高中数学三维设计必修4：(十四)

课时跟踪检测（十四） 三角函数模型的简单应用
层级一 学业水平达标
1
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周
2
期后 ，乙的位置将移至( )
A．x轴上
C．最高点
B．最低点
D．不确定
解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点． 2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M
1
和M
2
的小球，它们做上下自 由振动．已知它
们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s
1
(cm)和s
2
(cm)分别由下列两式确定：
ππ
2t＋
?
，s
2＝5cos
?
2t－
?
. s
1
＝5sin
?
6
?
3
???
2π
则在时间t＝时，s
1
与s
2
的大小关系是( )
3
A．s
1
＞s
2

C．s
1
＝s
2

B．s
1
＜s
2

D．不能确定
2π
解析：选C 当t＝时，s
1
＝－5，s
2
＝－5，∴ s
1
＝s
2
.选C.
3
3.如图所示，一个单摆以OA为 始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)
π
1
2t＋
?，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( ) 满足函数关系式θ＝sin
?
2
?
2
?
11
A．，
2
π
1
C．，π
2
1
B．2，
π
D．2，π
1
π
1
2π
解析：选A 当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆
2222
1
频率为，故选A.
π
4.(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线
π
?
近 似满足函数y＝3sin
?
?
6
x＋φ
?
＋k.据此函数可 知，这段时间水深
(单位：m)的最大值为( )
A．5
C．8
B．6
D．10
解析：选C 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的

房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了 统计与预测：
发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝
500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
y

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10 000元
C．9 000元
B．9 500元
D．8 500元
1
10 000
2
9 500
3
？
解析：选C 因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9
500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取
3π
?
＝500sin
?
?
2
x＋π
?
＋9 500.当x＝3时，y＝9 000.
6．如图所示的是某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________ s往复一次．
3π
，φ可取π，即y
2

解析：由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往复一次．
答案：0.8
7.如图，电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝π
1
ωt＋
?
(A>0，Asin
?
ω≠0)的图象 ，则当t＝秒时，电流强度是________
6
??
50
安．
4 1
?
1
－
解析：由图象可知，A＝10，周期T＝2×
?
?
300300
?
＝
50
，所以ω
π
2π
1 00πt＋
?
. ＝
T
＝100π，所以I＝10sin
?
6
??
当t＝
π
1
2π＋
?
＝5(安)． 秒时，I＝10sin
?
6
??
50
答案：5
8．某城市 一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋
π
?
Acos< br>?
?
6
?x－6?
?
(x＝1,2,3，…，12)来表示． 已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月
份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.

?
?
a＋A＝28，
解析：依题意知，
?

?
a－A＝18，
?

28＋1828－18
则a＝＝23，A＝＝5，
22
π
?x－6?
?
， 则y＝23＋5cos
?
?
6
?
π
?
当x＝10时，y＝23＋5cos
?
?
6
×4
?
＝20.5 (℃)．
答案：20.5
9.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天的最大用电量和最小用电量．
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.
(2)观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半
个周期的图象，
1
所以A＝×(50－30)＝10，
2
1
b＝×(50＋30)＝40.
2
1
2ππ
因为×＝14－8，所以ω＝.
2
ω
6
π
?
所以y＝10sin
?
?
6
x＋φ
?
＋40.
π
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
6
ππ
?
所以所求解析式为y＝10sin
?
?
6
x＋
6
?
＋40，x∈[8,14]．
10．某动物种群数量1月1日低至700,7月1 日高至900，其总量在此两值之间依正弦
型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式；
(2)画出种群数量y关于时间t变化的草图．(其中t以年初以来经过的月份数为计量单
位)
解：(1)设表示该曲线的函数为y＝Asin(ωt＋a)＋b(A＞0，ω＞0，|a|＜π)．由 已知平均
数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月，故振幅A＝
2π π
＝，b＝800.
126
又∵7月1日种群数量达到最高，
200
＝100，ω＝
2

ππ
∴×6＋a＝＋2kπ(k∈Z)．
62
π
又∵|a|＜π，∴a＝－.
2
π
故种群数量y关于时间t的函数解析式为y＝800＋100sin (t－3)．
6
(2)种群数量关于时间变化的草图如图．


层级二 应试能力达标
1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米 ，已知水轮每分
钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y
＝Asin(ωt＋φ)＋2，则( )
A．ω＝
C．ω＝
15
，A＝3
2π
2π
，A＝5
15
B．ω＝
2π
，A＝3
15
15
D．ω＝，A＝5
2π
2π×4
2
＝
π.
6015
解析：选B 由 题意知A＝3，ω＝
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F (t)
t
＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )
2
A．[0,5]
C．[10,15]
B．[5,10]
D．[15,20]
π
t
π
解析：选C 由2kπ－≤≤2kπ＋ ，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，
222
k∈Z.当k＝1 时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]．
3．动点A(x，y)在圆x
2
＋y
2
＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，
3< br>??
1
已知时间t＝0时，点A的坐标是
，
?
22
?
，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单
位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0,1]
C．[7,12]
B．[1,7]
D．[0,1]，[7,12]

2ππ
解析：选D ∵T＝12，∴＝，
126
π
t＋φ
?
. 从而可设y关于t的函 数为y＝sin
?
?
6
?
又t＝0时，y＝
33
π
，即sin φ＝，不妨取φ＝，
223

ππ
?
∴y＝ sin
?
?
6
t＋
3
?
.
ππππ
∴当2kπ－≤t＋≤2kπ＋(k∈Z)，
2632
即12k－5≤t≤12k＋1(k∈Z)时，该函数递增，
∵0≤t≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．
4．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin
峰，则正整数t的最小值是( )
A．5
C．7
解析：选C 由y＝－sin
B．6
D．8
πx
的图象知，要使在区间[0，
t
]上至少有2个波峰， 必须使区
2
πx
的图象，若其在区间[0，
t
]上至少有2个波2
T7T
7
2π
7
2π
间[0，
t
] 的长度不小于2T－＝，即t≥·＝·＝7，故选C.
444|ω|4
π
2
5．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，
则水面高度 h关于时间t的函数解析式为____________________．

2ππ
解析：根据题图设h＝A·sin(ωt＋φ)，则A＝6，T＝12，
ω
＝12，∴ω＝， 点(6,0)为“五
6
π
ππ
t－π
?
＝－6·点”作图法 中的第一点，∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h＝6·sin
?
sin t，t∈
?
6
?
66
[0,24]．
π
答案：h＝－6sin t，t∈[0,24]
6
6．一物体相对于某一 固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，
则可近似地描述该物体的位置 y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.

t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

y
－4.0 －2.8
0.0 2.8 4.0 2.8 0.0
－2.8 －4.0
2π2π5π
解析：设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，T＝ 0.8，ω＝
T
＝＝.又由4sin
0.82
5ππ
?
π5π
t－
，即y＝－4cos t.
φ＝－4.0，可得sin φ＝－1，取φ＝－
，故y＝4sin
?
?22
?
22
答案：y＝－4cos
5π
t
2
7．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时
为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与 时间t(h)近
似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.
(1)若从10月10日0： 00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深
d(m)和时间t(h)之间的函数关系 ；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?
2π
解：(1)依题意知T＝＝12，
ω
8.4＋16
π
故ω＝，h＝＝12.2，
62
A＝16－12.2＝3.8，
π
t＋φ
?
＋12.2. 所以d＝3.8sin
?
?6
?
4π
?
又因为t＝4时，d＝16，所以sin
?
?
6
＋φ
?
＝1，
ππ
?
π
所以φ＝－ ，所以d＝3.8sin
?
?
6
t－
6
?
＋12. 2.
6
17ππ
?
(2)t＝17时，d＝3.8sin
?
?
6
－
6
?
＋12.2
2π
＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
3
ππ
?(3)令3.8sin
?
?
6
t－
6
?
＋12 .2＜10.3，
ππ
?
1
t－
＜－， 有sin
??
66
?
2
因此2kπ＋
所以2kπ＋
7πππ11π
＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
6666
4ππ
＜t＜2kπ＋2π，k∈Z，
36
所以12k＋8＜t＜12k＋12.
令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8 h水深低于10.3 m.

8.如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8 m，圆上最
低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA
为始 边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
解：(1)由 题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作
ππ
ON的垂线BM交ON于点M.当θ ＞时，∠BOM＝θ－.
22
π
θ－
?
； h＝|OA|＋0.8 ＋|BM|＝5.6＋4.8sin
?
?
2
?
π
当0≤θ≤ 时，上述解析式也适合．
2
π
θ－
?
. 则h与θ间的函数解析式 为h＝5.6＋4.8sin
?
?
2
?
2ππ
(2)点在⊙ O上逆时针运动的角速度是＝，
6030
π
∴t秒转过的弧度数为t，
30
ππ
t－
?
＋5.6，t∈[0，＋∞)． ∴h＝4.8sin
?
?
302
?