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人教版高中数学必修4第三章单元综合测试

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 02:38
tags:高中数学必修四

高中数学选修课程有哪些教材-高中数学省赛一试


------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------








单元综合测试三
时间:120分钟 分值:150分
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.对任意的锐角
α

β
,下列不等关系中正确的是( ) A.sin(
α

β
)>sin
α
+sin
β
B.sin(
α

β
)>cos
α
+cosβ

C.cos(
α

β
)α
+sin
β
D.cos(
α

β
)α
+cos
β

解析:当
α

β
=30°时 可排除A,B;当
α

β
=15°时,代
31-cos30°
2
入C得042
2-3≈0.268,矛盾.故选D.
答案:D
信达


---- -------------------------------------------------- -------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------------------- --------------------------------



π
2
π
2.化简cos(-
α
)-sin(-
α
)得到( )
44
2
A.sin2
α

C.cos2
α

B.-sin2
α

D.-cos2
α

ππ
解析:原式=cos2(-
α)=cos(-2
α
)=sin2
α
.
42
答案:A
3-sin70°
3.=( )
2-cos
2
10°
1
A.
2
C.2
2
B.
2
3
D.
2
3-sin70°23-sin70°
解析:原式===2.
1+cos20°3-cos20°
2-
2
答案:C
12
4.已知tan
α
=,tan(
α

β
)=-,那么tan (
β
-2
α
)的值
25
为( )
3
A.-
4
9
C.-
8
B.-
9
D.
8
1

12
1
解析:tan(
β
-2
α
)=tan[(
β
α
)-
α
]=-.
12
答案:B
5.已知函数f
(
x
)=3sin
ωx
+cos
ωx
(ω
>0),
y

f
(
x
)的图象
信达


--------------------------------------- ----------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------ -----------------------------------------------



与直线
y
=2的两个相邻交点的距离等于π,则
f
(
x
)的单调递增区间
是( )
?
π5π
?< br>A.
?
k
π-,
k
π+
?

k∈Z
1212
??
?
5π11π
?
?
k
∈Z B.
?
k
π+,
k
π+
1212??
?
ππ
?
C.
?
k
π-,
kπ+
?

k
∈Z
36
??
?
π2π
?
D.
?
k
π+,
k
π+
?
,< br>k
∈Z
63
??
解析:
f
(
x
) =3sin
ωx
+cos
ωx
=2sin(
ωx


T
=π.
π

ω
=2,即
f
(
x
)=2sin(2
x
+).
6
由2
k
π-
π
(
k
∈Z).
6
答案:C
π
),由已知得周
6
ππππ
≤2< br>x
+≤2
k
π+(
k
∈Z)得
k
π-≤x

k
π+
2623
6.在△
ABC
中,si n
A
sin
B
A
cos
B
,则△
ABC
为( )
A.直角三角形
C.锐角三角形
B.钝角三角形
D.等腰三角形
解析:sin
A
sin
B
A
cos
B
,即sin
A
sin
B
-cos
A
cos
B
<0,
-cos(
A< br>+
B
)<0,所以cos
C
<0,从而角
C
为钝角, △
ABC
为钝角
三角形.
答案:B
信达


------------------------------------------------- ------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------------- -------------------------------------



2sin2
α
cos
2
α
7.·等于( )
1+cos2
α
cos2
α
A.tan
α

C.1
B.tan2
α

1
D.
2
2sin2
α
cos
2
α
解析:原式=· 1+2cos
2
α
-1cos2
α
2sin
α
·cos
α
2tan
α
==
cos
2
α
-sin
2
α
1-tan
2
α
=tan2
α
.
答案:B
8.若cos2
θ
+cos
θ
=0,则s in2
θ
+sin
θ
=( )
A.0
C.0或3
B.±3
D.0或±3
解析:由cos2
θ
+cos
θ
=0得2cos
2
θ
-1+cos
θ
=0,
1
所以cos
θ
=-1或.
2
当cos
θ
=-1时,有sin
θ
=0;
13
当cos
θ
=时,有sin
θ
=±.
22< br>于是sin2
θ
+sin
θ
=sin
θ
(2cos< br>θ
+1)=0或3或-3.
答案:D
4
9.已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正
5
弦值为( )
10
A.
10
信达
10
B.-
10


----------------------------------------- --------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------- ---------------------------------------------



310
C.
10
310
D.-
1 0
π
解析:设等腰三角形的底角为
α
(0<
α
<),则其顶 角为π-2
2
4
α
.由已知cos(π-2
α
)=,
5
4
∴cos2
α
=-.
5
49
故1- 2sin
2
α
=-,sin
2
α
=.
510
π310
又0<
α
<,∴sin
α
=.
210
答案:C
3π1
10.已知sin2
α
=(<2< br>α
<π),tan(
α

β
)=,则tan(
α522

β
)=( )
A.-2
2
C.-
11
B.-1
2
D.
11

解析:由sin2
α
=,且<2
α
<π,
52
43
可得cos2
α
=-,∴tan2
α
=- ,
54
∴tan(
α

β
)=tan[2
α-(
α

β
)]

tan2
α
-tan
α

β
=-2.
1+tan2
α
tan
α

β
答案:A
11.已知向量
a
=(cos2
α
,sin
α
),
b
=(1,2sin
α
-1),
α

信达


---------------------------------------------- ---------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------- ----------------------------------------



π2π
(,π),若
a
·
b
=,则tan(α
+)=( )
254
1
A.
3
1
C.
7
2
B.
7
2
D.
3
2
解析 :由题意,得cos2
α
+sin
α
(2sin
α
-1)= ,
5

解得sin
α
=.又
α
∈(,π),
52
43
所以cos
α
=-,tan
α
=-, < br>54
π
tan
α
+tan
4

则tan(
α
+)==.
4π7
1-tan
α
tan
4
答案:C
1ππ1 ππ
12.将函数
f
(
x
)=sin2
x
sin+ cos
2
x
cos-sin(+)的
233223
1
图象上 各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数
y

g
(
x)
2
π
的图象,则函数
g
(
x
)在[0,]上 的最大值和最小值分别为( )
4
11
A.,-
22
11
C.,-
24
11
B.,-
44
11
D.,-
42
13115π
2
解析:< br>f
(
x
)=×sin2
x
+cos
x
-si n
22226
信达


--------------------- ----------------------------------------------奋斗没有 终点任何时候都是一个起点-------------------------------------- ---------------



31
2
1
=sin2
x
+cos
x
- < br>424
311+cos2
x
11π
=sin2
x
+× -=sin(2
x
+),
422426

所以
g
(
x
)=sin(4
x
+).
26
πππ7πππ因为
x
∈[0,],所以4
x
+∈[,],所以当4
x
+=
466662
1π7π1
时,
g
(
x
)取得最 大值;当4
x
+=时,
g
(
x
)取得最小值-.
2664
答案:C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填
在题中横线上)
1 3.已知
α

β
为锐角,且cos(
α

β
)=sin(
α

β
),则tan
α
=________ .
解析:∵cos(
α

β
)=sin(
α
-< br>β
),
∴cos
α
cos
β
-sin
α< br>sin
β
=sin
α
cos
β
-cos
α< br>sin
β
.
∴cos
α
(sin
β
+co s
β
)=sin
α
(sin
β
+cos
β
).

β
为锐角,∴sin
β
+cos
β
≠0, ∴cos
α
=sin
α

∴tan
α
=1.
答案:1
π47π
14.已知cos(
α
-)+sin
α
=3,则sin(
α
+)的值为
656
________.
解析:由已知得
334
cos
α
+sin
α
=3,
225
信达


------------------------- ------------------------------------------奋斗没有终点任何 时候都是一个起点------------------------------------------ -----------



134
所以cos
α
+sin
α
=,
225
π4
即sin(
α
+)=,
65
7ππ4
因此,sin(
α
+)=-sin(
α
+)=-.
665
4
答案:-
5
π
15.已知0<
x
<,化简:
2
π
lg(cos
x
·tan
x
+1-2sin)+lg[2cos(
x
-)]-lg(1+sin2
x
)
24
2
x
=__ ______.
解析:原式=lg(sin
x
+cos
x
)+lg (sin
x
+cos
x
)-lg(sin
x

co s
x
)
2
=0.
答案:0
π
16.设函数f
(
x
)=2cos
x
+3sin2
x
a
,已知当
x
∈[0,]时,
2
2
f
(
x
)的最小值为-2,则
a
=________.
解析:
f(
x
)=1+cos2
x
+3sin2
x

a

π
=2sin(2
x
+)+
a
+1.
6
πππ7π

x
∈[0,],∴2
x
+∈[,].
2666
π1
∴sin(2
x
+)∈[-,1],
62< br>1

f
(
x
)
min
=2×(-)+
a
+1=
a
.∴
a
=-2.
2
信达


------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------



答案:-2
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤) π2π3π
17.(10分)已知cos(
x
-)=,
x
∈(, ).
41024
(1)求sin
x
的值;
π
(2)求sin(2
x
+)的值.
3
π3ππππ解:(1)∵
x
∈(,),∴
x
-∈(,),
24442π2π72
∵cos(
x
-)=,∴sin(
x
-)=. 410410
ππ
∴sin
x
=sin[(
x
-)+]
44
=sin(
x


ππππ
)cos+cos (
x
-)sin
4444
72224
2×+×=.
1021025
3
(2)由(1)可得cos
x
=-,
5
247
∴sin2
x
=-,cos2
x
=-,
2525
πππ
∴sin(2
x
+)=sin2
x
cos+cos2
x
sin
333
24+73
=-.
5 0
113π
18.(12分)已知cos
α
=,cos(
α

β
)=,且0<
β
<
α
<.
7142
信达


------------------------ -------------------------------------------奋斗没有终点任 何时候都是一个起点----------------------------------------- ------------



(1)求tan2
α
的值;
(2)求
β
的值.
π1
解:(1)∵0<
α
<且cos
α
=,
27
43
∴sin
α
=1-cos
α
=,
7
2
sin
α
∴tan
α
==43.
c os
α
2tan
α
2×43
tan2
α
==
1-tan
2
α
1-43
83
.
2
=-
47
ππ
(2)∵0<
β
<
α
<,∴0<
α
β
<,
22
13
由cos(
α

β
)=.
14
得sin(
α

β
)=1-cos
2
33
α

β
=,
14
∴sin
β
=sin[
α
-(
α

β
)]
=sin
α
cos(
α

β
)-cos
α
sin(
α

β
)
43131333
=×-×=,
7147142
ππ
∵0<
β
< ∴
β
=. 23
π
19.(12分)已知函数
f
(
x
)=2cos (
x
-),
x
∈R.
12
π
(1)求
f
(-)的值;
6
33ππ(2)若cos
θ
=,
θ
∈(,2π),求
f
(2θ
+).
523
信达


-------------- -------------------------------------------------- ---奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------------------------- ----------------------



πππ
解:(1)
f
(-)=2cos(--)
6612
=2cos(-
ππ
)=2cos=1.
44
π ππ
(2)
f
(2
θ
+)=2cos(2
θ
+-)
3312
π
=2cos(2
θ
+)
4
=cos2
θ
-sin2
θ
.
33π4
因为cos
θ
=,
θ
∈(,2π),所以sin
θ
=-.
525
所以sin2
θ
=2sin
θ
cos
θ=-
7
-.
25
π72417
所以
f
(2< br>θ
+)=cos2
θ
-sin2
θ
=--(-)=.
3252525
20.(12分)已知函数
f
(
x
)=sin(< br>x

2sin.
2
33
(1)若
α
是第一 象限角,且
f
(
α
)=,求
g
(
α
)的值 ;
5
(2)求使
f
(
x
)≥
g
(
x
)成立的
x
的取值集合.
ππ
解:
f
(x
)=sin(
x
-)+cos(
x
-)
63
3113
=sin
x
-cos
x
+cos
x
+s in
x

2222
2
24
,cos2
θ
= cos
2
θ
-sin
2
θ

25
ππ)+cos(
x
-),
g
(
x
)=
63
x
信达


------------------------------ -------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一 个起点----------------------------------------------- ------



=3sin
x

g
(
x
)=2sin=1-cos
x

2
333
(1)由
f
(
α
)=,得sin
α
=,又
α
是第一象限角,所以cos
55
2
x
α
>0.从 而
g
(
α
)=1-cos
α
=1-1-sin
2< br>α
=1-=.
(2)
f
(
x
)≥
g
(
x
)等价于3sin
x
≥1-cos
x
,即3sin< br>x
+cos
x
≥1.
π1
于是sin(
x
+)≥.
62
ππ5π
从而 2
k
π+≤
x
+≤2
k
π+,
k
∈Z,
666

即2
k
π≤
x
≤2
k
π+,
k
∈Z.
3
故使
f
(
x
)≥g
(
x
)成立的
x
的取值集合为

{x
|2
k
π≤
x
≤2
k
π+,
k∈Z}.
3
21.(12分)点
P
在直径为
AB
=1 的半圆上移动,过点
P
作圆的
切线
PT
,且
PT
= 1,∠
PAB

α
,问
α
为何值时,四边形
ABT P
的面积
最大?
解:
41
55

信达


------------------------------------------ -------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------- --------------------------------------------



如图,因为
AB
为直径,
PT
切圆于
P
点,所以∠
APB
=90°,
PA
=cos
α

PB
=sin
α

S
四边形
ABTP

S

PAB

S

TPB

11

PA
·
PB

PT
·
PB
si n
α

22
1111-cos2
α
2
=sinα
cos
α
+sin
α
=sin2
α

2244
11
=(sin2
α
-cos2
α
)+
44
2π1
=sin(2
α
-)+.
444
ππ π3π
因为0<
α
<,因为-<2
α
-<,
2444ππ3π
所以当2
α
-=,即
α
=时,四边形
ABTP
的面积最大.
428
22.(12分)已知向量
a
=(3sin2
x
,cos2
x
),
b
=(cos2
x
, -
cos2
x
).
7π5π13
(1)若
x
∈( ,)时,
a
·
b
+=-,求cos4
x
的值;
2 41225
11
(2)cos
x
≥,
x
∈(0,π),若方 程
a
·
b
+=
m
有且仅有一个实
22
根, 求实数
m
的值.
解:(1)∵
a
·
b
=3sin 2
x
cos2
x
-cos
2
2
x

11
2

a
·
b
+=3sin2
x
co s2
x
-cos2
x

22
31+cos4
x
1
=sin4
x
-+
222
信达


------------------------- ------------------------------------------奋斗没有终点任何 时候都是一个起点------------------------------------------ -----------



31
=sin4
x
-cos4
x

22
π3
=sin(4
x
-)=-,
65
757 5

x
∈(π,π),∴4
x
∈(π,π),
24126 3
π3π4
4
x
-∈(π,π),∴cos(4
x
-)=- ,
6265
∴cos4
x
=cos[(4
x

π π
)+]
66
ππππ
=cos(4
x
-)cos-si n(4
x
-)sin
6666
43313-43
=(-)×-(-)×=.
525210
1
(2)因为cos
x
≥,又余弦函数在(0,π)上是减函数,
2
π
所以0<
x
≤,
3


f
(
x
)=
a
·
b
+=sin(4
x-),
g
(
x
)=
m

26
在同一坐标系中作出两个函数的图象,
1
由图可知
m
=1或
m
=-.
2
信达


--------------------------------------- ----------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------ -----------------------------------------------




信达

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