高中数学 必修4 三角恒等变换 复习专题

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第二部分：三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?
；⑷
sin
?
?
?
?
?
?
；
⑸
tan
?
?
?
?
?
?

?

tan
?
?tan
?
?
；
⑹
tan
?
?
?
?
?
?

?
tan
?
?tan
?
?
．
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?

?1?sin2
?
?
。
⑵
cos2
?
?
= = 。
?
降幂公式
cos
2
?
?
，
sin
2
?
?
，
sin
?
cos
?
?
．
⑶
tan2
?
?
．
3、辅助角公式：
asin
?
?bcos
?
?
（其中
a?0,b?0,
）
4、三角变换中对角 的变形如：①
2
?
是
?
的二倍；
4
?
是< br>2
?
的二倍；
?
是
ooooo
?
??
的二倍；是的二倍；
224
???
30
o
②
15?4 5?30?60?45?
；③
?
?(
?
?
?
)?< br>?
；④
?
?
??(?
?
)
；
42 4
2
⑤
2
?
?(
?
?
?
)?(< br>?
?
?
)?(
?
4
?
?
)?(?
4
?
?
)
。









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三角恒等变换 专项训练
知识点1：两角和差的余弦、正弦
1．
cos15
= ；
sin105
= 。
2．
sin70cos25?cos65sin20
= ；
cos82.5cos52.5?cos7.5cos37.5
= 。 < br>3．
cos(
?
?
?
)
=
11
，< br>cos(
?
?
?
)
=，则
tan
?
?tan
?
= 。
35
4．已 知
?
,
?
为锐角，
sin
?
?




知识点2：拆角与凑角
1．已知
cos(
?
?



2．已知




3．求值：（1）





11
,cos
?
?
，求（1）cos(
?
?
?
)
（2）
?
?
?
510
?
6
)
?
3
?
?
?
,
?
?
?
0,
?
,
求
sin?
.
5
?
3
?
?
2
?
?< br>?
?
?
3
?
123
,cos(
?
?
?
)
?
,sin(
?
?
?
)
??
，求
cos2
?
.
4135
2cos5
?
sin25
sin9
?
cos15sin6
； （2）.
cos9
?
sin15sin6
cos25
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知识点3：两角和差的正切
1．
tan42
?
tan18cos1 5
?
sin15
= ；= 。
1
?
tan42tan18cos15
?
sin15
2．（ 1）
tan20?tan40?3tan20tan40
= ； < br>（2）
tan20?tan10?ktan20tan10?k
，则
k
= ；
（3）若
?
?
?
?
?4
,(1?tan
?
)(1?tan
?
)
= 。
11
,tan
?
??
,
求
tan
?< br>.
27
3．已知
tan(
?
?
?
)
?



4．已知
tan
?
,tan(



知识点4：二倍角
1．
cos
4
?
4
?
?
)
是方程
x
2
?px?6?0
的两 根，求
p
值
?
12
?
sin
4
?
12
= ，
cos
?
5
cos
2
?
= .
5
43
?
?
,
?
?
?
?，则
cos
= ，
tan2
?
= .
52
2
?
4
?
3
3．
sin
?
,cos
??
，则
?
所在象限 .
2525
2．
sin
?
??
4．化简：
21?sin8? 2?2cos8
= .
5．已知
sin
?
?
cos
?
??
1
,0
?
?
?< br>?
，
5
求：（1）
sin2
?
（2）
cos2
?
（3）
tan4
?








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知识点5：升、降幂公式
1．化简
1
?
sin4
?
?
cos4
?
= .
1
?
s in4
?
?
cos4
?
2．
?
?
?
1111
?
3
?
?
,2
?
?
，化简??
cos2
?
= .
2222
?
2
?
3．
y?cos
2
x
的单调递增区间是 .

知识点6：
1．
sin(
?
4
?
?
与二倍角
1
,sin2
?
= .
43
??
1
2．
sin(
?
?
)si n(
?
?
)
?
,cos2
?
= .
442
?
?
?
)
?
3．化简
y
?cos
?

?
?
??
?
?
?
x
?
cos
?
?
x
?
= ，其单调递减区间为 .
?
4
??
4
?
知识点7：辅助角公式
1．合一变形：
sinx?cosx?
，
3sinx?cosx
= ，
sinx?3cosx
= ，
sinx?2cosx
= .
2．
y?3sin2x?cos2x
增区间是 .
3．化简（1）











13
； （2）
cos10(3tan20?1)
.
?
sin10cos10
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知识点8：三角函数综合
1．
y?cos2x?4sinx?3
的最大值为 ，
y?cos2x?4cosx?3
最小值为 .
2．已知 函数
y?
13
cos
2
x?sinxcosx?sin
2< br>x
.
22
(1)求最小正周期； (2)求最大值及相应的
x
的取值； (3)求单调增区间.









3．已知函数
f
(
x
)?cos
x
?cos(
x
?(1)求
f(

?
3
)
.
2
?
1
)
的值； (2) 求对称轴和对称中心； (3) 求使
f(x)?
成立的
x
的取值集合.
34

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