人教版高中数学必修4同步训练题及答案全册汇编

人教A版高中数学必修4同步训练
目录

1-1-1 任意角
1-1-2 弧度制
1-2-0-1 任意角的三角函数的定义
1-2-1 单位圆中的三角函数线
1-2-2 同角三角函数的基本关系
1-3-1 诱导公式二、三、四
1-3-2 诱导公式五、六
1-4-1 正弦函数、余弦函数的图象
1-4-2-1 周期函数
1-4-2-2 正、余弦函数的性质
1-4-3 正切函数的性质与图象
1-5-1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1-5-2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
1-6 三角函数模型的简单应用
第一章综合检测题
2-1 平面向量的实际背景及基本概念
2-2-1 向量加法运算及其几何意义
2-2-2 向量减法运算及其几何意义
2-2-3 向量数乘运算及其几何意义
2-3-1 平面向量基本定理
2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
2-3-4 平面向量共线的坐标表示

2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2-5 平面向量应用举例
第二章综合检测题
3-1-1 两角差的余弦公式
3-1-2-1 两角和与差的正弦、余弦
3-1-2-2 两角和与差的正切
3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3-2-1 三角恒等变换
3-2-2 三角恒等式的应用
第三章综合检测题
高中数学必修四综合能力测试

能 力 提 升
一、选择题
1．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )
①－75°是第四象限角 ②225°是第三象限角
③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] D
[解析] 由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.
2．如果角α与x＋45°具有同一条终边，角β 与x－45°具有同一
条终边，则α与β的关系是( )
A．α＋β＝0
B．α－β＝0
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)
[答案] D
[解析] ∵α＝(x＋45°)＋k·360°(k∈Z)，
β＝(x－45°)＋k·360°(k∈Z)，
∴α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)．
3．(山东潍坊模块达标)已知α与120°角的终边关于x轴对称，
α
则是( )
2
A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
[答案] A

[解析] 由α与120°角的终边关于x轴对称，可得α＝k·360°－
1

αα
120°，k∈Z，∴＝k·180°－60°，k∈Z，取k＝0,1可确定终边在第
22
二或第四象限．
4．若角θ是第四象限角，则90°＋θ是( )
A．第一象限角
C．第三象限角
[答案] A
[解析] 如图所示，将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°＋θ
的终边，则90°＋θ是第一象限角．
B．第二象限角
D．第四象限角

5．下列说法中，正确的是( )
A．第二象限的角是钝角
B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．－150°是第二象限角
D．－252°16′，467°44′，1187°44′是终边相同的角
[答案] D
[解析] 第二象限的角中，除包含钝角以外，还包含与钝角相差
k·360°(k∈Z)的角 ，如460°是第二象限的角但不是钝角，故选项A错；
460°是第二象限的角，730°是第一象限 角，显然460°小于730°，故
选项B错；选项C中－150°应为第三象限角，故选项C错；选项 D
中三个角相差360°的整数倍，则它们的终边相同．
2

< br>6．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
[答案] C
[解析] 当k＝－1时，α＝－126°∈B；
当k＝0时，α＝－36°∈B；
当k＝1时，α＝54°∈B；
当k＝2时，α＝144°∈B.
二、填空题
7．(2011～2012·黑龙江 五校联考)与－2013°终边相同的最小正角
是________．
[答案] 147°
8．(2011～2012·镇江高一检测)将分针拨快10分钟，则分针所转
过的度数为__ ______．
[答案] －60°
9．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，
那么β∈________.

3

[答案] {α|n·180°＋30°<α[解析] 在0°～360° 范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围
为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所 有满足题意的角α的集合为
{α|k·360°＋30°<α＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30 °<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k
＋1)180°＋30°<α<(2k＋ 1)180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋
30°<α三、解答题
10．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：

(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
[解析] (1)终边落在射线OM上的角的集合为
A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为
B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈ Z}
＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
4

(3)同理，得终边落在直线ON上的角的集合为
{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
11．如图，已知直 线l
1
：y＝
出终边落在直线l
1
或l
2
上的角．
3
x及直线l
2
：y＝－3x，请表示
3

[解析] 由题意知，终边落在直线l
1
上的角的集合为M
1
＝{α |α
＝30°＋k
1
·360°，k
1
∈Z}∪{α|α＝210° ＋k
2
·360°，k
2
∈Z}＝{α|α＝30°
＋k·180° ，k∈Z}；
终边落在直线l
2
上的角的集合为M
2
＝{α|α＝ 120°＋k
1
·360°，k
1
∈Z}∪{α|α＝300°＋k
2
·360°，k
2
∈Z}＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}． 所以终边落在直线l
1
或l
2
上的角的集合为M＝M
1
∪M
2
＝{α|α＝
30°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·1 80°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋
2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)· 90°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·90°，
n∈Z}．
12．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，
(1)有几种终边不相同的角？
(2)若－360°<α<360°，则α共有多少个？
5

[解析] (1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有 四种，分
别是与45°，135°，－135°，－45°终边相同的角．
97
(2)令－360°22
又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.
∴满足条件的角共有8个．


6

能 力 提 升
一、选择题
1．α＝－
2π
，则角α的终边在( )
3
B．第二象限
D．第四象限
A．第一象限
C．第三象限
[答案] C
22180
[解析] α＝－
π ＝－(π×
)°＝－120°，则α的终边在第三象
33
π
限．
2．(山东济南一中12－13期中)已知α＝－3，则角α的终边所在
的象限是( )
A．第一象限
C．第三象限
[答案] C
π
[解析] 由－π<－3<－知－3是第三象限角．
2
3．下列各对角中，终边相同的是( )
3π3π
A.和2kπ－(k∈Z)
22
7π11π
C．－和
99
[答案] C
7π11π
[解析] ∵－－＝－2π，∴选C.
99
4．圆的半径是6 cm，则圆心角为15°的扇形面积是( )
π
2

2
C．πcm
2

7
B．第二象限
D．第四象限
π22π
B．－和
55
20
122π
D.
π和

39
3π
2

2
D．3πcm
2

[答案] B
πππ
[解析] ∵15°＝，∴l＝×6＝(cm)，
12122
11
π3π
∴S＝lr＝××6＝(cm
2
)．
2222
5．(2013山东潍坊高一期末)若2弧度的圆心角所对的弧长为4
cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
A．4 cm
2

C．4π cm
2

[答案] A
π
6．在半径为2cm 的圆中，若有一条弧长为cm，则它所对的圆
3
心角为( )
π
A.
6
π
C.
2
[答案] A
π
3
π
[解析] 设圆心角为θ，则θ＝＝.
26
二、填空题
7．(广东高考改编)如图所示，点A、B、C是圆O上的点，且< br>︵
π
AB＝4，∠ACB＝，则劣弧
AB
的长为________．
6
π
B.
3
2π
D.
3
B．2 cm
2

D．2π cm
2

8

[答案]
4π

3
[解析] 连接AO，OB，
ππ
因为∠ACB＝，所以∠AOB＝。
63
又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，
π4π
故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧
AB
的长为×4＝.
33
8．(2011～2012·淮安高一检测)把角
形式为________．
[答案]
π
＋4π
6
25π
化成α＋2kπ(0≤α< 2π)的
6
︵
ππ
9．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是_ _______．
22
[答案] (－π，0)
ππππ
[解析] 由题意，得－<α<，－<－β<，
2222
∴－π<α－β<β.又α<β，∴α－β<0.
∴－π<α－β<0.
三、解答题
10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非
9

负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．

[解析] (1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故
满足条件的角的集合为
34
{α|
π＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．
43
π(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成
6
π
是OA逆时 针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋
6
5π
2kπ<α≤＋2k π，k∈Z}．
12
(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋
π
转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈
2
Z}．
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后
可得到第四象限的阴 影部分．所以满足条件的角的集合为{α|
5π
kπ<α<＋kπ，k∈Z}．
6< br>nπ2
11．集合A＝{α|α＝，n∈Z}∪{α|α＝2nπ±
π，n∈Z}，B＝ {β|β
23
2
π
＝nπ，n∈Z}∪{β|β＝nπ＋，n∈Z}，求A与 B的关系．
32
[解析] 解法1 ：如图所示．
10
2π
＋
3

∴B?A.
解法2：{α|α＝
∈Z}；
2nπ2
{β|β＝，n∈Z}＝{β|β＝ 2kπ，k∈Z}∪{β|β＝2kπ±
π，k∈Z}比
33
较集合A、B的元素知， B中的元素都是A中的元素，但A中元素α
＝(2k＋1)π(k∈Z)不是B的元素，所以A?B.



nπ
π
，n∈Z}＝{α|α＝kπ，k∈Z}∪{ α|α＝kπ＋，k
22
11

能 力 提 升
一、选择题
1．已知P(2，－3)是角θ终边上一点，则tan(2π＋θ)等于( )
3
A.
2
3
C．－
2
[答案] C
－3
3
[解析] tan(2π＋θ)＝tanθ＝＝－.
22
2．如果θ是第一象限角，那么恒有( )
θ
A．sin>0
2
θθ
C．sin>cos
22
[答案] B

2
201.2°可化为( )
A．cos201.2°
C．sin201.2°
[答案] B
[解析] ∵201.2°是第三象限角，∴cos201.2°<0，
∴cos
2
201.2°＝|cos201.2°|＝－cos201.2°. 4．如果点P(sinθ＋cosθ，sinθcosθ)位于第二象限，那么角θ所
在的象限是( )
A．第一象限
C．第三象限
[答案] C
[解析] 由于点P(sinθ＋cosθ，sinθcosθ)位于第二象限，则
12
2
B.
3
2
D．－
3
θ
B．tan<1
2
θθ
D．sin22
B．－cos201.2°
D．tan201.2°
B．第二象限
D．第四象限

?
?
sinθ＋cosθ<0，< br>?
所以有sinθ<0，cosθ<0，所以θ是第三象限角．
?
sinθcosθ>0，
?

2
5．α是第二象限角，P (x，5)为其终边上一点，且cosα＝x，
4
则sinα的值为( )
A.
10

4
B.
6

4
2
C.
4
[答案] A
10
D．－
4
[解析] ∵|OP|＝x
2
＋5，∴cosα＝
2
x
＝x
2
4
x＋5
又因为α是第二象限角，∴x<0，得x＝－3
510
∴sinα＝
2
＝，故选A.
4
x＋5
6 ．如果α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值等于
( )
1
A.
2
C．－
3

2
1
B．－
2
D．－
3

3
[答案] C
[解析] ∵P(1，－3)，∴r＝1
2
＋?－3?
2
＝2，
∴sinα＝－
3
.
2
二、填空题
31
7．已知角θ的终边经过点(－，)，那么tanθ的值是________．
22
13

[答案] －
3

3
8．已知角α的终边在直线y＝x上，则sinα＋cosα的值为
________．
[答案] ±2
[解析] 在角α终边上任取一点P(x，y)，则y＝x，
当x>0时，r＝x
2
＋y
2
＝2x，
22
yx
sinα＋cosα＝
r
＋
r
＝＋＝2，
22
当x<0时，r＝x
2
＋y
2
＝－2x，
2 2
yx
sinα＋cosα＝
r
＋
r
＝－－＝－2. 22
2tanα
9．(宁夏银川期中)若角α的终边经过点P(1，－2)，则的
1－tan
2
α
值为________．
4
[答案]
3
－2
[解析] 根据任意角的三角函数的定义知tanα＝＝－2，所以
1
2×?－2?
42tanα
＝＝.
1－tan
2
α
1－?－2?
2
3
三、解答题 < br>10．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cosα≤0，sinα>0，求
实数a的取 值范围．
[解析] ∵cosα≤0，sinα>0，
∴角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，
∵α终边过(3a－9，a＋2)，
14

?
?
3a－9≤0
∴
?
，∴－2?
a＋2＞0
?

11．(2011～2012·黑龙江五校联考) 已知角θ的终边上有一点P(－
2
3，m)，且sinθ＝m，求cosθ与tanθ的值．
4
2m
m
[解析] 由题意可知＝，
4
m
2
＋3
∴m＝0或5或－5.
(1)当m＝0时，cosθ＝－1，tanθ＝0；
(2)当m＝5时，cosθ＝－
615
，tanθ＝－；
43
615
(3)当m＝－5时，cosθ＝－，tanθ＝.
43
11
12．已知＝－，且lgcosα有意义．
|sinα|sinα
(1)试判断角α所在的象限；
3
(2)若角α的终 边上一点是M(，m)，且|OM|＝1(O为坐标原点)，
5
求m的值及sinα的值．
11
[解析] (1)由＝－
|sinα|sinα
可知sinα<0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由lgcosα有意义可知cosα>0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角．
综上可知角α是第四象限的角．
(2)∵|OM|＝1，
3
2
4
2
∴()＋m＝1，解得m＝±.
55
15

4
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
5
由正弦函数的定义可知
4
－
5
4
ym
sinα＝
r
＝＝＝－.
|OM|15



16

能 力 提 升
一、选择题
1．已知
11π
的正弦线为MP，正切线为AT，则有( )
6
B．|MP|＝|AT|
D．MP<0，AT>0
A．MP与AT的方向相同
C．MP>0，AT<0
[答案] A
[解析] 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP
11π11π
＝si n<0，AT＝tan<0.
66
2．已知α角的正弦线与y轴正方向相同，余弦线与x轴正 方向
相反，但它们的长度相等，则( )
A．sinα＋cosα＝0
C．tanα＝0
[答案] A
ππ
3．若<α<，则下列不等式正确的是( )
42
A．sinα>cosα>tanα
C．sinα>tanα>cosα
[答案] D
sinx＋lgcosx
4．y＝的定义域为( )
ta nx
?
π
?
A.
?
x|2kπ≤x≤2kπ＋
2< br>?

??
?
π
?
B.
?
x|2kπ 2
?

??
B．sinα－cosα＝0
D．sinα＝tanα
B．cosα>tanα>sinα
D．tanα>sinα>cosα
C.
{
x|2kπ}

17

?
ππ
?
?
D.
x|2kπ－< br>2
2
?
(以上k∈Z)
??
[答案] B
?
cosx>0
?
[解析] ∵
?
tanx≠0
π
?
x≠kπ＋，k∈Z
?
2
π
∴2kπ2
sinx≥0

，
5．(能力拔高题)已知cosα≤sinα，那么角α的终边落在第一象
限内的范围是( )
π
A．(0，]
4
ππ
B．[，)
42
ππ
C．[2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z
42

π
D．(2kπ，2kπ＋]，k∈Z
4
[答案] C
[解析] 如图所示，由余弦线长度|OM|不大于正弦线长度|MP|可
知，角α的终边落在图中的阴影区域，故 选C.
6．已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是( )
18

A．若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ
B．若α、β是第二象限角，则tanα>tanβ
C．若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ
D．若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ
[答案] D
[解析] 如图 (1)，α、β的终边分别为OP、OQ，sinα＝MP>NQ
＝sinβ，此时OM
如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，MP>NQ，
∴AC如图(3)，角α，β的终边分别为OP、 OQ，MP>NQ即sinα>sinβ，
∴ON>OM，即cosβ>cosα，故C错，∴选D.

19

二、填空题
7．已知tanx＝1，则x＝________.
π
[答案] x＝＋kπ(k∈Z)
4
8．不等式cosx>0的解集是________．
ππ
[答案] {x|2kπ－22

[解析] 如图所示，OM是角x的余弦线，则有cosx＝OM>0，
∴OM的方向向右．
∴角x的终边在y轴的右方．
ππ
∴2kπ－ 22
9．已知点P(tanα，sinα－cosα)在第一象限，且0≤α≤2π，则角
α的 取值范围是______________________．
?
π
π
??
5π
?
[答案]
?
4
，
2
?
∪
?
π，
4
?

????
[解析] ∵点P在第一象限，
?
?
tanα>0， ?1?
∴
?

?
sinα－cosα>0， ?2?
?

π3π
由(1)知0<α<或π<α<，(3)
22
由(2)知sinα>cosα，
20

作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sinα>cosα的
?
π
5π
?
α∈
?
4
，
4
?
，(4)
? ?
?
π
π
??
5π
?
???
由(3)、( 4)得α∈
4
，
2
∪
π，
4
?
.
????
三、解答题
10．利用三角函数线比较下列各组数的大小：
2π4π2π4π
(1)sin与sin；(2)tan与tan.
3535
[解析]

如图，射线OP
1
、OP
2
分别表示角
2π4π
、的终边，其中P
1
、P
2
35
是终边与单位圆的交点，过点P
1
、P
2
分别作x轴的垂线，垂 足分别
为点Q
1
、Q
2
，过点A(1,0)作x轴的垂线分别与角< br>向延长线交于点T
1
、T
2
，则Q
1
P
1< br>、Q
2
P
2
是角
2π4π
、的终边的反
35
2π4π
、的正弦线，AT
1
、
35
2π4π
AT
2
是、的正切线．于是，有向线段Q
1
P
1
>Q
2
P
2
，AT
1
2
，
35
2π4π2π4π
所以sin>sin，tan3535
11．求下列函数的定义域：
(1)y＝2cosx－1； (2)y＝lg(3－4sin
2
x)．
21

[解析] 如图(1)．
1
∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.
2< br>?
ππ
?
?
∴函数定义域为
－
3
＋2kπ，
3
＋2kπ
?
(k∈Z)．
??

(2)如图(2)．
333
∵3－4sinx>0，∴sinx<，∴－422
22
?
ππ
??
2π
4π
?
????
(k
－＋2kπ，＋2kπ＋2kπ＋2kπ
∴函数定义域为
3
∪，
33
???
3
?
?
ππ
?
∈Z)，即
?
－
3
＋kπ，
3
＋kπ
?
(k∈Z)．
??

12．利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则
(1)sinα＋cosα>1；
(2)sin
2
α＋cos
2
α＝1.
[证明] 如图， 记角α的两边与单位圆的交点分别为点A，P，
过点P作PM⊥x轴于点M，则sinα＝MP，cos α＝OM.

22

(1)在Rt△OMP中，MP＋OM>OP，∴sinα＋cosα>1.
(2)在Rt△ OMP中，MP
2
＋OM
2
＝OP
2
，
∴sin
2
α＋cos
2
α＝1.

23

能 力 提 升
一、选择题
5
1．已知sinα－cosα＝－，则sinα·cosα等于( )
4
7
A.
4
9
C．－
32
[答案] C
25
[解析] 将所给等式两边平方，得1－2sinαcosα＝，故sinαcosα
16
9
＝－.
32
1
2．已知A为锐角，lg(1＋co sA)＝m，lg＝n，则lgsinA
1－cosA
的值为( )
1
A．m＋
n

11
C.(m＋
n
)
2
[答案] D
[解析] ∵m－n＝lg(1＋cosA)＋lg(1－cosA)
＝lg(1－cos
2
A)＝lgsin
2
A＝2 lgsinA，
1
∴lgsinA＝(m－n)．
2
1－sin
2
x1－ cos
2
x
3．函数y＝＋的值域是( )
cosxsinx
A．{0,2}
C．{－2,0,2}
[答案] C
24
9
B．－
16
9
D.
32
B．m－n
1
D.(m－n)
2
B．{－2,0}
D．{－2,2}

|cosx||sinx|
[解析] 化简得y＝＋，当x的终边分别在第一、二、
cosxsinx
三、四象限时分类讨论符号即可 ．
1
4．如果sinx＋cosx＝，且05
4
A．－
3
3
C．－
4
[答案] A
12
[解析] 将所给等式两边平方，得sinxcosx＝－，
25
∵00，cosx<0，
434
∴sinx＝，cosx＝－，∴tanx＝－.
553
5．若非零 实数m、n满足tanα－sinα＝m，tanα＋sinα＝n，则
cosα等于( )
n－m
A.
m＋n
m＋n
C.
2
[答案] A
?
?
tanα－sinα＝m，
[解析] 已知两等式联立，得
?< br>解得tanα＝
?
?
tanα＋sinα＝n，
43
B．－或 －
34
43
D.或－
34
m－n
B.
2
m－n
D.
n＋m

m＋nn－m
sinα
n－m
，sinα＝，则cosα＝＝.
22tanα
n＋m
11
6．化简(＋)(1－cosα)的结果是( )
sinαtanα
A．sinα
C．1＋sinα
25
B．cosα
D．1＋cosα

[答案] A
二、填空题
7．在△ABC中，2sinA＝3cosA，则∠A＝________.
[答案] 60°
[解析] ∵2sin
2
A＝3cosA，∴2(1－c os
2
A)＝3cosA，即(2cosA－
1
1)(cosA＋2)＝0， ∴cosA＝，cosA＝－2(舍去)，∴A＝60°.
2
8．已知tanα＝cosα，那么sinα＝________.
－1＋5
[答案]
2
sinα
[解析] 由于tanα＝＝co sα，则sinα＝cos
2
α，所以sinα＝1
cosα
－1±5
－sin
α，解得sinα＝
.
2
2
－1＋5
又sin α＝cos
α≥0，所以sinα＝
.
2
2
三、解答题
3tanαcos
3
α
9．已知cosα＝－，且tanα>0，求的值．
5
1－sinα
3
[解析] ∵cosα＝－，且tanα>0，
5
∴α是第三象限角，
4
∴sinα＝－1－cos
α＝－
，
5
2
si nα
3
cos
α
sin?1－sin
2
α?
tan αcos
3
α
cosα
＝＝
1－sinα1－sinα1－sin α
44
＝sinα(1＋sinα)＝－×(1－)
55
26

4
＝－.
25
10．已知2cos
2< br>α＋3cosαsinα－3sin
2
α＝1，
求(1)tanα；
2sinα－3cosα
(2).
4sinα－9cosα
[解析] (1 )2cos
2
α＋3cosαsinα－3sin
2
α＝
2cos< br>2
α＋3cosαsinα－3sin
2
α

22
s in
α＋cosα
2＋3tanα－3tan
2
α
＝，
1 ＋tan
2
α
2＋3tanα－3tan
2
α
则＝1，
1＋tan
2
α
即4tan
2
α－3tanα－1＝0.
1
解得tanα＝－或tanα＝1.
4
2sinα3cosα
－
cosαcosα
2tanα－3
(2)原式＝＝，
4sinα9cosα
4tanα－9
－
cosαcosα
17
当tanα＝－时，原式＝ ；
420
1
当tanα＝1时，原式＝.
5
111
11．求证：sinα(1＋tanα)＋cosα(1＋)＝＋.
tanαsinαcosα
sinαcosαsin
2
α
[证明] 左边＝sinα(1＋)＋cosα(1＋＝sinα＋＋
cosαcosα
sinα?
cos
2
α
cosα＋
sinα
27

sin
2
α＋cos
2
α
sin
2
α＋cos
2
α
＝＋
sinαcosα
11
＝＋＝右边．
sinαcosα
即原等式成立．



28

能 力 提 升
一、选择题
1．将cos(π＋2)化为某个锐角的三角函数为( )
A．cos2 B．－cos2
C．－cos(π－2) D．cos(π－2)
[答案] D
[解析] cos(π＋2)＝－cos2＝－cos[π－(π－2)]＝cos(π－2)．又0<π－2<
π
2
，故选D.
2．在△ABC中，cos(A＋B)的值等于( )
A．cosC B．－cosC
C．sinC D．－sinC
[答案] B
[解析] cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC.
3．若cos(π＋α)＝－
1
2
，
3π
2
<α<2π，则sin(2π－α)＝( )
A.
1
2
B．±
3
2

C.
3
2
D．－
3
2

[答案] C
[解析] ∵cos(α＋π)＝－
11
2
，∴cosα＝
2
，
又∵
3π
2
<α<2π，
∴sinα＝－1－cos
2< br>α＝－1－?
1
2
?
2
＝－
3
2
，
∴sin(2π－α)＝－sinα＝
3
2
.
29

4．在直角坐标系中，若α与β的终边关于y轴对称，则下列等
式恒成立的是( )
A．sin(α＋π)＝sinβ
C．sin(2π－α)＝－sinβ
[答案] C
[解析] ∵α与β的终边关于y轴对称，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，
∴sinβ＝sin(π－α＋2kπ)
＝sin(π－α)＝sinα.又sin(α＋π)＝－sinα，
sin(α－π)＝－sinα，sin(2π－α)＝－sinα，
sin(－α)＝－sinα，∴sin(2π－α)＝－sinβ恒成立．
ππ
3
5．(2013·济南质检)α∈(－，)，sinα＝－，则cos(－α)的值为
225< br>( )
4
A．－
5
3
C.
5
[答案] B
ππ
34
[解析] 因为α∈(－，)，sinα ＝－，所以cosα＝，即cos(－
2255
4
α)＝
，故选B.
5
π
6．设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，k∈Z)，则
4
sin?α－3π?＋cos?π－α?
的值为( )
sin?－α?－cos?π＋α?
m＋1
A.
m－1
C．－1
30
B．sin(α－π)＝sinβ
D．sin(－α)＝sinβ
4
B.
5
3
D．－
5
m－1
B.
m＋1
D．1

[答案] A
[解析] ∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m.
－sinα－cosα－tanα－1－m－1m＋1
原式＝＝＝＝.
－sinα＋cosα－tanα＋1－m＋1m－1
二、填空题
7．(广东揭阳第 一中学2012－2013期中)化简：
1＋2sin610°cos430°
＝______ __.
sin250°＋cos790°
[答案] －1
[解析]
1＋2sin?360°＋180°＋70°?cos?360°＋70°?
原式＝
sin?180°＋70°?＋cos?720°＋70°?
?sin70°－cos70°?
2
＝＝－1.
－sin70°＋cos70°
1
ππ
8．(201 2·揭阳模拟)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα
842
的值是__ ______．
[答案] －
3

2
3
[解析] 1－2sinαcosα＝(sinα－cosα)
2
＝，
4
ππ
又∵<α<，sinα>cosα.
42
3
∴cosα－sinα＝－.
2
1
π
9． (2013·郑州模拟)若sin(π－α)＝log
8
，且α∈(－，0)则cos(2π< br>42
－α)的值是________．
31

[答案]
5

3
1
[解析] ∵sin(π－α)＝log
8
，
4
2
∴sinα＝log
2
3
2
－
2
＝－.
3
5
∴cos(2π－α)＝cosα＝1－sin
α＝
.
3
2
三、解答题
10．(山东济南一中12－13期中)已知0<α<π，tanα＝－2.
(1)求cosα的值；
(2)求2sin
2
α－sinαcosα＋cos
2
α的值．
π
[解析] (1)因为0<α<π，tanα＝－2，<α<π，
2
5
所以cosα＝－
5
2sin
2
α－sin αcosα＋cos
2
α
2tan
2
α－tanα＋1
11
(2)原式＝＝＝.
5
sin
2
α＋cos
2
α
tan
2
α＋1
4
11．已知sin(α＋π)＝，且sinαco sα<0，
5
2sin?α－π?＋3tan?3π－α?
求的值．
4cos?α－3π?
44
[解析] ∵sin(α＋π)＝，∴sinα＝－<0.
55
又sinαcosα<0，∴cosα>0.
∴α是第四象限角．
∴cosα＝1－sin
2
α＝
sinα4
∴tanα＝＝－.
cosα3
32
43
1－?－
?
2
＝.
55

－2sin?π－α?＋3tan?π－α?
∴原式＝
4cos?π－α?
－2sinα－3tanα
＝
－4cosα
4 4
－2×?－?－3×?－?
53
7
＝＝－.
33
－4×
5
12．已知α是第四象限角，且
sin?π－α?cos?2π－α?tan?－α＋2π?
f(α)＝.
tan?－α＋π?sin?3π－α?
(1)化简f(α)；
3
(2)若sinα＝－，求f(α)；
5
31π
(3)若α＝－，求f(α)．
3
－sinαcosαtanα
[解析] (1)f(α)＝＝cosα.
－tanαsinα
3
(2)∵sinα＝－，且α是第四象限角，
5∴f(α)＝cosα＝1－sin
α＝
31π31π
(3)f(－)＝cos( －)
33
ππ
1
＝cos(－)＝cos＝.
332


2
94
1－
＝.
255
33

能 力 提 升
一、选择题
5π
1
1．(2013·广东文)已知sin(＋α)＝，那么cosα＝( )
25
A．－
2
5
B．－
1
5

C.
1
5
D.
2
5

[答案] C
[解析] 本题考查诱导公式，由sin(
π
1
2
＋α)＝cosα ＝
5
，知选
2．已知sinα＝
5
13
，则cos(
π
2
＋α)等于( )
A.
5
13
B.
12
13

C．－
5
13
D．－
12
13

[答案] C
[解析] cos(
π
2
＋α)＝－sinα＝－
5
13
.
3．若sin(3π＋α)＝－
1
7π
2
，则cos(
2
－ α)等于( )
A．－
1
2
B.
1
2

C.
3
2
D．－
3
2

[答案] A
[解析] 由已知，得sinα＝
1
2
，
则cos(
7π
1
2
－α)＝－sinα＝－
2
.
34
C.

π
1
5π
4．(山东济南一中12－13期中)若sin(－α)＝，则cos(－α)
33
的值为( )
A.
1
3
B．－
1
3

C.
22
3
D．－
22
3

[答案] B
[解析] cos(
5πππ
6
－α)＝cos[
2
＋ (
3
－α)]
＝－sin(
π
3
－α)＝－
1
3
.
5 ．已知sin(α＋
π
2
)＝
1
3
，α∈(－
π< br>2
，0)，则tanα等于(
A．－22 B．22
C．－
2
4
D.
2
4

[答案] A
[解析] sin(α＋
π
2
)＝cosα＝
1
3
，又α∈(－
π
2
，0)，
所以sinα＝－1－cos
2
α＝－
22
3
，
则tanα＝
sinα
cosα
＝－22.
6．若
sin α＋cosα
3π
sinα－cosα
＝2，sin(α－5π)·sin(
2
－α)等于(
A.
3
4
B.
3
10

C．±
3
10
D．－
3
10

[答案] B
35
6
)
)

sinα＋cosαtanα＋1
[解析] ＝＝2，解得tanα＝3，则原式＝(－
sinα－cosαtanα－1
sinαcosαtanα33
sinα)(－cosα) ＝sinαcosα＝
2
＝＝＝.
sin
α＋cos
2
α
tan
2
α＋1
3
2
＋1
10
二、填空题
π
7．已知α是锐角，且2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)
2
＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是______________．
310
[答案]
10
[解析] 由已知可得－2tanα＋3sinβ＋ 5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，
sinα
∴tanα＝3.又tanα＝，
cosα
sin
2
α
sin
2
α
9
2< br>∴9＝
2
＝，sin
α＝
.
cos
α
1－ sin
2
α
10
310
∵α为锐角，∴sinα＝.
10
π
3
π
8．已知sin(＋α)＝，则sin(－α)＝________.
242
3
[答案]
4
π
3
[解析] ∵sin(＋α)＝cosα＝，
24
π
3
∴sin(－α)＝cosα＝.
24
5
cos?
π－α?cos?－α?
2
9．化简＝________.
321
sin?
π＋α?cos?π－α?
22
[答案] －1
[解析] 原式
36

cos[2π＋?
π< br>－α?]cosα
＝
2
sin[π＋?
ππ

2＋α?]cos[10π＋?
2
－α?]
cos?
π
－α?co sα
＝
2
－sin?
π
2
＋α?cos?
π

2
－α?
＝
sinαcosα
－cosαsinα
＝－1.
三、解答题
10．(2011～2012·宜春高一检测)化简：
cos?2π－ α?sin?3π＋α?cos?
3π
2
－α?
cos?－
π
.
2
＋α?cos?α－3π?sin?－π－α?
[解析] 原式＝
c osα?－sinα??－sinα?
sinα?－cosα?sinα
＝－1.
11．若sin(180°＋α)＝－
10
10
，0°<α<90°. 求
sin?－α?＋sin?－90°－α?
cos?540°－α?＋cos?－270 °－α?
的值．
[解析] 由sin(180°＋α)＝－
10
10
，α∈(0°，90°)，得
cosα＝
310
10
，
∴原式＝
－sinα－sin?90°＋α?
cos?360°＋180°－α?＋cos?270°＋ α?

＝
－sinα－cosα
－cosα＋sinα

37
sinα＝
10
10
，

10310
－
1010
＝＝2.
31010
－＋
1010
－
12．已知sinα是方程5x
2
－7x－6＝0的根，α是第三 象限角，求
3π3π
sin?－α－?sin?－α?tan
3
α
2 2
的值．
ππ
cos?－α?cos?＋α?
22
3
[解析] 由已知得sinα＝－.
5
4
∵α是第三象限角，∴cosα＝－1－sin
α＝－
. 5
2
sinα
3
cosα·?－cosα?·??
cosαsinα3
∴原式＝＝＝.
cosα4
sinα·?－sinα?



38

能 力 提 升
一、选择题
1．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是( )
A．向左右无限伸展
B．与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
[答案] D
1
2 ．从函数y＝cosx，x∈[0,2π)的图象来看，对应于cosx＝的x
2
有( )
A．1个值
C．3个值
[答案] B
π5π3．下列选项中是函数y＝－cosx，x∈[，]的图象上最高点的
22
坐标的是( )
π
A．(，0)
2
C．(2π，1)
[答案] B
4．函数y＝cosx＋|cosx| x∈[0,2π]的大致图象为( )
B．(π，1)
5π
D．(，1)
2
B．2个值
D．4个值
39

[答案] D
[解析] y＝cosx＋|cosx|
?
2cosx x∈[0，
π
]∪
3 π
＝
?
?
2
[
2
，2π]
π3π
，故选D.
?
?
0 x∈[
2
，
2
]

5．如图所示，函数y＝cosx|tanx|(0≤x<
3ππ
2
且x≠< br>2
)的图象是(
40
)

[答案] C
π3π
?
?
s inx，0≤x<
2
或π≤x<
2
，
y＝
?
π?
－sinx，?
2
[解析]


6．在(0,2π)上使cosx>sinx成立的x的取值范围是( )
π5π
A．(0，)∪(，2π)
44
π5π
C．(，)
44
[答案] A
[解析] 第一、三象限角平分线为分界线，终边在下方的角满足
cosx>sinx.
∵x∈(0,2 π)，∴cosx>sinx的x范围不能用一个区间表示，必须
是两个区间的并集．
二、填空题
7．方程sinx＝lgx的解有________个．
[答案] 3
8．sinx>0，x∈[0,2π]的解集是________．
[答案] (0，π)
[解析] 如图所示是y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，
ππ5π
B．(，)∪(π，)
424
D．(－
3ππ
，)
44
41

由图可知满足sinx>0，x∈[0,2π]的解集是(0，π)．
?
?
sinx，x≥0，
9．函数f(x)＝
?
?
?
x＋2，x<0，< br>
1
则不等式f(x)>的解集是
2
________．
[答案]
?
3
π5π
?
?
x|－?

266
??
1
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图
2
象，如图所示，
11
当f(x)>时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象上方，此时有
22
3
π5π
－266
三、解答题
1
10．试用五点法画函数y＝cosx－1，x∈[0,2π]的简图．
2
π3π
[解析] 抓住关键点，取横坐标依次为0、、π、、2π的点．
22
42

列表：
x
1
y＝cosx－1
2
画图(如图：)
0
1
－
2
π

2
－1
π
3
－
2
3π

2
－1
2π
1
－
2

11．(2011～2012·桂林高一检测)根据函数 图象解不等式
sinx>cosx，x∈[0,2π]．
[解析] 在同一坐标系中画出函数y＝sinx和y＝cosx在x∈[0,2π]
上的图象，如图所示，

π5π
可知，当cosx，
44
π5π
即不等式的解集是(，)．
44
1
12．画出 正弦函数y＝sinx，(x∈R)的简图，并根据图象写出－
2
3
≤y≤时x的集合 ．
2
43

[解析]

13过(0，－)、(0，)点分别作x轴的平行线，从图象可看出它们
22
分别与正弦曲线交 于(
7π
1
π
1
＋2kπ，－)，k∈Z，(＋2kπ，－)，k∈ Z
6262
π
3
2π
3
点和(＋2kπ，)，k∈Z，(＋ 2kπ，)，k∈Z点，那么曲线上夹
3232
在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求，
13
即当－≤y≤时x的集合为：
22
ππ2π7π
{x|－＋2 kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}∪{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k
6336
∈Z}．


44

能 力 提 升
一、选择题
1．定义在R上的函数f(x)，存在无数个实数x满足f(x＋2)＝f(x) ，
则f(x)( )
A．是周期为1的周期函数
B．是周期为2的周期函数
C．是周期为4的周期函数
D．不一定是周期函数
[答案] D
?π
?
?
2．函数y＝2cos
3
－ωx
?
的最 小正周期是4π，则ω等于( )
??
A．2
C．±2
[答案] D
[解析] 4π＝
2π
1
，∴ω＝±.
|ω|2
1
B.
2
1
D．±
2
3．( 2013山师附中期中)函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为
( )
π
A.
2
C．2π
[答案] A
?
π
??
π
?
[解析] ∵
?
sin?x ＋
2
?
?
＋
?
cos?x＋
2
?
?
＝|sinx|＋|cosx|.∴原函数的
????
B．π
D．4π
π
最小正周期为.
2
45

??
π
??
??
4．函数y＝7sin
3x－
5< br>??
的周期是( )
????
A．2π
π
C.
3
[答案] C
1
2ππ
[解析] T＝·＝.
233
B．π
π
D.
6
k
π
5． 函数y＝cos(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k
43
的最小值应是( )
A．10
C．12
[答案] D
2π8π
[解析] T＝
k
＝
k
≤2 ∴k≥4π又k∈N*
4
∴k最小为13，故选D.
6．定义在R上的函数f(x )既是偶函数，又是周期函数，若f(x)
?
π
??
5π
?
??
的最小正周期为π，且当x∈
0，
2
时，f(x)＝sinx，则f?
3
?
等于( )
????
B．11
D．13
1
A．－
2
C．－
3

2
B．1
D.
3

2
[答案] D
?
5π
??
5π
??
2π
?
[解析] f
?
3
?
＝f
?
3
－π
?
＝f?
3
?

??????
?
2
??
π< br>??
π
?
＝f
?
3
π－π
?
＝f< br>?
－
3
?
＝f
?
3
?

??????
46

π
3
＝sin＝.
32
二、填空题
π
7．(2013·江苏)函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期为________．
4
[答案] π
2π
[解析] 本题考查三角函数的周期．T＝＝π. < br>2
π
8．若函数f(x)＝2cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为T，且T∈< br>3
(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
[答案] 6
2π2π
[解析] T＝
ω
，又1ω
<3.
113
2π
∴<
ω
<.∴<ω<2π.
2π2π
3
则正整数ω的最大值为6.
ππ
9．设函数f(x)＝ 3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为
62
?
α
π?
9
最小正周期．若f
?
4
＋
12
?
＝，则sinα的值为________．
??
5
4
[答案] ±
5
π
[解析] ∵f(x)的最小正周期为，ω>0，
2
∴ω＝< br>?
π
?
2π
＝4.∴f(x)＝3sin
?
4x＋< br>6
?
.
π
??
2
?
α
π
??
ππ
?
9
????
由f
4
＋
12＝3sin
α＋
3
＋
6
＝3cosα＝，
5
????
3
∴cosα＝.
5
47

4
∴sinα＝±1－cos
α＝±
.
5
2
三、解答题
10．求下列函数的周期．
(1)y＝sin2x；
π
(2)y＝－cos(x＋)；
4
(3)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)．
[解析] 由周期函数的定义求．
(1)令f(x)＝sin2x，
∵f(x＋π)＝sin2(x＋π)＝sin2x＝f(x)．
∴函数y＝sin2x的周期为π.
π
(2)令f(x)＝－cos(x＋)， < br>4
ππ
∵f(x＋2π)＝－cos[(x＋2π)＋]＝－cos(x＋)＝f(x) ．
44
π
∴函数y＝－cos(x＋)的周期为2π.
4
(3)令f(x)＝sin(ωx＋φ)，
2π2π
∵f(x＋
ω
)＝sin[ω(x＋
ω
)＋φ]＝sin(ωx＋φ＋2π)＝sin(ωx＋φ )＝
f(x)，
2π
∴函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的周期为
ω
.
11
11．已知函数y＝sinx＋|sinx|.
22
(1)画出函数的简图．
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
48

11
[解析] (1)y＝sinx＋|sinx|
22
?
?
sinx，x∈[2kπ，2kπ＋π]?k∈Z?，
＝
?
?
0，x∈[2kπ－π，2kπ??k∈Z?.
?

函数图象如图所示．

(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函
数的周期是2π.
?
2k＋1
π
?
12．已知函数y＝5cos
?
πx－< br>?
(其中k∈N)，对任意实数a，
6
??
3
5
在区 间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，
4
求k值．
2k＋1
π
5
[解析] 由5cos(
πx－
)＝，
364
2k＋1
π
1
得cos(
πx－
)＝. < br>364
1
∵函数y＝cosx在每个周期内出现函数值为的有两次，而区间
4< br>1
[a，a＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4
4
次 且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长
度．
2π2π
即2×≤3，且4×≥3.
2k＋12k＋1
ππ
33
49

37
∴≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.
22



50

能 力 提 升
一、选择题
1．y＝2sinx
2
的值域是( )
A．[－2,2]
C．[－2,0]
[答案] A
[解析] ∵x
2
≥0，∴sinx
2
∈[－1,1]，
∴y＝2sinx
2
∈[－2,2]．
sinx
2．函数y＝是( )
2＋cosx
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
[答案] A
sin?－x?－sinx
[解析] 定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，则
2＋cos?－x?2＋cosx
f(x)是奇函数．
3．已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|，x∈R为奇函数，则a等于
( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
[答案] A
[解析] 解法一：易知y＝sinx在R上为奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝0.
解法二：∵f( x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即sin(－x)－|a|＝－
sinx＋|a|，－si nx－|a|＝－sinx＋|a|.
51
B．[0,2]
D．R

∴|a|＝0，即a＝0.
ππ
4．(重庆高考)下列函 数中，周期为π，且在[，]上为减函数的
42
是( )
π
A．y＝sin(2x＋)
2
π
C．y＝sin(x＋)
2
[答案] A
[解析] C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、
πππ
D；B项中y＝cos(2x＋)＝－sin2x，该函数在[，]上为增函数，不242
π
合题意；A项中y＝sin(2x＋)＝cos2x，该函数符合题意，选A.
2
5．(陕西高考)对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是( )
ππ
A．f(x)在(，)上是递增的
42
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
[答案] B
π
[解析] 由于函数y＝si nx在(，π)上是递减的，所以f(x)＝sin2x
2
ππ
在(，)上是递减的， 故A选项错误．
42
因为f(－x)＝sin2(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x ＝－f(x)，所以f(x)
为奇函数，图象关于原点对称，故B选项正确．
6．函数y(x)＝－cos xln x
2
的部分图象大致是图中的( )
π
B．y＝cos(2x＋)
2
π
D．y＝cos(x＋)
2
52

[答案] A
[解析] 函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝－cos(－x)ln(－x)
2
＝－cos xln x
2
＝f(x)，
则函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项C和D ；
当x∈(0,1)时，cosx>0,02
<1，则ln x
2
<0，此时f(x)>0，此时函数f(x)
的图象位于x轴的上方，排除选项B.
二、填空题
7．(西南大学附中2012－2013期中)函数f(x)＝2cosωx(ω >0)在x
ππ
∈[－，]上的最大、最小值之和为0，则ω的最小值为________．
34
[答案] 3
π
8．(2012·长沙调研)已知函数f(x)＝3s in(ωx－)(ω>0)和g(x)＝
6
π
2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称 轴完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取
2
53

值范围是____________．
3
[答案] [－，3]
2
[解析] ∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，
∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，
π
∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)，
6
πππ5π
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
2666
1
π
∴－≤sin(2x－)≤1，
26
3
π
∴－≤3sin(2x－)≤3，
26
3
即f(x)的取值范围是[－，3]．
2
π
9．( 2011～2012·无锡高一检测)函数y＝sin(x－)，x∈[0，π]的
6
值域为_ _______．
1
[答案] [－，1]
2
三、解答题
π< br>?
1
?
?
10．求函数y＝cos
2x－
4
?
＋1的最大值，及此时自变量x的取
3
??
值集合．
?
π
?
[解析] ∵x∈R，∴－1≤cos
?
2x－
4
?
≤1.
??π
?
21
?
4
??
∴≤cos
2x－
4
＋1≤.
33
?
3
?
π
?
1
?
4
??
∴函数y＝cos
2x－
4
＋1的最大值是.
3
?
3
?
54

ππ
此时2x－＝2kπ(k∈Z)，∴x＝kπ＋.
48
即此时自变量x的取值集合是
?
?
?
π
?< br>x
?
x＝kπ＋，k∈Z
?
.
8
?
?
?

1
11．已知函数f(x)＝log|sinx|.
2
(1)求其定义域和值域；
(2)判断其奇偶性；
(3)求其周期；
(4)写出单调区间．
[解析] (1)由|sinx|>0得sinx≠0，∴x≠kπ(k∈Z)．
即函数定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
1
又0<|sinx|≤1，∴log|sinx|≥0.
2
∴函数的值域为[0，＋∞)．
(2)∵f(x)的定义域关于原点对称，
11
且f(－x)＝log|sin(－x)|＝log|－sinx|
22
1
＝log|sinx|＝f(x)．
2
∴f(x)为偶函数．
(3)函数f(x)是周期函数，
11
∵f(x＋π)＝log|sin(x＋π)|＝log|－sinx|
22
1
＝log|sinx|＝f(x)，
2
∴f(x)的周期T＝π.
55

1
(4)∵y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
2
?
π?
?
u＝|sinx|在
kπ，kπ＋
2
?
(k∈Z) 上是增函数，
??
?
π
?
??
(k∈Z)上是减函数．
kπ－，kπ
在
2
??
?
π
?
∴f(x) 在
?
kπ－
2
，kπ
?
(k∈Z)上是增函数，
??
?
π
?
在
?
kπ，kπ＋
2
?
(k∈Z)上是减函数．
??
?
π
?
即f(x)的单调增区间是
?
kπ－
2
，kπ
?
(k∈Z)，
??
?
π
?
单调减区间是
?
kπ，kπ＋
2
?
(k∈Z)．
??
53
π
12．设函数f(x)＝sinx＋acosx＋ a－，x∈[0，]的最大值是1，
822
2
试确定a的值．
5353
2
[解析] f(x)＝sinx＋acosx＋a－＝1－cosx＋ac osx＋a－＝
8282
2
a
2
1
2
a
－ (cosx－)＋(2a＋5a－4)．(1)若0≤≤1，即0≤a≤2，当cosx
282
a
＝时，
2
13
f(x)最大，此时(2a
2
＋5a－4)＝1，解得a＝；
82
a
(2)若>1，即a>2，当x＝0时，即cosx＝1时，
21
a
f(x)最大，此时－(1－)
2
＋(2a
2
＋5 a－4)＝1，
28
20
解得a＝(不符合条件，舍去)；
13
π
a
(3)若<0，即a<0，当x＝时，即cosx＝0时，
22
56