高中数学必修四练习册(后含答案)

1.1.1任意角
一、选择题
1．下列各命题正确的是( )
A．终边相同的角一定相等
B．第一象限角都是锐角
C．锐角都是第一象限角
D．小于90°的角都是锐角
2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的
是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
3．在“①160°，② 480°，③－960°，④－1600°”这四个角
中，属于第二象限的是( )
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
α
4．已知α为第三象限的角，则所在的象限是( )
2
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
5．以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的始边，终边在
x轴上的角等于( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
6．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由
OB位置顺时针旋转270°到达 OC位置，则∠AOC＝
( )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
7．若集合M＝{α|α＝±30°＋k·18 0°，k∈Z}，N＝{α|α＝(－
k
1)·30°＋k·180°，k∈Z}，则( )
A．M＝N B．M
?
N
C．M
?
N D．M
?
N
8．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是( )
不等式
?360?
?
?720
的元素
?
写出来.















14．写出与15°终边相同的角的集合，并求 该集合中适合
不等式－1080°≤β<720°的元素β.













15．写出终边落在坐标轴上的角的集合．








16.写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合．
??
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
二、填空题
9．设－90°<α<β<90°，则α－β的范围是________．
10．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是
__________．
11．将时钟拨慢5分钟，则时针转了________，分针转了
________． 12．自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮转
过一周时，小链轮转过的角度____ ____．
三、解答题
13．写出终边直线在
y?x
上的角的集合
S
,并把
S
中适合
1

1.1.2弧度制
一、选择题
1．在不等圆中，1rad的圆心角所对的( )
ππ
14．如果角α与角x＋终边相同，角β与x－终边相同，
A．弦长相等 B．弧长相等
44
C．弦长等于所在的圆半径
试求α－β的表达式．
D．弧长等于所在的圆半径

13

2．与－
π终边相同的角的集合是( )
3

?
π
??
5π
?

A.
?
－
3
?
B.
?
3
?

????

π
5
????

C.
?
α|α＝2kπ＋
3
，k∈Z
?
D.
?
α|α＝2kπ＋
3
π，k∈Z
?

????


3．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－

4≤α≤4}，则A∩B＝( )
15．钟表的时针和分针在3点到5点40分这段时间里各
A．
?
B．{α|0≤α≤π|
转过多少度？多少弧度？
C．{α|－4≤α≤4| D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}

4．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是____

弧度 ( )

πππ

A.π B. C. D.
234

5．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是( )

175π125π
??
3
A. B.
α＝
kπ，k∈Z
?
， 16．设集合A＝
?
α
?
3618
2
?
?
?
75π
34
??
C. D.
π
5
189
β＝
kπ，|k|≤10，k∈ Z
?
，求与A∩B的角终边B＝
?
β
?
3
?
?
?
6．在直角坐标系中，若角α与角β终边关
相同的角的集合．
于原点对称，则必有( )

A．α＝－β B．α＝－2kπ±β(k∈Z)

C．α＝π＋β D．α＝2kπ＋π＋β(k∈Z)

7．圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则

圆弧所对圆心角的弧度数为( )

π
2

A. B.
π C.3 D.2
33


8．下列各组角中，终边相同的角是( )

kπ
π
A.(2k＋1)π与(4k±1)π,k∈Z B.与kπ＋,k∈Z

22
37
ππ3π
kπ< br>17．已知α＝－570°，α＝750°，β＝
π，β
＝－
π.
1212
C.kπ＋与2kπ±,k∈Z D.kπ±与,k∈Z
53
6633
(1)将α
1
，α
2
用弧度制表示出来，并指 出它们各自所在
二、填空题
象限；
9．若两个角差是1°，它们的和是1弧度，则 这两个角的
(2)将β
1
，β
2
用角度制表示出来，并在－720° ～0°范围
弧度数分别是__________．
内找出与β
1
，β
2
有相同终边的角．
10．在下列表格中填上相应的角度或弧度数：

45° 60° 90° 135° 150° 180°
角度
0°

π5π3π
弧度




2π
8122

11．正n边形的一个内角的弧度数等于__________．

12．在半径为6的圆中，求长度为6的弦和它所对的劣弧


围成的弓形面积＝________.

三、解答题

13．x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运

动，已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2分钟到

达第三象限，经过14分钟回到原来的位置，那么θ是

多少弧度？















2

1.2.1任意角的三角函数
一、选择题
1．角α满足条件sinαcosα>0，sinα＋cosα<0，则α在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4
2．已知角α的终边经过点P(－b,4)，且sinα＝，则b等
5
于( )
A．3 B．－3 C．±3 D．5
αα
3．若α为第 一象限角，那么sin2α，cos2α，sin，cos中
22
必定取正值的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )
A．sinα＋cosα<0 B．tanα－sinα<0
C．cosα－cotα<0 D．cotαcscα<0 < br>13
5．已知P(－3，y)为角β的终边上的一点，且sinβ＝，
13
则y 的值为( )
111
A．± B. C．－ D．2
222
6．下面说法正确的是( )
A.正角的三角函数值是正的，负角的三角函数值是负
的，零角的三角函数值是0
B.角α终边上一点为P(x，y)，则sinα的值随y的增大
而增大
C.对任意角α，若α终边上一点坐标为(x，y)，都有tanα
y
＝
x
kπ
D.对任意角α(α≠，k∈Z)，都有|tanα＋cotα|＝|tanα|＋
2
|cotα|
θ
7．已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则的终边在( )
2
A．第二、四象限
B．第一、三象限
C．第一、三象限或x轴上
D．第二、四象限或x轴上
8．若角α的终边在直线y＝3x上且sinα<0，又P(m， n)
是α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
二、填空题
9．若三角形两内角α、β满足sinα·cosβ<0，则此三角形为
________．
10．使得lg(cosθ·tanθ)有意义的角θ是第__________象限
角．
11．函数y＝tanx＋lgsinx的定义域为________．
12．若点P(3a －9，a＋2)在角α的终边上，且cosα≤0，sinα>0，
则实数a的取值范围是______ ____．
三、解答题
sinx＋lg(9－x
2
)
13．求函数f(x)＝的定义域．
cosx





3








14．已知P(－2，y)是角α终边上一点，且sinα＝－
求cosα的值．







15．已知角α的终边上一点P(3a，－4a)，其中a<0，求
sinα＋cosα的值．












16．(1)若sin2α>0且cosα<0，试确定α所在象限．
(2)已知θ为第三象限角，判定sin(cosθ)·cos(sinθ)的值
的符号．













17．已知角α的终边落在直线y＝－3x上，求2sinα＋3cosα
的值．











5
，
5

一、选择题

1．已知角α的终边和单位圆的交点为P，则点P的坐标

为( )

A．(sinα，cosα) B．(cosα，sinα)

C．(sinα，tanα) D．(tanα，sinα)

2．下列不等式中，成立的是( )

A．sin1>sin2 B．cos114．求满足下列条件的角x的集合：
C．tan1>tan2 D．cot1(1)已知tanx>0，且sinx＋cosx>0；
3．已知α是第三象限角，则下列等式中可能成立的是( )
(2)已知tanx<0，且sinx－cosx<0.
A．sinα＋cosα＝1.2 B．sinα

＋cosα＝－0.9

C．sinαcosα＝3 D．sinα

＋cosα＝－1.2

4．下列四个命题中，不正确的个 数是

( )

①α一定时，单位圆的正弦 线一定；

②单位圆中，有相同正弦线的角相等；


③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上．


A．0 B．1

C．2 D．3
15．在单位圆中画出适合下列条件的角 α终边的范围，并
5．已知集合E＝{θ|cosθ由此写出角α的集合：
0≤θ<2π}，则E∩F( )
31
π
?
π3π
?
(1)sinα≥； (2)cosα≤－.
??
A.
?
2
，π
?
B.
?
4
，
4
?

22

3π
?
3π5π
???

C.
?
π，
2
?
D.
?
4
，
4
?


6．若tanθ≥0，那么θ的范围是( )

A．[0°，90°)

B．[0°，90°)∪(180°，270°)

C．[k·180°，k·180°＋90°)(k∈Z)


D．[k·360°，k·360°＋90°)(k∈Z)

7．以下命题正确的是( )

A．α、β都是第一象限角，若cosα>cosβ，则sinα>sinβ

B．α、β都是第二象限角，若sinα>sinβ，则tanα>tanβ

C．α、β都是第三象限角，若cosα>cosβ，则sinα>sinβ

D．α、β都是第四象限角，若sinα>sinβ，则tanα>tanβ

5π2π2π

8．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则( )
777
16．求下列函数的定义域．
A．a(1)y＝sinx·tanx；
C．b(2)y＝lgsin2x＋9－x
2
.
二、填空题

π
?
1
?
9．满足sin
?
x－
4
?≥
的x的集合是________．

2
17π

10．设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给
18

出的以下不等式中正确的是________．

①MP0>MP

③OM
11．若0≤θ<2π，则使tanθ≤1成立的角θ的取值范围是

________．
1

12．已知sinα＋cosα＝，那么α是第________象限角．
5

三、解答题

1

13．求函数y＝sinx＋cosx－的定义域．
2


1.2.2三角函数线
4

14．求证：sin
2
α·tanα＋cos
2
α·cotα＋2sinα·cosα＝tanα＋cot α.

一、选择题

5
1．若α为第四象限角，tanα＝－，则sinα＝( )

12

1155
A. B．－ C. D．－

551313

2．已知sinα、cosα是方程3x
2
－2x＋a＝0的两根，则实数

a的值为( )

65

A. B．－
56

34

C. D.
43


3．设sinα＋cosα＝2，则tanα＋cotα的值为( )

A．±2 B．－2
15．已知tan
2
α＝2tan2
β＋1，求证：sin
2
β＝2sin
2
α－1.
C．1 D．2

sinθ＋cosθ
4．已知＝2，则sinθcosθ的值是( )

sinθ－cosθ

3333

A．－ B. C．± D.
1010104

|tanα|sinα

5． 若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋
2
tanα
1－cos
α


的值等于( )

A．2或－2 B．－2或0

C．2或－2 D．0或2

1－sinx1＋sinx

6．已知x为第四象限角，则－＝
1＋sinx1－sinx

( ) < br>16．已知sinθ、cosθ是关于x的方程x
2
－kx＋k＋1＝0的
A． －2tanx B．2tanx
两个实根，且0<θ<2π，求实数k、θ的值．
C．2tanx或－2tanx D．0


7．已知α为第四象限角，则cosα·cscα·sec
2
α－1的值为

( )

A.3 B．－3 C．1 D．－1

π
111
8．若0≤x≤，sinxcosx＝，则＋的值为( )

22
1＋sinx1＋cosx

A．39＋105 B．9－25

C．9＋215 D．4－22


二、填空题

4
9．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________.

5

sin
2
θ＋4
10．若＝2，则(cosθ＋3)( sinθ＋1)＝________.

cosθ＋1

11．已知sin θ＋sin
2
θ＝1，则cos
2
θ＋cos
4
θ的值为_ _______．
1－sin
6
θ－cos
6
θ
17．化简.
π< br>1
π
π
1－sin
4
θ－cos
4
θ
α＋
?
＝，0<α<，则sin
?
α＋
?
＝______ __. 12．已知cos
?
?
4
?
3
?
4
?
2

三、解答题

13．已知3sinα－2cosα＝0，求下列各式的值．

cosα－sinαcosα＋sinα
(1)＋；
cosα＋sinαcosα－sinα

(2)sin
2
α－2sinαcosα＋4cos
2
α.

















1.2.3同角三角函数基本关系
5

三、解答题
cotα·cos(π＋α)·sin
2
(3π＋α)
一、选择题
13．化简：.
tanα·cos
3
(－π－α)
1．已知角θ的 终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )

44
A. B．－

55

33
C. D．－

55
2．设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在①sin(A＋


B)－sinC；②cos(A＋B)＋cosC；③tan(A＋B)＋tanC；

π
④cot(A＋B)－cotC(C≠)，这四个式子中值为常数的有

2

( )

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个
1
14．已知cos(75°＋α)＝，其中α为 第三象限角，求cos(105°
3．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝( )
3
－α)＋sin(α－105°)的值．
1－k
2
1－k
2
A. B．－

kk

kk
C. D．－

1－k
2
1－k
2

π
1
?
< br>4．已知sin(π－α)＝log
8
，且α∈
?
?
－
2
，0
?
，则tan(2π－α)
4

的值为( )

2525

A.－ B.
55


255
C.± D.
sin(kπ－α)cos(kπ＋α)
52
15．求证：＝－1，k∈Z.
sin[(k＋1)π＋α]cos[(k＋1)π＋α]
2sin(π＋α)cos(π－α)－c os(π＋α)
35π
5．设α＝－，则的值

6
1＋sin
2
α＋sin(π－α)－cos
2
(π－α)

等于( )

33

A. B.－
33

C.3 D.－3

6．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋


α)·cos(180°－α)等于( )

m
2
－1m
2
＋1
A. B.

22

1－m
2
m
2
＋1
C. D.－

22

sin(α－3π)＋cos(π－α)

7．若tan(7π＋α)＝a，则的值为( )
sin(－α)－cos(π＋α)

a－1a＋1
?
?
sinπx (x<0)
A. B.
16．已知f(x)＝
?
，
a＋1a－1
?
f(x－1)－1 (x>0)
?
C.－1 D.1
1111
－
?
＋f
??
的值． 求f
?< br>sin[α＋(2n＋1)π]＋sin[α－(2n＋1)π]
?
6
??6
?
8．化简(n∈Z)得到的结
sin(α＋2nπ)cos(α－2nπ)< br>
果是( )

A．0 B．－2secα

C．2cscα D．2secα

二、填空题

1
9．已知cos(π＋α)＝－，则tan(α－9π)＝________.
2

10．已知角α的终边上一点P(3a,4a)，a<0，则cos(540°

－α)＝________.

π
?
42
?
11 ．sin
?
－
3
?
＋2sin
π＋3sinπ等于____ ____．

33

tan(－150°)cos(－570°)cos( －1140°)
12．求值：＝________.
cot(－240°)sin(－690°)

1.3. 1三角函数的诱导公式（1）

6

π
1
α－
?
＝， 14．已知α是第二象限的角，且 cos
?
?
2
?
5
一、选择题
?
－3π
－α
?
π
?
π
1
?
sin(π＋ α)·cos(π－α)·tan
1．已知sin(α－)＝，则cos
?
6
＋α
?
的值为( )
?
2
?
33
求的值． < br>π3π
????
112323
tan
?
2
＋α
?
·cos
?
2
＋α
?
A. B．－ C. D．－
3333

π
??
sin
?
2
＋θ
?
－cos(π－θ)


2．已知tanθ＝2，则＝( )
π
??

sin
?
2
－θ
?
－sin(π－θ)

2

A．2 B．－2 C．0 D.
3

π
π
?
?
－θ
?
?
cot
－θ
cos
?
2
?
cos(8π－θ)sin(θ－ 5π)
2
??
cos(8π－θ)sin(θ－5π)
3．化简··＋sin (－θ)的结
15．化简：··＋sin(－θ)．
3
?
sin(－θ－4 π)tan(3π－θ)
?
cos(3π－θ)sin(θ－3π)sin(－θ－4π)θ－π
tan
?
2
?

果为( )

3

A．0 B．1 C．2 D.
2

4π
25
5π

4．计算sin·cos
π·tan
的值是( )
364


3333
A．－ B. C．－ D.

4444

5．设sin160°＝a，则cos340°的值是( )

A．1－a
2
B.1－a
2

sin(nπ －x)cos(nπ＋x)nπ
?
16．已知f(x)＝·tan(x－nπ)cot
?
C．－1－a
2
D．±1－a
2

?
2
＋x
?
cos[(n＋1)π－x]
7π33π
23π
7
?
－
?
，b＝cos，c＝sin
?
－
?
，则a、6．已知a＝tan
?
(n∈Z)，求f
?
?
6
??
4
?
4
?
6
π
?
.
b、c的大小关系是( )

A．b>a>c B．a>b>c

C．b>c>a D．a>c>b


7．如果f(sinx)＝cos2x，那么f(cosx)等于( )

A．－sin2x B．sin2x

C．－cos2x D．cos2x

3π
1
??

8．若cos(π＋α) ＝－，那么sin
?
2
－α
?
等于( )
3

112222

A．－ B. C. D．－
3333

二、填空题
17．已知α是第三象限角，
9．化简tan1°·tan2°·tan3°·…·tan89°＝________.
?
－α＋
3π
?
sin(π－α)cos(2π－α)tan
π
?
π
2
??
?
π
?
－x
＋cos
2
?
x－
?
＋cot(19π－x)，10．设φ(x)＝sin
2
?
则φ
f(α)＝.
?
2
??
2
??
3
?
cot(－α－π)sin(－π－α)
＝________.
(1)化简f(α)；
11．化简：sin
2
1°＋sin
22°＋sin
2
3°＋…＋sin
2
89°＝______.
?
α－
3π
?
＝
1
，求f(α)的值； (2)若 cos
π
?
5π
2
?
5
?
－α
＝ a，|a|≤1，则sin
?
－α
?
＝________. 12．已知co s
?
?
3
??
6
?
(3)若α＝－1860°，求 f(α)的值．
三、解答题

11
13．已知cosα＝，cos(α＋β)＝1，求证：cos(2α＋β)＝.

33


















1.3. 2三角函数的诱导公式（2）
7

1.4.1正、余弦函数的图象和性质（1）
一、选择题

1.使
cosx?
1?m
有意义的
m
的值为( )
1?m
A．
m?0
B．
m?0

C．
?1?m?1
D．
m??1
或
m ??1

2.
方程
cos(x?
51
0,100
?

?
)?()
x
在区间（

）解的个数
22
是（

）

A
．
98
B
．
100
C
．
102
D
．
200

3
．下列函数中，以
π
为周期的偶函数是
( )

A
．
y?|sinx|
B
．
y?sin|x|

C
．
y?sin(2x?
?
?
)
D
．
y?sin(x?)

2
3
(1)sin14°与sin156°； (2)cos115°与cos260°；
(3)sin194°与cos160°.












（

）




14．已知函数y＝a－bsin(4x－
小值是1，求a，b的值.










15.求函数
y?2sinx?2cosx?3
的值域.










2
4．设a为常数，且
a?1,0?x?2
?
，则函数


?
)(b>0)的最大值是5，最
3
f(x)?cos
2
x?2asinx?1
的最大值为（ ）
A
．
2a?1
B
．
2a?1
C
．
?2a?1
D
．
a
2

5
． 函数
f(x)
＝
x
3
＋
sinx
＋
1(x
∈
R)
，若
f(a)
＝
2
，则
f(
－
a)
的
值为
(

)
A
．
3 B
．
0
C
．－
1 D
．－
2
6
．
y
＝
sinx
－
|sinx|
的值域是
(

)
A
．
[
－
1,0] B
．
[0,1]
C
．
[
－
1,1] D
．
[
－
2,0]
x
3π
7．在同一平面直角坐 标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0,2π])
22
1
的图象和直线y＝的交点 个数是( )
2
A
．
0 B
．
1
C
．
2 D
．
4
8
．函数
y
＝
sin|x|
的图象是
(

)
13
16．若函数y＝cos
2
x＋asinx－a－的最大值 为1，求a的
22

值．



二、填空题


2
9．f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x－sinx，则当x<0时，

f(x)＝________.

π
π
??
10．函数f (x)＝cos
?
2
＋2x
?
·cos(＋x)是________ 函数．(奇、

2

偶性)
31

11．函数y＝a＋bsinx的最大值是，最小值为－，则a
22

＝________，b＝________.

π
??
12．函 数y＝sin
?
－x＋
4
?
的单调递减区间为________．

三、解答题
13．不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：

8

1.4.2正、余弦函数的图象和性质（2）
一、选择题
1．函数
y??cosx?
cosx
的定义域是( )
sinx
π
x＋
?
＝k在[0，π]上有两解，10．已知关于 x的方程2sin
?
?
4
?
则实数k的取值范围是________ ．

x

|,
）
f(x)?sinx

?2|
（
sinx

?
?
0,2?
?
的图象与直11．函数
线
y? k
有且仅有两个不同的交点,则
k
的取值范
围是__________． < br>12．函数y＝
3
A．
[k
?
?
?
,k?
?
?
]
2
3
B．
[2k
?
?
?
,2k
?
?
?
]

2
3
?
C．
(2k
?
?
?
,2 k
?
?
?
]或x?2k
?
?
22
3
D．
(2k
?
?
?
,2k
?
?
?]

2
2．定义在R上的函数
f(x)
既是偶函数又是周期函数 ，若
f(x)
的最小正周期是
?
，且当
x?[0,
3cos x?1
的值域是__________.
cosx?2
三、解答题
13．求下列函数的单调递增区间：


2

（ ）
f(x)?sinx
，则
f(
5
?
)
的值为( )

3

A．
?
1
B．
1
C．
?
3
D．
3

22
2
2

3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，

sinB－cosA)在( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限
1
?
1
π
sin2x
?
. 14．已知函数f(x )＝log
??
?
2
?
2
4.函数y＝sin
?< br>x＋
4
?
在闭区间( )
(1)求f(x)的定义域、值域和单调区间；
ππ
?
3
π
???
A.
?
－
2
，
2
?
上是增函数 B.
?
－
4
π，
4
?
上是增函数
(2)判断f(x)的奇偶性．

π
3
－，
π
?
上是增函数
C.[－π，0]上是增函数 D.
?
?
44
?

5．函数y＝sin2x的单调减区间 ( )

π
3

＋2kπ，
π＋2kπ
?
(k∈Z)
A.
?
2
?
2
?

π
3
??
B.
?
kπ＋
4
，kπ＋
4
π
?(k∈Z)

C.[π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈Z)

ππ

kπ－，kπ＋
?
(k∈Z) D.
?
44
??

?
6. 已知函数
f(x)?s in(
?
x?)?1
，则下列命题正确的
x
π
15．已知函 数f(x)＝3sin(＋)＋3
2
26
是（ ）
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
A．
f(x)
是周期为1的奇函数
(2)求f(x)的单调递减区间．
B．
f(x)
是周期为2的偶函数
C．
f(x)
是周期为1的非奇非偶函数
D．
f(x)
是周期为2的非奇非偶函数
7
．已知方程
c os
2
x
＋
4sinx
－
a
＝
0
有解，则
a
的范围是
(

)
A
．
[
－
2,5] B
．
(
－
∞
，
5]
C
．
[
－
4,4] D
．
[0,5]
7

8
．函数
y
＝
4
＋
sinx
－
sin
2
x
的最大值是
(

)

71

A..
4

B.
－
4

C.2

D.
不存在


二、填空题

1x?
?
9．已知函数
y?sin(A?0)
的最小正周期为3
?
，

2A

则A= .
?
?
?
x
)； ②y＝3sin(
?
)；
632
?
x
③ y＝3sin(
?
)
x?[?2
?
,2
?
]
；
32
①y＝cos(2x＋
]
时，
9

1.4.3正切函数的图像和性质
一、选择题
π
2x＋
?
的图象不相交的一条直线是( ) 1．与函数y＝tan
?
4
??
ππππ
A．x＝ B．y＝ C．x＝ D．y＝
2288
ππ
2．在区间(－，)内，函数y＝tanx 与函数y＝sinx的图象
22
交点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
ππ
3．下列函数中，周期为π且在[，]上为减函数的是( )
42
ππ
A．y＝sin(2x＋) B．y＝cos(2x＋)
22
ππ
C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)
22
ππ
4．函数y＝cos(x＋)，x∈[0，]的值域是( )
62
3113
A．(－，] B．[－，]
2222
31
C．[，1] D．[，1]
22
π
5．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(，0)，则φ可以
12
是( )
ππππ
A.－ B. C.－ D.
661212
6．下列命题中，正确的是( )
A．y＝tanx是增函数
B．y＝tanx在第一象限是增函数
ππ
C．y＝tanx在区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数
22
D．y＝tanx在某一区间内是减函数
7．直线y＝a(a为常数)与正切曲 线y＝tanωx(ω为常数，且
ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )
2ππ
A.π B. C. D.与a值有关
|ω||ω|
1
8．函数y＝logtanx的定义域为( )
2
?
π
?
0?
A.
?
x
?
4
??
?
?
?
?
π
??

2kπB.x
?
4
??
??< br>π
kπ?
C.
?
x
?
4
?
?
?
??
ππ
kπ－ ?
D.
?
x
?
24
?
?
?
二、填空题
π
3x＋
?
的单调递减区间是________． 9．函数y＝－2tan
?
4
??
10．给出下列命题：
①函数y＝sin|x|不是周期函数；
1
π
cos2x＋
?
的周期是； ②函数y＝
?
2
??
2
5π
?
③y＝sin
?
?
2
＋x
?
是偶函数．
其中正确的命题的序号是________．
1x＋π
11．已知切函数y＝tan(A>0)的最小正周期为3π，则
2A




A＝________.
12．函数y＝lg(tanx)的增区间是________．
三、解答题
1< br>π
?
13．求函数y＝tan
?
?
2
x－
6
?
的定义域、周期及单调区间．










14．作出图象y＝tan|x|的图象，并根据图象判断其周期性，
并求出单调区间．













tanx＋1
15．判断函数f(x)＝lg的奇偶性．
tanx－1













π
16．若函数f(x)＝tan2
x－atanx(|x|≤)的最小值为－6，求实
4
数a的值．











10

1.5.1函数y＝Asin(ωx＋φ)图像和性质（1）
一、选择题
2
π
?
1．函数y＝5sin
?
?< br>5
x＋
6
?
的最小正周期是( )
25
π
A.
π B.π C．5π D.

526
1
2．下列表示最值是，周期是6π的三角函数的表达式是2
( )
1x
π
1
π
A．y＝sin(＋) B．y＝sin(3x＋)
23626
x
π
1
π
C．y＝2sin(－) D．y＝sin(x＋)
3626
π
3．下列四个函数中，最小正周期是π且图象关 于x＝对
3
称的是( )
x
ππ
A．y＝sin(＋) B．y＝sin(2x＋)
266
ππ
C．y＝sin(2x－) D．y＝sin(2x－)
36
3
2x＋
π
?
的图象( )
4．函数f(x)＝4sin
?
2
??
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
π
C．关于y轴对称 D．关于x＝对称
2
π
5．函数y＝5sin(2x＋)的图象，经过下列平移变换，就可
6
得到函数y＝5 sin2x的图象( )
ππ
A．向右平移 B．向左平移
66
ππ
C．向右平移 D．向左平移
1212
6．函 数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数
的解析式为( )
2π
A．y＝2sin(2x＋)
3
π
B．y＝2sin(2x＋)
3
x
π
C．y＝2sin(－)
23
π
D．y＝2sin(2x－)
3
7．函数
y?sin(2x?
( )
A．
x??
?

2
C．
x?
B．
x??< br>π
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸
6
长到原来的3倍(纵坐 标不变)
π
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸
6
长到原来 的3倍(纵坐标不变)
二、填空题
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω> 0)的最大值为3，最
2ππ
小正周期是，初相是，则这个函数的解析式为
76
________．
10．函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分 图象如
图，则y＝________.
π
?
11．若函数f(x)＝3si n(ωx＋φ)对任意的实数x都有f
?
?
3
＋x
?
＝π
?
π
－x
，则f
??
的值为________． f
?
?
3
??
3
?
π
2x－
?的图象为C，如下结论中正确12．函数f(x)＝3sin
?
3
??
的 是________(写出所在正确结论的编号)．
11π
①图象C关于直线x＝对称； < br>12
2π
?
②图象C关于点
?
?
3
，0?
对称；
π5π
－，
?
内是增函数； ③函数f(x)在区间
?
?
1212
?
π
④由y＝3sin2x的图象向右平移个 单位长度可以得到
3
图象C.
三、解答题
π
13．已知函数y＝ Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的
2
一个最高点为(2,22)， 由这个最高点到相邻最低点，
图象与x轴交于点(6,0)，试求这个函数的解析式．

















5
?
)
的图象的一条对称轴方程是
2
?

4

D．
x?
5
?

8
4
x
π
?
8．为了得到函数y＝2sin
?
?
3
＋
6
?
，x∈R的图象，只需把函
数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点 ( )
π
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩
6
1
短到原来的倍(纵坐标不变)
3
π
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐 标缩
6
1
短到原来的倍(纵坐标不变)
3

11

?

π
14．已知函数f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋ 1(其中a为常数)．
6
(1)求f(x)的单调区间；
π
(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
2
(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合．
















15．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝ f(x)图象的一条
π
对称轴是直线x＝.
8
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．



















π
2x＋
?
＋2a＋b(a≠0 )的定义域16．已知函数f(x)＝－2asin
?
6
??
π
0，
?
，值域为[－5,1]，求常数a、b的值． 为
?
?
2
?









12

1.5.2函数y＝
a
sin(ωx＋φ)图像和性质（2）
一、选择题
1．函数y＝|cosx|的周期为( )
ππ
A．2π B．π C. D.
24
ππ
2．函数y＝lncosx(－22
3．若cot130°＝a，则cos50°等于( )
aa
A. B．－
1＋a
2
1＋a
2

1＋a
2
a
C．± D．±
a
1＋a
2
3π
4．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)
2< br>π
?
?
cosx
?
－
2
≤x≤0
?
??
，则f
?
－
15π
?
的值等于( ) ＝< br>?
?
4
?
?
?
sinx(0≤x≤π)
22
A．1 B. C．0 D．－
22
5．已知函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示，则常数
A、ω、φ、b的取值是( )


1
π
A．A＝6，ω＝，φ＝，b＝－2
23

1
π
B．A＝－4，ω＝，φ＝，b＝－2
23
π
C．A＝4，ω＝2，φ＝，b＝2
3
1
π
D．A＝4，ω＝，φ＝，b＝2
23
6．已知f (x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0的图象如图所示，那么不等式f( x)cosx<0的解集为
( )

14．比较下列各组数的大小
317
(1)cos，sin，－cos；
2104
?
sin3π
?
，sin
?
cos
3π
?
. (2)sin

?
8
??
8
?
ππ

－3，－
?
∪(0,1)∪
?
，3
?
A.
?
2
???
2
?

ππ

－，－1
?
∪(0,1)∪
?
，3
?
B.
?
?
2
??
2
?

π

－3，－
?
∪(0,1)∪(1,3) C.
?
2
??


D．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)

4
x＋
π
?
的图象向右平移φ个单位，所得

7． 把函数y＝cos
?
?
3
?
到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的 最小值为


( )

42
π
5
A.
π B.π C.
D.
π

3333
π
π
?15．求函数y＝2cos(－4x)的单调区间、最大值及取得最
?
6
8．下列 函数中，既是
?
0，
2
?
上的增函数，又是以π为周期
大值 时x的集合．
的偶函数的是( )

A．y＝|sinx| B．y＝|sin2x|

C．y＝|cosx| D．y＝cos2x

二、填空题

2a－3

9．要使cosx＝有意义，则a的取值范围是________．

4－a

nπ
10．已知f(n)＝cos，n∈N
*
，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)

4

＝________.

π
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，在同一周期内当x＝时，

12

7π

y
max
＝2；当x＝时，y
min
＝－2，那么函数的解析式
12

为________．

12．若函数y＝acosx＋b(a、b为常数)的最大值为1，最小

值为－7，则y＝3＋absinx的最大值为________．

三、解答题
ππ
kx－
?
，g(x)＝bcos
?
2kx－
?
(a>0，16．设函数f(x)＝asin
?
3
?
6
?? ?
13．求下列函数图象的对称轴、对称中心：
π
?
3π
1
π
?
b>0，k>0)，若它们的最小正周期之和为，且f
?
x＋
； (1)y＝2sin
?
?
2
?
＝
2
?
33
?
π
??
π
?
π
1
?
π?
－1，求这两个函数的解析式． 3x＋
?
.
g
?
，f＝－3g
(2)y＝cos
?
?
2
??
4
??
4
?
6
?
2
?




































13

1.6三角函数模型的简单应用
一、选择题
1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离
开平衡位置O 的距离s cm和时间t s的函
π
100πt＋
?
，那么单摆数关系式为s＝6sin
?
6
??
来回摆动一次所需的时间为( )
11
A. s B. s C．50 s D．100 s
50100
2． 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的
基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋
π
A>0，ω>0，|φ|<
?
的模型波动(x为月份)，已知3月b
?
2
??
份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据
以上条件可 确定f(x)的解析式为( )
ππ
?
x－
＋7(1≤x≤12，x∈N
*
) A．f(x )＝2sin
?
44
??
ππ
?
*
B．f(x)＝ 9sin
?
?
4
x－
4
?
(1≤x≤12，x∈N )
π
C．f(x)＝22sinx＋7(1≤x≤12，x∈N
*
) 4
ππ
?
*
D．f(x)＝2sin
?
?
4< br>x＋
4
?
＋7(1≤x≤12，x∈N)
π
?
3． 若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f
?
?
6
＋x
?
＝
π
?
π
－x
，则f
??
等于( ) f
?
?
6
??
6
?
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
4. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P从点A
出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧
AP 的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大
致是( )
二、填空题
m
π
?
23
x＋
的最小正周期在
?
，
?
内，则正整6．函数y＝2sin
?
?
33
??
34
?
数m的值是________．
7．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25s in(160πt)，其
中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心
跳的次数是________．
8．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，
小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函
g
π
?
数关 系式时s＝3cos
?
，其中g是重力加速度，
?
l
t＋
3
?
当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于________．
三、解答题
9. 如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2
m，已知水轮每分钟转动5圈 ，如果当水轮上点P从水
中浮现时(图中点P
0
)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？










10．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的
函数，下面是水深数据：
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0

据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可
近似的看成正弦函数型y＝Asin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5

米是安全的，如果某 船的吃水度(船底与水面的距离)为7
5．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时) 的函数，
米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当
其中0≤t≤24.下表是该港 口某一天从0时至24时记录
天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时
的时间t与 水深y的关系：
间？(忽略离港所用的时间)
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24

y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1

经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y

＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示

表中数据间对应关系的函数是( )

π
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]

6

π
??
B．y＝12＋3s in
?
6
t＋π
?
，t∈[0,24]

π

C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
12

ππ
?

D．y＝12＋3sin
?
?
12
t＋
2
?
，t∈[0,24]
14

1章末
一、选择题
1．若sinα<0且tanα>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．若α是钝角，则θ＝kπ＋α，k∈Z是( )
A．第二象限角 B．第三象限角
C．第二象限角或第三象限角
D．第二象限角或第四象限角
π
3．已知函数f(x)＝sin(πx－)－1，下列命题正确的是( )
2
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
π
4．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是
2
( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
π
B．函数f(x)在区间[0，]上是增函数
2
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
5．在下列区间中，函数y＝cos2x是减函数的是( )
πππ3πππ
－，
?
B.
?
，
?
C.
?
0，
?
D.
?
，π
?
A.
?
?
44
??
44
??
2
??
2
?
π
6．将函数y＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动个单
10
位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵 坐
标不变)，所得图象的函数解析式是( )
ππ
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
105
1
π
1
π
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
210220
4π
?
7．如果函数y＝3cos( 2x＋φ)的图象关于点
?
?
3
，0
?
中心对
称， 那么|φ|的最小值为( )
ππππ
A. B. C. D.
6432
8．函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y ＝2围成的一个
封闭图形的面积是( )
A．4 B．8 C．2π D．4π
二、填空题
9．函数f(x)的定义域为[0,1]，则f(cosx)的定义域为
________．
10．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在
闭区间[－π ，0]上的图象如图所示，则ω＝________.











在，试说明理由．
12．已知sin(3π＋θ)＝lg
1
3
10
，求值：
三、解答题

1m
11．是否存在实数m，使sinx＝，cosx＝成立 ，
1－mm－1
且x是第二象限角？若存在，请求出实数m；若不存
15

cos(π＋θ)cos(θ－2π)
＋.
cosθ[cos(π－θ)－1]cosθ·cos(π－θ)＋cos(θ－2π)













1＋sinα＋cosα＋2sinαcosα
13．化简.
1＋sinα＋cosα














14．已知sinα、cosα是关于x的方程 8x
2
＋6mx＋2m＋1＝
11
0的两根，求＋的值．
sinαcosα

5π
?
阶段性测试题 一(第一章基本知能检测)
则f
?
?
3
?
的值为( )
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
1133
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，
A．－ B. C. D．－
2222
每小题有4个选项，其中有且仅有一个是 正确的，把正确
?
的选项填在答题卡中)
11．要得到
y?cos(2x? )
的图象，只要将
y?sin2x
的
1．sin480°的值是( )
3
1313
图象( )
A.－ B.－ C. D.
2222
5
?
5
?
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
2．tan300°＋cot405°的值为( )
66
A．1＋3 B．1－3
5
?
5
?
C.向左平移个单位 D.向右平移个单
C．－1－3 D．－1＋3
1212
3．下列命题中不正确的个数是( )
11
12．已知函数f( x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，则f(x)的
①小于90°的角是锐角；
22
②终边不同的角的同名三角函数值不等；
值域是( )
③若sinα>0，则α是第一、二象限角；
2
A．[－1,1] B.
?
－，1
?

④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边 上一点，
?
2
?
－x
?
－1，
2
?
D.
?
－1，－
2
?

则cosα＝
22
.
C.
x＋y
2
?
2
???
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
|ta nα|sinα
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把
4．若角α的终边落 在直线x＋y＝0上，则＋
2
tanα
1－cos
α
正确答案填在题 中横线上)
π
π5π
3
11π7π7π
的值等于( )
2
－
?
＋sin13．cos－tan＋tan
2
?
＋c os＋sin＝
?
6
?
344662
A．2或－2 B．－2或0
________.
C．2或－2 D．0或2
14．函数y＝cosx的单调递减区间是________．
1
π
5．函数y＝|sin(x－)|的周期为( )
34
15 ．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A，ω>0,0<φ<π)的图
A．3π B．4π C．5π D．6π
象的一部分，则函数的解析式为
2
________．
6．若α是三角形的 内角，且sinα＋cosα＝，则该三角形
3
16．若函数y＝f(x)同时具有性质：
是( )
①是周期函数且最小正周期为π；
A．钝角三角形 B．锐角三角形
?
－
π
，
π
?
上是增函数； ②在
C．直角三角形 D．等腰三角形
?
63
?
π
111
?
π
－x
?
＝ f
?
π
＋x
?
.
7．若0≤x≤，sinx·cosx＝，则＋的值是( )
③对任意x∈R，都有f22
1＋sinx1＋cosx
?
3
??
3
?
则函数y＝f(x)的解析式可以是________．(只需写出满
A．39＋105 B．9－25
足条件的函数y＝f(x)的一个解析式即可)
C．9＋215 D．4－22
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文
π
??8．函数f(x)＝tan
?
x＋
4
?
的单调递增区间为( )
字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)
ππ
kπ－，kπ＋
?
，k∈Z A.
?
π
?3π3π
22
??
－α
＝2cos
?
＋β
?< br>，3sin
?
－α
?
＝ 已知cos
?
?
2
??
2
??
2
?
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z < br>π
?
3ππ
－2sin
?
kπ－，kπ＋
?
，k∈Z C.
?
?
2
＋β
?
，且0<α<π，0<β<π ，求α，β的值．
44
??

π3π
kπ－，kπ＋
?
，k∈Z D.
?

44
??

9．若把函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2

π
倍，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位，

2

1
向下平移1个单位，最后得到的图象正好与函数y＝

2

sinx的图象相同，则f(x)的解析式为( )

11

A．y＝－cos2x＋1 B．y＝cos2x＋1
22

ππ
11

2x－
?
＋1 D．y＝sin
?
2x＋
?
＋1 C．y＝sin
?
4?
4
?
2
?
2
?

10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数、又是周期函数，

π

0，
?
时，若f(x)最小正周期为π，且当x∈
?
f(x)＝sinx，
?
2
?
16

??
1
s inθ≥，0≤θ≤π
?
，18．(本小题满分12分)若集合M＝
?
θ?
2
?
??
??
1
cosθ≤，0≤θ≤π
?
，求M∩N. N＝
?
θ
?
2
?
??


















19．(本小题满分12 分)图为函数y
1
＝Asin(ωx＋φ)的一段图
ππ
－，
?. 象，已知A>0，ω>0，φ∈
?
?
22
?
(1)写出函数 y
1
的解析式；
(2)若函数y
2
与y
1
的图象 关于直线x＝2对称，求函数
y
2
的解析式．













π
2x－
?
＋1的图象20．(本小题满分12分)说明y＝－2sin?
6
??
是由y＝sinx的图象怎样变换而来的．
















17

21．(本小题满分12分)某 港口水的深度y(米)是时间
t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似
地看成函数y＝Asinωt＋b的图象 .
3 6 9 12 15 18 21 24
t(时)
0
y(米)
10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
(1)试根据以上数据，求出函数y＝Asinωt＋b的最小正
周期、振幅和表达式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5
米或5米以上时被认为是安全的．某船吃水 深度(船
底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天
内安全进出港，问：它至多能在 港内停留多长时间
(忽略进出港所需的时间)?




















π
22．(本小题满分14分)已知函 数f(x)＝23sin(3ωx＋)，
3
其中ω>0.
(1)若f(x＋θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值；
π
(2)若f(x)在(0，]上是增函数，求ω的最大值．
3

阶段性测试题二(第一章综合素质检测)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，
每小题有4个选项， 其中有且仅有一个是正确的，把
正确的选项填在答题卡中)
1．tan600°的值是( )
33
A．－ B.
33
C．－3 D.3
2．角α满足条件sinαcosα>0，sinα＋cosα<0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．在区间[－π，π]上既是增函数，又是奇函数的是( )
x
π＋
?
A．y＝sin2(π－x) B．y＝sin
?
?
4
?
π
x
?
3π＋x
＋ D．y＝cosC．y＝sin
?

?
22
?
2
1
4．已知sinx－cosx＝
(0≤x<π)，则tanx等于( )
5
3434
A.－ B.－ C. D.
4343
5．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是( )
πππ3π
－，
?
B.
?
，
?
A.
?
?
44
??
44
?
3π3π
π，
?
D.
?
，2π
?
C.
?
2
???
2?
6．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<π)的最小正周期为T，
且当x ＝2时取得最大值，那么( )
π
A．T＝2，θ＝ B．T＝1，θ＝π
2
π
C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝
2
α< br>αα
sin
?
＝－sin，7．已知α是第三象限角，且
?
则 角是( )
?
2
?
22
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3
π
?< br>8．函数f(x)＝sin
?
?
2
x＋
4
?
的图象相邻的两个零点之间的距
离是( )
π2π4π
A. B. C. D．2π
333
π
－3x＋
?
的一个对称中心为( ) 9．函数y＝co s
?
3
??
π
?
π5ππ
，0
B.
?
，0
?
C.
?
，0
?
D.
?
，0
?
A.
?
?
6
??
3
??
18
??
2
?
10．如图，质点P在半径为2的圆周 上逆时针运动，其初
始位置为P
0
(2，－2)，角速度为1，那么点P到x
轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )

π
11．若|x|≤，那么函数y＝cos
2
x＋sinx的最小值是( )
4
18

2－11－2
B.
22
2＋1
C.－ D.－1
2
π
x＋< br>?
＝2m在[0，π]内有相异两实12．关于x的方程2sin
?
?
4
?
根，则实数m的取值范围为( )
11
12
－，
?
B.
?
，
?
A.
?
?
22
?
?
22
?
2212
C.
?
－，
?
D.
?
－，
?

?
22
??
24
?
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把
正确答案填在题中横线上)
13．已知sinα、cosα是方程2x
2
－x－m＝0的两根，则m
＝____ ____.
14．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒
针均匀地绕点O旋转 ，当时间t＝0时，点A与钟面
上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示
成t (s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60].
15．已知函数f(x)＝a sin2x＋cos2x(a∈R)的图象的一条对称
π
轴方程为x＝，则a的值为_____ ___．
12
π
?
16．有一种波，其波形为函数y＝sin
?< br>?
2
x
?
的图象，若在区
间[0，t]上至少有2个波峰(图 象的最高点)，则正整数
t的最小值是________．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文
字说明，证明过程或演算步骤) < br>17．(本小题满分12分)已知角α的终边上的一点的坐标是
2
P(－3，y)，且s inα＝y，求sinα和tanα.
4












18．(本小题满分12分)
sinx＋lg(25－x
2
)
求函数f(x)＝的定义域．
cosx













A.

π5π
≤ x≤
?
与函数y19．(本小题满分12分)由函数y＝2sin3x
?
6< br>??
6
＝2(x∈R)的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形
的面积．


























1
20．(本小题满分12 分)已知sinx＋siny＝，求t＝siny－cos
2
x
3
的最值．






























19


21．(本小题满分12分)如图所示，函数y＝Asin(ωx ＋
π
φ)(A>0，ω>0，|φ|≤
)的图象上相邻的最高点与最低
25π
??
11π
，3
和
，－3
?
，求该函数的 点的坐标分别为
?
1212
????
解析式．

















22．(本小题满分14分)已知某海滨浴场的 海浪高达y(米)
是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下
表是 某日各时的浪高数据.
t(时)
0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5

经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝
Acosωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正
周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者
开放，请依据(1)的结论，判断一天 内的上午8:00
至晚上20:00之间，有多长时间可供冲浪者进行运
动？

是共线向 量；③若两个单位向量互相平行，则这两个
单位向量相等；④温度有零上温度和零下温度，所以
温度是向量．
其中为真命题的是________．
→→→→
12．若|AB|＝ |AD|，且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为
________．
三、解答题 13．某人从A点出发，向东走到B点，然后，再向正北方
→→
向走了60m到达C点．已 知|AC|＝120m，求AC的方
向和A、B的距离．





14．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形
OAED，OCFB都 是正方形．在图中所示的向量中：
4．若
a
为任一非零向量，
b
为 其单位向量，下列各式：
→→
a
(1)分别写出AO，BO相等的向 量；
①|
a
|>|
b
|；②
a
∥
b
；③|< br>a
|>0；④|
b
|＝±1；⑤＝
b
|a|
→
(2)写出与AO共线的向量；
其中正确的是( )
→
A．①④⑤ B．③
(3)写出与AO的模相等的向量；
→→
C．①②③⑤ D．②③⑤
(4)向量AO与CO是否相等？
→→

5．如图所示，圆O上有三点A、B、C，则向量BO、OC、

→
OA是( )

A．有相同起点的相等向量

B．单位向量

C．模相等的向量


D．相等的向量
6．如图四边形ABCD 、CEFG、CGHD都是全等的菱形，
15．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1米，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进
则下列关系不一定成立的是( )
1米，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．
→→→→
A.|AB|＝|EF| 与FH共线
(1)按1∶100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次
→→→→
＝EH 与EC共线
赛车的位移为零．
7．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD
(2) 按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条
＝120°，则下列说法中错误的是
件？请写 出其中两个．
( )

→

A．图中所标出的向量中与AB相等的向量只有1个(不

→
含AB本身)


→
B．图中所标出的向量中与AB的模相

→

等的向量有4个(不含AB本身)

→→
C．BD的长度恰为DA长度的3倍
16．在平面直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点
→→
都是原点O.
D．CB与DA不共线
→→
(1)|
a
|＝2，
a
的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y
8．四边形ABCD中，若AB与CD是共线向量，则四边形
轴正方向的夹角为30°；
ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
(2 )|
a
|＝42，
a
的方向与x轴、y轴正方向的夹角都
C．平行四 边形或梯形
是135°.
D．不是平行四边形也不是梯形

二、填空题


9．当向量
a
与任一向量
b
平行时，则
a
＝________.

10．若D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中

→
点，则与向量EF相等的向量为________．

11．下列四个命题：

①向量的模是一个正实数；②两个方向相反的向量必
2.1平面向量的实际背景及基本概念
一、选择题
1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向
量的终点构成的图形是( )
A．一条线段 B．一段圆弧
C．两个孤立的点 D．一个圆
2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终
点将落在( )
A．同一个圆上 B．同一个点上
C．同一条直线上 D．以上都有可能
3．在下列判断中，正确的是( )
①长度为0的向量都是零向量；② 零向量的方向都是
相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是
同方向；⑤任意向量与零 向量都共线．
A．①②③ B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
20

2.2.1向量的加法运算及几何意义
一、选择题
→→→→→
1．向量(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM等于( )
→→→→

2．若
a
，
b
为非零向量，则下列说法中不正确的是( ) A.若向量
a
与
b
方向相反，且|
a
|>|
b
|，则向量
a
＋
b
与

11．根据图填空： r
ur
b
＋
c
＝____.
a
＋
d< br>＝____.
r
ur
b
＋
c
＋
d
＝____.
r
uur
r
r
f
＋
e
＝____.
e< br>＋
g
＝____.
a
＋
b
的方向是_______ _．|
a
＋
b
|＝________.
12．已知
a
表示“向北走5 km”，
b
表示“向西走5 km”，则
三、解答题
13．已知下图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO
a
的方向相同
B.若向量
a
与
b
方向相反，且|
a
|<|
b< br>|，则向量
a
＋
b
与
a
的方向相同
C.若 向量
a
与
b
方向相同，则向量
a
＋
b
与< br>a
的方向相
同
D.若向量
a
与
b
方向相同 ，则向量
a
＋
b
与
b
的方向相
同
uur uur
所受拉力
F
1
＝24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力
F2
uuruur
＝12N.求
F
1
和
F
2的合力．



3．
a
，
b
，a
＋
b
为非零向量，且
a
＋
b
平分
a
与
b
的夹


角，则( )

A．
a
＝
b
B．
a
⊥
b
C．|
a
|＝|
b
|

D．以上都不对

4．已知向量
a
表示“向东航行1km”向量
b
表示“向南航行14．某人从点A向东行驶60m到达点B，又从点B向东偏
1km”则
a
＋b
表示( )
北30°方向行驶50m到达点C，又从点C向北偏西60°
方 向行驶30m到达点D，求点D相对于点A的位置．
A．向东南航行2km B．向东南航行2km

C．向东北航行2km D．向东北航行2km

→→→
5．在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则四边形ABCD

一定是( )

A．矩形 B．菱形


C．正方形 D．平行四边形
r

→→→
6．在平行四边形ABCD中，设AB＝
a
，A D＝
b
，AC＝
c
，

r
→
u

BD＝
d
，则下列各式中不成立的是( )
r
ur

A．
a
＋
b
＝
c
B．
a
＋
d
＝
b


ur
r

C．
b
＋
d
＝
a
D．|
a
＋
b
|＝|
c
|

→→→7．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝
a
，BC＝
b
，AC

rr

＝
c
，则|
a
＋
b
＋
c
|等于( )

A．0 B．3 C.2 D．22

8．下列命题中正确的个数为( )
15．如图所示，在△ABC中，P，Q，R分别为B C，CA，
①如果非零向量
a
与
b
的方向相同或相反，那么
a
＋
→→→
r
AB边的中点，求证AP＋BQ＋CR＝
0
.
b
的方向必与
a
，
b
之一的方向相同；

r
→→→

②在△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝
0
；

→→→
r
③若AB＋BC＋CA＝
0
，则A，B，C为一 个三角形的

三个顶点；

④若
a
，
b
均为非零向量，则|
a
＋
b
|与|
a
|＋|
b|一定

相等．

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题
→→

9．已知|OA|＝|
a< br>|＝3，|OB|＝|
b
|＝3，∠AOB＝90°，则|
a

＋
b
|＝________.

10．如图所示，已知梯形ABCD，

→→→
AD∥BC，则OA＋AB＋BC＝

________.
21

→→→→→→
③若OD＋OE＝OM，则OD－EO＝OM；
一、选择题
→→→→→→
④若OD＋OE＝OM，则DO＋EO＝MO.
1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式成立的
其中所有正确命题的序号为________ ．
是( )
三、解答题
→→→→→→
＝OF＋OE ＝OF－OE
→→→→→→→
13．化简：(1)AB－AC＋BD－CD；(2)OA－OD＋AD；
→→→→→→
＝－OF＋OE ＝－OF－OE
→→→
(3)AB－AD－DC.
→
2．下列各式中不能化简为PQ的是( )

→→→→→→→

＋(PA＋BQ) B.(AB＋PC)＋(BA－QC)

→→→→→→
－QP＋CQ ＋AB－BQ


3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，

→→→
且2OA＋OB＋OC＝0，那么( )

→→→→
＝OD ＝2OD
14．已知两个非零不共线的向量
a
、
b
，试用几何法和代
→→→→
＝3OD D.2AD＝OD
数法分别求出(
a
＋
b
)＋(
a
－
b
)＋(－
a
)．
4．若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且

→→→
OA＝
a
，OB＝
b
，用
a
，
b
表示 向量BC为( )

A.
a
＋
b
B.－
a
－
b
C.－
a
＋
b
D.
a
－
b



5．已知
a
，
b
为非零向量，则下列命题中真命题的个数为

( )

①若|
a
|＋|
b
|＝|
a
＋
b
|，则
a
与
b
方向相同；


②若|
a
|＋|
b
|＝|
a
－
b
|，则
a
与
b
方向相反；
15．已知等腰直角△ABC 中，∠C＝90°，M为斜边中点，
③若|
a
|＋|
b
|＝|
a
－
b
|，则
a
与
b
有相等的模；
→ →→→
设CM＝
a
，CA＝
b
，试用向量
a
、b
表示AM、MB、
④若|
a
|－|
b
|＝|
a
－
b
|，则
a
与
b
方向相同．
→→
CB、BA.
A．0 B．1 C．2 D．3

6．在?ABCD中 ，O是对角线的交点，则下列结论中正确

的是( )

→→→→→→→

＝CD，BC＝AD ＋OD＝DA

→→→→→→→→
＋OD＝AC＋CD ＋BC＋CD＝DA

→→→→
7．在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则

→
必有( )
16．已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量OA，< br>→
r
→
r
→
r
→→→→→→→
＝
0
＝
0
或AD＝
0

OB，OC，OD满足等式OA＋OC＝OB＋OD.四边形
C.四边形ABCD是矩形 D.四边形ABCD是正方形
ABCD有什么特性？试证明你的猜想．

8．设< br>a
、
b
为非零向量，且满足|
a
－
b
|＝|
a
|＋|
b
|，则
a

与
b
的关系是( )

A．共线 B．垂直 C．同向 D．反向


二、填空题

→→
9． 在边长为1的正方形ABCD中，设AB＝
a
，BC＝
b
，

rr
→
r

AC＝
c
，则|
a
＋
b
＋
c
|＝________，|
a
＋
c
－
b
|＝
r

________，|
c
－
a
－
b
|＝________.
→
17．如图所示，P、Q是△A BC的边BC上的两点，且BP＝
→→→→
10．已知|OA|＝|OB|＝2，且∠AOB＝ 120°，则|OA＋OB|
→→→→→
QC，求证：AB＋AC＝AP＋AQ.
＝________.

11．若非零向量
a
与
b
互为相反向量，给出下列结论：

①
a
∥
b
；②
a
≠
b
；③|a
|≠|
b
|；④
b
＝－
a
.

其中所有正确命题的序号为________．

12．给出下列命题：

→→→→→→
①若OD＋OE＝OM，则OM－OE＝OD；

→→→→→→
②若OD＋OE＝OM，则OM＋DO＝OE；

2.2.3向量减法运算及几何意义
22

2.2.3向量的数乘运算及几何意义
一、选择题
1
1． 化简[2(2
a
＋8
b
)－4(4
a
－2
b
)]的结果是( )
12
A.2
a
－
b
B.2
b
－
a
C.
a
－
b
D.
b
－
a

→
2
→→→
2．点C在线段 AB上，且AC＝AB，若AC＝λBC，则λ等
5
于( )
2323
A. B. C．－ D．－
3232
→→→
3．在△ABC中，已知D为AB边上一点，若AD＝2DB，CD
1
→→< br>r
＝CA＋λCB，则λ＝( )
→→→
3
14．已知G是△AB C内的一点，若GA＋GB＋GC＝
0
.求
2112
证：G是△ABC的重心 ．
A. B. C．－ D．－
3333

uruur
→→
4．若O是平行四边形ABCD的中心，AB＝4
e
1
，BC＝6
e
2
，


uurur
则3
e
2
－2
e
1
等于( )


→→→→


5．已知向量
a
，
b
不共线，实数x，y满足(3x－4y)
a< br>＋(2x


－3y)
b
＝6
a
＋3
b
，则x－y的值为( )

A．3 B．－3 C．0 D．2

→
6．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD＝


( )
15．已知平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于E
→
1
→→
1
→
A.－BC＋BA B.－BC－BA
→→→
22
点，O是任意一点，如图所示．求证：OA＋OB＋OC
→
1
→ →
1
→
→→
－BA ＋BA
＋OD＝4OE.
22

→→→
7．O是?ABCD所在平面内任一点，OA＝
a，OB＝
b
，OC

r
→
ur

＝
c
，OD＝
d
，则( )

r
ur
rr
ur
r
A．
a
＋
b
＋
c＋
d
＝
0
B．
a
＋
b
＋< br>c
－
d
＝
0


r
ur
rr
ur
r

C．
a
＋< br>b
－
c
－
d
＝
0
D．
a
－
b
＋
c
－
d
＝
0


8．设λ，u∈R，
a
，
b
为向量，下面叙述不正确的是( )

．．．

A.λ(u
a
)＝(λu)
a
B.(λ＋u)
a
＝λ
a
＋u
a



C.λ(
a
＋
b
)＝λ
a
＋λ
b
D.λ
a
与
a
的方向相同(λ≠0)
16．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠BAD
二、填空题
＝ 60°，M、N分别是对角线BD、AC上的点，AC、
AC3
→→→
9．点C在线段 AB上，且＝，则AC＝________AB，BC
11
→
CB2
BD相交 于点O，已知BM＝BO，ON＝OC.设向量AB
33
→
＝________AB.
→→
＝
a
，AD＝
b
.试用
a
，
b
表示MN.
10．已知实数x、y，向量
a
、
b
不共线 ，若(x＋y－1)
a
＋

(x－y)
b
＝0，则x＝________，y＝________.

11．若|
a
|＝5，
b
与
a
的方向相反，且|< br>b
|＝7，则
a
＝


________
b
.
uruururuur

12．已 知
a
＝2
e
1
＋
e
2
，
b
＝
e
1
－2
e
2
，则
a
＋
b< br>＝

abab
________，－＝________，2－3＝________.

三、解答题

CDAE1
13．如图，在△ABC中，＝＝，

DAEB2
→→→
1

记BC＝
a
，CA＝
b
.求证：DE＝(
b
3

23

－
a
)．

2.2.3共线向量定理
一、选择题
ur
r
λ、 μ，使向量
d
＝λ
a
＋μ
b
与
c
共线？若 存在，求出λ、
μ；若不存在，说明理由．

1．△ABC中，已知
BC< br>=3
BD
,则
AD
等于( )

11

A． (
AC
+2
AB
) B．(
AB
+2
AC
)
33

11

C． (
AC
+3
AB
) D．(
AC
+2
AB
)

44

2．下列关系式中不正确的是( )

→→→→

＋BC＋CD＝AD ＋BC＋CD＝AD
r
14．如图，平行四边形A BCD中，点M是AB的中点，点
→→→→→
－CB＝AC D. AB＋BA＝
0

1
uruururuururuur
N在BD上， 且BN＝BD，求证：M、N、C三点共
3．已知
e
1
，
e
2
不共线，若
a
＝3
e
1
－4
e
2
，
b
＝6
e
1
＋k
e
2
，
3< br>线．
且
a
∥
b
，则k的值为( )

A．8 B．－8 C．3 D．－3

1
→→

4．在四边形ABCD中，若AB＝－CD，则四边形ABCD
3

是( )

A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形


5．下列命题中正确的是( )
15．在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是 它的中位线，求证：
→→
A．|AB|是向量 B．|AB|是正实数
1
EF∥AD∥BC且EF＝(AD＋BC)．
→→→→→
2
C．|AB|是向量BA的模 D．|AB|＋|BC|＝|AC|
6．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，


→→→
满足2AC＋CB＝0，则OC＝( )

→→→→

A．2OA－OB B．－OA＋2OB

2
→
1
→
1
→
2
→
－OB D．－OA＋OB

3333

→→→→→→
7．如图所示，已知 OA′＝3OA，A′B′＝3AB，则向量OB与OB′


的关系为( )

A．共线 B．同向
→→
C．共线且同向
16．设两个 非零向量
a
与
b
不共线，若AB＝
a
＋
b
，BC＝
→→
→
D．共线、同向，且OB′的长度是OB的 3倍
2
a
＋8
b
，CD＝3(
a
－
b
)，求证：A、B 、D三点共
→
线．
8．设
a
、
b
是不共线的向量 ，AB＝
a
＋k
b
，AC＝m
a
＋

b
(k、m∈R)，则当A、B、C三点共线时，有( )

A．k＝m B．km－1＝0

C．km＋1＝0 D．k＋m＝0


二、填空题

9．轴上三点A、B、C的坐标分别为1、－1、－5，则|AC|

＋|BC|＝________.

10．设数轴上A、B的坐标分别是2、6，则AB的中点C

的坐标是________．
AM1AN1
uruurur
17．如图所示 ，在△ABC中，＝，＝，BN与CM
5
AB3AC4
1－k
?
11 ．已知
e
1
、
e
2
是两个不共线的向量，
a
＝k
2
e
1
＋
?
?
2
?
→→→
uururuur
交于点P，且AB＝
a
，AC＝
b
，用< br>a
、
b
表示AP.
e
2
与
b
＝2
e
1
＋3
e
2
是两个平行的向量，则k＝

________.

12．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的

→
1
→→
1
→→
1
→→

点，且BD＝BC，CE＝CA，AF＝AB，设AB＝
a
，
333

→→

AC＝
b
，则DE＝________.
三、解答题
uruururuururuur


13．已知向量
a
＝2
e
1
－3
e
2
，
b
＝2
e
1
＋3
e
2
，其中
e
1
，
e
2
r
uruur

不共线，向量
c
＝ 2
e
1
－9
e
2
，则是否存在这样的实数
24

→
11．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝
a，OB＝
b
，
ur
r
ur
一、选择题
→r
uruur
OC＝
c
，OD＝
d
，若
a＋
c
＝
b
＋
d
，则四边形ABCD
1．设e
1
、
e
2
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组
的形状是________．
向量中，不能作为基底的是( )
uruururuuru ruuruurur
12．在平行四边形ABCD中，E
和F分别是边CD和BC的
A ．
e
1
＋
e
2
和
e
1
－
e
2
B．3
e
1
－2
e
2
和4e
2
－6
e
1

uruuruururuurur→→→
中点，若AC＝λAE＋μAF，
C．
e
1
＋2
e
2
和
e
2
＋2
e
1
D．
e
2
和
e
1
＋e
2

rr
其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
2．已知
c
＝m
a
＋n
b
，要使
a
、
b
、
c
的终点在一条直线
三、解答题
r
上(设
a
，
b< br>，
c
有公共起点)，m，n(m，n∈R)需满足
13．如图，已知△ABC中 ，M、N、P顺次是AB的四等分
r
→
uuruur
→
u
→ →
的条件是( )
点，CB＝
e
1
，CA＝
e
2
，试用e
1
，
e
2
表示CM、CN、
A．m＋n ＝－1 B．m＋n＝0
→
CP.
C．m－n＝1 D．m＋n＝1

3．下面给出了三个命题：

①非零向量
a< br>与
b
共线，则
a
与
b
所在的直线平行；

②向量
a
与
b
共线的条件是当且仅当存在实数λ
1
、λ
2
，


使得λ
1
a
＝λ
2
b
；

③平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合

表示．


其中正确命题的个数是( )
14．如图，已知在△ABC中，D是BC上的一点，且BD
A．0 B．1 C．2 D．3
→→
4．给出下列结论：①若
a
≠
b
，则|
a
＋
b
|<|
a
|＋|
b
|；②
→
AB＋λAC
＝λDC(λ≠－1)，求证：AD＝.
1＋λ非零向量
a
、
b
共线，则|
a
＋
b
| >0；③对任意向量
a
，

b
，|
a
－
b
|≥0；④若非零向量
a
，
b
共线且反向，
a
则|


－
b
|>|
a
|.其中正确的有( )个．

A．1 B．2 C．3 D．4
uruurur

5．已知向量
e
1
、
e
2
不共线，实数x，y满足(x－y)
e
1
＋(2x

uururuur

＋y)
e
2
＝6
e
1
＋3
e
2
，则x－y的值等于( )

A．3 B．－3 C．6 D．－6
→→→→→
15．如图所示，OA，OB 不共线，AP＝tAB(t∈R)，用OA、
→→
6．设一直线上三点A，B，P满足AP＝λ PB(λ≠±1)，O为平
→→
OB表示OP.
→→→
面内任意一点，则OP用OA，OB表示为( )

→→→→→→

＝OA＋λOB ＝λOA＋(1＋λ)OB

→→
1
→→
OA＋λOB
→
1
→
＝ ＝OA＋OB

λ
1＋λ1－λ

7．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个

→→
??
ABAC
→→
→→→→
点，动点P满足OP＝OA＋λ
?
→
＋
→
?
，λ∈[0，＋∞)，
16．如图，在△AOB中，OA＝
a
，OB＝
b
，设AM＝2MB，
?
|AB||AC|
?< br>→→
ON＝3NA，而OM与BN相交于点P，试用
a
、
b
表
则P的轨迹一定通过△ABC的( )
→
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
示向量OP.
→→→

8．已知P为△ABC所在平面内一点，当PA＋PB＝PC成立

时，点P位于( )

A．△ABC的AB边上 B．△ABC的BC边上

C．△ABC的内部 D．△ABC的外部

二、填空题

→→→→

9．在?ABCD中，AB＝
a
，AD＝
b，AN＝3NC，M为BC

→
的中点，则MN＝________(用
a
、
b
表示)．


10．已知向量
a
与
b
不共线，实数x，y满 足等式3x
a
＋(10

－y)
b
＝(4y＋7)
a
＋2x
b
，则x＝________，y＝

________.

2.3.1平面向量基本定理
25

2.3.2平面向量的正交分解及坐标运算
一、选择题
1．点(－3,4)关于点B(－6,5)的对称点是( )
9
0，
?
A．(－3,5) B.
?
?
2
?
1
3，－
?
C．(－9,6) D.
?
2
??
三、解答题
13．(1) 设向量
a
，
b
的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求
a
＋
b
，
a
－
b
,2
a
＋3
b
的坐标；
r
(2)设向量
a
，
b
，< br>c
的坐标分别为(1，－3)，(－2,4)，
r
(0,5)，求3
a
－
b
＋
c
的坐标．











14．已知△ABC的两 个顶点A(3,7)和B(－2,5)，求C点坐
标，使AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上．












→→
15．已知正方形ABCD的边长为1，设AB＝
a
，BC＝
b
，
r
→
r
AC＝
c
，求向量 2
a
＋3
b
＋
c
的模．













→
2
→
16．已知直线上三点P
1
，P，P
2满足|P
1
P|＝|PP
2
|，且P
1
(2，
3
－1)，P
2
(－1,3)，求点P的坐标．









b
＝(0,－1)，2．若
a
＝(3,2)，则向量2
b
－
a
的坐标是( )
A．(3，－4) B．(－3,4)
C．(3,4) D．(－3，－4)
→→→
3．已知AB＝(5，－3)，C(－1,3)，CD＝2AB， 则点D的坐
标是( )
A．(11,9) B．(4,0)
C．(9,3) D．(9，－3)
4．已知△ABC中，点A(－2,3)，点B( －3，－5)，重心
M(1，－2)，则点C的坐标为( )
44
，－
?
A．(－4,8) B.
?
3
??
3
C．(8，－4) D．(7，－2) < br>r
r
5．已知
i
、
j
分别是方向与x轴正方向、y轴 正方向相同
r
→
2
的单位向量，O为原点，设OA＝(x＋x＋1)
i
－(x
2
－x
r
＋1)
j
(其中x∈R)，则点A位于( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
→
6．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量AB同向的单位
向量是( )
34
?
－
3
，
4
?

，－
?
A.
?
B.
5
??
5?
55
?
43
?
4
，－
3
?

－，
?
C.
?
D.
5
??
55< br>??
5
→
7．原点O为正六边形ABCDEF的中心，OA＝(－1，－3)，
→→
OB＝(1，－3)，则OC等于( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(0，－23) D．(0，3)
rr
8．已知向量< br>a
＝(1,2)，
b
＝(2,3)，
c
＝(3,4)，且c
＝λ
1
a
＋
λ
2
b
，则λ
1
，λ
2
的值分别为( )
A．－2,1
C．2，－1
二、填空题
B．1，－2
D．－1,2
→→→→
9．若点O( 0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且OA′＝2OA，OB′＝3OB，
则点A′的坐标为_ _______．点B′的坐标为________，
→
向量A′B′的坐标为_______ _．
→→
10．设点A(2,0)，B(4,2),点P在直线AB上,且|AB|＝2|A P|，
则点P的坐标为________．
11．在坐标平面内，已知A(2,1)，B(0 ,2)，C(－2,1)，O(0,0)，
给出下面的结论：
→→→
①直线OC与直线BA平行； ②AB＋BC＝CA；
→→→→→→
③OA＋OC＝OB； ④AC＝OB－2OA.
其中所有正确命题的序号为________．
→
12．在平行四边形ABCD中， AC为一条对角线，若AB＝
→→
(2,4)，AC＝(1,3)，则BD＝________ .
26

2.3.3-2.3.4平面向量的坐标运算和共线表示
一、选择题
b
＝(x，1．已知
a
＝(－1,3)，－1)，且< br>a
∥
b
，则x等于( )
11
A．－3 B．－ C. D．3
33
r
(1)求满足
a＝m
b
＋n
c
的实数m、n；
r
(2)若(
a
＋k
c
)∥(2
b
－
a
)，求实数k.



r

2．已知
a
＝(2,3)，< br>b
＝(－1,2)，若
a
＋m
b
与
c
＝(4 ，－

1)平行，则实数m等于( )

11

A．2 B．－2 C. D．－
22
uruururuur

3．设
e
1
、
e
2
是两个不共线的向量，向量
a
＝
e
1
＋λ
e
2


uurur

(λ∈R)与向量
b
＝－(
e
2－2
e
1
)共线，则( )
14．已知A、B、C三点的坐标分别为 (－1,0)，(3，－1)，
1
→
1
→→
1
→→→
(1,2)，并且AE＝AC，BF＝BC，求证：EF∥AB.
A．λ＝0 B．λ＝－1 C．λ＝－2 D．λ＝－
33
2
rr

4．若向量
a
＝(1,1)，
b
＝(1，－1)，
c
＝(－1,2)，则c
等

于( )

1313

A.－
a
＋
b
B.
a
－
b

2222

3131

C.
a
－
b
D.－
a
＋
b

2222

ururuurur< br>5．已知向量
e
1
≠0，λ∈R，
a
＝
e
1
＋λ
e
2
，
b
＝2
e
1
，若向< br>


量
a
与
b
共线，则( )
uur
r

A．λ＝0 B．
e
2
＝
0


uruururuur

C．
e
1
∥
e
2
D．
e
1
∥
e
2
或λ＝0

6．已知平 面向量
a
＝(1,2)，
b
＝(－2，m)，且
a
∥
b
，则


2
a
＋3
b
＝( )

A．(－2，－4) B．(－3，－6)
→→→
15．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP＝OA＋tAB.
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
(1)t为何值时，P在x轴上？P 在y轴上？P在第二象
7．已知平面向量
a
＝(x,1)，
b
＝(－ x，x
2
)，则向量
a
＋
限？
b
( )
(2)四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相
A.平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
应的t值；若不能，请说明理由．
C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线

r
ur

8．已知向量a
＝(1,0)，
b
＝(0,1)，
c
＝k
a
＋
b
(k∈R)，
d
r
ur

＝
a
－
b
，如果
c
∥
d
，那么( )

r
ur
r
ur

A．k＝1且
c
与
d
同向 B．k＝1且
c
与
d
反向
r
ur
r
ur

C．k＝－1且
c
与
d
同向 D．k＝－1且
c
与
d
反向

二、填空题
< br>r
r
r
→
9．设
i
，
j
分别为x、 y轴方向的单位向量，已知OA＝2
i
，


r
r
→→→
OB＝4
i
＋2
j
，AB＝－2AC，则点C的坐标为


________．

10．若向量
a
＝(x,1 )，
b
＝(4，x)，则当x＝________时，


a
，
b
共线且方向相同．
16．已知直角坐标平面上四点A(1, 0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，
11．已知
a
＝(－2,3)，
b
∥
a
，
b
的起点为A(1,2)，终点B
求证： 四边形ABCD是等腰梯形．
在坐标轴上，则B点坐标为________．

12．已知点A(3，1)，B(0,0)，C(3，0)．设∠BAC的平

→→
分线AE与BC相交于E，那么有BC＝λCE，其中λ等

于________．

三、解答题
r

ab
13．平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，
c
＝(4,1)，

27

2.4.1平面向量的数量积的概念
一、选择题
rrr
c
＝
b
·
c
(
c
≠0)， 则( )
1．若
a
·
A．
a
＝
b
B．
a
≠
b

C．|
a
|＝|
b
|
rr
D．
a
在
c
方向上的正射影的数量与
b
在
c
方向上的正
射影的数量必相等
b
＝－6，则
a
与
b
的夹角等于2．若 |
a
|＝4，|
b
|＝3，
a
·
( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
3．若|
a
|＝4，|
b
|＝2，
a
和
b
的夹角为30° ，则
a
在
b
方
向上的投影为( )
A．2 B.3 C．23 D．4
A．5 B．6 C．7 D．8
urrurrr
uur
n
＝8，<
m
，
n
>＝60°4．|
m|
＝2，
m
·，则|
n
|＝( )
5．向量
a
的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x
轴上的投影为 ( )
A．－53 B．5 C．－5 D．53
6．若向量
a
、
b
满足|
a
|＝1，|
b
|＝2，
a
与
b
的夹角为60°，








14．已知正六边形P
1
P
2
P< br>3
P
4
P
5
P
6
的边长为2，求下列向量< br>的数量积．
→→→→
(1)P
1
P
2
·P
1
P
3
； (2)P
1
P
2
·P
1
P
4
；
→→→→
(3)P
1
P
2
·P
1
P
5； (4)P
1
P
2
·P
1
P
6
.











→
r
→→
15．在△ABC中，三边长均为1，设AB＝
c
，BC＝
a
，CA
rr
b
＋
b
·
a
的值．
c
＋
c
·＝
b
，求
a
·










r
b
、
c
和实数λ，7．对于向量
a
、下列命题中真命题是( )
b
＝0，则
a
＝0或
b
＝0 A．若
a
·
B．若λ
a
＝0，则λ＝0或
a
＝0
C．若
a
2
＝
b
2
，则
a
＝b
或
a
＝－
b

b
＋
a
·
b
等于( ) 则
b
·
A．3 B．4 C．5 D．6
r r
b
＝
a
·
c
，则
b
＝
c
D．若
a
·
b
＝2，则
a
8．已知向量
a、
b
满足|
a
|＝1，|
b
|＝4，且
a·
与
b
的夹角为( )
ππππ
A. B. C. D.
6432
二、填空题
9．已知向量
a
和向 量
b
的夹角为30°，|
a
|＝2，|
b
|＝3，
16．定义|
a
×
b
|＝|
a
|·|
b
| ·sinθ，其中θ为向量
a
与
b
的夹
b
＝－6，求|a
×
b
|的值．. 角，若|
a
|＝2，|
b
|＝5，
a
·








b
＝____. 则向量< br>a
和向量
b
的数量积
a
·
b
＝－12，则向 量
a
在向10．已知|
a
|＝4，|
b
|＝6，且
a
·
量
b
方向上的正射影的数量为________．
→→→→< br>11．已知△ABC中，|AB|＝|AC|＝4，且AB·AC＝8，则这个
三角形的形状为_ _______．
12．若|
a
|＝6，|
b
|＝4，
a
与
b
的夹角为135°，则
a
在
b
方
向上 的投影为________．
三、解答题
→→
13．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求BC·CA.








28

b
＝17．已知|
a
|＝2|
b
|≠0，且关于x的方程x
2
＋|
a
|x＋
a
·
0有实根，求
a
与
b
的夹角的取值范围．

一、选择题

rrr
1．设非零向量
a
、b
、
c
满足|
a
|＝|
b
|＝|
c< br>|，
a
＋
b
＝
c
，


则〈
a
，
b
〉＝( )

A．150° B．120° C．60° D．30°

rr
urrur
2 ．设
a
、
b
、
c
满足
a
＋
b＋
c
＝0，且
a
⊥
b
，|
a
|＝1，
14．已知
m
、
n
是夹角为60°的两个单位向量，求
a< br>＝2
m
2.4.2平面向量的数量积的运算
r
|
b
|＝2，则|
c
|
2
等于( )
A．1 B．2 C．4 D．5
rurr
＋< br>n
和
b
＝－3
m
＋2
n
的夹角．
3．若两个非零向量
a
，
b
满足|
a
＋
b
|＝|
a
－
b
|＝2|
a
|，
则向量
a< br>＋
b
与
a
－
b
的夹角是( )
π5ππ2π
A. B. C. D.
6633
4．下列各式中正确命题的个数为( )
b
＝λ(
a< br>·
b
)＝
a
·①(λ
a
)·(λ
b
)，(λ∈R)；
b
|＝|
a
|·②|
a
·|
b
|；









r rr
c
＝
a
·
c
＋
b
·
c
； ③(
a
＋
b
)·
rr
b
)·
c＝
a
·
c
)． ④(
a
·(
b
·
D．4
→→→
5．若ABCD是边长为1的正方形，则|AB＋AC＋BC|等于
( )
A．0 B．3 C.2 D．22
→→→
6．若 O为△ABC所在平面内一点，且满足(OB－OC)·(OB
→→
＋OC－2OA)＝0，则 △ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．以上都不对
7．已知|
a
|＝1， |
b
|＝2，且
a
⊥(
a
－
b
)，则a
与
b
的夹
角是( )
A．30° B．45° C．90° D．135°
A．1 B．2 C．3
r< br>15．已知|
a
|＝3，|
b
|＝2，
a
与
b
的夹角为60°，
c
＝
a
＋
ur
2
b< br>，
d
＝m
a
－6
b
(m∈R)．
r
ur
(1)当m为何值时，
c
与
d
垂直？ r
ur
r
ur
(2)若
c
∥
d
，求|
c
＋
d
|.






16．已知|
a
|＝1，|
b
|＝2.
b
； (1)若
a
∥
b
，求
a
·
(2)若
a
、
b
的夹角为60°，求|
a
＋
b|；
(3)若
a
－
b
与
a
垂直，求
a
与
b
的夹角．












17．设平面内两向量
a< br>⊥
b
，且|
a
|＝2，|
b
|＝1，k、t是
两个不同时为零的实数．
(1)若x＝
a
＋(t－3)
b
与y＝ －k
a
＋t
b
垂直，求k关
于t的函数关系式k＝f(t)；
(2)求函数k＝f(x)的最小值．






29
rr
b
8．已知
a
＋
b
＋
c
＝0，|
a
|＝1，|
b
|＝2，|
c
|＝2，则
a
·
rr
a
的值为( )
c
＋
c
·＋
b
·
A．7
二、填空题
7
B. C．－7
2
7
D．－
2
9．已知|
a
|＝4，|
b
|＝8，
a
与
b
的夹角为120°，则|4
a
－
2
b
|＝______ __.
10．已知|
a
|＝|
b
|＝7，|
a
＋
b
|＝7，则
a
、
b
的夹角为
________．
uruur
11．已知两个单位向量
e
1
、
e
2< br>的夹角为120°，且向量
a
＝
uruurur
b
＝____ ____.
e
1
＋2
e
2
，
b
＝4e
1
，则
a
·
→→→→→→
12．在△ABC中，若O A·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是
△ABC的________．(填：外心、内心、垂心 、重心)
三、解答题
r
13．已知|
a
|＝1，|
b< br>|＝2，
a
与
b
的夹角为60°，
c
＝2
a
－
ur
r
ur
3
b
，
d
＝ma
＋
b
，若
c
⊥
d
，求实数m的值．

2.4.3平面向量的数量积的坐标运算
一、选择题
→→
1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则AB·AC等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2





14．已知
a
＝(1,2)，
b
＝(1，λ) 分别确定λ的取值范围，使
得：
(1)
a
与
b
夹角为90 °；(2)
a
与
b
夹角为钝角；
(3)
a
与
b
夹角为锐角．
b
＝10，|
a
＋
b
|＝52，则|
b
|2．已知向量
a
＝( 2,1)，
a
·
＝( )
A.5 B.10 C．5 D．25
则实数k的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．以上都不对
urrurrur
3．已知
m
＝(1,0)，
n< br>＝(1,1)，且
m
＋k
n
恰好与
m
垂直，




4．已知
a
＋
b
＝(2，－8)，
a
－
b
＝(－8,16)，则cos<
a
，


b
>为( )

636363985
A. B．－ C．± D．－

65656585
rrururr

5．已知向量
n
＝(a，b)，向量
n
与
m
垂直， 且|
m
|＝|
n
|，
→→→
ur
15．已知AB＝ (6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)．
则
m
的坐标为( )
→→→→
(1)若BC∥DA，AC⊥BD，求x、y的值；
A．(b，－a) B．(－a，b)
(2)求四边形ABCD的面积．
C．(－a，b)或(a，－b) D．(b，－a)或(－b，a)

6．已知
a
＝(2,4)，则与
a
垂直的单位向量的坐标是( )

525
??
525
?

A.
?
，－
或
－，－

5
??
55
??
5


525
? ?
525
?
B.
?
，－
或
－，


5
??
55
??
5

255
??
255
??
C.或

?
5< br>，－
5
??
－
5
，－
5
?

255
??
255
??

D.
－
或 ?
5
，
5
??
5
，－
5
?

7．平面向量
a
与
b
的夹角为60°，
a
＝(2, 0)，|
b
|＝1，则|
a
＋2
b
|＝( )
A.3 B．23 C．4 D．12
8．已知向量a
＝(2，t)，
b
＝(1,2)，若t＝t
1
时，
a
∥
b
；
当t＝t
2
时，
a
⊥
b< br>，则( )
A．t
1
＝－4，t
2
＝－1 B．t
1
＝－4，t
2
＝1
C．t
1
＝4，t
2
＝－1 D．t
1
＝4，t
2
＝1
二、填空题

16．已知
a
=(1,2),
b?(?3,2)
,当k为何值时，
(1)k
a
+
b
与
a
-3
b
垂直 ？
(2)k
a
+
b
与
a
-3
b
平行？平行时它们是同向还是反
向？



rr

9．已知
a
＝(3,1)，
b
＝(1,3)，
c
＝(k, 2)，若(
a
－
c
)∥
b
，


则k＝________.

10．已知
a
＝(5，－5)，b
＝(0,3)，若
a
与
b
的夹角为θ，

则sinθ＝________.

π
11．若将向量
a
＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向

4


量
b
，则向量
b
的坐标为________．

12．设
a
＝(x
1
，y
1
)，
b
＝(x
2
，y
2
)，有以下命题：
17．已知
a
＝(3 ,4)，
b
＝(4,3)，求x，y的值使(x
a
＋y
b
)
22222
①|
a
|＝x
1
＋y
1
； ②
b
＝x
2
＋y
2
；
⊥
a
，且|x
a
＋y
b
|＝1.
b
＝x
1
x
2
＋y
1
y
2;
④
a
⊥
b
?x
1
x
2
＋y1
y
2
＝0. ③
a
·

其中假命题的序号是________．
．．．

三、解答题

13．已知A(2,3)，B(5,1)，C(9,7)，D(6,9)四点，试判断四

边形ABCD的形状．


30

2.4平面向量应用举例

一、选择题
r
→r
→
a
<0，1．△ABC中，AB＝
c
，BC＝
a< br>，且
c
·则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
2．已知△ABC的重心是G，CA的中点是 M，且A、M、G
168
?
三点分标分别是(6,6)，(7,4)，
??
3
，
3
?
，则|BC|＝( )
10
A．410 B.10 C. D．210
2
( 1)如果他径直游向河的对岸，水流的速度大小为
4kmh，他实际上沿什么方向前进？速度大小为多< br>少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流的垂直方向前
进？实际前进的速度大小为多少？







b
＝0，|a
|＝1，|
b
|＝2，则|2
a

3．已知向量
a
，
b
满足
a
·

－
b
|＝( )


A．0 B．22 C．4 D．8

→→→
4．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3 BD，|AD|＝1，
14．如图所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，E、F
→→分别为BD、AC的中点．求证：
则AC·AD＝( )
EF∥BC.
3
A．23 B.

2

3
C. D.3

3
uruur

5．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速 为
v
1
，水速为
v
2
，


已知船可垂直到达对岸，则( )
uruururuur

A．|
v
1
|<|
v
2
| B．|
v
1
|>|
v
2
|

uruururuur

C．|
v
1
|≤|
v
2
| D．|
v
1
|≥|
v
2
|

6．已知A(1,2)、B(3,4)、C(5,0)，则sin∠ABC＝( )

31010210

A. B. C. D.
101035

uuruur
→
2
→
2
→
15．已知作用于A点的三个力
F
＝(3,4)，
F
＝(2，－5) ，
7．已知O为△ABC所在平面内一点，满足|OA|＋|BC|＝|OB
2
1uururuur
ur
u
→
2
→
2
→
22
|＋|CA|＝|OC|＋|AB|，则点O是△ABC的( )
F
3
＝(3,1)，且A点坐标为(1,1)，求合力
F
＝
F
1
＋F
2
uur
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
＋
F
3
的终点坐标．
8．如图，两条绳提一个物体，每条绳用力5 N，绳夹角为

60°，则物体重量W为( )

A．5 N B．53 N

C．52 N D．10 N

二、填空题


→
9．已知平面内三点A、B、C满足|AB|＝3，

→→→→→→

|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋

→→
CA·AB＝________.

r
10．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量
v
＝(4，－

r

3)(即点P的运动方向与
v
相同，且每秒移动的距离为

r
|
v
|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5

秒后点P的坐标为______．
16．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB
2
－AC
2
＝
11．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为
DB
2
－DC
2
，求证：AD⊥BC.
→→→→

H，OH＝m(OA＋OB＋OC)，则实数m＝________.

12．某重量为P的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水

平面上匀速行走，若物体与地面间的滑动摩擦系数μ

3
＝，那么绳子与地面成________角时，拉力最小．
3

三、解答题

13．某人在静水中游泳，速度为43kmh.

31