱导公式
?
.
sin?(x)??sinx
sin2
?
sin(2 k
?
?x)?sinx
(?x)??sinx
?(x)?coxs

cos
cos(2k
?
?x)?cosx

cos
2
?
(?x)?coxs

tan?(x)??ta nx
tan
tan(2k
?
?x)?tanx
2
?
(?x)??tanx
x
2
的周期为2
?
.
4.
y?sin(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
?
?
2
(
k?Z
)，对称中心(
k
?< br>,0
)；
sin(
?
?x)??sinx
cos(
?
?x)??cosx
tan(
?
?x)?tanx
sin
?
(?x)?sinx
?
(?x)??coxs

costan
?
(?x)??tanx
y?cos(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
(
k?Z
)，对称中心 (
k
?
?
1
?
,0
)；
2


1
cos(
?
?
?
)??sin
?
1

sin(
?
??
)?cos
?
2
2

sin(
1
?
?
?
)?cos
?
1
cos(
?
?
?
)?sin
?
2

2
1
1

tan(
?
?
?
)??cot
?
tan(
?
?
?
)?cot
?
2
2


三 三角函数的图像与性质
正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

定义域
值域
周期
奇偶

y?sinx
R
k
?
y?tan(
?
x?
?
)
的对称中心(
,0< br>).
2
6.奇函数特有性质：若
0?x
的定义域，则
四 和角公式
两角和与差的公式
f(x)
一定有
f(0)?0
.(< br>0?x
的定义域，则无此性质)
cos(
?
?
?
) ?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

tan(
?
?
?
)?

R
tan
?
?tan
?

1?tan
?
ta n
?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
y?cosx
y?tan

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?

tan(
?
?
?
)?
sin(
?
?
?
)?sin< br>?
cos
?
?cos
?
sin
?

?
x|x?R且

1
x?k
?
?
?
?
2
R
?

奇函数
[?1,?1]

2
?

奇函数
[?1,?1]

2
?

偶函数

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos< br>?
?cos
?
sin
?

五 倍角公式
[?
单调
?
2
?2k
?
,
?
2
数
?2 k
?
]
上为增函
[
?
2k?1
?
?
,2k
?
]

上为增函数

[2k
?
,
?
2k?1
?
?
]

上为减函数(
k?Z
)

?
3
?
[?2k
?
,?2k
?
]

22
上为减函数(
k?Z
)
?
?
?
?< br>?
??k
?
,?k
?
?
2
?
2?

上为增函数
(
k?Z
)
sin2
?
?2sin
?
cos
?

1?cos
?
sin??
22
?

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

tan2
?
?
2
2tan
?
1?tan
2
?

第一章三角函数单元测试
一、选择题：
1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ）
?
?
?
?
A．
3
B．－
3
C．
6
D．－
6

3、已知
sin
?
? 2cos
?
3sin
?
?5cos
?
??5,那么tan< br>?
的值为 （ ）
2323
A．－2 B．2 C．
16
D．－
16

4、已知角
?
的余弦线是单位长度的有向线段;那么角
?
的终边 （ ）
A．在
x
轴上 B．在直线
y?x
上 C．在
y
轴上 D．在直线
y?x
或
y??x
上
5、若
f(cosx)?cos2x
,则
f(sin15?)
等于 ( )
?
33
1
A．
2
?
1
B．
2
C．
2
D．
2

6、要得到
y?3si n(2x?
?
4
)
的图象只需将y=3sin2x的图象 （ ）
A．向左平移
?
个单位 B．向右平移
?
4
个单位 C．向左平移
??
48
个单位 D．向右平移
8
个单位
7、如图，曲线对应的函数是 （ ）
A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=－sin|x| D．y=－|sinx|
8、化简
1?sin
2
160?
的结果是 ( )
A．
cos160?
B．
?cos160?
C．
?cos160?
D．
?cos160?

9、< br>A
为三角形ABC的一个内角,若
sinA?cosA?
12
25,则这个三角形的形状为 （ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
10、函数
y?2sin(2x?
?
3
)
的图象 （ ）
A．关于原点对称 B．关于点（－
?
6
，0）对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=
?
6
对称
11、函数
y?sin(x?
?
2
),x?R
是 （ ）
A．
[?
?
2
,
?
2
]< br>上是增函数 B．
[0,
?
]
上是减函数
C．
[?
?
,0]
上是减函数 D．
[?
?
,
?
]
上是减函数
12、函数
y?2cosx?1
的定义域是 （ ）

A．
?
?
2k
?
?
????
3
, 2k
?
?
?
?
3
?
?
(k?Z)?
B．
?
?
?
2k
?
?
6
,2k?
?
?
6
?
?
(k?Z)

C．< br>?
?
?
2
?
?
?
2k
?
?
3
,2k
?
?
3
?
?
(k?Z)
D．
?
?
?
2k
?
?
2
?
3,2k
?
?
2
?
?
3
?
?
( k?Z)

二、填空题：共4小题，把答案填在题中横线上．
13、已知
?
?
?
?
?
?
4
3
?
,?
?
?
?
?
?
??
?
3
,则2
?< br>的取值范围是 .
14、函数
y?cos(x?
?< br>8
)(x?[
?
6
,
2
3
?
])< br>的最小值是 ．
15、已知< br>sin
?
?cos
?
?
1
8
,且
?
4
?
?
?
?
2
,
则
cos
?
?sin
?
?
.
三、解答题：
16、求值
sin
2
120??cos180??t an45??cos
2
(?330?)?sin(?210?)








17、已知α是第三角限的角，化简
1 ?sin
?
1?sin
?
1?sin
?
?
1?si n
?









18. 设
?
sin
?
x(x
1
f(x)??
?
?
?
2
)
?
?
?
f(x ?1)?1(x?
1
17
2
)
f()?f()
，求
46
的值。




3