2020年高中数学必修四全套教案(精品)

(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有
什么关系？
这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关
于原点对称。 也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原
点对称的点（- x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇
函数。

2.单调性
从
y
＝sin
x
，
x
∈［－
,
?
2
?
2
?
3
?
22
］的图象上可看出：
当
x
∈［－，］时，曲线逐渐上升，sin
x
的值由－1增大到1.
当
x
∈［，
?
2
3
?
］时，曲线逐渐下降 ，sin
x
的值由1减小到－1.
2
结合上述周期性可知：
正弦 函数在每一个闭区间［－＋2
kπ
，＋2
kπ
］(
k
∈Z) 上都是增函数，其
值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2
kπ
，
上都是减 函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2
k
－1)
π< br>，2
kπ
］(
k
∈Z)上都是增函数，其值从
－1增加到1；
在每一个闭区间［2
kπ
，(2
k
＋1)
π
］(< br>k
∈Z)上都是减函数，其值从
1减小到－1.
3.有关对称轴

34
?
2
?
2
?
2
3
?
＋2
kπ
］(
k
∈Z)
2

观察正、余弦函 数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x=
k
?
?
k∈Z
练习1。（1）写出函数
y?3sin2x
的对称轴；
（2）
y?sin(x?)
的一条对称轴是（ C ）
4
?
2
k∈Z y=cosx的对称轴为x=
k
?

?
(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线
x?
， (D) 直线
x??
?
?
思考：P46面11题。

4

4.例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性
(1)
f(x)?
1?sinx?cosx
1?sinx?cosx
;
(2)
f(x)?lg(sinx?1?sin
2
x);


例2 函数f(x)＝sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 .

例3．P38面例3

例4 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0； ①
sin(?
??
18
)?sin(?
10
)
②
cos(?
23
5
?
)?cos(?
17
4?
)

例5 求函数
y?2sin(
1
?
2
x?
3
)
的单调递增区间；
思考：你能求
y?sin(
?
3
?
1

2
x)x?[?2
?
,2
?
]
的单调递增区间吗？

练习2：P40面的练习

三、小 结：本节课学习了以下内容：正弦、余弦函数的性质
1． 单调性

35
4

2． 奇偶性
3． 周期性
五、课后作业：习题2 .3



















1.4.3正切函数的性质与图象
教学目的：
知 识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决
函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关
性质问题的方法；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点：正切函数的性质。
教学过程：
一、复习引入：
问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：

36

．
下面我们来作正切函数的图象．
二、讲解新课：
?
?
x|x??k
?
,k?z
?
1．正切函数
y?tanx
的定义域是什么？
?
?
?
2
?
2．正切函数是不是周期函数？
?

Qtan
?
x?
?
?
?tanx
?
?
x?R,且x?k
?
?,k?z
?
，
?
2
?
?
x?R,且x?k
?
?,k?z
∴?
是
y?tanx
?
??
的一个周期。
?
2
?
?
?

?
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
??
?< br>3．作
y?tanx
，
x?
?
?
?,
?的
?
22
?
图象







说明：（1）正切函数的最小正周期不能比
?
小，正 切函数的最小正周期是
?
；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
y?tanxx?R
，且
x?
?
2
?k
?
?
k?z
?
的图象，称“正切曲线”。


37

3
?
?

2
?
y
y
?
2
?
2
O
?

3
?
2
x






?
?
0
（3）正切曲线是由被相互平行的直线
x?k
?< br>?
?
k?Z
?
所隔开的无穷多支曲线
2
?
组 成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：
?< br>?
x|x?
?
?
?
?k
?
,k?z
?
；
2
?
2
2
?
???
（2）值域：R 观察：当
x
从小于
k
?
?
?< br>?
k?z
?
，
x???k??
时，
tanx?? 当
x
从大于
?
（3）周期性：
T?
?
；
2
??
?k
?
?
k?z
?
，
x?
?
2
????
。
?k
?
时，
tanx?
（4）奇偶性：由
tan
?
?x
?
??tanx
知，正切函 数是奇函数；
?
（5）单调性：在开区间
?
?
?
?
2
?k
?
,
?
?
?k
?
?
k? z
内，函数单调递增。
2
?
5.讲解范例：
例1比较
t an
?
?
?
13
?
??
17
?
?
?
与
tan
?
?
?
的大小
45
????

38

解：
?tan
?
?
?
13
?
?
4
?
??
17
?
?
??tan
，
tan
?
?
4
??
5
?
4
?tan
2
?
?
2
? ?
??
，
0??,y?tanx在
?
?
??tan
?
0,
?
内单调递
545
??
2
?
增，
?tan
2
??
2
?
?
13
??
17
?
,??tan??tan,即tan
?
?
?
?
?tan
?
?
?
?

545
?
4
??
5
?
例2：求下列函数的周期：
?
?
?
?
?
?
x?y?tan3x?
（1 ）
y?3tan
?
答：。 （2） 答：。
T ?
T?
?
????
?
5
??
6
?
3
说明：函数
y?Atan
?
?
x?
?
??
A?0,
?
?0
?
的周期
T?
?
．
?
?
?
例3：求函数
y?tan
?

?
3x?
?
的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，
?
3
?
解：1、由
3x?
?
3
?k
?
?
?
2
得
x?
?
k
?
5
?
k?
5
?
?
x|x?R,且x??,k?z
，所求定义域为
?
?
??

318
318
??
2、值域为R，周 期
T?
3
k
??
k
?
5
?
??,?
3、在区间
?
??
?
k?z
?
上是增函 数。
?
318318
?
，
思考1：你能判断它的奇偶性吗？ （是非奇非偶函数），
??
?
练习1：求函数
y?tan
?
?
x?
?
的定义域、周期性、奇偶性、单调性。
?
23
?
?
略解：定义域：
?
?
x|x?R且x?k
?
? ,k?z
?

?
4
?
?
值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在
(k
?
?
3
??
,k
?
?)
上是增函数
44
练习2：教材P45面2、3、4、5、6题
解：画出
y
＝t an
x
在(－，)上的图象，在此区间上满足tan
x
＞0的
x的范围
为：0＜
x
＜
结合周期性，可知在
x
∈ R， 且
x
≠
k
π＋上满足的
x
的取值范围为(
k
π，
k
π
＋)(
k
∈Z)
思考2：你能用图象求函数
y?tanx?3
的定义域吗？
解：由
tanx?3?0
得
tanx?3
，利用图象知，所求定义域为

?
2
?
2
?
2
?
2
?
2
y
39
3

T
y
3

??
??
k
?
?,k
?
?
?
?
k?Z
?
，
?
32
??
亦可利用单位圆求解。






四、小结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数y?tanx
的定义域是
{x|x?R,x?k
?
?,k?Z}
，所以它的图象被
2
x??
?
?
3
,?
?
,......
等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续
22
的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π2，π2）的区间内
的函数的图象 ，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，
就可以得到整个正切函数的图象。
五、作业：习题









1.5函数
y
=
A
sin(
ωx+
φ
)的图象
教学目标
（七） 知识与技能目标

40

（1）了解三种变换的有关概念；
（2）能进行三种变换综合应用；
（3）掌握
y
=
A
si n(
ωx
+
φ
)+
h
的图像信息．
（八） 过程与能力目标
能运用多种变换综合应用时的图象信息解题．
（九） 情感与态度目标
渗透函数应抓住事物的本质的哲学观点．
教学重点
处理三种变换的综合应用时的图象信息．
教学难点
处理三种变换的综合应用时的图象信息．
教学过程
一、复习
.
1. 如何由
y
=sin
x
的图象得到函数
y?Asi n(
?
x?
?
)的图象
2. A、
?
、
?
对函数 y?Asin(
?
x?
?
)图象的影响 .

二、函数y?Asin(
?
x?
?
)，x?[0,?? )(其中A?0,
?
?0)的物理意义：

函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
T：
T?
2
?
?
往复振动一次所需的时间，称为“周期” .

f
：
f?
1
?
?
单位时间内往返振 动的次数，称为“频率”
.

T2
?
?
x?
?
:
称为“相位” .
?
:

x
=0时的相位，称为“初相”.
三、应用
例1、教材P54面的例2。
例2.由右图所示函数图象，求
y?Asin(
?
x?
?
)(|
?
|?
?
)的表达式.
y
2
1

?
3
?
8
7
?
8
?
o
8
x
解析：由图象可知
A
=2，
?2

41

T?
即
2
?
7
??
?(?)?
?
,
88
?
?
，
?
?
?2.
?
又
(?,0)
为五点作图的第一个点，8
因此
2?
（
?
?

?
8
）
?
?
?0
，
?
?
?
?
4
.
因此所求函数的表达式为
y?2sin(2x?
?
4
).
例3.右图所示的曲线是y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?< br>?0)的图象的一部分，
求这个函数的解析式.
y

2
解：由函数图象可知
45
??
2
?
A?2,T ?(?)?
?
,
即
?
?
，
3612
??
?
?2
5
?
又
(
，
0
）是 “五点法”作图的第五个点，
6

5
??
即
2??
?
?2
?
，
?
?
?.
63
?
所求 函数的解析式为
y?2sin(2x?
o
?
12
5
?
6
x
?2
?
3
).
思考
：
下图为y?A sin(
?
x?
?
)的图象的一段，求其解析式.

y
解1：以点
N
为第一个零点，则
A??3,

T?2(
5
??
?)?
?
,

63
3
N
o
M
?
?
?2,
此时解析式为
y? ?3sin(2x?
?
).
?
点
N(?,0)
6
? ?
?
3
?
3
)
?
?3

5
?
x
6
?
6
?2?
?
?0?
?
?
?
3
.?
所求解析式为
y??3sin(2x?
解2：以 点
M(,0)
为第一个零点，则
A?3,
?
?
3
?
2
?
?2,

T
解析式为
y?3sin(2x?< br>?
),
将点
M
的坐标代入得
2??
?
?0?
?
??
3
?所求解析式为y?3sin(2x?
2
?
).

3
例
4.
函数
y?Asin(
?
x?
?
)?k(A?0,
?
?0)
在同一周期内，
5
?
711
?
2


当
x?
时，
y
有最大值为；

当
x?时，
y
有最小值为
?
，
3333

求此函数的解析式
.
42
?
2
?
,

3

7
3
?
?
A?k?,
A?,
?
?
3
解得
2
解由已知
??
5< br>2
?
?A?k??,
?
k?.
6
3
?
?
11
?
5
?
2
?
又
T?2(

?)?4
?
,即?4
?
，
33
?
1
?
?
?.

2
5
?
715
???
又为“五点法”作图得第二个点，则有
（（，）?）?
?
?，?
?
??.

332323
?
所求函数的解析式为
31
?
5
y?sin(x?)?.

2236
四、课堂小结：
求函数y?Asin(
?
x?
?
)的表达式：

1.A由图像中的振幅确定;

2.
?
由图像的周期确定;

3.
求
?
常用的两种方法：

(1)
平移法
(2)
代点法
五、课后作业
1.阅读教材第53～55页；
2.教材第56页第3、4题．













1.6三角函数模型的简单应用
教学目的

43

【知识与技能】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作
出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
【过程与方法】
一、 练习讲解：《习案》作业十三的第3、4题
3、一根为Lc m的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小
球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位： cm)与时间t(单位：s)的函数关系是
?
g
?
?
，（1）求小球 摆动的周期和频率；（2）已知
?
s?3sin
?
?
l
t?
6
?
,t?[0,??)
??
g=980cms
2
，要使
小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？
解：（1）
?
?
?
4、略（学生看书）
二、应用举例：
例1如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(
?
x＋
?
)＋b
(1) 求这一天6~14时的最大温差；
(2) 写出这段曲线的函数解析式.






44
g2
?
?T??2
?
l
?
l1,f?
g2
?
g
l
；（2）
若T?1，即l?
g
4
?
2
?24.8cm
.
T
o
C< br>30
20
10
O
6
8
10
1214
t h

本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度
变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模
型来解决问题.要特 别注意自变量的变化范围.
例2 画出函数y＝|sinx|的图象并观察其周期.




本题利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识， 这是研
究数学问题的常用方法.显然，函数
y?sinx
与正弦函数有紧密的联系.
练习：教材P65面1题
例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为
?
，
?
为此时太阳直射纬度，
?
为
该地的纬度值，那
么这三个量之间的关系是
?
＝90?－|
?
－
?
|.当地夏半年
?
取正值，冬半年
?
取负
值.
如果在北京 地区(纬度数约为北纬40?)的一幢高为h
0
的楼房北面盖一新楼，要
使新楼一层正 午
的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？






45
太阳光
北回归线
南回归线
y ＝|sinx|
?2
?
y
?
2
?
?
??
2
?
2
?
x
?
－
?
B?
－
?
?
??-??
?
C
?
?
太阳光

本题是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三
角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复
杂的背景中抽取基本 的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落 的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，
晚潮叫汐.在通
常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头 ；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是
某港口在某季节
每天的时间与水深的关系表：
时刻
0:00
3:00
6:00
水深米
5.0
7.5
5.0
时刻
9:00
12:00
15:00
水深米
2.5
5.0
7.5
时刻
18:00
21:00
24:00
水深米
5.0
2.5
5.0
(1) 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的
水深的近似数值
(精确到0.001).
(2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5
米的安全间隙(船
底与洋底的距离) ，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
(3) 若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深
度以每小时0.3
米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
本题的解答中，给 出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题
的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关 于课本第64页的 “思考”问题，

46

实际上，在货船的安全水 深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水
域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动 螺旋桨。
练习：教材P65面3题
三、小结：1、三角函数模型应用基本步骤:
(1)根据图象建立解析式;
(2)根据解析式作出图象;
(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2、利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得
到函数模型.
四、作业 习题 3 .4
补充例题：
一半径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心 O距离水面2m,已知水轮每分钟转
动4圈,如果当水轮上P点从水中浮现时(图中P
0
)点开始计算时间.
P
?
(1) 求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式;
-2
P
0
O
y
x
(2) P点第一次达到最高点约要多长时间?










第二章 平面向量
2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示

47

教学目标：
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、
零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行
向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质
的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，
会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课 ，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位
移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区 分平行向量、相等向量、
共线向量等概念.
教学思路： （一）
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？
（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线
上
都是有方向、有长短的量.
C
A
B
D
BD实际

48

引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问
题一次出现）
1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？
这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
a

B
（终点）

A(起点)
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；
AB
；③ 用有向线段的起点与终点字母：④向量
AB
的大小―长度称为向量的模，
记作|
AB
|.

49

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向 相同，这
两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同 ，尽管大小和方向相
同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含
义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合 ①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量
ａ
、
ｂ
、
ｃ
平 行，
记作
ａ
∥
ｂ
∥
ｃ
.
（四）理解和巩固：
例1 书本75页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

50

课堂练习：
书本77页练习1、2、3题
三、小结 ：
1、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、平面向量的概念和向量的几何表示；
3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
四、课后作业：习题2.1 1,2,3






2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养
数形结合解决问题的能力；
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的
交换律和结合律 ，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.

51

教学难点：理解向量加法的定义.
教学思路：
一、设置情景：
1、 复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有 方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，
我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向 量可以在不改变它的方向
和大小的前提下，移到任何位置
2、 情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C， 则两次的位移和：
AB?BC?AC

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C， 则两次的位移和：
AB?BC?AC

（3）某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和：
AB?BC?AC

（4）船速为
AB
，水速为< br>BC
，则两速度和：
AB?BC?AC



二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点
A
，作
AB
＝a，
BC
＝ｂ，则向量
AC
叫做a 与
a

C
A B C
C A B
A B
C
A B
ｂ的和，记作a＋ｂ，即
a
ａ
ｂ
A
a
ｂ
B
a
C
b
52
＋ｂ
a
b
a+b
?AB?BC?AC
，
a+b

规定： a + 0-= 0 + a




探究：（1）两向量的和与两个数的和有什么关系？ 两向量的和仍是
一个向量；
（2）当向量
a
与
b
不共线时， |
a
+
b
|<|
a
|+|
b
|；什么时候|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|，什么时候
|
a
+
b
|=|
a
|－|
b
|，
当向量
a与
b
不共线时，
a
+
b
的方向不同向，且|
a
+
b
|<|
a
|+|
b
|；
当
a
与
b
同向时，则
a
+
b
、
a
、
b
同向，且|
a
+
b
|=|
a
|+|b
|，
当
a
与
b
反向时，若|
a
| >|
b
|，则
a
+
b
的方向与
a
相同，且 |
a
+
b
|=|
a
|-|
b
|；
若|
a
|<|
b
|，则
a
+
b
的方向与
b
相同，且|
a
+b|=|
b
|-|
a
| .
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，
可以推广到 n个向量连加
３．例一、已知向量
a
、
b
，求作向量
a< br>+
b

作法：在平面内取一点，作
OA?a

AB?b
，
则
OB?a?b
.
a
b
a
O
b
a
a
A
b
B
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中
b
+
a
的结果与
a
+
b
是否相同？ 验证
果相同

53
结

从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：
a
+
b
=
b
+
a

５．你能证明：向量加法的结合律：(
a
+
b
) +
c
=
a
+ (
b
+
c
) 吗？
6．由以上证明你能得到什么结论？ 多个向量的加法运算可以按照任意的次
序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P83—84）略
变式1、一艘船从A点出发以
23kmh
的速度向 垂直于对岸的方向行驶，船的
实际航行速度的大小为
4kmh
，求水流的速度. 变式2、一艘船从A点出发以
v
1
的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的< br>流速为
v
2
，船的实际航行的速度的大小为
4kmh
，方向与 水流间的夹角是
60?
，求
v
1
和
v
2
.
练习：P84面1、2、3、4题
四、小结
1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、|
a
+
b
| ≤ |
a
| + |
b
|，当且
仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：习题2.2 1 3 5
六、备用习题 思考：你能用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是
平行四边形吗？
2.2.2向量的减法运算及其几何意义
教学目标：

54

1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以
相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
教学思路：
一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算
定律：
例：在四边形中，
CB?BA?AD?
. 解：
CB?BA?AD?CA?AD?CD

二、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 ?a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.?(?a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (?a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = ?b， b = ?a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运
算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b

55

3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a ? b
a
∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a
b
O
b
a?b
B
a
作法：在平面内取一点O，
作
OA
= a，
AB
= b 则
BA
= a ? b
即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1?
AB
表示a ? b. 强调：差向量“箭头”指向被减数
2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)
B’






4． 探究：
a
O
b
B
b
?
b
a
B
b
A
a+ (?b)
１） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b ?
a.
２）若a∥b
，
如何作出a ? b

？



a
b
a
b
O
a
?
b
A
?
b
B
B
a
?
b
O B
a
?
b
A
B A
B’
O
a
?
b
O
A

56

三、 例题：
例一、（P86 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a?b、c?d.
解：在平面上取一点O，作
OA
= a，
OB
= b，
OC
= c，
OD
= d，
作
BA
，
DC
， 则
BA
= a?b，
DC
= c?d




例二、平行四边形ABCD
中，
AB?
a，
AD?
b， 用a、b表示向量
AC
、
DB
.
解：由平行四边形法则得：
AC
= a + b
，

DB
=
AB?AD
= a?b
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|？（a， b互相垂直）
变式三：a+b与a?b可能是相等向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
a
b
A
d
c
O
C
A B
B
D
D C
例 3. 如图， 已知一点O到平行四边形ABCD
试用向量a、b、c表示OD.
的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，




练习：1。Ｐ87面1、2题
2．在△ABC中，
BC
=a，
CA
=b，则
AB
等于( B )

57

A.a+b B.-a+(-b)
四：小结：向量减法的定义、作图法|
五：作业：习题2.2 6 7 8



C.a-b D.b-a
平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；
（2）理解平面里的任何一个 向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应
用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准
确性.
教学过程：
一、 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作：λ
a

（1）|λ
a
|=|λ||
a
|；
（2）λ>0时λa
与
a
方向相同；λ<0时λ
a
与
a
方向相反 ；λ=0时λ
a
=
0

2．运算定律

58 < br>??
??
?????

??????
?
?
结合律：λ(μ
a
)=(λμ)
a
；分配律：(λ+μ)
a
=λ
a
+μ
a
， λ(
a
+
b
)=λ
a
+
?
λ
b

??
?
3. 向量共线定理 向量
b
与非零向量
a
共线则：有且只有一个非零实数λ，使
b
=
λ
a
.
二、讲解新课：
1．思考：（1）给定平面内两个向量
e
1
，e
2
，请你作出向量3
e
1
+2
e
2
，
e
1
-2
e
2
，
（2）同一平面内的任一向量 是否都可以用形如λ
1
e
1
+λ
2
e
2
的 向量表示？
平面向量基本定理：如果
e
1
，
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这
一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实 数λ
1
，λ
2
使
a
=λ
1
e
1< br>+λ
2
e
2
.
2．探究：
(1) 我们把不共线 向量
ｅ
１
、
ｅ
２
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量
a
在给 出基底
ｅ
１
、
ｅ
２
的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ
1
，λ
2
是被
a
，
e
1
，
e
2
唯一确定的数量
3．讲解范例：
例1 已知向量
e
1
，
e
2
求作向量
?2.5
e
1
+3
e
2

OA、 OB 不共线,且
例2
如图，
AP?t AB (t?R), 用 OA，OB 表示 OP .
?
??
?
P
O
B
A

已知
本题实质是
O、A、B三点不共线，
若点 P 在直线 AB 上，则 OP?mOA?nOB, 且 m?n?1.


59

4．练习1：
1.设e
1
、
e
2
是同一平面内的两个向量，则有( D )
A.
e
1
、
e
2
一定平行
B
.
e
1
、
e
2
的模相等 C.同一平面内的任一向量
a
都有
a
＝
λ
e
1
+μ
e
2
(λ、μ∈R) D.若
e
1
、
e
2
不共线，则同一平面内的任一向量< br>a
都有
a
=λ
e
1
+
ue
2(λ、
u
∈R)
2.已知向量
a
＝
e
1
-2
e
2
，
b
＝2
e1
+
e
2
，其中
e
1
、
e
2
不共线，则
a
+
b
与
c
＝6
e
1
-2
e
2
的关系（Ｂ ）
A.不共线
B
.共线 C.相等 D.无法确定
３.已知λ
1
＞0，λ
2
＞0，
e
1
、
e
2
是一组基底，且
a
＝λ
1
e< br>1
+λ
2
e
2
，则
a
与
e
1
不共线，
a
与
e
2
不共线．
(填共线或不共线).
?
?
?
?
?
?
5 ．向量的夹角:已知两个非零向量
a
、
b
，作
OA?a
，< br>OB?b
，则∠AOB＝
?
，叫向
?
?
?
?
?
?
?
量
a
、
b
的夹角，当
?< br>=0°，
a
、
b
同向，当
?
=180°，
a
、
b
反向，当
?
=90°，
a
与
?
?
?
b
垂直，记作
a
⊥
b
。
6．平面向量的坐标表示
（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。
（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平
面内的每一个 向量，如何表示呢？
如图，在直角坐标系内，我们分别取与
x
轴、
y轴方向相同的两个单位向量
i
、
j
作为基底.任作一个向量
a< br>，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数
x
、
y
，
使得< br>a?xi?yj
…………
○
1

60

我们把
(x,y)
叫做向量
a
的（直角）坐标，记作
a?(x, y)
…………
○
2






其中
x
叫做
a
在
x
轴上的坐标，
y
叫做
a
在
y
轴上的坐标，
○
2式叫做向量的坐标表
示.与
．
a
相等的向量的坐标也为
．．．．．．．．．．
(x,y )
. 特别地，
i?(1,0)
，
j?(0,1)
，
0 ?(0,0)
.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作
OA?a
，则 点
A
的位置由
a
唯一确定.
设
OA?xi?yj
，则向量
OA
的坐标
(x,y)
就是点
A
的坐标；反过来， 点
A
的坐标
(x,y)
也
就是向量
OA
的坐标.因 此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一
对实数唯一表示.
7．讲解范例：
例2．教材P96面的例2。
8．课堂练习：P100面第3题。
三、小结：（1）平面向量基本定理；
（2）平面向量的坐标的概念；
四、课后作业：习题2.3 1 2



61

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量
ａ
与
ｂ
，作
OA
＝
ａ
，
OB
＝
ｂ
，则∠
ＡＯＢ
＝θ（０≤θ≤π）叫
ａ
与
ｂ
的夹角 .
说明：（1）当θ＝０时，
ａ
与
ｂ
同向；
（2）当θ＝π时，
ａ
与
ｂ
反向；
（3）当θ＝时，ａ
与
ｂ
垂直，记
ａ
⊥
ｂ
；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180?
（2）两向量共线的判定
（3）练习
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ C ）

62
?
2

A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ B ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
（4）力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量
ａ
与
ｂ
，它们的夹角是θ，
则数量|a||b|cos?叫
ａ
与ｂ
的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
?探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么
时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
（2）两个 向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，
而a?b是两个向量的数量的 积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘
号，既不能省略，也不能用“×”代替. < br>（3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因为其中cos?有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc
?
a=c.但是a?b =
b?c a = c

如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? =
|b||OA|

63

? a?b = b?c 但a ? c
(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一
般a与c不共线.
2．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；
当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投
影为0；
当? = 0?时投影为 |b|； 当? = 180?时投影为 ?|b|.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.
探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，
1、a?b ? a?b = 0
2、当a与b同向时，a?b = |a||b|； 当a与b反向时，a?b = ?|a||b|.
特别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

|a?b| ≤ |a||b| cos? =
探究：平面向量数量积的运算律
1．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b

64
a?b

|a||b|

? a
2．数乘结合律：(
?
a)?b =
?
(a?b) = a?(
?
b)
证：若
?
> 0，(
?
a)?b =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b) =
?
|a||b|cos?，a?(
?
b) =
?
|a||b|cos?，
若
?
< 0，(
?
a)?b =|
?
a||b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?，
?
(a?b)
=
?
|a||b|cos?，
a?(
?
b) =|a||
?
b|cos(???) = ?
?
|a||b|(?cos?) =
?
|a||b|cos?.
3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O，作
OA
= a，
AB
= b，
OC
= c， ∵a + b （即
OB
）在c方
向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?
1
+ |b| cos?
2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?
1
+ |c| |b| cos?
2
， ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a +
b)?c = a?c + b?c
说明：（1）一般地，(
ａ·
ｂ
)с≠
ａ
（
ｂ
·с）
（2）
ａ
·с＝
ｂ
·с，с≠0
ａ
＝
ｂ

（3）有 如下常用性质：
ａ
２
＝｜
ａ
｜
２
，
（< br>ａ
＋
ｂ
）（с＋
ｄ
）＝
ａ
·с＋
ａ
·
ｄ
＋
ｂ
·с＋
ｂ
·
ｄ

三、讲解范例：
例1．证明：(
ａ
＋
ｂ
)
２＝
ａ
２
＋２
ａ
·
ｂ
＋
ｂ
２< br>
?
?
?
?
例2．已知|a|=12， |b|=9，
a?b??542
，求
a
与
b
的夹角。

例3．已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60
o
求：（1）(a+2b)·(a-3b). （2）|a+b|
与|a-b|.

65

（ 利用
|a|?a?a
）
例4．已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相
垂直.
四、课堂练习：
1．P106面1、2、3题。
2．下列叙述不正确的是（ ）
A. 向量的数量积满足交换律 B. 向量的数量积满足分配律
C. 向量的数量积满足结合律 D. a·b是一个实数
3．|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直
4．已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a与b的夹角.
五、小结：
1．平面向量的数量积及其几何意义；
2．平面向量数量积的重要性质及运算律；
3．向量垂直的条件.
六、作业： 习题2.4 2 3




2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：

66 < br>3
4
3
4
?
3

1.掌握平面向量数量 积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一
些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：
2．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位
向量.
1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|
2
或
|a|?a?a

4?cos? =
a?b
； 5?|a?b| ≤ |a||b|
|a||b|
3．练习：
（1）已知|a|=1，|b|=
2
，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
（2）已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A.2 B.2
3
C.6 D.12

67
?
3

二、讲解新课：
b?(x
2
,y
2
)
，探究：已知两个非零向量
a?(x< br>1
,y
1
)
，怎样用
a
和
b
的坐标 表示
a?b
？
.
1、平面两向量数量积的坐标表示
两个向量的数 量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
a?b
?x
1
x
2
? y
1
y
2

2. 平面内两点间的距离公式
（1）设a?(x,y)
，则
|a|
2
?x
2
?y
2< br>或
|a|?x
2
?y
2
.
（2）如果表示向量a
的有向线段的起点和终点的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
、
(x
2
,y
2
)
，
那么
| a|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y< br>2
)
2
(平面内两点间的距离公式)
3．
设
4．
向量垂直的判定
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，则
a?b

?x
1
x
2
两向量夹角的余弦（
0?
?
?
?
）
cos? =
a?b
?
|a|?|b|
x< br>1
x
2
?y
1
y
2
x
1
? y
1
22
x
2
?y
2
22

二、讲解范例：
例1 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(?2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例2 设a = (5， ?7)，b = (?6， ?4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1
o
)
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其
值.
例3 已知a＝（１，
3
），b＝（
3
＋１，
3
－ １），则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其
值.

68

解：由a＝（１，
3
），b＝（
3
＋１，
3
－１）
有a·b＝
3
＋１＋
3
（
3
－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２
2
．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
a?b2
?
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
?
4
a?b2
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
三、课堂练习：1、P107面1、2、3题
2、已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，
则x= .
四、小结： 1、
a?b
?x
1
x
2
?y1
y
2

2、平面内两点间的距离公式
|a|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
? y
2
)
2

3、向量垂直的判定：
设
a?(x< br>1
,y
1
)
，
b?(x
2
,y
2< br>)
，则
a?b

?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

五、课后作业：习题2.4 5 6
思考：
1、如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求点B和向
量
AB
的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则
OB
= (x， y)，
AB
= (x?5， y?2)
∵
OB
?
AB
∴x(x?5) + y(y?2) = 0即：x
2
+ y
2
?5x ? 2y = 0
又∵|
OB
| = |
AB
| ∴x
2
+ y
2
= (x?5)
2
+ (y?2)
2
即：10x + 4y = 29
?
73
?
x?x?
?
x?y?5x? 2y?0
?
?
2
2
?
1
2
?
?< br>或
?
由
?

37
10x?4y?29
??
y
1
??
?
y
2
?
?
2< br>?
2
?
22
1
2

69

< br>∴B点坐标
(,?)
或
(,)
；
AB
=
(? ,?)
或
(?,)

2 在△ABC中，
AB
=(2， 3)，
AC
=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k
值.
解：当A = 90?时，
AB
?
AC
= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
?

当B = 90?时，
AB
?
BC
= 0，
BC
=
AC
?
AB
= (1?2， k?3) = (?1， k?3)
7
2
3
2
37
22
3
2
7
2
73
22
3
2
∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k =
11
3

当C = 90?时，
AC
?
BC
= 0，∴?1 + k(k?3) = 0
















70
∴k =
3?13
2

2.5.1平面几何中的向量方法
教学目的：
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题
的”三步曲”；
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由
向量的线性运 算及数量积表示.；
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步
曲”.
教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.
教学过程：
一、复习引入：
1. 两个向量的数量积：
a?b? |a||b|cos
?
.

2. 平面两向量数量积的坐标表示:
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.

3. 向量平行与垂直的判定:
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0.

a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0.

4. 平面内两点间的距离公式：
|AB|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2


71

5. 求模：
a?a?a

a?x
2
?y
2

a?(x< br>1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2)
2

练习
教材P.106练习第1、2、3题.；教材P.107练习第1、2题.
二、讲解新课：
例1. 已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90
o
.
证明：设
AO?a?OC,OB?b,
a?b,

AB?AO?OB?a?b,BC?a?b,

AB?BC?(a?b)?(a?b)?a?b?0,

22
B
A
O
C
?AB?BC,

??ABC?90
o




例2. 如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证： AD，BE，CF相交于一点.







例3. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，
AC? AB?AD,DB? AB?AD,


72

A
F
H
BC< br>E
D

你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？


思考1：
如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？


思考2：
运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
“三步曲”：
(1)建立平面 几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何
问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
例4．如图，
□
ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、 BF分别与
D
F
A
D
B
C
AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
E






73
C
T
R
A
B

课堂小结
用向量方法解决平面几何的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题 中涉及的几何元素，将平面几何
问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
课后作业 习题2.5 1 2








2.5.2向量在物理中的应用举例
教学目的：
1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研
究物理中相关问题
的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念
和向量运算的认识；

74

2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用 意识，提高应用数
学的能力，体会
数学在现实生活中的作用.
教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来
计算.
教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
教学过程：
一、复习引入：
1. 讲解《习案》作业二十五的第4题.
已知A(1,0),直 线l:y?2x?6,点R是直线l上的一点,若RA?2AP,求点P的轨迹方程.


2. 你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？
二、讲解新课：
例1. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角 越大越
费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解
释这种形象吗？





探究1：

75

(1)
?
为何值时，|
F
1
|最小，最小值是多少?
(2)|
F
1
|能等于|
G
|吗?为什么?



探究2:
你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.

例2. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发到河对
岸.已知船的速度|
v
1
|＝10 kmh，水流速度|
v
2
|＝2 kmh，问行驶航程最短时，所用
时间是多少（精确到0.1 min）？


76

思考:
1. “行驶最短航程”是什么意思？
2. 怎样才能使航程最短？
例3.有两个向量e
1
?(1,0),e
2
?(0,1),今有动点P从P
0
(?1,2)开始沿着与向量e
1
?e2
相同的方向做匀速运动,速度为|e
1
?e
2
|,另有一动点 Q,从Q
0
(?2,?1)开始沿着与

3e
1
?2e< br>2
相同的方向做匀速运动,速度为|3e
1
?2e
2
|,设P 、Q在时刻t?0秒时分别在
P
0
、Q
0
处,则当PQ?P
0
Q
0
时，求t的值.







三、课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤:
(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；
(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；
(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.

四、 课后作业 习题2.5 3 4




77

第三章 三角恒等变换
3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式
的结构及其功能， 为建立其它和（差）公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅 有学习积极性的问题，还
有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、教学设想：
（一）导入：问题1：
我们在初中时就知道
cos45
o
?
23
，
cos30
o
?< br>，由此我们能否得到
22
cos15
o
?cos
?
4 5
o
?30
o
?
??
大家可以猜想，是不是等于
c os45
o
?cos30
o
呢？
根据我们在第一章所学的知识可知 我们的猜想是错误的！下面我们就一起探
讨两角差的余弦公式
cos
?
??
?
?
??

（二）探讨过程：
在第一章三角函数的 学习当中我们知道，在设角
?
的终边与单位圆的交点为
P
1
，
cos
?
等于角
?
与单位圆交点的横坐标，也可以用角
?
的余弦线来表示。

78

思考1：怎样构造角
?
和角
?
?
?
？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系
起来.） < br>思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公
式我们能否用向量的 知识来证明？
（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
两角差的余弦公式：
cos(
?
?
?
)?cos
?
?cos
?
?sin
?
?sin
?

（三）例题讲解
例1、利用和 、差角余弦公式求
cos75
o
、
cos15
o
的值. < br>解：分析：把
75
o
、
15
o
构造成两个特殊角的和 、差.
cos75
o
?cos
?
45
o
?30< br>o
?
?cos45
o
cos30
o
?sin45o
sin30
o
?
cos15
o
?cos
?< br>45
o
?30
o
?
?cos45
o
cos3 0
o
?sin45
o
sin30
o
?
23216? 2
????
22224
23216?2
????
22224


点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：
cos 15
o
?cos
?
60
o
?45
o
?，要学会灵活运用.
?
例2、已知
sin
?
?
，?
?
?
?
,
?
?
,cos
?
??,
?
是第三象限角，求
cos
?
?
?
?
?
的值.
13
5
?
2
?
4
?
5
3
?
?
4
?
4
?
2
,
?
cos
?
??1?sin
?
??1???
sin
?
?
解：因为
?
?
?
，由此得
????
5
5
?
2
?
?
5
?
5
?
12
5
???
又因为
cos
?
??,
?
是 第三象限角，所以
sin
?
??1?cos
2
?
??1?< br>?

??
1313
13
??
3
??
5
?
4
?
12
?
33
????????
所 以
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
?

??????
51351365
??????
2
2

79