高中数学必修四《三角函数》知识点与题型总结

三角函数典型考题归类
1．根据解析式研究函数性质
例1（天津理）已知函 数
f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R
．
（Ⅰ）求函数f(x)
的最小正周期；（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
?
，?
上的最小值和最大值．
84
【相关高考1】（湖南文）已知函数
f( x)?1?2sin
2
?
x?
?
π3π
?
???
?
π
?
π
?
π
???
?2sinx ?cosx?
?????
．
8
?
88
????
求 ：（I）函数
f(x)
的最小正周期；（II）函数
f(x)
的单调增区间．
【相关高考2】（湖南理）已知函数
f(x)?cos
2
?
x??
?
1
π
?
g(x)?1?sin2x
． ，
?
2
12
?
（I）设
x?x
0
是函数
y? f(x)
图象的一条对称轴，求
g(x
0
)
的值．（II）求函数< br>h(x)?f(x)?g(x)
的单调递增区
间．
2．根据函数性质确定函数解析式
0
?
≤)
的图象与
y< br>轴相交于点
(0，3)
，且该函数的例2（江西）如图，函数
y?2cos(< br>?
x?
?
)(x?R，
?
>0，≤
最小正周期为?
．
（1）求
?
和
?
的值；
（2）已知点
A
?
，
点
P
是该函数图象上一点，点
Q(x
0
，y
0
)
是
PA
的中点，
0
?
，
π
2
y
?
π
?
2
?
?
3

O

A

P

x

当
y
0
?
3
?
π
?
，
x
0
?
?
，
π
?
时，求
x
0
的值 ．
2
?
2
?
【相关高考1】（辽宁）已知函数
f(x)? sin
?
?
x?
?
?
π
?
π
??
2
?
x
?sin
?
x??2cos，x?R
（其中
?
?0
），（I）
???
6
?
6
?
2
?
π
，求函数
2
求函数
f(x)
的值域； （ II）（文）若函数
y?f(x)
的图象与直线
y??1
的两个相邻交点间的 距离为
y?f(x)
的单调增区间．
（理）若对任意的
a?R
，函 数
y?f(x)
，
x?(a，a?π]
的图象与直线
y??1
有且仅有两个不同的交点，试确定
?
的值（不必证明），并求函数
y?f(x)，x ?R
的单调增区间．
【相关高考2】（全国Ⅱ）在
△ABC
中，已知内角< br>A?
?
，边
BC?23
．设内角
B?x
，周长为y
．
?
（1）求函数
y?f(x)
的解析式和定义域；（2） 求函数
y?f(x)
的最大值．
3．三角函数求值
例3（四川）已知cosα=

1
π
13
,cos(α-β )＝，且0<β<α<,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.
72
14
1

?
??
2cos
?
2x?
?
4
??
【相关高考1】（重庆文）已知函数f(x)=.（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）若角a在第一 象限，且
?
sin(x?)
2
3

cosa?,求f（a）。
5
【相关高考2】(重庆理)设f (
x
) =
6cos
2
x?3sin2x
（1）求f(< br>x
)的最大值及最小正周期；（2）若锐角
?
满足
4
f(?
)?3?23
，求tan
?
的值.
5
4．三角形中的函数求值
例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A
，
B
，
C的对边分别为a
，
b
，
c，
a?2 bsinA
．
（Ⅰ）求B的大小；（文）（Ⅱ）若
a?33
，
c? 5
，求b．（理）（Ⅱ）求
cosA?sinC
的取值范围．
【相关高考1 】（天津文）在
△ABC
中，已知
AC?2
，
BC?3
，< br>cosA??
（Ⅰ）求
sinB
的值；（Ⅱ）求
sin
?2B?
4
．
5
?
?
?
?
?
的值．
6
?13
，
tanB?
．（Ⅰ）求角
C
的大小；文（Ⅱ）若
AB
边的长为
17
，
45
【相关高考2】（福建）在
△AB C
中，
tanA?
求
BC
边的长．理（Ⅱ）若
△ABC最大边的边长为
17
，求最小边的边长．
5．三角与平面向量
例5（ 湖北理）已知
△ABC
的面积为
3
，且满足0≤
AB?AC
≤
6
，设
AB
和
AC
的夹角为
?
．（I） 求
?
的取值范
围；
（II）求函数
f(
?
)?2 sin
2
?
?
π
?
?
?
?
?3c os2
?
的最大值与最小值．
?
4
?
【相关高考1】（陕 西）设函数
f
?
x
?
?a?b
，
?
?< br>?
其中向量
a?(m,cos2x),b?(1?sin2x,1),x?R
， 且函数y=f(x)的图象经过点
?
,2
?
，
?
4
?
（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时
x
的值的集合. < br>【相关高考2】（广东）已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c
，0)．
（文）(1)若
AB?AC?0
，求
c< br>的值；（理）若∠A为钝角，求c的取值范围；(2)若
c?5
，求sin∠A
的值．
6三角函数中的实际应用
例6（山东理）如图，甲船以每小时
302
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于
A
1
处时，乙 船位于甲船的北偏西
105
方向的
B
1
处，此时两船相距
2 0
海里，当甲船航行
20
分钟到达
A
2
处时，乙船航行到甲船的北偏西
120
方向的
B
2
处，此时两船相距
1 02
海里，问乙船每小时航行多少海里？
【相关高考】（宁夏）如图，测量河对岸的塔高AB
时，可以选与塔底
B
在同一水平面内的两个侧点
C
与
D
．现测
2
北
120
A
2
B
2< /p>

得
?BCD?
?
，?BDC?
?
，CD?s< br>，并在点
C
测得塔顶
A
的仰角为
?
，求塔高
AB
．

7．三角函数与不等式
例7（湖北文）已知函数
f(x )?2sin
2
?
?
π
?
?
ππ
?
?x
?
?3cos2x
，
x?
?
，
?
． （I）求
f(x)
的最大值和最小值；
?
4
?
?
42
?
（II）若不等式
f(x)?m?2
在
x?
?
，
?
上恒成立，求实数
m
的取值范围．
42
8．三角函数与极值
2
例8（安徽文）设函数
f
?< br>x
?
??cosx?4tsin
?
ππ
?
??
xx
cos?4t
3
?t
2
?3t?4,x?R

22
其中
t
≤1，将
f
?
x
?
的最小值 记为
g
(
t
).
(Ⅰ)求
g
(
t
)的表达式；(Ⅱ)讨论
g
(
t
)在区间（-1,1）内的单调性并求极值 .
三角函数易错题解析
例题1 已知角
?
的终边上一点的坐标为（
sin
2
?
2
?
,cos
），则角
?
的 最小值为（ ）。
33
5
?
2
?
5
?
11
?
A、 B、 C、 D、
636
3
2
例题2 A，B，C是
?
ABC的三个内角， 且
tanA,tanB
是方程
3x?5x?1?0
的两个实数根，则
?
ABC是（ ）
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
例题3 已知方程
x?4ax?3a?1?0< br>（a为大于1的常数）的两根为
tan
?
，
tan
?
，
且
?
、
?
?
?
?
例题4 函数
例题5 函数f(x)=
2
2
?
?
?
?
?
?
?
,
?
，则
tan
的值是________ _________.
2
?
22
?
的最大值为3，最小值为2，则 ______，_______。
sinxcosx
的值域为______________。
1?sinx?cos x
222
?sin
?
?3sin
?
,则sin
?< br>?sin
?
的取值范围是 例题6 若2sinα
例题7 已知
例题8 求函数
f(x)?
，求的最小值及最大值。
2tanx
的最小正周期。
1?tan
2
x
例题9 求函数
f(x)?sin2x?22cos(
?
4
?x)?3
的值域
3
4
例题10 已知函数
f(x)?sin(
?
x??)(
?
?0,0
≤
?
≤
?
)
是R上的偶函数， 其图像关于点M
(
?
,0)
对称，且在区
3

间[0，
?
]上是单调函数，求
?
和
?
的值。
2
2011三角函数集及三角形高考题
1.（2011年北京高考9）在
A BC
中，若
b?5,?B?
?
4
,sinA?
1
3
，则
a?
.
2
2.（2011年浙 江高考5）.在
?ABC
中，角
A,B,C
所对的边分
a,b,c< br>.若
acosA?bsinB
，则
sinAcosA?cosB?

11
(A)-
2
(B)
2
(C) -1 (D) 1
?
3 .（2011年全国卷1高考7）设函数
f(x)?cos
?
x(
?
?0)
，将
y?f(x)
的图像向右平移
3
个单位长度后，所得的< br>图像与原图像重合，则
?
的最小值等于
1
（A）
3
（B）
3
（C）
6
（D）
9

5.（2011年江西高考14）已知角
?
的顶点为坐标 原点，始边为x轴的正半轴，若
p
?
4,y
?
是角
?
终边上一点，且
sin
?
??
25
5
，则y=_____ __.
f(x)?f()
f(x)?sin(2x?
?
)
?
6
对
x?R
恒成立，且6．（2011年安徽高考9）已知函数，其中为实数，若< br>f()?f(
?
)
2
，则
f(x)
的单调递增区间是
?
?
??
?
?
???
k
?
?,k
?
?(k?Z)k
?
,k
?
?(k?Z)
????
362
??
（A）
?
（B）
?

?
?
2
?
?
??
?
k
?
?,k
?
(k?Z)
k
?
?,k
?
?(k?Z)< br>??
??
2
63
?
?
（C）
?
（D）
?

222
7．（2011四川高考8）在△ABC中，
si nA?sinB?sinC?sinBsinC
，则A的取值范围是
(0,]
（A）
6

?

[,
?
)
（B）
6

?

(0,]
3
（C）
?

[,
?
)
（D）
3

?
f(x)?4co sxsin(x?)?1.
6
1.（2011年北京高考17）已知函数
?
?
??
?
?,
??
f(x)f(x)
（Ⅰ）求的最小正周期 ；（Ⅱ）求在区间
?
64
?
上的最大值和最小值。
4