债务率的公式八年级数学立方和差公式

立方和与立方差公式(一)
教学目标
1．使学生理解和掌握立方和与立方差公式，并能运用公式进行有关计算；
2．注意培养学生观察、比较、概括以及运算能力．
教学重点和难点
重点：公式的推导．
难点：公式的正确运用．
课堂教学过程设计
一、从学生原有认知结构提出问题
前面我们学习了哪些乘法公式？并用语言叙述．公式中的字母可以表示什
么？
(公式 1：(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
，公式2：(a±b)
2
=a
2
±2ab+b
2
，公式中的字母可
以表示数、单项式 ，也可以表示多项式．语言叙述略)
二、师生共同研究立方和与立方差公式
提问：对于(a +b)(a
2
-ab+b
2
)，(a-b)(a
2
+ab+ b
2
)这两个算式，能否用学过的公
式进行计算呢？(不能)那么用什么方法进行计算 呢？(多项式乘以多项式法则)
请两位同学板演计算过程，其他同学在练习本上计算．
(a+b)(a
2
-ab+b
2
)
=a
3
+a
2
b-a
2
b-ab
2
+ab
2
+ b
3

=a
3
+b
3
．
(a-b)(a
2
+ab+b
2
)
=a
3
-a
2
b+a
2
b-ab
2
+ab
2
- b
3

=a
3
-b
3
．
根据学生的板演提问：
1．这两道多项式乘法计算的算式有什么特点？
(都是两个 因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，
而且是立方的形式)
2．二 项式乘以三项式，一般说它们的积应该有几项？(6项)为什么这里的
结果只有2项？(同类项合并)
3．比较等号左边的二次三项式与完全平方公式有何不同？
(乘积项不一样．完全平方公式的乘积项还有一个2倍，这里仅相乘)
4．等号左边的三项式中的三项与二项式中的两项有什么关系？
(左边三项式中有两项是二项式中两项的平方，还有一项是二项式中两项的
积)
5．比较这两个等式的异同
(两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同，左 边的两个
因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同)
根据这两个等式具 有简洁、对称、便于记忆的特点，我们可以把它们作为公
式用于今后的运算，并让学生给两个公式起个名 字．
让学生看书，并让学生用语言叙述公式．
三、运用举例 变式练习
例 计算：
(l)(3+2y)(9-6y+4y
2
)；

(3)(2x+1)(4x
2
+2x+1)．
第(1)题由师生共同解答，教师板演；第(2)、(3)题由学生板演．
对于第(3)题， 根据学生板演情况，教师正确引导，如果学生根据多项式乘
法法则进行计算，那么教师给予肯定，并指出 解题时一定要仔细观察算式是否符
合公式的特点，若不符合公式的特点，则可用多项式乘法法则进行计算 ；如果学
生直接用公式进行计算，那么请全体同学一起研究其错误的原因，并指出该题不
能运用 公式进行计算的道理；如果学生犹豫不决时，教师适当进行引导，通过同
学之间互相帮助，使其顺利地完 成计算。
板演计算格式：
(1)解：原式=32+(2y)
3

=27+8y
3
；

(3)解：原式=8x
3
+ 4x
2
+4x
2
+2x+2x+1
=8x
3
+8x
2
+4x+1．
课堂练习
1．填空，使之符合立方和或立方差公式：
(1)(x-3)( )=x
3
-27；(2)(2x+3)( )=8x
3
+27；
(3)(x
2
+2)( )=x6+8；(4)(3a-2)( )=27a
3
-8．
思考题：在第1题中，有几种方法判断公式中的a与b？
(有两种方法，①从二项的因式判断，②从积去判断，将积化为两数的立方
和(或差))
2．填空，使之符合立方和或立方差公式：
(1)( )(a
2
+2ab+4b
2
)＝______；(2)( )(9a
2
-6ab+4b
2
)=______；

思考题：在第2题中，有几种方法判断公式中的a与b？
3．运用立方和与立方差公式计算：
(1)(y+3(y
2
-3y+
9)； (2)(c+5)(25-5c+c
2
)；

(5)(x
2
-y
2
)(x
4
+x
2
y
2
+y
4
)．
四、发散思维 自编题目
由学生自编题目，要求能运用立方和与立方差公式进行计算，要求编得新颖、
巧妙、与众不同．
针对学生编出的题目，师生共同检查．
五、小结
至今为止，我们已经学习了五个乘 法公式，其中立方和与立方差公式的结构
特征最为复杂，大家一定要准确记忆、慎重使用．
计算时同学们要注意两点：
1．两步审查——对乘式的两个因式要分两步分别审查，即从二项 式的因式
判断公式中的a与b，又从乘式的三项式看是否符合公式的使用条件，然后再运
用公式 ．
2．记清运算结果是积的形式——a与b的立方和或立方差．
六、作业
1．运用乘法公式计算：
(l)(5-2y)(4y
2
+25+10y)； (2)
(1+4x)(16x
2
+1-4x)；
(3)(2a-3b)(4a
2
+6ab+9b
2
)； (4)(-x-2
y)(x
2
-2xy+4y
2
)；
(5)(y-x)(x
2
+xy+y
2
)； (6)(10-3)(9+30+10
0)．
2．计算：
(l)(x-1)(x
2
-x+
1)； (2)(2a+b)(4a
2
-4ab+b
2
)；
(3)(b+5)(-5b+25+b
2
)； (4)(a-
3)(a
2
+3a-9)．
课堂教学设计说明
在上述教学设计过程中，我们充分考虑到了学生主体作用的发挥．
首先，这节课的主题——立方和与立方差公式及其特点，都是由学生发现的，
自己得出结论的．
其次，学生的活动不是停留在一种简单的、机械的操作活动上，而是立足于
复杂的思维活动上． 就以编题来说，它要比单纯的套用公式所付出的思维劳动更
多些．后者的对象是在主体的眼前的，只要把 对象与公式逐项比较就可完成，它
可以说是看得见、摸得着的．而前者，思维对象不在主体眼前，要主体 根据公式
特点，自己去寻找对象，发散性大，给学生创造的自由度大．同时，在这过程中，
一方 面学生要动用他全部的知识经验；另一方面，在这过程中，要运用许多思维
操作，如比较、类比、观察、 想象、分析、综合等等．
第三，教师随着学生的思路，及时的加以引导，而不是把学生的思路、想法，
强拉到自己的思路上来．
为什么在数学教学中要发挥学生的主体作用？这也是由数学教学的特 点决
定的。在数学教学中，学生学习的知识大多是前人总结的间接知识，并且在学习
过程中，学 生不断地发展他的认识能力，增强他们的才干．这样，不管是学习知
识，还是增强才干，都要学生亲自去 实践、去体会，通过学生的动脑、动手，对
学生来说是把未知的知识转变为已知的知识，并在这个转变过 程中提高认识能
力．所以学生的学习过程是一个再发现、再创造的过程，这个过程只能由学生自
己来完成，别人是无法取代的，而且没有学生主动、积极地活动，这个过程也是
无法完成的．
教