高中数学必修四第二章知识点与测试

高中数学必修四第二章知识点总结与测试
高中数学必修4知识点总结
第二章 平面向量
1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．

2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不 等式：
?
?
?
?
?
?
a?b?a?b?a?b．
?
??
?
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
； ?
?
??
?
?
?
??
??
a?b?c ?a?b?c
②结合律：；③
a?0?0?a?a
．
?
?
?
?
a?
?
x
1
,y
1
?
b?< br>?
x
2
,y
2
?
a?b?
?
x1
?x
2
,y
1
?y
2
?
????< br>C

． ⑸坐标运算：设，，则
3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
?
a

?

?
b
?

?
a?
?
x
1< br>,y
1
?
，
?
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
?
?
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
??
? ??x
1
?
?x
2
y?,
1
y
2
．
?
两点的坐标分别为设
?
、
4、向量数乘运算：
?< br>x
1
,y
1
?
，
?
x
2
, y
2
?
，则
?
．
?????
?
?
???????
a?b??C?????C
??
?
a
?
a
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①
?
a?
?
a
??
；
②当
?< br>?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
????
?
?
?
?0
时，
?
a?0
． < br>⑵运算律：①
??
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
?
a?
?
x,y
?
；②
???
?
?
?
?
?
a?
?
a?< br>?
a
；③
．
?
?
?
?
?
a?b?
?
a?
?
b
??
．
⑶坐标运算：设，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?x,
?
y
?
?
5、向量共线定理：向量
??
?
aa?0
?
?
?
?
与
b
?
共线， 当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
1

高中数学必修四第二章知识点总结与测试
设
?
?
a?
?
x
1
,y
1
?
b?
?x
2
,y
2
?
，
??
?
?
?
?
bb?0
xy?x
2
y
1
?0
时，，其 中
b?0
，则当且仅当
12
向量
a
、
??
共线．
??
???
e
e
6、平面向量基本定理：如果
1< br>、
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
?????
??
???
?
?
?
?
e
ea?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．的任意向量
a
，有且只有一对实数
1
、
2
，使（不共线的向量
1
、
2
作
为这一平面内所有向量的一组基底）
7、分点坐标公式：设点?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1< br>、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
????????
,
??
???
?
??
1?
?
1?
?
时，就为中点公式。）
??< br>．
12
当时，点
?
的坐标是（当
?
?1

8、平面向量的数量积：
⑴
?
?
?
?
?
?
?
?
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0
?
?
?
?180
?
??
．零向量与任一向量的数量积为
0< br>．
?
?
?
?
????
??
??
a ?b?ab
aa
ba?b?a?b?0b
⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同 向时，；
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
???
2
2
?
?
a?b??ab
a?a?a? a
a?b?ab
a?a?a
当
a
与
b
反向时，；或 ．③．
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
?
??
?
a?b?c?a?c?b?c
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
⑶运算律 ：①
a?b?b?a
；②；③．
?
?
?
?
a?< br>?
x
1
,y
1
?
b?
?
x
2
,y
2
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
． ⑷坐标运算：设两个非零向量，，则
??????
若< br>?
a?
?
x,y
?
，则
?
2
a?x
2
?y
2
，或
?
a?x
2
?y
2
． 设
?
a?
?
x
1
,y
1
?< br>，
?
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
?
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．
?
?
??
??
a?x,y
b?x,y
??
??
11
22
，
?
是a
与
b
的夹角，则设
a
、
b
都是非零向量，，
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
?
?
?
22
ab
x
1
2
?y
1
2
x
2
?y< br>2
．
练习题

一.选择题（5分×12=60分）:
1．以下说法错误的是（ ）
A．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等
C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量
2．下列四式不能化简为
AD
的是（ ）
（AB＋CD）＋BC；（AD＋MB）＋（BC＋CM）；
A． B．
2

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＋AD－BM；－OA＋CD；
C．
MB
D．
OC

3．已知
a
=（3，4），
b
=（5， 12），
a
与
b
则夹角的余弦为（ ）
63
13
A．
65
B．
65
C．
5
D．
13

4． 已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+ 3b| =（ ）
A．
7
B．
10
C．
13
D．4
???
?
5．已知ABCDE F是正六边形，且
AB
＝
a
，
AE
＝
b
， 则
BC
＝（ ）
（A）
?
???
?
?? ?
1
2
(a?b)
?
??
（B）
1
2
(b?a)
??
b
（C）
a
＋ （D）
1
2
??
?
?
1
2
?
( a?b)
?
??

??
6．设
a
，
b
为不共线向量，
AB
＝
a
+2
b
,
BC
＝－4
a
－
b
,
CD
＝－5
a
－3
b
,则下列
关系式中 正确的是 （ ）
（A）
AD
＝
BC
（B）
AD
＝2
BC
（C）
AD
＝－
BC（D）
AD
＝－2
BC

7．设
e
1< br>与
e
2
是不共线的非零向量，且k
e
1
＋
e
2
与
e
1
＋k
e
2
共线，则k的值是（ ）
（A） 1 （B） －1 （C）
?1
（D） 任意不为零的实数
8．在四边形ABCD中，
AB
＝
DC
，且AC
·
BD
＝0，则四边形ABCD是（ ）
（A） 矩形 （B） 菱形 （C） 直角梯形 （D） 等腰梯形
9．已知M（－2，7）、N（10， －2），点P是线段MN上的点，且
PN
＝－2
PM
，则P点
的坐标 为（ ）
（－14，16）（B） （22，－11）（C） （6，1） （D） （2，4）
10．已知
a
＝（1，2），
b
＝（－2，3），且k
a
+
b
与
a
－k
b
垂直，则k＝（ ）
（A）
?1?2
（B）
??????
???
??? ???
???
???
???
???
???
???
? ??
???
??????
???
???
???
???
???
???
2?1
（C）
2?3
（D）
3?2

?
?
?
?
a?b?
a?(1,x )
b?(2x?3,?x)
x?R
11、若平面向量和互相平行，其中.则（ ）
A.
?2
或0； B.
25
； C. 2或
25
； D.
2
或
10
.
12、下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
2
?
2
?
a?b?a?b
a?a
① < br>0?a?0
②
a?b?b?a
③④
(a?b)c?a(b?c)
⑤
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
二. 填空题(5分×5=25分):
3

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13．若
AB?(3,4),
Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为 ．
14．已知
a?(3,?4),b?(2,3)
，则
2|a|?3a?b ?
．
15、已知向量
?
?
a?3,b?(1, 2)
?
?
?
，且
a?b
，则
a
的坐标是_ ________________。
16、ΔABC中，A(1,2),B(3,1),重心G(3 ,2)，则C点坐标为________________。
17．如果向量 与b的夹角为θ，那么我们称 ×b为向量 与b的“向量积”， ×
b是一个向量，它的长度| ×b|=| ||b|sinθ，如果| |=4, |b|=3, ·b=-2，则|
×b|=____________。
三. 解答题（65分):
18、（14分)设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．
（1）试求向量2
AB
＋
AC
的模； （2）试求向量
AB
与
AC
的夹角；
（3）试求与
BC
垂直的单位向量的坐标
选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、
二. 填空题(5分×5=25分):
13 （1，3） ．14 28 15 （ ， ）或（ ， ）
16 （5，3） 17 2
35

?65
5
3 5
5
65
5
?35
5
18、 （1）∵
AB< br>＝（0－1，1－0）＝（－1，1），
AC
＝（2－1，5－0）＝（1，5）．
∴ 2
AB
＋
AC
＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．
(?1)
2
?7
2
AC
AB
∴ |2＋|＝＝
50
．
（2）∵ |
AB
|＝
(?1)< br>2
?1
2
22
1?5
2
AC
＝．||＝＝< br>26
，
AB
·
AC
＝（－1）×1＋1×5＝4．
213
∴ cos
?
＝
|AB|?|AC|
＝
2?26
＝
13
．
（3）设所求向量为
m
＝（x，y），则x2＋y2＝1． ①
又 < br>BC
＝（2－0，5－1）＝（2，4），由
BC
⊥
m
，得2 x ＋4 y ＝0． ②
AB?AC
4
??
2525
x?x? －
??
??
55
??
5
255255
?
y ??
?
y?
5
．．
?
5
或
?
5< br>?
由①、②，得
?
∴ （
5
，－
5
）或（－
5
，
5
）
即为所求．
4

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5