高中数学人教版必修4教学设计

第一章 三角函数
本章教材分析
1.本章知识结构如下:

2.本章学习的内容主要是:三角函数的定义、图象、性质及应用.三角函数是高中教材中的 一
种重要函数,与其他的函数相比,具有许多重要的特征:它以角为自变量,是周期函数.三角函
数是解决其他问题的重要工具,是高中阶段学习的最后一个基本初等函数,是深化函数性质
的极好素材 .本章的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识,特别强调了单位圆
的直观作用,借助单位 圆直观地认识任意角、任意角的三角函数.
3.本章教学的重点是三角函数的定义,同角三角函数的基 本关系式,正弦函数的图象及基本
性质.难点是弧度制和图象变换的准确理解和掌握.关键是学好三角函 数定义.从实际教学情
况来看,教学中应重视学生的画图.“五点画图”虽然简单,但却易学难掌握.在 本章教学中,
教师应根据学生的生活经验和已有的数学知识,通过列举熟知的实例,创设丰富的情境,使 学
生体会三角函数模型的意义.教学时,可结合本章引言的章头图,让学生围绕这些问题展开讨
论,通过思考,让学生知道三角函数可以刻画这些周期变化规律,从而激发学生的求知欲.
4.三角函 数的内容一直是高考的重要内容,特别是三角函数的图象和性质,及结合三角形的
基础知识为背景的三角 函数知识,频频在各省高考试题中出现,难度虽有降低,却是经久不衰
的高考考查内容.
5.本章教学时间约需16课时,具体分配如下(仅供参考):
标 题
1.1任意角和弧度制
1.2任意角的三角函数
1.3三角函数的诱导公式
1.4三角函数的图象与性质
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.6三角函数模型的简单应用
本章复习
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
整体设计
教学分析
教材首先通过实际问 题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的
角的概念推广到任意角,在此基础上 引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已
有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更 好地认识任意角、象限角、终边相同的角等
概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概 念的推广问题.本节充分结合角
和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一 个统一的载体.教学
中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合 的思想

1
课 时
约2课时
约3课时
约2课时
约4课时
约2课时
约2课时
约1课时

方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与
已知角 终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.
学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学 中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示
图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操 作与思考,自然地、更好地归
纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+ k·360°,k∈Z}的含
义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学 生观察角的变化与
终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向, 才能准
确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.
三维目标
1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、
象限角、终边 相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概
念.
2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定
相等,终边相 同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学
的世界观、价值观具有 重要意义.
3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思 想方法
的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.
重点难点
教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.
教学难点:用集合来表示终边相同的角.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课

图1
思路1.(情境导入)如图1,在许多学校的门 口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到
阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转 多少度才能赢?还有我们所熟悉
的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度 ,这些角度都怎样解
释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广.进而引入角的概念的推广的问 题.
思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这 些
角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解
释 这些现象?由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.
推进新课
新知探究
提出问题
①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时, 你应当怎样将
它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角?

2

②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?
③ 请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这
个过程中, 他们各转体了多少度?
活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程 .让学生站立原地
做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答 正确的
学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
角可以看作 是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条
射线的端点是O,它从起 始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O
是角的顶点,射线OA、OB分 别是角α的始边和终边.
我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正 角,按顺时针方向
旋转形成的角叫做负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简 便起
见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.
如果一条 射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角,零角的始边和终边重合,如果
α是零角,那么α=0° .
讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.
②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.
③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1 080°……
提出问题
①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.
②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思? 0°角又是什么意思?
活动: 先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及
时表扬,对回答不准确 的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射
线作为始边,没有固定的参照, 所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如
果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样 呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的
好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边 “周而复始”的现象.
今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的 顶点与坐标原点
重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第 几象
限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的
非负半轴重合.
讨论结果:①能.
②使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半 轴重合.角的终边在第几象限,我们
就说这个角是第几象限角.这样:
210°角是第三象限角;
-45°角是第四象限角;
-150°角是第三象限角.
特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.
可以借此进一步设问:
锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是第几象限角?反之如何?
将角按照上述方法放 在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于
直角坐标系中的任意一条射线O B,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的
角有什么关系?
提出问题 ①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关
系? 328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?

3

②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来?
活动:让学生 从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体
给学生演示:演示象限角、终 边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°
间的某一角有什么关系,从而为终边 相同的角的表示作好准备.
为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个3 2°角,放在直角坐标
系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32 °角后提问学
生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.
至 此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突
破.同时学生也在 这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比
学习知识本身更重要的. < br>讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边 相同的
角相差360°的整数倍.
设S={β｜β=-32°+k·360°,k∈Z},则 328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元
素(此时k=0).因此,所有与-32 °角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反
过来,集合S的任何一个元素显然与- 32°角终边相同.
②所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合S={β｜
β=k·360°+α,k∈Z}.
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成α与整数个周角的和.
适时引导学生认识:①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无
数多个,它们相差360°的整数倍.
应用示例
例1 在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
解:- 950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边 相
同的角是129°48′,它是第二象限的角.
点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍,然后再具体求解.
例2 写出终边在y轴上的角的集合.
活动:终边落在y轴上,应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.
学生很容易分别写出所有与90°, 270°的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进
一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子 表示出来.
让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学 的简捷
性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.

图2
解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,
即90°和270°角,如图2.
因此,所有与90°的终边相同的角构成集合
S
1
={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}.
而所有与270°角的终边相同的角构成集合
S
2
={β｜β=270°+k·360°,k∈Z}.

4

于是,终边在y轴上的角的集合
S=S
1
∪S
2

={β｜β=90°+2k·180°, k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}
={β｜β=90°+2k·1 80°,k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={β｜β=90°+n·180°,n∈Z}.
点评:本例是让学生理解终边在坐 标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表
示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用 简约的形式.
变式训练
①写出终边在x轴上的角的集合.
②写出终边在坐标轴上的角的集合.
答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°,n∈Z}.
②S={β｜β=n·90°,n∈Z}.
例3 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并 把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β
写出来.

图3
解 :如图3,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围
内 ,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合
S={β｜β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°,k∈Z}.
S中适合-360°≤β<720°的元素是:
45°-2×180°=-315°,
45°-1×180°=-135°,
45°+0×180°=45°,
45°+1×180°=225°,
45°+2×180°=405°,
45°+3×180°=585°.
点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角, 并找出某一范围的所有的角,即按一定顺
序取k的值,应训练学生掌握这一方法.
例4 写出在下列象限的角的集合:
①第一象限; ②第二象限;
③第三象限; ④第四象限.
活动:本题关键是写 出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学
生阅读例题后没有解题思路,或者把 ①中的范围写成0°—90°,可引导学生分析
360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢?进 而引导学生写出所有终边相同的角.
解:①终边在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β②终边在第二象限的角的集合:{β｜n·360°+90°<β③终边在第三象限的角的集合:{β｜n·360°+180°<β
5

④终边在第四象限的角的集合:{β｜n·3 60°+270°<β 点评:教师给出以上解答后可 进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、
讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相 同角的意义.
知能训练
课本本节练习.
解答:
1.锐角是第一象限角,第一象限角不一定是锐角;
直角不属于任何一个象限,不属于任何一个象限的角不一定是直角;
钝角是第二象限角,但是第二象限角不一定是钝角.
点评:要深刻认识锐角、直角、钝角和象 限角的区别与联系,并理解记忆.为弄清概念的本质
属性,还可以再进一步启发设问:
锐角一定小于90°吗?小于90°的角一定是锐角吗?
钝角一定大于90°吗?大于90°的角一定是钝角吗?
答案当然是:不一定.
让学生展开讨论,在争论中,将对问题的认识进一步升华,并牢牢的记忆这些基础知识.
2.三、三、五.
点评:本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性 问题上.题目联系实
际,把教科书中除数360换成每个星期的天数7,利用了“同余”来确定7k天后 、7k天前也
是星期三,这样的练习难度不大,可以口答.
3.(1)第一象限角.
(2)第四象限角.
(3)第二象限角.
(4)第三象限角.
点评:能作出给定的角,并判断是第几象限的角.
4.(1)305°42′,第四象限角.
(2)35°8′,第一象限角.
(3)249°30′,第三象限角.
点评:能在给定的范围内找出与指定角终边相同的角,并判断是第几象限的角.
5.(1){β｜β=1 303°8′+k·360°,k∈Z},-496°42′,-136°42′,223°18′.
(2){β｜β=-225°+k·360°,k∈Z},-585°,-225°,135°.
点评:用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合,并在给定的范围内
找出与指定的角的终边相同的角.
课堂小结
以提问的方式与学生一起回顾本节所学内容并简要总结:
让学生自己回忆:本节课都学习了哪 些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都
学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论 :
本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的
表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在
第几象限 ,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为
S={β｜β=k ·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是
用所给的 角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.
数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.
作业
①课本习题1.1 A组1、3、5.

6

②预习下一节:弧度制.
设计感想
1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较 大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可
充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件 的学校,可以让学生利用计算机或计
算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.
2 .本节设计的指导思想是加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象
限角的概念后 ,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:
在直角坐标系中角的“周 而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.
3.几点说明:
(1)列举不在 0°—360°的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,
角的顶点不动.
(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.
(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.

1.1.2 弧度制
整体设计
教学分析
在物理学和日常生活 中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以
满足我们不同的需要.现实生活中有许 多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不
同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等 不同的单位制,度量角的大小可以用度为单
位进行度量,并且一度的角等于周角的
1
, 记作1°.
?
360
通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探 究得到弧度数的绝对值公式,并得
出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概 念和公式,进一步认识
引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中, 更好地形成
弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.
通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,
达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的
可靠性、可 行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到
角度制、弧度制都是度 量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步
加强对辩证统一思想的理解,渗透 数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.
三维目标
1.通过类比长度、重量 的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,
从而引出弧度制.
2 .通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好
处,学会归纳整理 并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生
的学习兴趣.
重点难点
教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.
教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.
课时安排
1课时
教学过程

7

导入新课
思路1.(类比导入)测量人的身 高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样
换算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行 度量,这两种度量单位是怎样换算的?度量角
的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位 制?它们是怎样换算的?
思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者 利用普遍使用的钟表.
实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用 哪一种方
法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的< br>大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.要使学生真正了解弧度制,首先要弄清1
弧度 的含义,并能进行弧度与角度换算的关键.
在引入弧度制后,可以引导学生建立弧与圆心角的 联系——弧的度数等于圆心角的度数.
随着角的概念的推广,圆心角和弧的概念也随之推广:从“形”上 说,圆心角有正角、零角、
负角,相应的,弧也就有正弧、零弧、负弧;从“数”上讲,圆心角与弧的度 数有正数、０、负
数.圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”,就像三角函数值的正负可以用 三角
函数线(有向线段)的方向来表示一样.每一个圆心角都有一条弧与它对应,并且不同的圆心
角对应着不同的弧,反之亦然.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?
问题②:我们从度 量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么
角的度量是否也能用不同单位制呢 ?

图1
活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角 度的知识,提出这是认识
弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.讨论后教师提问学生, 并对回答好的
学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师板书弧度制的定义:规 定
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧
度 制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.如图1中,
就是1弧度的角,即
的长等于半径r,A B所对的圆心角∠AOB
l
=1.
r
讨论结果:
①1°的角可以 理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一
个定值,与所取圆的半径 大小无关.
②能,用弧度制.
提出问题
问题①:作半径不等的甲、乙两 圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连结圆心与弧的
两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两 个角有什么样的关系?

8

问题②:如果一个 半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少?
既然角度制、弧度制都是角的度量制 ,那么它们之间如何换算?
活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问 学生归纳的情况,让学
生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准 确的学生提
示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单 位
来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长
的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的
1
;第三,无论是以“弧度”还< br>360
是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯
使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.
讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角.
②α=
度:2π rad=360°,1 rad=(
1
?
;将角度化为弧度:360°=2π rad,1°=rad≈0.017 45 rad,将弧度化为角
r180
180
?
180a
?
个角的弧度数为α rad=()°,n°=n(rad).
?
180
)°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一
提出问 题
问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇< br>形的面积与弧长公式用弧度怎么表示?
问题②:填写下列的表格,找出某种规律.
的长
OB旋转的方向
逆时针方向
逆时针方向






∠AOB的弧度数


1
-2
-π
0


∠AOB的度数






180°
360°
?
r
2πr
R
2r




活动:教师先给学生说明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所给图 象
对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.教师让学生互动起来,讨论并总结出规律,提问学
生的总结情况,让学生板书,教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行简单
的提示.检 查完毕后,教师做个总结.
由上表可知,如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l, 那么α的弧度数的绝
对值是
1
这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算” 问题,即角度制、弧度制
a
都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对 象用不同方式表示时,它
们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.
教师给学生指出,角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对
应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也
都有唯 一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角
α终边相同的角时 ,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,

9

即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+
?或者2kπ+60°一类的写法.在弧
3
度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可 以写成β=α+2kπ(k∈Z)的形式.如图2
为角的集合与实数集R之间的一一对应关系.

图2
讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ (k∈Z)的形式.弧
度制下关于扇形的公式为l=αR,S=
②
的长
πr
2πr
R
2r
πr
0
πr
2πr
OB旋转的方向
逆时针方向
逆时针方向
逆时针方向
顺时针方向
顺时针方向
未旋转
逆时针方向
逆时针方向
∠AOB的弧度数
Π
2π
1
-2
-π
0
Π
2π
∠AOB的度数
180°
360°
57.3°
-114.6°
-180°
0°
180°
360°
11
2
αR,S=lR.
22
应用示例
例1 下列诸命题中,真命题是( )
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位
活动:本例 目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟
练掌握定义.从实际教学上看 ,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.
根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧和所 对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,
可知D为真命题.
答案:D
点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念.
变式训练
下列四个命题中,不正确的一个是( )
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小是2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案:D

10

例2 将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π) )的形式,并指出它们所在的
象限:①-
15
?
32
?
;② ;③-20;④-
23
.
43
活动:本题的目的是让学生理解什么 是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般
规律.即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是:{β ｜β=kπ,k∈Z},{β｜β
第一、二、三、四象限角的集合分别为:
{β｜2kπ<β <2kπ+
{β｜2kπ+
?
=kπ,k∈Z}.
2
?
,k ∈Z},
2
?
<β<2kπ+π,k∈Z},
2
3
?
{β｜2kπ+π<β<2kπ+,k∈Z},
2
3
?
{β｜2kπ+<β<2kπ+2π,k∈Z}.
2
15
?
?
解:①
?
=-4π+,是第一象限角.
4
4
32
?
2
?
②=10π+,是第二象限角.
43
③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.
④-23≈-3.464,是第二象限角.
点评:在这类题中对于含有π的弧度数表 示的角,我们先将它化为2kπ+α(k∈Z,α∈
［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置 进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,
取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z,｜α｜ ∈［0,6.28)的形式,通过α与
小,估计出角所在的象限.
变式训练
(1)把-1 480°写成2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式;
(2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.
?
3
?
,π,比较大
2
2
74
?
16
?
16
?< br>=-10π+,0≤ <2π,
999
16
?
∴-1 480°=2(-5)π+.
9
16
?
(2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+,k∈Z.
9
2
?
20
?
又∵β∈［-4π,0),∴β1
=
?
,β
2
=
?
.
99
解:(1)∵-1 480°=-
例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ.
活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧 度制求终边相同的角,并通过独立完成
课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学 来看,用弧度制解决角的问
题要很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这 方面的题来练
基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出 错
的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这
对以后学习大有好处.

11

解:由已知,得7θ=2 kπ+θ,k∈Z,即6θ=2kπ.∴θ=
又∵0<θ<2π,∴0<
k
π.
3
k
π<2π.
3
∵k∈Z,当k=1、2、3、4、5时,θ=
?
2
?
4
?
5
?
、、π、、.
3
333
点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地 ,首先将这样的角表
示为2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k的 值,进而求适合条件
的角.
例4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大
值.
活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的
思路与步骤,教 师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不
全面的学生给予一定的提示 和鼓励.教师补充,函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选
取自变量;(2)建立目标函数;( 3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其
中自变量的选取不唯一,建立目 标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些
函数是结构确定求最值的方法,并确保在定 义域内能取到最值.
解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.
由已知,2r+l=a,即l=a-2r.
11a
2
a
2
2
a
∴S=l·r=(a-2r)·r=-r+r=-(r-)+.
16
2224
∵r>0,l=a-2r>0,∴0a
.
2
a
2
a
∴当r=时,S
max
=.
16
4
此时,l=a-2·
aa1
=,∴α==2.
42r
a
2
故当扇形的圆心角为2 rad时,扇形的面积取最大值.
16
点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S表示成某个变量 的函数,
然后求这个函数的最大值及相应的圆心角.
变式训练
已知一个扇形的周长为
8
?
+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积.
9
解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×
?
4
?
=,
180
9
4
?
4
?
8
?
r,由已知,r+2r=+4,∴r=2.
9
99
14
?
2
8
?
8
?
∴S=·r=.故扇形的面积为.
299
9
∴扇形的弧长为
点评:求扇形的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也

12

可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意 公式的灵活变形
及方程思想的运用.
知能训练
课本本节练习.
解答:1.(1)
?
7m20m
;(2)
?
;(3).
63
8
点评:能进行角度与弧度的换算.
2.(1)15°;(2)-240°;(3)54°.
点评:能进行弧度与角度的换算.
3.(1){α|α=kπ,k∈Z};(2){α|α=
?
+kπ,k∈Z}.
2
点评:用弧度制表示终边分别在x轴和y轴上的角的集合.
4.(1)cos0.75°>cos0.75;(2)tan1.2° 点评:体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同,并进一步认识两种单位制.
注意在用计算器 求三角函数值之前,要先对计算器中角的模式进行设置.如求cos0.75°之
前,要将角模式设置为 DEG(角度制);求cos0.75之前,要将角模式设置为RAD(弧度制).
5.
?
m.
3
点评:通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式,体会引入弧度制的必要性.
6.弧度数为1.2.
点评:进一步认识弧度数的绝对值公式.
课堂小结
由学生总结弧度制的定 义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是
度量角的两种不同的单位制,它们是互相 联系的,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理
解并牢记180°=π rad这一关系式,由此可 以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的
问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.
重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系,对弧度制下的
弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活
运用,表扬 学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的
网络,特别是同学们 善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚
持下去,你会发现数学王国的许 多宝藏,以服务于社会,造福于人类.
作业
①课本习题1.1 A组6、8、10.
②课后探究训练:课本习题1.1 B组题.
设计感想
本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难
点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如
果学生一开 始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知
识依附于问题而存在,方 法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯
彻到教学活动中去,由此把学生的思维 推到更宽的广度.
本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学 生在探究中积
累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知 识
水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好
处 并为后续三角函数的学习奠定基础.

13

根 据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培
养他们求同思维、 求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,
勇于探索,敢于创新,对正 确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂
学习成为再发现再创造的过程.

1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
整体设计
教学分析
学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的 比来刻画的.锐角三角函数的引
入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的 数学模型,它与
“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的 三角
函数,关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周
期变化规律,解决简单的实际问题.
本节以锐角三角函数为引子,利用单位圆上点的坐标定 义三角函数.由于三角函数与单
位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对 于研究哪些问题以
及用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.三角 函数的
研究中,数形结合思想起着非常重要的作用.
利用信息技术,可以很容易地建 立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数
线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系 直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助
学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情 ,培养学生勇于发现、勇于探索、
勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究 、教学相长的教学情境.
三维目标
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函 数定义,理解三角函数是以实数为自变量
的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数 的定义域,理解并掌握正弦、
余弦、正切函数在各象限内的符号.
2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.
3.正确 利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,
即用正弦线、余弦线、 正切线表示出来.
4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.
重点难点
教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等.
教学难 点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号;利用与单位圆有关的有
向线段,将任意角 α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.我们把角的范围推广了,锐角三角函数的定义 还能适用吗?譬如三角形内角和为
180°,那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜 边的比值吗?类比角的概念的推广,
怎样修正三角函数定义?由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单 刀直入给出定义,然后再

14

在适当时机联系锐角三角函数,这也是一种不错的选择.
思路2.教师先让学生看教 科书上的“思考”,通过这个“思考”提出用直角坐标系中
角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题 ,以引导学生回忆锐角三角函数概念,体会引
进象限角概念后,用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函 数的意义,从而为定义任意角的
三角函数奠定基础.教科书在定义任意角的三角函数之前,作了如下铺垫 :直角三角形为载体
的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角 函数.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?
问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?
活动:教师提出 问题,学生口头回答,突出它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三
角函数,教师并对回答正确的学 生进行表扬,对回答不出来的同学给予提示和鼓励.然后教师
在黑板上画出直角三角形.
教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合与
实数集是一一对 应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所在的
平面上建立适当的坐标系, 画出角α的终边;学生给出相应点的坐标,并用坐标表示锐角三
角函数.

图1
如图1,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一
象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离
a?b
>0.过P作x轴的垂线 ,垂
足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.
根据初中学过的三角函数定义,我们有
sinα=
22
MPbOMaMPb
=,cosα==,tanα==.
OPr
OP
r
OP
a
讨论结果:
①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数.
②sinα=
MPbOMaMPb
=,cosα==,tanα==.
OPrOMa
OP
r
提出问题
问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?
问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?
活动:教师先让 学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种
关系来.然后提问学生,由学生 回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的
比值,获得具体认识,并由相似三角形的性 质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识,对
于确定的角α,这三个比值不会随点P在α的终边上 的位置的改变而改变.
过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达

15

式简化.
此时sinα=
MPOMMPb
=b,cosα==a,tanα==.
OPOMa
OP
在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的 弧度数的绝对值等于圆心
角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们 称以原点O
为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P点就是α的终边与单位圆的交点.锐
角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.
同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.

图2
如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;
(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;
(3)
yy
叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0).
xx
所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值
的函数,我们将 它们统称为三角函数.
教师出示定义后,可让学生解释一下定义中的对应关系.教师应指出任 意角的正弦、余弦、
正切的定义是本节教学的重点.用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数,与学生 在锐角
三角函数学习中建立的已有经验有一定的距离,与学生在数学必修一的学习中建立起来的经
验也有一定的距离.学生熟悉的函数y=f(x)是实数到实数的一一对应,而这里给出的三角函
数首 先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)
的对应,这 就给学生的理解造成一定的困难.教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有
的几何直观认识的基础上 ,先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系,在直角坐标系中
考查锐角三角函数,得出用角的终边上 点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论,然后再
“特殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函 数的结论.在此基础上,再定义任意角
的三角函数.
在导学过程中教师应点拨学生注 意,尽管我们从锐角三角函数出发来引导学生学习任意
角的三角函数,但任意角的三角函数与锐角三角函 数之间并没有一般与特殊的关系.教师在
教学中应当使学生体会到,用单位圆上点的坐标表示锐角三角函 数,不仅简单、方便,而且反
映本质.
教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的 自变量是什么,对应关系有什么特点,函
数值是什么.特别注意α既表示一个角,又是一个实数(弧度数 ).“它的终边与单位圆交于
点P(x,y)”包含两个对应关系.从而可以把三角函数看成是自变量为 实数的函数.值得注意
的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量,以比值为 函数值的函
数.(2)sinα不是sin与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离 开自变量
的“sin”“tan”等是没有意义的.
讨论结果:①这三个比值与终边上的点的位置无关,根据初中学过的三角函数定义,有

16

MPbOMa
=,cosα==,
OPr
OP
r
MPb
tanα==.
OP
a
sinα=
由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的
改变而改变.
②能.
提出问题
问题①:学习了任意角,并利用单位圆表示了任意角的三 角函数,引入一个新的函数,我
们可以对哪些问题进行讨论?
问题②:根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的?
活动:教师引导 学生结合在数学必修一中的有关函数的问题,让学生回顾所学知识,并总
结回答老师的问题,教师对学生 总结的东西进行提问,并对回答正确的学生进行表扬,回答不
正确或者不全面的学生给予提示和补充.教 师让学生完成教科书上的“探究”,教师提问或
让学生上黑板板书.
按照这样的思路 ,我们一起来探究如下问题:请根据任意角的三角函数定义,先将正弦、
余弦、正切函数在弧度制下的定 义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图
3中的括号内.
三角函
数
sinα
cosα
tanα
定义域




图3
教师要注意引导学生从定义出发,利用坐标平面内点的坐标的特征得 定义域、函数值的
符号等结论.对于正弦函数sinα=y,因为y恒有意义,即α取任意实数,y恒有 意义,也就是
说sinα恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于 正切
yy
,因为x=0时,无意义,即tanα无意义,又当且仅当角α的终边落在纵轴
xx
y
上时,才有x=0,所以当α的终边不在纵轴上时,恒有意义,即tanα恒有意义, 所以正切函
x
?
数的定义域是α≠ +kπ(k∈Z).(由学生填写下表)
2
函数tanα=
三角函数
sinα
cosα
tanα
{α|α≠
定义域
R
R
?
+kπ,k∈Z}
2
17

三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于x,y的符号,当点P在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、
二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示);同样地,余弦函数在第一、
四象限 是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是
负的.从而完成上 面探究问题.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
讨论结果:①定义域、值域、单调性等. < br>②y=sinα与y=cosα的定义域都是全体实数R,值域都是[-1,1].y=tanα的定义域 是{α｜
α≠
?
+kπ(k∈Z)},值域是R.
2
应用示例
思路1
例1 已知角α的终边经过点P
0
(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.
活动:教师留给学生一定的时间,学生独立思考并回答.明确可以用角α终边上任意一
点的坐标来定义任 意角的三角函数,但用单位圆上点的坐标来定义,既不失一般性,又简单,
更容易看清对应关系.教师要 点拨引导学生习惯画图,充分利用数形结合,但要提醒学生注意
α角的任意性.如图4,设α是一个任意 角,P(x,y)是α终边上任意一点,点P与原点的距离
r=
x
2
?y2
>0,那么:

图4
yy
叫做α的正弦,即sinα=;
rr
xx
②叫做α的余弦,即cosα=;
rr
yy
③叫做α的正切,即tanα=(x≠0).
xx
①
这样定义三角函数,突出了点P的任意性,说明任意角α的三 角函数值只与α有关,而
与点P在角的终边上的位置无关,教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点 .
解:由已知,可得OP
0
=
(?3)
2
?(?4)2
=5.

图5
如图5,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y) .分别过点P、P
0
作x轴的垂线MP、M
0
P
0
,则|M
0
P
0
|=4,|MP|=-y,|OM
0
|=3，|O M|=-x,△OMP∽△OM
0
P
0
,

18

于是sinα=y=
|M
0
P
0
|
|MP|
y4
=
?
=
?
=
?
;
|OP|
15
|OP
0
|
cosα=x=
|OM< br>0
|
|OM|
x3
=
?
=
?
=?
;
|OP|
1
5
|OP
0
|
ta nα=
ysin4
==.
x
cosa3
点评:本例是已知 角α终边上一点的坐标,求角α的三角函数值问题.可以先根据三角
形相似将这一问题化归到单位圆上, 再由定义得解.
变式训练
求
5
?
的正弦、余弦和正切值.
3

图6
解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=
5
?
,如图6.
3
3
1
,
?
),
2
2
易知∠A OB的终边与单位圆的交点坐标为(
所以sin
3
5
?
5
?
15
?
=
?
,cos=,tan=
?3
.
2
3323
例2 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.
?
sin
?
?0,

?
?
tan
?
?0.
活动:教师引导学生讨论验证 在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系,
提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的 关系.可以知道:三角函数的定义告诉我们,
各三角函数在各象限内的符号,取决于x,y的符号,当点 P在第一、二象限时,纵坐标y>0,点
P在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一 、二象限角是正的,对于第三、四
象限角是负的;同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三 象限是负的;正切函数在
第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.
证明:我们证明如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.
因为①sinθ<0成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y轴的非
正半轴上;
又因为②式tanθ>0成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.
因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.
于是角θ为第三象限角.

19

反过来请同学们自己证明.
点评 :本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号,其条件以一个不等式
出现,在教学时要让学 生把问题的条件、结论弄清楚,然后再给出证明.这一问题的解决可以
训练学生的数学语言表达能力.
变式训练
(2007北京高考)已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
答案:C
例3 求下列三角函数值:
(1)sin390 °;(2)cos
19
?
;(3)tan(-330°).
6
活动:引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点,终边相同的角相差2π的整数倍,
那么这些角的同 一三角函数值有何关系?为什么?
引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间 的关系进行讨论,然后再用
三角函数的定义证明.
由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公
式(公式一):

sin(α+k·2π)=sinα,

cos(α+k·2π)=cosα,

tan(α+k·2π)=tanα,
其中k∈Z.
利用公式一 ,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到360°)角的三
角函数值.这个公式称 为三角函数的“诱导公式一”.
解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=
1
; < br>2
(2)cos
3
1977
π=cos(2π+π)=cosπ=?
;
2
66
6
3
.
3
(3)ta n(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=
点评:本题主要是对诱导公式一的 考查,利用公式一将任意角都转化到0—2π范围内求三角
函数的值.
思路2
例1 已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sinα+3secα=.
活动:要让学生独立 思考这一题目,本题虽然是个填空题,看似简单但内含分类讨论思想,
可以找两个学生来板演这个例题. 对解答思路正确的学生给以鼓励,对思路受阻的学生要引
导其思路的正确性.并适时地点拨学生:假如是 个大的计算题应该怎样组织步骤.
解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则

20

x=k,y=-3k,r=
k
2
?(-3k)
2
=
10
｜k｜.
(1)当k>0时,r=
10k
,α是第四象限角,
sinα=
3 1010k
y
?3k
r
==
?
,secα===
1 0
,
10k
x
r
10k
310
+3
10
=-3
10
+3
10
=0.
10
∴10sinα +3secα=10×
?
(2)当k<0时,r=
?10k
,α为第二象限角 ,
sinα=
?3k
31010k
yr
==,secα==
?
=
?10
,
10k
x
r
?10k
3 10
+3×(
?10
)=3
10
-3
10
=0.
10
∴10sinα+3secα=10×
综合以上两种情况均有10sinα+3secα=0.
点评:本题的解题关键是要清楚当k >0时,P(k,-3k)是第四象限内的点,角α的终边在第
四象限;当k<0时,P(k,-3k) 是第二象限内的点,角α的终边在第二象限内,这与角α的终边
在y=-3x上是一致的.
变式训练
设f(x)=sin
?
x,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值.
3
33
?
2
?
=,f(2)=sin=,f(3)=sin π=0,
2
3
2
3
解:∵f(1)=sin
f(4)=s in
33
4
?
5
?
=
?
,f(5)=si n=
?
,f(6)=sin2π=0,
22
3
4
∴f(1 )+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.
而f(7)=sin
7?
?
8
?
2
?
12
?
=sin,f( 8)=sin=sin,…,f(12)=sin=sin2π,
3
3333
∴f( 7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.
同理f(13)+f(14 )+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)= 0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0.
求函数y=
sina
+tanα的定义域.
活动:让学生先回顾求函数的定 义域需要注意哪些特点,并让学生归纳出一些常见函数
有意义的要求,根据函数有意义的特征来求自变量 的范围.对于三角函数这种特殊的函数在
解三角不等式时要结合三角函数的定义进行.求含正切函数的组 合型三角函数的定义域时,
正切函数本身的定义域往往被忽略,教师提醒学生应引起注意这种情况.同时 ,函数的定义域
是一个集合,所以结论要用集合形式表示.

21

解:要使函数y=
sina
+tanα有意义,则 sinα≥0且α≠kπ+
?
(k∈Z).
2
由正弦函数的定义知道,sinα≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负.
∴角α的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上,即
2kπ≤α≤π+2kπ(k∈Z).
∴函数的定义域是{α｜2kπ≤α<
?
?
+2kπ或+2kπ<α ≤(2k+1)π,k∈Z}.
22
点评:本题的关键是弄清楚要使函数式有意义, 必须sinα≥0,且tanα有意义,由此推
导出α的取值范围就是函数的定义域.
变式训练
求下列函数的定义域:
(1)y=sinx+cosx;(2)y=sinx+tanx;
(3)y=
si nx?cosx
tanx
;(4)y=
sinx
+tanx.
解:(1)∵使sinx,cosx有意义的x∈R,∴y=sinx+cosx的定义域为R. ?
(2)要使函数有意义,必须使sinx与tanx有意义.∴有
?
x?R?
?
?
x?k
?
?
?

2
∴ 函数y=sinx+tanx的定义域为{x｜x≠kπ+
?
2
,k∈Z}.
(3)要使函数有意义,必须使tanx有意义,且tanx≠0.
?
∴有
?
?
x?k
?
?
?
2
，
(k∈Z), < br>?
?
x?k
?
∴函数y=
sinx?cosx
tan x
的定义域为{x｜x≠
k
?
2
,k∈Z}.
(4)当sinx≥0且tanx有意义时,函数有意义,
?
2k
?
?x?(2k?1)
?
,
∴有
?
?
?
?
x?k
?
?
?
(k∈Z).
2
∴函数y=
sinx
+tanx的定义域为
［2kπ,2kπ+
?
2
)∪(2kπ+
?
2
,(2k+1)π］(k∈Z).
知能训练
课本本节练习.
解答:

7
?
33< br>6
=
?
1
2
;cos
7
?
6
=
?
2
;tan
7
?
6
=
3

点评:根据定义求某个特殊角的三角函数值.

22

θ=
5125
;cosθ=
?
;tanθ=
?
.
131312
点评:已知角α终边上一点的坐标,由定义求角α的三角函数值.
3.
角α
角α的弧度
数
sinα
cosα
tanα
0°
0
0
1
0
90° 180°
Π
0
-1
0
270° 360°
2π

0
1
0
?

2
1
0
不存在
3
?

2
-1
0
不存在
点评:熟悉特殊角的三角函数值,并进一步地理解公式一.
4.当α为钝角时,cosα和tanα取负值.
点评:认识与三角形内角有关的三角函数值的符号.
5.(1)正;(2)负;(3)零;(4)负;(5)正;(6)正.
点评:认识不同位置的角对应的三角函数值的符号.
6.(1)①③或①⑤或③⑤;(2)①④或①⑥或④⑥;
(3)②④或②⑤或④⑤;(4)②③或②⑥或③⑥.
点评:认识不同象限的角对应的三角函数值的符号.
7.(1)0.874 6;(2)
3
;(3)0.5;(4)1.
点评:求三角函数值,并进一步地认识三角函数的定义及公式一.
课堂小结
本节课我们给出了任意角三角函数的定义,并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域,
任意角的三角函 数实质上是锐角三角函数的扩展,是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距
离、坐标与坐标的比,记忆方 法可用锐角三角函数类比记忆,至于三角函数的定义域可由三角
函数的定义分析得到.本节课我们重点讨 论了两个内容,一是三角函数在各象限内的符号,二
是一组公式,两者的作用分别是:前者确定函数值的 符号,后者将任意角的三角函数化为0°
到360°角的三角函数,这两个内容是我们日后学习的基础, 经常要用,请同学们熟记.
作业
课本习题1.2A组题1—9.
设计感想
关于三角函数定义法,总的说来就两种:“单位圆定义法”与“终边定义法”.这两种方
法本质上是一致的.正因为此,各种数学出版物中,两种定义方法都有采用.在学习本节的过
程中可以 与初中学习的三角函数定义进行类比、学习.理解任意角三角函数的定义不但是学
好本节内容的关键,也 是学好本章内容的关键.在教学中,教师应该充分调动学生独立思考和
总结的能力,以巩固对知识的理解 和掌握.
教师在教学中,始终引导学生紧扣三角函数的定义,善于利用数形结合.在利用三角 函数
定义进行求值时,应特别强调要注意横向联系,即不仅仅能求出该值,还要善于观察该值与其
他三角函数值之间的联系,找出规律来求解.
(设计者：房增凤)
第2课时
导入新课
思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览 车,大家是否想
过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎 样

23

的相依关系呢?
思路2.( 复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函
数化成0°—360°角的 三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内
容的研究,都是建立在任意角的三角 函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”
内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在 理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义
我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示 的,或者说是用数来表示的,今
天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法 .我们知道,直角坐
标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规 定有向
线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角 函数的定义能否用几何中的方法
来表示,应怎样表示呢?
问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?
活动:指导学生在平 面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x
轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交 于点P(x,y),x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过
P作x轴的垂线,垂足为M;过A作 单位圆的切线,这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线
的两直线平行),设它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向
与点P的坐标.显然,线段OM的长度为|x|,线段M P的长度为|y|,它们都只能取非负值.
当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段:
如果x>0,OM与x 轴同向,规定此时OM具有正值x;如果x<0,OM与x轴正向相反(即反向),规
定此时OM具有负 值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x.
如果y>0,把MP看作与y轴同向,规定此时 MP具有正值y;如果y<0,把MP看作与y轴反
向,规定此时MP具有负值y,所以不论哪一种情况 ,都有MP=y.
引导学生观察OM、MP都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段.
于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有
yy
==y=MP,
r1
xx
cosα===x=OM.
r1
sinα=
这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.
类似地,我们把 OA、AT也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识,
就有tanα=
y AT
==AT.
x
OA
这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角α的正切线.
讨论结果:①能.
②被看作带有方向的线段叫做有向线段.
提出问题
问题①:怎样把三角函数线与有向线段联系在一起?
问题②:正弦线、余弦线、正切线在平面 直角坐标系中是怎样规定的?当角α的终边变
化时,它们有什么变化?
活动:师生共同讨论,最后一致得出以下几点:
(1)当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.

24

(2)当角α的终边在x轴上时,正弦线、正切线都变成点.
(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,< br>一定要先作单位圆.
(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时 ,要先写起点字母,再写终
点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段 ,以此线段与x轴
的公共点为起点.
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数
值相同.
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
讨论结果:①略.
②略.
示例应用
思路1
例1 如图7,α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交
图7
射线OP于点T,交射线OQ的反向延长线于T′,点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N,则

sinα=______________,cosα=______________,t anα=______________,sinβ=__________
____,cosβ=__ ____________,tanβ=______________.
活动:根据三角函 数线的定义可知,sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT,sinβ=NQ,cosβ
=ON,tanβ=AT′.
答案:MP OM AT NQ ON AT′
点评:掌握三角函数线的作法,注意用有向线段表示三角函数线时,字母的书写顺序不能
随意颠倒.
变式训练
利用三角函数线证明｜sinα｜+｜cosα｜≥1.
解:当α的 终边落在坐标轴上时,正弦(或余弦)线变成一个点,而余弦(或正弦)线的长等于
r,所以｜sinα ｜+｜cosα｜=1.
当角α终边落在四个象限时,利用三角形两边之和大于第三边有｜s inα｜+｜cosα｜
=｜OM｜+｜MP｜>1,∴｜sinα｜+｜cosα｜≥1.
例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围,并由此写出角α的集
合: (1)sinα=
11
;(2)sinα≥.
22
活动:引导学生 画出单位圆,对于(1),可设角α的终边与单位圆交于A(x,y),则sinα=y,
11
的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为的点A,则OA即为角α
22
1
的终边;对于( 2),可先作出满足sinα=的角的终边,然后根据已知条件确定角α的范围.
2
所以要作出满足sinα=

25

图8
解:(1)作直线y=
图8所示.
故满足条件的角α的集合为{α|α=2kπ+
(2)作直线y=
1
交单位圆 于A与B两点,连结OA,OB,则OA与OB为角α的终边,如
2
?
5
?< br>或α=2kπ+,k∈Z}.
6
6
1
交单位圆于A与B两点,连结O A,OB,则OA与OB围成的区域(如图中的
2
阴影部分)即为角α的终边所在的范围.
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+
?
5
?
≤α≤2 kπ+,k∈Z}.
6
6
点评:在解简单的特殊值(如±
2
1
,等)的等式或不等式时,应首先在单位圆内找到
2
2
对应的终边(作纵 坐标为特殊值的直线与单位圆相交,连结交点与坐标原点作射线),一般情
况下,用(0,2π)内的角 表示它,然后画出满足原等式或不等式的区域,用集合表示出来.
变式训练
1
,求角α的集合.
2
11
解:作直线y=交单位圆于点P, P′,则sin∠POx=sin∠P′Ox=,在［0,2π)内∠POx=
22
?
5
?
,∠P′Px=.
6
6
?
5
?
∴满足条件的集合为{α｜2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
6
6
已知sinα≥
思路2
例1 求下列函数的定义域:
2
(1)y=log
sinx
(2cosx+1);(2)y=lg(3-4sinx).
活动:先引导学生求出x所满足 的条件,这点要提醒学生注意,研究函数必须在自变量允
许的范围内研究,否则无意义.再利用三角函数 线画出满足条件的角x的终边范围.求解时,
可根据各种约束条件,利用三角函数线画出角x满足条件的 终边范围,写出适合条件的x的取
值集合.

26

?
sinx?0,
?
?
?
sinx?1,
解:(1)由题意,得
?

?
?
?
?
sinx?0 ,
?
?
?
2cosx?1?0,
?
sinx?1,
?
?
1
?
?
cosx??
?
2
?
?
?
?
2k
?
?x?
?
?2k
?
,
?
?
则
?
(k∈Z).
x??2k
?
,
?
2
?
2
?
2
?
?
2k
?
??x?2k
?
?,
?
33
?
∴函数的定义域 为{x|2kπ?
?
2
?
或2kπ+223
(所求x的终边所在的区域如图9中的阴影部分所示)
(2) ∵3-4sinx>0,∴sinx<
∴x∈(2kπ
?
22
33
3
.∴
?
22
4
?
?
2< br>?
4
?
,2kπ+)∪(2kπ+,2kπ+)(k∈Z),
3
333
??
即x∈(kπ-,kπ+)(k∈Z).
33
(所求x的终边所在的区域如图10中的阴影部分所示)


图9 图10
变式训练
求函数y=
2cosx-1
的定义域.

1
.
2
?
?
故由余弦函数线可知函数的定义域为［2kπ-
?
,2kπ+］,k∈ Z.
3
3
1111
例2 证明恒等式+++=2.
1?sin< br>2
a1?cos
2
a1?sec
2
a1?csc
2< br>a
解:要使函数有意义,需满足2cosx-1≥0,所以cosx≥
活动:引 导学生总结证明恒等式的方法与步骤,特别地,在证明三角恒等式时,一般地是
从较繁的一边推向较简的 一边.从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法,即:从左边

27

推向右边;从右边推向左边;左、右两边同推向第三个式子.
解:证法一:
设M(x,y)为角α终边上异于原点的一点,｜OM｜=r,由三角函数定义有
sinα=
y
r
,cosα=
x
r
,secα=
r
x
,cscα=
r
y
.
原式左边=
1
2
?
1
2
?
11
2
?
2

1?
yxrr
r
2
1?
r
2
1?
x
2
1?
y
2
=
r
2
r
2
x
2y
2
r
2
?y
2
?
r
2
?x
2
?
r
2
?x
2
?
r
2
?y
2

r
2
?y
2
r
2
?x< br>2
=
r
2
?y
2
?
r
2
? x
2

=2=右边.
∴原等式成立.
证法二:
左边=
1111
1?sin
2
a
?
1?cos
2
a
?
1
?

1?
cos
2
a
1?
1'
sin
2
a
=
11cos
2
asin
2
a
1?sin
2
a
?
1?cos
2a
?
1?cos
2
a
?
1?sin
2
a

1?sin
2
=
a1?cos
2
1?sin< br>2
a
?
a
1?cos
2
a
?a?右边

∴左边=右边.∴原等式成立.
点评:根据本题的特点,被证式的左边比较复杂,故可由左边证向右边.
变式训练
求证:
1?seca?tana1?
1?seca?tana
?
sinacosa
.

证明:设M(x,y)为α终边上异于原点的一点,｜OM｜=r, 由三角函数定义有
sina?
y
r
,cosa?
x
r
,tan?
y
x
,seca?
r
x
.

1?
ry
左边=
x
?
x
?
x?r?y
< br>1?
r
x
?
y
x?r?y
x
=
(x ?r?y(x?r?y)
(x?r?y)(x?r?y)


28

(x?r?y)
2
2r
2
?2xy?2xr?2ry
= < br>?
222
(x?r)?y2x?2xr
=
(r?y)(r?x)r?y
?

x(r?x)x
y
r
?
r?y
,
右边=
x
x
r
1?
∴左边=右边,故原等式成立.
知能训练
课本本节练习.
解答:1.终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况 ,包括三角函数值的符号情况,终边相
同的角的同一三角函数的值相等.
点评:利用单位圆中的三角函数线认识三角函数的性质,对未学性质的认识不作统一要求.
2.(1)如图11所示,

图11
(2)(3)(4)略.
点评:作已知角的三角函数线.
3.225°角的正弦、余弦、正切线的长分别为3.5 cm、3.5 cm、5 cm;330°角的正弦、余弦、
正切线的长分别为2.5 cm、4.3 cm、2.9 cm,其中5,2.5是准确数,其余都是近似数(图略).
3.53.5
= -0.7,cos225°=
?
=-0.7,tan225°=-1;
55
4.32.9
sin330°=-0.5,cos330°==0.86,tan330°=
?
=-0.58.
5
5
sin225°=
?
点评:进一步认识单位圆中的三角函数线.
4.三角函数线是三角函数的几何表示,它直观地刻画了三角函数的概念,与三角函数的定义
结 合起来,可以从数和形两方面认识三角函数的定义,并使得对三角函数的定义域、函数值符
号的变化规律 、公式一等的理解容易了.
点评:反思单位圆中的三角函数线对认识三角函数概念的作用.
课堂小结
本节课我们学习了有向线段的定义,正弦线、余弦线、正切线的定义,这三 种三角函数线
都是一些特殊的有向线段,其之所以特殊,一是其与坐标轴平行(或重合),二是其与单位 圆有
关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,所以说它们是三角函数的一种几何表示.
三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具,利用三角函数线可以解或
证明三角不等式,求函数的定义域以及比较大小,三角函数线也是后面将要学习的三角函数

29

的图象的作图工具.
作业
1.利用单位圆和三角函数线证明:
22
若α为锐角,则(1)sinα+cosα>1;(2)sinα+cosα=1.

图12
证明:如图12,记角α与单位圆的交点为P,过P作PM⊥x轴于M,则 sinα=MP,cosα=OM.
(1)在Rt△OMP中,MP+OM>OP,即sinα+cosα>1.
22222
(2)在Rt△OMP中,MP+OM=OP,即sinα+cosα=1.
2.求下列函数的定义域:
(1)y=
1-2sin2x
;(2)y=
1?2cosx
.
tanx?1
7
?
?
,kπ+],k∈Z.
1212?
??
5
?
5
?
3
?
3
?< br>(2)x∈［+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,
4422
322
5
?
+2kπ］,k∈Z.
3
答案:(1)x∈[kπ-
设计感想
对于三角函数线,开始时学 生可能不是很理解,教师应该充分发挥好图象的直观作用,让
学生通过图形来感知、了解三角函数线的定 义.在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定
义后,教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、 归纳正弦函数、余弦函数、正切函
数的性质.以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基 础.教师要让学生对
三角函数线了解即可,要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象 的变化
趋势,不要再向深处挖掘,因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决.教师在教学中要搞好师生互动,让学生自己动脑、动手,多启发学生善于发现问题、提出问题、
解决问 题的能力,让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力.

1.2.2 同角三角函数的基本关系
整体设计
教学分析
与三角函数的定义域、符号 的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,
是按照一切从定义出发的原则进行的,通 过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念
学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习, 善于钻研,从中不断发掘更深层次的内
涵.
同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同 的三角函数直接或间接地联系起来,在使
22
用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关 重要的,如sin4π+cos4π=1等,二要注

30

意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tanα中的α是使得tanα有意义
的值, 即α≠kπ+
?
,k∈Z.
2
已知任意角的正弦、余弦、正切中的 一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这
是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时, 根据已知的三角函数值,确定角的终边
的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解 的情况不止一种,解题时产
生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系 开方时,漏掉
了负的平方根.
三维目标
1.通过三角函数的定义导出同角 三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关
系式进行三角函数的化简与证明.
2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三
角函数 式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与
三角恒等式的证 明.
3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能
力,树立转化与化归的思想方法.
重点难点
教学重点:课本的三个公式的推导及应用.
教学难点:课本的三个公式的推导及应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.先请学生回忆任 意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,
并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨 学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式
的值:
sin60
?
sin135
?
(1)sin90°+cos90°;(2)sin30°+cos30°; (3);(4).
??
cos60
cos135
2222
推进新课
新知探究
提出问题
①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α应受什么影响?

图1
如图1,以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且OP=1.
22
由勾股定理有OM+MP=1.
2222
因此x+y=1,即sinα+cosα=1(等式1).
显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.

31

根据三角函数的定义,当α≠kπ+
?
,k∈Z时,有
2
sina
=tanα(等式2).
cosa
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其
他的三角函数 的值.
活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生
思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意
义的 角的取值范围.
问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓 励,对
没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.
讨论结果: < br>①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在
第二 个等式中α≠kπ+
?
,k∈Z.
2
②在上述两个等式中,只要知道其中任 意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就
可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用第 二个等式2求出正切.
应用示例
思路1例1 已知sinα=
4
,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.
5
活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题 ,明
确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是
22< br>sinα+cosα=1,故cosα的值最容易求得,在求cosα时需要进行开平方运算,因此应根据
角α所在的象限确定cosα的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.
22
解:因为sinα+cosα=1,所以
cosα=1-sinα=1-(
22
4
2
9
)=. 525
又因为α是第二象限角,所以cosα<0.于是cosα=
?
从而tan α=
9
3
=
?
,
5
25
sina454
=×(
?
)=
?
.
cosa5
33
点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直 接的问题,让学生体会
关系式的用法.
应使学生清楚tanα=
?
4
中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后
3
的结果,它不同于在选用平 方关系式的三角函数符号的确定.
例2 已知cosα=
?
8
,求sinα,tanα的值.
17
活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只
能在第二或第三 象限.
启发学生思考仅有cosα<0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x轴的负 半轴
上(这时cosα=-1).

32

解:因为cosα<0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,
那么
2
sinα=
1-cosa
=
1?(?
8
2
15
)
=,
17
17
tanα=
sina151715
=×(
?
)=
?
,
cosa
17
8
8
54
,tanα=
?
.
17
3
如果α是第三象限角,那么sinα=
?
点 评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件
讨论角的终边所在的 象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解.
思路2
例1 已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα、cosα.
活动:引导学生思考讨论: 角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sinα或
cosα的值.由tanα≠0,只能确 定α的终边不在坐标轴上.关于sinα、cosα、tanα的关
系式只有tanα=
sin a
,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此
cosa
像这 类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终
边的位置,讨论 出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出
cosα,进而求出sinα .
2222
解:因为sinα+cosα=1,所以sinα=1-cosα.
s in
2
a1?cos
2
a1
sina
2
??1. 又因为tanα=,所以tanα==
cos
2
a
cosa
cos
2
acos
2
a
于是
11
22
=1 +tanα,cosα=.
2
2
cosa
1?tana
由tanα 为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,从而
1
?
,当a为第一
、第四象限角,
?
2
1?tana
cosα=
?

?
1
?
?,当a为第二,第三象限角,
2
?
?
1 ?tana
?
tana
,当a为第一,第四象限角,
?
2
?
1?tana
sinα=cosαtanα=
?

tan
?
?,当a为第二
、
第三象限角.
2
?
?
1?tan a
点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次.
变式训练
已知cosα≠0,用cosα表示sinα、tanα.
解:本题仿照上题可以比较顺利完成.

33

2
?
?
1?cosa< br>，
当a为第一
、
第二象限角
，
sinα=
?

2
?
?
?1?cosa,当a为第三
、
第四象限角
，
?
1?cos
2
?
,当a为第一
、
第二象限角< br>，
?
?
cos
?
tanα=
?

2
?
1?cos
?
?
，
当a为第三
、
第四象 限角.
?
cos
?
?
cosx1?sinx
例2 求证:
?.

1?sinxcos
活动:先让学生讨论探究证明方法 ,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证
法一是从算式一边到另一边的证法,算式右边的非 零因式1+sinα,在左边没有出现,可考虑
左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;在 证法二中可以这样分析,要让算式成立,需
22222
证cosx=(1+sinx)(1-s inx),即cosx=1-sinx,也就是sinx+cosx=1,由平方关系可知这个
等式成立 ,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.
证法一:由cosx≠0,知sinx≠1,所以1+sinx≠0,于是
左边=
c osx(1?sinx)cosx(1?sinx)cosx(1?sinx)1?sinx
????右 边

(1?sinx)(1?sinx)cosx
1?sin
2
x1 ?sinx
2
x
所以原式成立.
22
证法二:因为(1-sinx )(1+sinx)=1-sinx=cosx=cosxcosx,
且1-sinx≠0,cosx ≠0,所以
cosx1?sinx
?.
教师启发学生进一步探究:除了证法一和
1?sinxcosx
证法二外你可否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法 三.依据
“a-b=0
?
a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完 成.
证法三:因为
cosx1?sinxcosxcosx?(1?sinx)(1?si nx)cos
2
x?(1?sin
2
x)cos
2
?cos
2
x
?????0
1?sinxcosx(1?sinx)cosx(1?s inx)cosx(1?sinx)cosx
所以
cosx1?sinx
?.

1?sinxcosx
点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这 个题目.从这个例题可以
看出,证明一个三角恒等式的方法有很多.证明一个等式,可以从它的任何一边 开始,证得它
等于另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立.
例3 化简
1-sin440?.

活动:引导学生探究:原式结果 为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学
生运用诱导公式一化简为cos80°, 由于cos80°>0,因此
cos80?
=｜cos80°｜=cos80°,
此题 不难,让学生独立完成.
解:原式=
1-sin
2
(360??80?)< br>=
1-sin80?
=
1-sin80?
=cos80°.
点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三
角函数式应尽量满 足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量
22
2
2

34

求值;(3)不含特殊角的三角函数值.
变式训练
化简:
1-2sin40?cos40?

答案:cos40°-sin40°.
222
点评:提醒学生注意:1±2sinα cosα=sinα+cosα±2sinαcosα=(sinα±cosα),这是
一个很重要的结 论.
知能训练
课本本节练习.
解答:α=
?
33
,tanα=.
4
5
3
1
,cosφ=
?

2
2
2.当φ为第二象限角时,sinφ=
当φ为第四象限角时,sinφ=
?
3
1
,cosφ=.
2
2
3.当θ为第一象限角时,cosθ≈0.94,tanθ≈0.37.
当θ为第二象限角时,cosθ≈-0.94,tanθ≈-0.37.
4.(1)cosθtanθ=cosθ
sin
?
=sinθ;
c os
?
2cos
2
a?12cos
2
a?(sin
2
a?cos
2
a)cos
2
a?sin
2
a(2)
???1

222222
1?2sina(sina?cosa) ?2sinacosa?sina
5.(1)左=(sinα+cosα)(sinα- cosα)=sinα-cosα=右;
222222
(2)左=sinα(sinα+co sα)+cosα=sinα+cosα=1=右.
课堂小结
由学生回顾本节所学 的方法知识:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据
一个任意角的正弦、余弦、正切中的一 个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要
注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两 组或四组(以两组的形式给出).
“知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置, 再根据基本关系式求值,若已
知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切, 则构造方程组求值.
教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应 注意的问题,
并让学生总结本节用到的思想方法.
作业
22
1.化简(1+tanα)cosα;
2.已知tanα=2,求
答案:1.1;2.3.
设计感想
公式的推导和应用是本节课的重点,也是本节课的难点.
公式的应用实际上是求可化为完全平 方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证
明题,这类问题可按下列情形分别处理:
(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到
222222< br>sina?cosa
的值.
sina?cosa

35

结果;
(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨
论得到结果.
三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉
和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时,这类问题还
具有较强的 综合性,对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求,在教学时要注意进行
相关知识的复习.
证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时
常用的方法一般有以下三种:
(1)依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一边,证明时一般遵循由繁
到简的原则.
(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子.
(3)依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.
教材上在运用这一 方法时使用的是综合法,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法可以
使证明的思路更清楚一些,实际 上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等式成
立的充分条件即可(教师知道即可),证明 方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本
性质.
使学生明白,如果算式中含有正弦、 余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边沟通,可通
过“切化弦”使两边的三角函数相同.

1.3 三角函数的诱导公式
整体设计
教学分析
本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、化简、证明问题.
本小节介绍的五组 诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学习内容的基础,它们与
公式一组成的六组诱导公式,用 于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化
简、证明等问题.
在诱导 公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导
入,还是利用诱导公式 将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到
体现,在教学中注意数学思想渗透于 知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归
意识,特别是在本课时的三个转化问题引入后, 为什么确定180°+α角为第一研究对象,-α
角为第二研究对象,正是化归思想的运用.
公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90°的非负角,但是
在推导中却把α 拓广为任意角,这一思维上的转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性
的怀疑,因此它成为本课时的 难点所在.
课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体 的任
意角.学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制
的转化的 练习.
三维目标
1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解 诱导公式的推导过程;培
养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.
2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证

36

明问题,体会数式变形在数学中的作用.
3.进一步领悟 把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归
一,提高分析问题和解决问题 的能力.
重点难点
教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和
证明等.
教学难点:六组诱导公式的灵活运用.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.
②复习诱导公式一及其用途.
思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并
且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角
函数 值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(
?
到2π)范围内的
2
角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这< br>一节就来探讨这个问题.
推进新课
新知探究
提出问题
由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值?
活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值
学生记住了,对非 特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组
织学生思考讨论如下问题:0° 到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°
的角β能否与锐角α相联系?通过分 析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:
若能把求［90°,360°)内的角β的三角函 数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问
题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想 ,教师可借此向学生介绍化归思想.

图1
讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.
?
180
?
?a,?
?[90
?
,180
?
],
?
???
β=
?
180?a,
?
?[180,270],

?360
?
?a,
?
?[270
?
,360
?< br>],
?
提出问题
①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何?

37

②它们与单位圆的交点的位置关系如何?
③任意角α与180°+α呢?
活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.

图2
引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系. 无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择
180°+ α为研究对象.
利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关 于原点对
称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).
指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:
sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.
并指导学生写出角为弧度时的关系式:
sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.
引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.
讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.
②它们与单位圆的交点关于原点对称.
③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.
提出问题
①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么?
②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
活动:让学生在单位圆中讨论- α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发
学生思考:
任意角α和-α的终 边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、
对照公式二的推导过程,由学生 自己完成公式三的推导,即:
sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.
教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公
式三的特点, 得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.
讨论结果:
①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.
②-α角的终边与角α的终边关于x轴对 称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,
纵坐标互为相反数.
提出问题
①下一步的研究对象是什么?
②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角
α和π-α的终 边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对
照公式二、三的推导过程,由 学生自己完成公式四的推导,即:

38

sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.
强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.
引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π- α角的三角函数值转化为
求角α的三角函数值.
让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.
我们可以用下面一段话来概括公式一—四:
α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函 数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看
成锐角时原函数值的符号.
进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.
讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;
②π-α角的终边与角α的终 边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相
等,横坐标互为相反数.
示例应用
思路1
例1 利用公式求下列三角函数值:
(1)cos22 5°;(2)sin
11
?
16
?
;(3)sin(
?);(4)cos(-2 040°).
33
活动:这是直接运用公式的题目类 型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟
练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围, 对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.
解：(1)cos225°=cos(180°+45°) =-cos45°=
?
2
;
2
(2)sin
3
1 1
?
?
?
=sin(4π
?
)=-sin=
?;
2
33
3
(3)sin(
?
16
?
16
?
?
)=-sin=-sin(5π+)
3
33
=-(-sin
3
?
)=;
2
3
(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)
=cos120°=cos(180°-60°)
=-cos60°=
?
1
.
2
点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:

上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.
变式训练
利用公式求下列三角函数值:

39

(1)cos(-510°15′);(2)sin(
?
17
π).
3
解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′
=cos(360°+150°15′)
=cos150°15′=cos(180°-29°45′)
=-cos29°45′=-0.868 2;
(2)sin(
?
3
17
?
?
π)=sin(-3×2π)=sin=.
3
33
2
例2 2007全国高考,1
cos330°等于( )
A.
33
11
B.
?
C. D.
?

22
2
2
答案:C
变式训练
1?2sin290
?
cos430
?
化简:
sin25 0
?
?cos790
?
1?2sin290
?
cos430
?
解:
sin250
?
?cos790
?
=1?2sin(360
?
?70
?
)cos(360
?
?70
?
)
sin(180
?
?70
?
)?cos (720
?
?70
?
)

1?2sin70
?cos70
?
|cos70
?
?sin70
?
|
?
=
?sin70
?
?cos70
?
cos70
?
?sin70
?
sin70
?
?cos70
?
??1
. =
cos70
?
?sin70
?
例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.
活动:这是要求学生 灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角
的三角函数化为锐角的三角函数 ,再求值、合并、约分.
解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°
=cos(3 60°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)
=cos(-45°)
?
1
-sin45°+cos120°
2< br>=cos45°
?
2
1
?
+cos(180°-60°)
2
2
=
2
2
1
-cos60°=-1.
?
?
2
2
2

40

点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.
变式训练 求证:
tan(2
?
?
?
)sin(2
?
?< br>?
)cos(6
?
?
?
)
?tan
?
.
(?cos
?
)sin(5
?
?
?
)
分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.
证明:左边=
tan(2
?
?
?
)sin(2
?
?
?
)cos(6
?
?
?
)

(?cos
?
)sin(5
?
?
?
)
=
tan(?
?
)sin(?
?< br>)cos(?
?
)

(?cos
?
)sin(
?
?
?
)
tan
?
sin
?
cos?
=tanθ=右边.
cos
?
sin
?
=
所以原式成立.
规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.
知能训练
课本本节练习1—3.
解答:1.(1)-cos
4
?
?
;(2)-sin1;(3)-sin;(4)cos70°6′.
95
点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.
2.(1)
3
11
;(2);(3)0.642 8;(4)
?
.
22
2
点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.
24
3.(1)-sinαcosα;(2)sinα.
点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.
课堂小结
本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化
简三角函数式及证 明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,
符号看象限”的简便记法,同 学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要
多加练习,切实掌握由未知向已知转化的 化归思想.
作业
课本习题1.3 A组2、3、4.
设计感想
一、有关角的终边的对称性
(1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称.
(2)角α的终边与角-α的终边关于x轴对称.
(3)角α的终边与角π- α的终边关于y轴对称.
二、三角函数的诱导公式应注意的问题
(1)α+k·2π(k∈ Z),-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α
看成锐角时原函数的符号;可 简单记忆为:“函数名不变,符号看象限.”
(2)公式中的α是任意角.
(3)利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.

41

??
0到2π角基本步骤是:任意负角的三角函数< br>?????
相应的正角的三角函数
??
?
三角函数. 的三角函数?????
锐角的三角函数
???
即负化正,大化小,化为锐角再查表.
(设计者：沈献宏)
第2课时
导入新课
上一节课我们研究了诱导公式二 、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生
上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继 续探究别的诱导公式,揭示课题.
推进新课
新知探究
提出问题
终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系?
活动:我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系.
教师充分让学生探 究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之
间的数量关系,关于直线y= x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.
公式二
、
四查表
公式三或一公式一

图3
讨论结果:如图3,设任意角α的终边与单位圆的交点P
1
的坐标为(x,y),由于角
的终边与角α的终边关于直线y=x对称,角
?
-α
2
?
-α的终 边与单位圆的交点P
2
与点P
1
关于直
2
线y=x对称,因 此点P
2
的坐标是(y,x),于是,我们有
sinα=y,cosα=x,
cos(
??
-α)=y,sin(-α)=x.
22
从而得到公式五:
?
-α)=sinα,
2
?
sin(-α)=cosα.
2
cos(

提出问题
?
+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式?
2
??
活动:教师点拨学生将+α转化为π-(-α),从而利用公式四和公式五达到我们的
22
能否用已有公式得出

42

目的.因为
???< br>+α可以转化为π-(-α),所以求+α角的正余弦问题就转化为利用公式
222
四接 着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六.
讨论结果:公式六
Sin(
?
+α)=cosα,
2
?
cos(
2
+α)=-sinα.
提出问题
你能概括一下公式五、六吗?
活动:结合上一堂课研究公式一—四的共同特 征引导学生寻求公式五、六的共同特征,
指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括. 讨论结果:
?
±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一 个把
2
α看成锐角时原函数值的符号.
进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限.
利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
公式一—六都叫做诱导公式.
提出问题
学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括?
讨论结果:诱导公式一 —四,函数名称不改变,这些公式左边的角分别是
2kπ+α(k∈Z),π±α,-α(可看作0-α ).其中2kπ,π,0是横坐标轴上的角,因此,上述公
式可归结为横坐标轴上的角±α,函数名称不 改变.而公式五、六及上面的例1,这些公式左
边的角分别是
?
3
?
?
3
?
±α,-α.其中,是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐
2
22
2
标上的角±α,函数名称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所 有的诱导公式
可用十个字来概括:纵变横不变,符号看象限.
教师指点学习方法:如 果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将十分苦累,
且效率低下.学习过程中,能挖掘各个 公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么我们对数
学公式的记忆就不再是负担了.因此,要求大家多 做这方面的工作,以后数学的学习就不再是
枯燥无味的了.
示例应用
思路1
例1 证明(1)sin(
3
?
3
?
-α)=-cosα; (2)cos(-α)=-sinα.
22
活动:直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题.
3
?
??
-α)=sin[π+(-α)]=-sin(-α)=-cosα;
2
22
3
?
??
(2)cos(-α)=cos[π+(-α)]=-cos(-α )=-sinα.
2
22
3
?
点评:由公式五及六推得±α的三角 函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一
2
证明:(1)sin(

43

2k?1
π(k∈Z)的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用.
2?
11
?
sin(2
?
?a)cos(
?
?a )cos(?a)cos(?a)
22
例2 化简
.

9
?
cos(
?
?a)sin(3
?
?a)sin(?
?
?a)sin(?a)
2
步可以推广到
活动:仔细观察题目中的角,哪些是 可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六
的.认真应用诱导公式,达到化简的目的.
(?sina)(?cosa)(?sina)cos[5
?
?(
解:原式=
?
2
?a)]
(?cosa)sin(
?
?a)[?sin(?
?a)]sin[4
?
?(
?sin
2
acosa[ ?cos(?a)]
2
(?cosa)sina[?(?sina)]sin(
?2

?a)]
?
=
?
=
2
?a)?sina
=-tanα.
cosa
思路2
例1 (1)已知f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x;
(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx?
活动:对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观察题目特点,要灵活变形.观察本
例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借
助sin x=cos(
?
?
-x)或cosx=sin(-x).要善于观察条件和结论的结构 特征,找出它们的共
22
?
??
?
-x)]=cos[17(-x) ]=cos(8π+-17x)=cos(-17x)=sin17x,
2222
性与差异;要 注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.
证明:(1)f(sinx)=f[cos(
即f(sinx)=sin17x.
?
?sinx,n?4k,k?Z,
?
cosnx,n?4k?1,k?Z,
?
?
n
?
?
(2)f(cosx)=f[sin(-x)]=sin[ n(-x)]=sin(-nx)=
?

222
?
sinnx,n? 4k?2,k?Z,
?
?
?cosnx,n?4k?3,k?Z,
故所求的整 数n=4k+1(k∈Z).
点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.
变式训练
?
2
?
-α)=m(m≤1),求sin(-α)的值.
632
?
??
2
?
?
?
解:∵-α-(-α)=, ∴-α=+(-α).
362326
2
?
?
?
?
∴sin(-α)=sin［+(-α)］=cos(-α)=m.
3266
?
点评 :(1)当两个角的和或差是的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来.
2
已知cos(
(2)化简已知与所求,然后探求联系,这是解决问题的重要思想方法.

44

例2 已知sinα是方程5x-7x-6=0的根,且α为第三象限角,
2
sin(a?
求
3
?
3
?
)?sin(?a)?tan
2
(2< br>?
?a)?tan(
?
?a)
22
的值.
cos(?a)?cos(?a)
22
??
活动:教师引导学生先确定sinα的值再化简待求式,从而架起已知与未知的桥梁.
解:∵5x-7 x-6=0的两根x=2或x=
?
∵-1≤x≤1,∴sinα=
?
2
3
,
5
3
.
5
2
又∵α为第三象限角,∴c osα=
-1-sin
=
?
∴tanα=
4
.
5
3
.
4
(?cosa)?(?cosa)?tan
2< br>a?(?tana)
3
∴原式==tana=
sina?(?sina)
4
点评:综合运用相关知识解决综合问题.
变式训练
n
?
(n∈Z),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(1 02)=____________________.
6
n
?
n
?
(n?12)
?
解:∵=sin(+2π)=sin,
666
若函数f(n)=sin
∴f(n)=f(n+12).
从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)
=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)
=2［f(1)+f(2)+f(3)］
=2+
3
.
例3 已知 函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数,又知f(2
003)=-1,求f(2 004)的值.
活动:寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系,这个联系就是我们解答问题的关键和
要害.
解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)
=asin(2 002π+π+α)+bcos(2 002π+π+β)
=asin(π+α)+bcos(π+β)
=-asinα-bcosβ
=-(asinα+bcosβ),
∵f(2 003)=-1,
∴asinα+bcosβ=1.
∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)
=asinα+bcosβ=1.
点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程,在这个过程中一定要抓住关键和

45

要害,注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键和要害就是求得式 子
asinα+bcosβ=1,它是联系已知和未知的纽带.
知能训练
课本练习4—7.
4.
Α
?
?
4
?

3
3

2
?
5
?

4
2

2
?
?
5
?

3
3

2
?
7
?

4
2

2
2

2
?
?
8
?

3
3

2
?
?
11
?

4
2

2
2

2
Sinα
Cosα
?
1

2
?
2

2
1

2
?
1

2
?
5.(1)-tan
2?
5
?
;(2)-tan79°39′;(3)-tan;(4)-tan35° 28′.
36
5
6.(1)
2
3
(2)
?
;(3)-0.2116;(4)-0.758 7(5)
3
;(6)-0.647 5.
22
22
7.(1)sinα;(2)cosα+
1

cosa
课堂小结
本节课同学们自己导出了公式五、公式六,完成了教材中 诱导公式的学习任务,为求任意
角的三角函数值“铺平了道路”.公式一至六可用一句话“纵变横不变, 符号看象限”来记
忆,简单方便,不会遗忘.利用这些公式,可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 ,为求值
带来很大的方便,这种转化的思想方法,是我们经常用到的一种策略,要细心去体会、去把握.
利用这些公式,还可以化简三角函数式,证明简单的三角恒等式,我们要多练习,在应用中达
到 熟练掌握的程度.
作业
1.课本习题1.3 B组2.
22222
2 .求值:sin1°+sin2°+sin3°+…+sin88°+sin89°.
答案:44.5.
设计感想
1.本节设计指导思想是:在教师引导下放手让学生自 主探究.因为公式多,学生容易记混,所
以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉,在应用公式解决问 题中灵活熟练掌握公式.通
过学生的自主探究、推导公式,培养学生独立思考、知难而上的科学态度,更 进一步地体会数
学的奇特美、对称美.激发学生强烈的探究欲望,培养学生会学习的良好品质.
2.用口诀记忆公式:①π±α,-α,2kπ+α的三角函数公式为:“函数名不变,符号看象
限. ”
②
?
3
?
±α,±α的三角函数公式为:“函数名改变,符号看 象限.”其中α看成锐角.
2
2
3.用类比的方法学习本节课的基础知识,用化归的 数学思想指导三角函数的求值、化简与证
明.

1.4 三角函数的图象与性质

46

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
整体设计
教学分析
研究函数的性质常常以图象直观为基础,这点学生已经 有些经验,通过观察函数的图象,
从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的 应用.正弦函数、余弦
函数的教学也是如此.先研究它们的图象,在此基础上再利用图象来研究它们的性 质.显然,
加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.
由于三角函数是刻画周期 变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的
最重要的地方,而且对于周期函数,我们只 要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它
的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期性的研 究放在了首位.另外,教科书通过“旁
白”,指出研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特 点”,这是对数学思考方
向的一种引导.
由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描 述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函
数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然,我们还可以通 过三角函数的定义、三角函数值
之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到 “五点法”画正弦
函数、余弦函数的简图.
三维目标
1.通过实验演示,让学生经 历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的初
步认识,进而探索正弦曲线准确的作法 ,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问
题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识 之间的联系,提高分析问题、解决问题的能
力.
2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数 图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在
联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法 、五点法,体会用“五点法”作图给我
们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象. < br>3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带
来 的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,
树立科学的 辩证唯物主义观.
重点难点
教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.
教学难点: 将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数
图象间的关系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(复习 导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,
看看有什么特殊点,并借助图 象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值
等.我们也很自然的想知道y=sinx 与y=cosx的图象是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的
指数函数、对数函数的图象是什么?是如 何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?
进而引导学生通过取值,画出当x∈［0,2π ］时,y=sinx的图象.
思路2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运 动”实验.教师指导学生
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆 .在漏斗下方
放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手 使

47

它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上 得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理
中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它 表示了漏斗对平衡位置的位移
s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.
有了上述实验, 你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象?画函数的图象,最
基本的方法是我们以前熟知 的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确
的正弦函数图象.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函 数表得到的数值,由于对一般角
的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任 意角的三角函数值
并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两 个坐标
的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图象呢?
问题②:如何得到y=sinx,x∈R时的图象?
活动:教师先让学生阅读教材、 思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本
上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线 来作正弦函数的图象,怎样在x轴上标横坐
标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时 ,教师可进行适时的点拨.只要解
决了y=sinx,x∈［0,2π］的图象,就很容易得到y=si nx,x∈R时的图象了.
对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把 x轴上从0到2π这一段
分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1
上的各分点作x轴的
垂线,就可以得到对应于0、
?
?
??< br>、、、、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐
6432
标问题(相当于“列表”) .第二步,把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重
合,这就得到了函数对(x,y)( 相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线
连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1
所示(这一过程用课件演示,让学生仔细 观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形
成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师 要和学生共同探讨.

图1
对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函 数值,所以函数y=sinx在
x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0上的图象与函数y= sinx在x∈[0,2π]上的图象的形状完
全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sin x,x∈[0,2π］的图象向左、右平行移动
(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=si nx,x∈R的图象.(这一过程用课件处理,
让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)

48

图2
讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的图象.
②左、右平移,每次2π个长度单位即可.
提出问题
如何画出余弦函数y =cosx,x∈R的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用
正弦函数图象得到余弦函数图 象吗?
活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生 观
察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学
生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动
手做一做,体 会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学
习正弦函数、余弦函数的 性质打下基础.
讨论结果:
把正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移
?< br>个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.
2

图3
正弦函数y =sinx,x∈R的图象和余弦函数y=cosx,x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线
点.
提出问题
问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画 出正弦函数图
象的方法.你认为哪些点是关键性的点?
问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?
活 动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］
上有五个点 起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx在［0,2π］上的图象的形状就基
本上确定了. 这五点如下:
(0,0),(
?
3
?
,1),(π,0),(,- 1),(2π,0).
2
2
因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出 这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们
连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图 )法”是非常实用的,要求熟练
掌握.
对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2 π］上起关键作用的五个点,并指导学生通
过描这五个点作出在［0,2π］上的图象.
讨论结果:①略.
②关键点也有五个,它们是:(0,1),(
应用示例
思路1
?
3
?
,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
2
2

49

例1 画出下列函数的简图
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π].
活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后
练习1领悟画正弦 、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”
画图易学却难掌握,学生需练 好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完
成.对学生出现的种种失误,教师不要着 急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有
好处.
解:(1)按五个关键点列表:
x
sinx
1+sinx
0
0
1
?

2
1
2
π
0
1
3
?

2
-1
0
2π
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).

图4
(2)按五个关键点列表:
x
cosx
-cosx
0
1
-1
?

2
0
0
π
-1
1
3
?

2
0
0
2π
1
-1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).

图5
点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变 化.本例
的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生< br>一些动手操作的时间,或者增加图象纠错的环节,效果将会令人满意,切不可教师画图学生看.
完 成本例后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图象变换得出要画的图象,让
学生从另一个 角度熟悉函数作图的方法.
变式训练
2007山东临沂一摸统考17(1)在给定的直 角坐标系如图6中,作出函数f(x)=
2
cos(2x+
?
)在区间[0, π]上的图象.
4
解:列表取点如下:

50

x 0

2x?
?
4
?

4
1
?

8
?

2
0
3
?

8
π
5
?

8
3
?

2
0
7
?

8
2π
π
9
?

4
1
f(x)

?2

2

描点连线作出函数f(x)=
2
cos(2x+
?)在区间[0,π]上的图象如图7所示.
4

图6 图7
思路2
例1 画出函数y=|sinx|,x∈R的简图.
活动:教师引 导学生观察探究y=sinx的图象并思考｜sinx｜的意义,发现只要将其x轴
下方的图象翻上去即 可.进一步探究发现,只要画出y=|sinx|,x∈[0,π]的图象,然后左、右
平移(每次π个 单位)就可以得到y=|sinx|,x∈R的图象.让学生尝试寻找在[0,π]上哪些点
起关键作用 ,易看出起关键作用的点有三个:(0,0),(
?
,1),(π,0).然后列表、描点、连 线,
2
让学生自己独立操作完成,对其失误的地方再予以一一纠正.
解:按三个关键点列表:
x
sinx
y=｜sinx｜
0
0
0
?

2
1
1
π

0
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图8).

图8
点评:通过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义,并进一步从图
象变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔.
变式训练
1.方程sinx=
x
的根的个数为( )
10
A.7 B.8 C.9 D.10
解:这是 一个超越方程,无法直接求解,可引导学生考虑数形结合的思想方法,将其转化为函
数y=
x< br>的图象与y=sinx的图象的交点个数问题,借助图形直观求解.解好本题的关键是正
10确地画出正弦函数的图象.如

51

图9,从图中可看出,两个图象有7个交点.

图9
答案:A
2.用五点法作函数y=2sin2x的图象时,首先应描出的五点横坐标可以是( )
?
3
?
??
3
?
,,2π B.0,,,,π
2
2
42
4
???
2
?
C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,,
6323
A.0,
答案:B
知能训练
课本本节练习
解答:
1.可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象,也可以用 “五点法”作出它们的图象,还
可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象.两条曲线形状相同,位 置不同,例如函数
y=sinx,x∈[0,2π]的图象,可以通过将函数y=cosx,x∈[个单位长度而得到(图10).
?
3
?
?
,]的图象向右平行 移动
2
2
2

图10
点评:在同一个直角坐标系 中画出两个函数图象,利于对它们进行对比,可以加强正弦函
数与余弦函数的联系.通过多种方法画图, 渗透数形结合思想,强化学生对数学概念本质的认
识.
2.两个函数的图象相同.
点评:先用“五点法”画出余弦函数的图象,再通过对比函数解析式发现另一函数的图
象的变化规律,最 后变换余弦曲线得到另一函数的图象(图11).

图11
课堂小结
以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.
1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?
2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?
这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之

52

外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是 比较方便、实用的方法,应熟练
掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.
作业
1.课本习题1.4 A组1.
2.预习下一节:正弦函数、余弦函数的性质.
设计感想
1.本节课操作性强,学 生活动量较大.新课从实验演示入手,形成图象的感知后,升级问题,探
索正弦曲线准确的作法,形成理 性认识.问题设置层层深入,引导学生发现问题,解决问题,并
对方法进行归纳总结,体现了新课标“以 学生为主体,教师为主导”的课堂教学理念.如用多
媒体课件,则可生动地表现出函数图象的变化过程, 更好地突破难点.
2.本节课所画的图象较多,能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的 要求,重
在学生动手操作,不要怕学生出错.通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力.开始时要< br>慢些,尤其是“五点法”,每个点都要能准确地找到,然后迅速画出图象.
3.本小节设置的“ 探究”“思考”较多,还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展
性栏目.教学时,应留给学生一 定的时间思考、探究这些问题.

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
整体设计
教学分析
对于函数性质的研究,在高一必修中已经研究了幂函数 、指数函数、对数函数的图象与
性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些 经验了.其中,通过
观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思 想方法
的应用.
由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数 不同于其他类型函
数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质 ,那么
就完全清楚它在整个定义域内的性质.
正弦、余弦函数性质的难点,在于对函 数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论
是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易. 单调性只要求由图象观察,不要求证明,
而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论 ,只要注意引导学生利用周
期进行正确归纳即可.
三维目标
1.通过创设情境,如 单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概
念;能熟练地求出简单三角函数 的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.
2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有 一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激
发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会 运用联系的观点认识事物.
重点难点
教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周 期性、单调性、奇偶性、最值或值域);
深入研究函数性质的思想方法.
教学难点:正弦函数 和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正
周期的意义及简单的应用.
课时安排
2课时
教学过程

53

第1课时
导入新课
思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象 ,在日常生活和工作中,人们常常
有这样的自我感觉,有的时候体力充沛,心情愉快,思维敏捷;有的时 候却疲倦乏力,心灰意冷,
反应迟钝;也有的时候思绪不稳,喜怒无常,烦躁不安,糊涂健忘,这些感觉 呈周期性发生,贯
穿人的一生,这就是人体节律.这种有规律性的重复,我们称之为周期性现象.请同学 们举出
生活中存在周期现象的例子,在学生热烈的争论中引入新课.
思路2.取出一 个钟表,实际操作,我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会
重复,这是一种周期现象.我们 这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数.那么我们
怎样从数学的角度研究周期现象呢?在图形 上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律,
在代数式上让学生思考诱导公式:sin(x+2kπ) =sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”
的变化规律的.要求学生用日常语言叙述这个公式,通过 对图象、函数解析式的特点的描述,
使学生建立在比较牢固的理解周期性的认知基础上,来理解“周而复 始”变化的代数刻画,
由此引出周期函数的概念.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①正弦函数、余弦函数是周期函数吗?如果是,又是怎样周期性变化的?
问题②阅读教材并思考:怎样从代数的角度定义周期函数?
活动:教师可先引导学生 查阅思考上节学过的正弦函数图象,让学生观察正弦线的变化
规律,有什么新的发现?再让学生描述这种 规律是如何体现在正弦函数的图象上的,即描述正
弦函数图象是如何体现“周而复始”的变化规律的.通 过研究图象,学生很容易看出正弦函
数、余弦函数是周期函数.怎样变化呢?从图1中也能看出是每隔2 π就重复一次.
对问题①,学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的,至于怎样描述,学生一 时很难回答.
教师可引导学生思考讨论,正弦函数图象是怎样重复出现的?对于回答对的学生给予肯定, 鼓
励继续探究.对于找不到思路的学生给予提示,指导其正确的探究思路.

图1
问题②,从图象上能够看出,但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述,这
对学生有一定的难度.在引入正式定义之前,可以引导学生先从不同角度进行描述.例如:对
于函数f (x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,
那么这个函数就 叫做周期函数.教师也可以引导点拨学生从诱导公式进行描述.例如:
sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,k∈Z.
这表明,正 弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值
2kπ,它的函数 值就重复出现,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数.还可以通过类比奇函
数、偶函数、周期函数的研 究方法来加深理解周期性概念.
如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值,都有:
f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数;
f(-x)=f(x),那么f(x)叫做偶函数;
f(x+T)=f(x),其中T是非零常数,那么f(x)叫做周期函数.
从上述定义可以看到,函数的性质是对函数的一种整体考察结果,反映了同一类函数的

54

共同特点,它们可以从代数角度得到统一刻画.这种共同特点还可以从函数的图象上得到反
映.
讨论结果:①正弦函数、余弦函数是周期函数,每隔2π就重复一次.
②略. 定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有
f( x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
如果在周 期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的
最小正周期.正 弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
提出问题
①怎样正确理解三角函数是周期函数的定义?并举例说明.
②通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期?
活动:对问题①,学生一时可能难于理解周 期的代数刻画.教师在引导学生阅读、讨论、
思考问题时可多举些具体例子,以使抽象概念具体化.如常 数函数f(x)=c(c为常数,x∈R)是
周期函数,所有非零实数T都是它的周期.同时应特别强调 :(1)对周期函数与周期定义中的
“当x取定义域内每一个值时”这句话,要特别注意“每一个值”的 要求.如果只是对某些x
有f(x+T)=f(x),那么T就不是f(x)的周期.例如,分别取
x
1
=2kπ+
????
?
??
(k∈Z ),x
2
=,则由sin(2kπ++)≠sin(2kπ+),sin(+)≠sin
4642462
??
,可知不是正弦函数的周期.又如sin(30°+120°)=sin 30°,但不是对所有x都有
62
f(x+120°)=f(x),所以120°不是f(x) 的周期.(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期
不唯一,例如2π,4π,6π,8π,……都是 它的周期,有无穷多个,即2kπ(k∈Z,k≠0)都是正
弦函数的周期.这一点可以从周期函数的图 象上得到反映,也可以从代数上给以证明:设T是
函数f(x)的周期,那么对于任意的k∈Z,k≠0 ,kT也是函数f(x)的周期.(3)对于周期函数来
说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数, 就称它为最小正周期.但周期函数不一定存在
最小正周期,例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数 ,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,由
于T可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小值 ,即最小正数是不存在的,所以常数
函数没有最小正周期.(4)正弦函数中,正周期无穷多,2π是最 小的一个,在我们学习的三角
函数中,如果不加特别说明,教科书提到的周期,一般都是指最小正周期.
对问题②,教师要指导学生紧扣定义,可先出一些简单的求周期的例子,如:若T是f(x)< br>的周期,那么2T、3T、…呢?怎样求?实际上,由于T是f(x)的周期,那么2T、3T、…也是它
的周期.因为f(x+2T)=f(x+T+T)=f(x+T)=f(x).这样学生就会明白,数学 中的周期函数,其实
就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数.
讨论结果:①略.
②定义法、公式法和图象法.
应用示例
思路1
例1 求下列函数的周期:
(1)y=3cosx,x∈R;
(2)y=sin2x,x∈R;
(3)y=2sin(
x
?
-),x∈R.
2
6
活动:教师引导学生紧扣定义,一切从定义出发来求.
(1)因为3cos(x+2π)=3cosx ,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能

55

会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为
3 cos(x+π)=-3cosx≠3cosx,所以π不是周期.(2)教师引导学生观察2x,可把2x看成 一个
新的变量u,那么cosu的最小正周期是2π,就是说,当u增加到u+2π时,函数cosu的 值重
复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x增加到x+π且必须增加到x+ π时函数
值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知, 原函数的周期为
π.(3)因为2sin［
1
?
x
?
x?
(x+4π)-］=2sin［(-)+2π］=2sin(-).
22
6
2
66
所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.
解:(1)周期为2π;
(2)周期为π;
(3)周期为4π.
点评:通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关,关键是让学生认识
到,f(x+T)= f(x)中,T是相对于自变量x而言的,让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析
式中哪些量有关.
一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A、ω、φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R) 的周期为T=
可以按照如下的方法求它的周期:
y=Asin(ωx+φ+2π)=Asin ［ω(x+
于是有f(x+
2
?
?
.
2
?
?
)+φ］=Asin(ωx+φ).
2
?
?
)=f(x),
所以其周期为
2
?
?
.例如,在第(3)小题,y=2si n(
1
?
1
x-),x∈R中,ω=,所以其周期
22
6< br>是4π.由上述解法可以看到,思考的基本依据还是y=sinx的周期为2π.
根据 这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如例3中的第(3)小
题:T=
2
?
?
=4π.这是求简单三角函数周期的最基本方法,即公式法.
变式训练
1.已知f(x)是周期为5的周期函数,且f(1)=2 007,求f(11).
解:因为5是函数f(x)在R上的周期,
所以f(11)=f(6+5)
=f(6)=f(1+5)=f(1)=2 007.
2.已知奇函数f(x)是R上的函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(8).
解:由题意知,3是函数f(x)的周期,且f(-x)=-f(x),
所以f(8)=f(2+2×3)
=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.
思路2
2
例1 判断函数f(x)=2sinx+｜cosx｜,x∈R的周期性.如果是周期函数,最小正周期是多少?
活动:本例的难度较大,教师可引导学生从定义出发,结合诱导公式,寻求使f(x+T)=f (x)
成立的T的值.学生可能会很容易找出4π,2π,这的确是原函数的周期,但是不是最小正周< br>期呢?教师引导学生选其他几个值试试.如果学生很快求出,教师给予表扬鼓励;如果学生做
不出 ,教师点拨学生的探究思路,主要让学生自己讨论解决.
2
解:因为f(x+π)=2sin(x+π)+｜cos(x+π)｜
2
=2sinx+｜cosx｜

56

=f(x).
所以原函数是周期函数,最小正周期是π.
点评:本题能很 容易判断是周期函数,但要求的是“最小正周期”,那就要多加小心了.
虽然将4π,2π带入公式后也 符合要求,但还必须进一步变形,即f(x)中的x以x+π代替后
看看函数值变不变.为此需将π,
?
2
等都代入试一试.实际上,在f(x)=2sinx+｜
2
co sx｜,x∈R中,学生应看到平方与绝对值的作用是一样的,与负号没有关系.因而π肯定是
原函数的 一个周期.
变式训练
1
(π-x)的周期.
3
1
解:因为y=2sin(π-x)
3
1
?
=-2sin(x-),
3
3
1.求函数y=2sin
所以周期T=6π.
2.证明正弦、余弦函数的最小正周期是2π.
证明:(反证法)先证正弦函数的最小正周期是2π.
由于2π是它的一个周期,
所以只需证明任意一个小于2π的正数都不是它的周期.
假设T是正弦函数的周期,且0那么根据周期函数的定义,当x取定义域内的每一个值时,都有sin(x+T)=sinx.
令x=
?
,
2
代入上式,得sin(
但sin(
?
?
+T)=sin=1,
22
?
+T)=cosT,于是有cosT=1.
2
根据余弦函数的定义,当T∈(0,2π)时,cosT<1.
这说明上述cosT=1是不可能的.
于是T必须等于2π,即正弦函数的最小正周期是2π.
同理可证,余弦函数的最小正周期也是2π.
知能训练
课本本节练习
解答:
1.成立.但不能说12°是正弦函数的一个周期,因为此等式不是对x的一切值都成立.
例如sin(20°+120°)≠sin20°.
点评:理解周期函数概念中“当x取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义.
2.(1)
8
?
?
; (2); (3)2π; (4)6π.
3
2
点评:利用周期函数的图象和定义求周期,体会周期与自变量x的系数有关.
3.可以先在一个周期的 区间上研究函数的其他性质,再利用函数的周期性,将所研究的性质
扩展到整个定义域.
点评:了解如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质.可让学生课堂讨论,然后

57

归纳总结.
课堂小结
由学生回顾本节所学的数学知识有 哪些?〔周期函数的概念,最小正周期的定义,正弦、余弦
函数的周期性,y=Asin(ωx+φ)( ω>0)的周期〕.并思考总结本节都用了哪些数学方法?(观察
与归纳,特殊到一般,定义法,数形结 合,辩证的观点)
作业
1.课本习题 A组3,B组3.
2.预习正弦函数、余弦函数的奇偶性.
设计感想
1.本节课的设计思想是:在学 生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点.
因此一开始要让学生从图形、代数两方面深 入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学
生一开始没有很好的理解,那么,以后有些题就会很难 做.通过探究让学生找出周期这个规律
性的东西,并明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要 而产生.将周期性概念的形
成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更高的广度. < br>2.本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律.让学生在
探 究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导.但由于
学生知识水平 的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的
规律及一般三角函数的周期 的求法.
3.根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们进行一题多解, 多
题合一,变式思考的训练,培养他们求同思维、求异思维能力,以及思维的灵活性、深刻性与
创造性,鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要
及时引导 、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.
(设计者:郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数 、对数函数的性
质,往往通过它们的图象来研究.先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象,从学生画图 象、
观察图象入手,由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究.
思路2.(直接导入 )研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx,y=cosx是函数,我们
当然也要探讨它们的 一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质.
请同学们回想一下,一般来说 ,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、
奇偶性、单调性、最值)?然后逐一进 行探究.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆并画出正弦曲线和余弦曲线,观察它们的形状及在坐标系中的位置;
②观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么;
③观察正弦曲线和余弦曲线,说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么;
由值域又能得到什么;
④观察正弦曲线和余弦曲线,函数值的变化有什么特点?
⑤观察正弦曲线和余弦曲线,它们都有哪些对称?

58

(1)

(2)
图2
活动:先让学生充分 思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的
思路继续探究,对找不到思考方向的 学生,教师可参与到他们中去,并适时的给予点拨、指导.
在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识 图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研
究正弦、余弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘 正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角
函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为 单位圆中的三角函数线更
直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的 好工具.用
三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有< br>关性质.
对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势.
对问题②,学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(-∞,+∞)〕.
对问题③,学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界,得出正弦函数、余弦函数的
值域都是 [-1,1].教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明.
∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,
∴｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1.
也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R),
?
+2kπ,k∈Z时,取得最大值1.
2
?
(2)当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1.
2
(1)当且仅当x=
对于余弦函数y=cosx(x∈R),
(1)当且仅当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1.
(2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值-1.
对问题④,教师可引导、 点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图3,通过学生充分讨论后
确定,选图象上的［-
道 理,其他类似.
?
3
?
,］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段, 而不选[0,2π]的
2
2


59

图3

图4
这个变化情况也可从下表中显示出来:
x
sinx
-
?

2
…
↗
0
0
…
↗
?
2
1

…
↘
π
0
…
↘
3
?

2
-1 -1
就是说,函数y=sinx,x∈［-
当x∈［-
?
3
?,］.
2
2
??
,］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx的值由-1增大到1;
22
?
3
?
当x∈［,］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的 值由1减小到-1.
2
2
类似地,同样可得y=cosx,x∈[-π,π]的单调 变化情况.教师要适时点拨、引导学生先如何
恰当地选取余弦曲线的一段来研究,如图5,为什么选[- π,π],而不是选[0,2π].

图5
引导学生列出下表:
x
cosx
-π
-1
…
↗
-
?

2
0
…
↗
0
1
…
↘
?

2
0
…
↘
π
-1
结合正弦函数、余弦函数的周期性可知:
??
+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函数 ,其值从-1增大
22
?
3
?
到1;在每一个闭区间［+2kπ,+ 2kπ］(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
2
2
正弦函数在每一个闭区间［-
余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z) 上都是增函数,其值从-1增加到1;
在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是减 函数,其值从1减小到-1.
对问题⑤,学生能直观地得出:正弦曲线关于原点O对称,余弦 曲线关于y轴对称.在R
上,y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数.教师要恰时恰点地引导, 怎样用学过的知识方法给予
证明?
由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,
∴y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数.
至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,

60

如正弦曲线还关于直线x=
?
?
对称,余弦曲线还 关于点(,0)对称,等等,这是由它的周期性
22
而来的.教师可就此引导学生进一步探讨, 为今后的学习打下伏笔.
讨论结果:①略.
②定义域为R.
③值域为[-1,1],最大值都是1,最小值都是-1.
④单调性(略).
⑤奇偶性(略).
当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共 同之处.我们不妨把两
个图象中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线,所以它们的 定义域相
同,都为R,值域也相同,都是［-1,1］,最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y 轴放置的
位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同;它们的周期相同,最小正周期都是2π;它们
的图象都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心,
以 过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴.但是由于y轴的位置不同,对称中心及对称轴与x
轴交点的横坐 标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现,
也是由于y轴的位置改 变,使增减区间的位置有所不同,也使奇偶性发生了改变.
应用示例
思路1
例1 数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出
最大值、最小值 分别是什么.
(1)y=cosx+1,x∈R;(2)y=-3sin2x,x∈R.
活动:通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质.容易知道,这两个函数都有最大
值、最小值.课 堂上可放手让学生自己去探究,教师适时的指导、点拨、纠错,并体会对应取
得最大(小)值的自变量为 什么会有无穷多个.
解:(1)使函数y=cosx+1,x∈R取得最大值的x的集合,就是使函数 y=cosx,x∈R取得最大值
的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z};
使函数y=co sx+1,x∈R取得最小值的x的集合,就是使函数y=cosx,x∈R取得最小值的x的
集合{x |x=(2k+1)π,k∈Z}.
函数y=cosx+1,x∈R的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.
(2)令Z =2x,使函数y=-3sinZ,Z∈R取得最大值的Z的集合是{Z|Z=-
由2x=Z=-
?
+2kπ,k∈Z},
2
?
?
+2kπ,得x=-+kπ.
24
?
+kπ,k∈Z}.
4
?
同理,使函数y=-3s in2x,x∈R取得最小值的x的集合是{x|x=+kπ,k∈Z}.
4
因此使函数y= -3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x=-
函数y=-3sin2x,x∈R的最大 值是3,最小值是-3.
点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但对应的自变量x的值 却不唯一,这从正弦
函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小 )值的性
质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B的函数,一般通过变量代换(如设Z=ωx+φ化 归为
y=AsinZ+B的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解 决
问题时也适用.
例2 函数的单调性,比较下列各组数的大小:

61

(1)sin(-
?
?
23
?
1 7
?
)与sin(-);(2)cos(
?
)与cos(
?
).
54
1810
活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象 与性质进行大小比较,充分利用
学生的知识迁移,有利于学生能力的快速提高.本例的两组都是正弦或余 弦,只需将角化为同
一个单调区间内,然后根据单调性比较大小即可.课堂上教师要让学生自己独立地去 操作,教
师适时地点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.
?
?
?
?
<
?
<
?
<0,正弦函数y=sinx在区间[
?
,0]上是增函数,所以
22
1018
??
sin(
?
)>sin(
?
).
1810
23
?
23
?
3
?
17
?
17
?
?
(2)cos(
?
)=cos=cos,cos(
?
)=cos=cos.
554
544
?
3
?
因为0<<<π,且函数y=cosx,x∈[0,π ]是减函数,
4
5
?
3
?
23
?
17< br>?
所以cos>cos,即cos(
?
)?
).
554
4
解:(1)因为
?
点评:推进本例时应提醒学生注 意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角
化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地 判断一下有没有符号不同的情况,以便快速
?
3
?
>0,cos<0,显然大 小立判.
5
4
1
?
例3 函数y=sin(x+),x∈[-2π,2π]的单调递增区间.
2
3
解题,如本例中,cos
活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方
向:
1
?
x+看成Z,这样问题就转化为求y=sinZ的单调区间问题,而这就简单多了.
2
3
1
?
解:令Z=x+.函数y=sinZ的单调递增区间是
2
3
?
?
［
?
+2kπ,+2kπ］.
2
2
?
1
?
?
5
?
?
由-+2k π≤x+≤+2kπ,得
?
+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z.
2
3223 3
5
?
?
15
由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤
?< br>+4kπ且+4kπ≤2π,于是
?
≤k≤,由于k∈Z,
331212
5
?
?
5
?
?
所以k=0,即
?
≤x≤ ,而［
?
,］［-2π,2π］,
3333
x
?
5
?
?
因此,函数y=sin(+),x∈[-2π,2π]的单调递增区间是［
?< br>, ］.
2
333
把
点评:本例的求解是转化与化归思想的 运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一
个关于x的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的 单调区间,要让学生熟悉并灵活运用
这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.
思路2
例1 求下列函数的定义域:

62

(1)y=
1
;(2)y=
cosx
.
1?sinx
活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图象,根据实际情况进 行适当的指导点
拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等.
解:(1)由1+sinx≠0, 得sinx≠-1,即x≠
∴原函数的定义域为{x｜x≠
3
?
+2kπ(k ∈Z).
2
3
?
+2kπ,k∈Z}.
2
?
?
(2)由cosx≥0,得
?
+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).
22
?
?
∴原函数的定义域为［
?
+2kπ,+2kπ］(k∈Z ).
2
2
点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线、余弦曲线直 接写出结果.本例分作
两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.
例2 在下列区间中,函数y=sin(x+
A.［
?
?
)的单调增区间是( )
44
???
?
,π］ B.［0,］ C.［-π,0］ D.［,］
2442
??
活 动:函数y=sin(x+)是一个复合函数,即y=sin[φ(x)],φ(x)=x+,欲求y=sin( x+
44
??
)的单调增区间,因φ(x)=x+在实数集上恒递增,故应求使y随φ (x)递增而递增的区间.
44
?
也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+看成一 个整体,其道理是一样的.
4
?
?
?
解:∵φ(x)=x+在实数 集上恒递增,又y=sinx在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上是递增的,
422
???
故令2kπ-≤x+≤2kπ+.
242
3
?
?
∴2kπ-≤x≤2kπ+.
4
4
?
3
?
?
∴y=sin(x+)的递增区间是[2kπ-,2kπ+ ].
4
44
11
?
7
?
3
?
?
5
?
9
?
取k=-1、0、1分别得[
?
,]、[
?
,]、[,],
44
4444
对照选择肢,可知应选B.
答案:B
点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ )的单调增区间的一般
结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是 一种颇具新
意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地< br>解出.
解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:
(1)求定义域;(2)确定 复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的
单调性;( 4)写出满足φ(x)的单调性的含有x的式子,并求出x的范围;(5)得到x的范围,与
其定义域求 交集,即是原函数的单调区间.

63

结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断.
变式训练
1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那 么
( )
?
B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π
2
?
D.T=1,θ=
2
2
?
解:T==2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=s inθ,要使上式取得最大值,可取
?
?
θ=.
2
A.T=2,θ=
答案:A
1
?
2x
sin(-)的单调递减区间及单调递增区间.
2
4
3
1
?
2x12x
?
解:y=sin(-)=-sin (-).
223
44
3
?
2x
?
?
由2 kπ-≤-≤2kπ+,
3
422
3
?
9
?
可得 3kπ
?
≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调减区间;
8
8
?2x
?
3
?
由2kπ+≤-≤2kπ+,
3
4
2
2
9
?
21
?
可得3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z) ,为单调增区间.
8
8
3
?
9
?
所以原函数的单 调减区间为［3kπ
?
,3kπ+］(k∈Z);
8
8
9
?
21
?
原函数的单调增区间为［3kπ+,3kπ+］(k∈Z).
8
8
2.求函数y=
知能训练
课本本节练习
解答:
1.(1)(2kπ,(2k+1)π),k∈Z;(2)((2k-1)π,2kπ),k∈Z; < br>(3)(-
???
3
?
+2kπ,+2kπ),k∈Z;(4)(+2 kπ,+2kπ),k∈Z.
2
222
点评:只需根据正弦曲线、余弦曲线 写出结果,不要求解三角不等式,要注意结果的规范
及体会数形结合思想方法的灵活运用.
2.(1)不成立.因为余弦函数的最大值是1,而cosx=
3
>1.
2
(2)成立.因为sinx=0.5,即sinx=±
2
22
,而正弦函数的 值域是[-1,1],±∈[-1,1].
22
点评:比较是学习的关键,反例能加 深概念的深刻理解.通过本题准确理解正弦、余弦函
数的最大值、最小值性质.

64

3.(1)当x∈{x|x=
?
?
+2kπ,k∈Z}时,函数取得最大值2;当x∈{x|x=
?
+2kπ,k∈Z}时,函< br>2
2
数取得最小值-2.
(2)当x∈{x|x=6kπ+3π,k∈Z}时 ,函数取得最大值3;当x∈{x|x=6kπ,k∈Z}时,函数取得
最小值1.
点评:利 用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质,结合本节例题巩固正弦、余弦函数的性质,
快速写出所给函数 的最大值、最小值.
4.B
点评:利用数形结合思想认识函数的单调性.这是一道 选择题,要求快速准确地选出正确
答案.数形结合是实现这一目标的最佳方法.
5.(1)sin250°>sin260°;
(2)cos
15
?
14
?
>cos;
89
54
?
63
?
)>sin(
?
).
78
(3)cos515°>cos530°;
(4)sin(
?
点评:解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究.
6.[kπ+
?
5
?
,kπ+],k∈Z.
8
8
点评:关键是利用转化与化归的思想将问题转化为正弦函数的单调性问题,得到关于x的不
等式 ,通过解不等式求得答案.
课堂小结
1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识, 学习了哪些数学思想方法.这节课我们
研究了正弦函数、余弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质, 通过对两个函数从定义域、
值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我 们对这两个函
数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数,余弦函数的图象的画法.
2. 进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、
特殊到一般 的辩证统一的观点.
作业
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin(π+x);
?1?sin?cos
2
x
(2)f(x)=.
1?sinx
解答:
(1)函数的定义域为R,它关于原点对称.
∵f( x)=xsin(π+x)=-xsinx,f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x) ,
∴函数为偶函数.
(2)函数应满足1-sinx≠0,∴函数的定义域为{x|x∈R 且x≠2kπ+
?
,k∈Z}.
2
∵函数的定义域关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
设计感想
1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量
活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较

65

深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以 前所学的函数不是周期函数,所
以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外, 又有其特殊性,共性
中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所 领悟.
2.在讲完正弦函数性质的基础上,应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质,以加< br>深他们对两个函数的区别与联系的认识,并在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化
技巧的 难度,提高应用图象与性质解题的力度.较好地利用图象解决问题,这也是本节课主要
强调的数学思想方 法.
3.学习三角函数性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如sin(α+2π)=si nα这
个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了,它表明正弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.

1.4.3 正切函数的性质与图象
整体设计
教学分析
本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学 习了正弦函数和余弦函数的性质.
函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函 数性质的研究总是先
作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出 严格表
述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、< br>诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了
给 学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强
了理性思考的 成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引
导学生体会这种解决问题的 方法.
通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以 提
高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想
的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知
识点的能力, 学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想
的培养,也有利于学生综合 运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提
高教学效果.
由于学生已经 有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到
对正切函数性质的研究中, 因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究
正切函数的性质,让学生深刻领悟这种 迁移与类比的学习方法.
三维目标
1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思 想的养成,以及培养学生综合运用新
旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运 用数学思想解决实际问
题的能力.
2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上, 运用类比的方法,学习正切函数的图
象与性质,从而培养学生的类比思维能力.
3.通过正切 函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学
好数学的信心.
重点难点
教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.
教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.
课时安排

66

1课时
教学过程
导入新课
思路1. (直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象
和性质,你能否根据研 究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函
数的图象与性质？由此展开新课.
思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画
出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.
推进新课
新知探究
提出问题
①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高 中要学
习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数
的哪几个方面的性质？
②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？ < br>③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右
扩展, 这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数
呢？为什么？
④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？
你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？
活动:问题①,教师先 引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、
单调性、周期性这几个方面来研究的 ,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探
究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图 象,教师指导学生充分利用正切线的直观性.
(1)周期性
由诱导公式
tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠
?
+kπ,k∈Z
2
可知,正切函数是周期函数,周期是π.
这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化 引起正切线的变化的周期性,直观
理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上 观察正切函数的这一
周期性.
(2)奇偶性
由诱导公式
tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠
?
+kπ,k∈Z
2
可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象
还能发现对称点 吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对
称中心是(
k
?
,0)k∈Z.
2
(3)单调性
通过多媒体课件演示,由正 切线的变化规律可以得出,正切函数在(
?
数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间 (
?
?
?
,)内是增函
2
2
?
?
+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函
2
2
67

数.
(4)定义域
y
,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有 x=0,
x
?
这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为k π+,k∈Z,所以
2
?
?
正切函数的定义域是{α|α≠kπ+,k∈Z} ,而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初
22
根据正切函数的定义tan α=
学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.
(5)值域
由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于
?
切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于
向无限延伸.因此,tanx在(
?< br>?
?
且无限接近
?
时,正
22
??
且无限接 近时,正切线AT向Oy轴的正方
22
?
?
,)内可以取任意实数,但没有最 大值、最小值.
2
2
因此,正切函数的值域是实数集R.
问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.

图1
问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上
展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了
［0,π］ 作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,
把课件中先作出［ -
?
?
,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,
22
??
,)
22
?
2
得到整个定义域内函数的图象,让学 生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内
的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质, 让学生通过分析得到先作区间(-
的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图 2.
根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠+kπ(k∈Z)的图象,我们称正切曲线,如图3.



68

图2 图3
问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出
?
?
?
?
,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(
?
,-1),(0,0),(,1),
2
2
4
4
?
?
还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(
?
,-1),(0,0),(, 1),再画
4
4
?
?
两条平行线x=
?
,x=,然 后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.
2
2
函数y=tanx,x∈(
?
讨论结果:①略.
②正切线是AT.
③略.
④能,“三点两线”法.
提出问题
①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质.
②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举
一个例子.
活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=
?
+kπ ,k∈Z所隔开的
2
无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质 ——定义域；并且
函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么 线
——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单
位 ,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到
它的哪一性质 ——单调性,单调增区间是(
?
?
?
+kπ,+kπ),k∈Z,没有减区间 .它的图象
2
2
是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发 现是中心对称,对称中
心是(
k
?
,0),k∈Z.
2
问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内
是增函数.如在区 间(0,π)上就没有单调性.
讨论结果:①略.
②略.
应用示例
例1 比较大小.
(1)tan138°与tan143°；(2)tan(
?13
?
17
?
)与tan(
?
).
45
活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公 式将
已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学
生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知
识,加强 类比思想的运用.
解:(1)∵y=tanx在90°∴由138°<143°,得tan138°(2)∵tan(
?
13
?
13
?
?
?
)=-tan=-tan(3 π+)=-tan,
4
444

69

17
?
17
?
2
?
2
?
)=-tan=- tan(3π+)=-tan.
5
555
?
2
?
?
又0<<<,
452
?
而y=tanx在(0, )上是增函数,
2
?
2
?
?
2
?
∴tan-tan,
4545
13
?
17
?
即tan(
?
)>tan(
?
).
45
tan(
?
点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可.
例2 用图象求函数y=
tan?3
的定义域.
活动:如图4,本例的目的是让学 生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通
过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中 ,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧
重点,应体现函数图象应用的重要性.

图4 图5
解:由tanx-
3
≥0,得tanx≥
3
,
利用图4知,所求定义域为［kπ+

?
?
,kπ+)(k∈Z).
32
点评:先在一个周期内得出x的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图 5.
本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种.
变式训练
根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x的集合.
(1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.
解:(1)tanx≥-1,
??
,kπ+),k∈Z;
42
??
(2)x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.
23
??
例3 求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间.
23
∴x∈［kπ-
活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于 在研究正弦、余弦函数的类似问
题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域.
??
x+作为一个整体.
23

70

< br>解:函数的自变量x应满足
?
?
x+
23
?
,k∈Z ,
2
1
即x≠2k+,k∈Z.
3
≠kπ+
1
,k∈Z}.
3
?
?
?? ??
由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2),
232323
所以函数的定义域是{x|x≠2k+
因此,函数的周期为2.
??
??
51
+kπ?
+2k3
22323
51
因此,函数的单调递增区间是(?
+2k,+2k),k∈Z.
3
3
由-
点评:同y =Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究
y=Atan(ωx+φ )(ω>0)的周期T=
变式训练
?
.
?
?
)的定义域,值域,单调区间,周期性.
4
??
?< br>解:由x+≠kπ+,k∈Z可知,定义域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.
424
求函数y=tan(x+
值域为R.
???
3
?
?
∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函数.
4
4224
?
周期是π,也可看作由y=tanx的图象向左平移个单位得到,其周期 仍然是π.
4
由x+
例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.
活动: 引导学生利用函数y=tanx的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探
究解题方法.但要 提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是
增函数,但我们不可以说正切函 数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有:
错解1:∵函数y=tanx是增函数,又1<2<3<4,∴tan1 错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan2,tan3都是负数.∵1和4的终边分别在 第一
和第三象限,∴tan1,tan4都是正数.
又∵函数y=tanx是增函数,且2<3,1<4,∴tan2 教师可放手让学生自己探究问题的解法.发现错解后不要直接纠正,立即给出正确解法,
可再让学生讨论 分析找出错的原因.

图6
?
3
?
,)上是单调递增函数,
2
2
?
3
?
且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<,
2
2
解法一:∵函数y=tanx在区间(

71

∴tan2解法二:如图6, 1,2,3,4的正切函数线分别是AT
1
,AT
2
,AT
3
,AT
4
,
∴tan2 点 评:本例重在让学生澄清正切函数单调性问题,这属于学生易错点.把正切函数
y=tanx的单调性简 单地说成“在定义域内是增函数”是不对的.
知能训练
课本本节练习1—5.
解答:
1.在x轴上任取一点O
1
,以O
1
为圆心,单位 长为半径作圆,作垂直于x轴的直径,将⊙O
1
分成左
右两个半圆,过右半圆与x轴的 交点作⊙O
1
的切线,然后从圆心O
1
引7条射线把右半圆分成8
等 份,并与切线相交,得到对应于
?
把x轴上从
?
3
?
??< br>??
3
?
,
?
,
?
,0,,,等角的正切线 .相应地,再
48
884
8
?
?
到这一段分成8等份.把角 x的正切线向右平行移动,使它的起点与x轴
2
2
?
上的点x重合,再把这些 正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(
?
,
2
?
)的图象.
2
点评:可类比正弦函数图象的作法.
2.(1){x| kπ?
?
+kπ,k∈Z};(2){x|x=kπ,k∈Z};(3){x|
?
+kπ2
2
点评:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式.
3.x≠
?
k
?
+,k∈Z.
6
3
点评:可用换元法.
4.(1)
?
;(2)2π.
2
点评:可根据函数图象得解,也可直接由函数y=Atan(ωx+φ),x∈R的周期T=
5.(1)不是.例如0<π,但tan0=tanπ=0.
?
得解.
?
?
+kπ(k∈Z)这样的数,那么函数
2
??
y=tanx,x∈ A是增函数;如果A至少含有一个+kπ(k∈Z)这样的数,那么在直线x=+kπ
22
(2 )不会.因为对于任何区间A来说,如果A不含有
两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).
点评:理解正切函数的单调性.
课堂小结
1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识 方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、
余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的 三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和
性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这 节课我们从正切函数的定义出发
得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质 .
2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这
种多角 度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？

72

作业
课本习题1.4 A组6、8、9.
设计感想
1.本教案的设计 背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质.因此教案的设计主线是始
终抓住类比思想这条主线,让 学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,由学生自己来对新知
识进行分析、探究、猜想、证明,使新旧 知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受.
2.本教案设计的学习程序是:温故(相关知识 准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探
究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考 →探索提高.


1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
整体设计
教学分析
本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数 图象的形状和位置的影响,讨论函
数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及A、ω、 φ的物理意义,并通过图象的变
化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图象变换的一个 延伸,也是研究函数
性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.
如何经过变换由 正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生
对函数y＝sin x到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、
由特殊到一般的化 归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换
这一难点的突破,让学生学会抓 住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数
φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象 变换与函数解析式变换的内在联系.
本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师 的引导下,通过图象变换和“五
点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的 图象变换规律,这也是本节课的重
点所在.
三维目标
1.通过学生自主探究,理解 φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图象的
影响,A对y=Asi n(ωx+φ)的图象的影响.
2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ )图象的简图,并会用“五点法”
画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.
3.通过学生 对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学
会合作意识,培养学生 理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学生解决问
题抓主要矛盾的思想.在问题逐步 深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引
发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生 观、价值观.
重点难点
教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函 数图象的形状和位置的
影响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法.
教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课

73

思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题 中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的
函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动 时位移y与时间x的关系,交流电中电
流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的 实际意义往往可从其函数图
象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y =Asin(ωx+φ)的
图象.
思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=s inx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关
系?从图象上看,函数y=sinx与函数y= Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别
探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+ φ)的图象的影响.
推进新课
新知探究
提出问题
①观察交流电电流随 时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数
φ、ω、A对y=Asin(ωx+ φ)的图象的影响？
②分别在y=sinx和y=sin(x+
?
)的图象上各恰当 地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这
3
两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对 图象有怎样的影响？对φ任取不同的值,
作出y=sin(x+φ)的图象,看看与y＝sinx的图象 是否有类似的关系？
③请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.
④你 能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作
图的方便 ,先不妨固定为φ=
y=sin(x+
?
,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过 程中的比较对象固定为
3
?
).
3
⑤类似地,你能讨论一下参数A 对y=sin(2x+
ω=2,φ=
?
)的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令3
?
.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系3
?
中的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.
3
⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？
活动:问题①,教师先引导 学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.
同时引导学生观察y=sin(x+
?
)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得
3
φ对y=si n(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学
生观察变化过程中 的不变量,得出它们的横坐标总是相差
?
的结论.并让学生讨论探究.最
3
后 共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合.

图1
问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图象,并探究它与y=sinx的图

74

象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的 关于φ对y=sin(x+φ)的图象
影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=
?
,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,
3
?
)
3
如图1,分 别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,
并保持它们的纵坐 标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y值,y=sin(x+
的图象上的点的横坐标 总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去
?
.这样的过程可通
3
过 多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、
?)的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有
3
??
的点向左平移个单位 长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之
33
?
?
与y=sin(x+)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=
?
,用
4
3
?
?
同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与 y=sin(x
?
)的图象重合.
4
4
x
B
-x
A
、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+
如果再变换φ的值,类似 的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺
垫已经完成,学生关于φ对y=s in(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.
问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论:
y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或 向
右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.
问题④,教师指导学生独立 或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从
具体到一般的思路得出结论,具体过程是: (1)以y=sin(x+
象与y=sin(x+
??
)为参照,把y=sin(2x +)的图
33
?
)的图象作比较,取点A、B观察.发现规律:
3

图2
如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+
对应点的
?
?
)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上
33
1
倍.教学 中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,
2
11
?引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=,让学生自己比较y=sin(x+)
2 2
3
?
的图象与y=sin(x+)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图 象、讨论等活动,
3
?
得出结论:把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到 原来的2倍(纵坐标不变),就得到
3

75

y=sin(
1
?
x+)的图象.
2
3
当取ω为其他值时,观察相应的函数图象与y=sin(x+
?
)的图象的关系,得出类似的结
3
论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=si n(ωx+φ)
的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳
y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论:
函 数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短
(当 ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的
1
?
倍(纵坐标不变)而得到.

图3
问题⑤,教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索ω、φ对图象的 影响完全一致,
鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+
?
?
)的 图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如
33
图3,分别在两条曲线上各取一个横坐 标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它
们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系. 可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+
?
?
)的图象上的点的纵坐标 等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说
33
??
明,y=3 sin(2x+)的图象,可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸长到
33< br>原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了
前 面两个参数的探究,学生得出一般结论:
函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω> 0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的
纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0 y=Asin(ωx+φ)的值域是[- A,A],最大值是A,最小值是-A.
由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin (ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象变化的
影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ) (其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得
到:先画出函数y＝sinx的图象;再把正 弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数
y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的 横坐标变为原来的
1
?
倍,得到函数y=sin(ωx+φ)
的图象；最后把 曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)
的图象.
⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),< br>最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会
一 些细节.
由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思 考
整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.
讨论结果:①把从 函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分

76

别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察.
②略.
③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.
④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状.
⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.
⑥可以.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.
纵坐标伸长(A?1)或缩短(0?A?1)
??????????
y=sinx的 图象
这原来的A倍(横坐标不变)
(0?
?
?1)或缩短(
?
?1)
?
横坐标伸长
?????????
1
到原来的(纵坐标不变 )
得y=Asinx的图象
?
(
?
?0)或缩短(
??1)
?
向左
???????
得y=Asin(ωx)的图象
平 移||个单位
?
?

得y=Asin(ωx+φ)的图象.
规律总结:
先平移后伸缩的步骤程序如下:
y=sinx的图象
????????

平移|
?
|个单位 长度
1
到原来(纵坐标不变)
向左(
?
?0)或向右(
?< br>?0)
横坐标伸长(0?
?
?1)或缩短(
?
?1)
??????????
得y=sin(x+φ)的图象
?
纵坐标伸长(A?1)或缩 短(0?A?1)
??????????
得y=sin(ωx+φ)的图象
为原来的 A倍(横坐标不变)
得y=Asin(ωx+φ)的图象.
先伸缩后平移的步骤程序(见上).
应用示例
例1 画出函数y=2sin(
1
?
x-)的简图.
3
6
活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.
(1)引导学生从图象变换的角度来探究 ,这里的φ＝
?
所学内容自己写出得到y=2sin(
?
1
,ω＝, A＝2,鼓励学生根据本节
63
1
?
x-)的图象的过程:只需把y＝sin x的曲线上所有点向
3
6
?
?
右平行移动个单位长度,得到y=si n(x-)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来
66
1
?
的3倍(纵 坐标不变),得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到
3
6
77

原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(
1
?
x-)的图象,如图4所示.
3
6

图4
(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图
象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.
1
?
x-),简图的方法, 教师再进
3
6
1
?
一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数 y=2sin(x-)的简图,并鼓励学生动
3
6
(3)学生完成以上两种变换后,就 得到了两种画函数y=2sin(
手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.
解:方法一 :画出函数y=2sin(
右移个单位
6
1
?
x-)简图的方法为
3
6
?
y=sinx
??????
y=sin(x-
?
)
6
纵坐标不变
横坐标不变
1
?
?????
y=sin(x-)
横坐标伸长到原来的3倍
3
6
纵坐标伸长到原 来的2倍
1
?
y=2sin(x-).
3
6
1
?
方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为
3
6
?????
y=sinx
横坐标伸长到原来的3倍
横坐 标不变
?
纵坐标不变
????
y=sin
1
x
3
纵坐标伸长到原来的2倍
?????
y=2sin
1
x
3< br>??????
y=2sin(
1
x-
?
3
右移个单位
2
?
6
)=2sin
1
(x-
3
?
).
2
方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象)
令X=
1
?
?
x-,则x=3(X+).列表:
3
66
X
X
Y
0
?

2
2π
2
π
3
?

2
5π
-2
2π
?

2
0
7
?

2
0
13
?

2
0
描点画图,如图5所示.

78

图5
点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个 新的认
识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最
小值以 及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想
由X取0,< br>?
3
?
,π,,2π来确定对应的x值.
2
2
变式训练
1.2007山东威海一模统考,12 要得到函数y=sin(2x+
( )
?
)的图象,只需将函数y=sinx 的图象
3
?
个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
3
?
B.向右平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 3
?
1
C.向左平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
2
3
?
1
D.向右平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍 ,纵坐标不变
2
3
A.向左平移
答案:C
2.2007山东菏泽一模统考,7 要得到函数y=2sin(3x
?
图象( )
?
)的图象,只需将函数y＝2sin3x的
5
?
?
个单位 B.向右平移个单位
55
??
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
1515
A.向左平移
答案:D
例2 将y=sinx的图象怎样变换得到函数y=2sin(2x+
?
)+1的图象?
4
活动:可以用两种图象变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x而言的.由y=s in2x的
??
个单位长度得到的函数图象的解析式是y=sin2(x+)而不是y=sin (2x+
88
??
1
),把y=sin(x+)的图象的横坐标缩小到原来的 ,得到的函数图象的解析式是
2
84
??
y=sin(2x+),而不是y= sin2(x+).
44
??
解:方法一:①把y=sinx的图象沿x轴 向左平移个单位长度,得y=sin(x+)的图象；
44
图象向左平移

79

②将所得图象的横坐标缩小到原来的
伸长到原来的2 倍,得y=2sin(2x+
长度得到y=2sin(2x+
1
?
,得y=s in(2x+)的图象；③将所得图象的纵坐标
2
4
?
)的图象；④最后把所 得图象沿y轴向上平移1个单位
4
?
)+1的图象.
4
1
?
,得y=2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单
2
8
方法二:①把y=sinx的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sinx的图象；②将所得
图象 的横坐标缩小到原来的
位长度,得y=2sin2(x+
y=2sin(2x+
?)的图象；④最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到
8
?
)+1的图象.
4
点评:三角函数图象变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法,关键是教 师引
导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响.
变式训练
1.将y=sin 2x的图象怎样变换得到函数y=cos(2x-
解:y=sin2x=cos(
?
) 的图象?
4
?
?
-2x)=cos(2x-).
22
???
在y=cos(2x-)中以x-a代x,有y=cos［2(x -a)-］=cos(2x-2a-).根据题意,有
222
?
??
2x-2 a-=2x-,得a=-.
248
??
所以将y=sin2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y=cos(2x-)的图象.
84
?
2.如何由函数y=3sin(2x+)的图象得到函数y=sinx的图象？
3
方法一:y=3sin(2x+
?
????????
?
) y=sin(2x+)
33
向右平移
1
纵坐标缩短到原来的倍
3< br>倍
3
?
横坐标伸长到原来的
?????
2
??
y=sin(x+
?
)
?????
y=sinx.
?
3
方法二:y=3sin(2x+
??
)=3sin2( x+)
36
6
?????
y=3sin2x
向右平移
?< br>????????
y=sin2x
????????
y=sinx.
3.2007山东高考,4 要得到函数y=sinx的图象,只需将函数y=cos(x-
A.向右平移
1
纵坐标缩短到原来的倍
3
横坐标伸长到原来的2倍
?
)的图象( )
3
??
个单位 B.向右平移个单位
63
80

C.向左平移
??
个单位 D.向左平移个单位
36
答案:A
知能训练
课本本节练习1、2.
解答:
1.如图6.

点评:第(1)(2)(3)小题分别研 究了参数A、ω、φ对函数图象的影响,第(4)小题则综合
研究了这三个参数对y=Asin(ωx+ φ)图象的影响.
2.(1)C;(2)B;(3)C.
点评:判定函数y=A< br>1
sin(ω
1
x+φ
1
)与y=A
2
si n(ω
2
x+φ
2
)的图象间的关系.为了降低难度,
在A
1
与A
2
,ω
1
与ω
2
,φ
1
与 φ
2
中,每题只有一对数值不同.
课堂小结
1.由学生自己回顾总结本节 课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的
新的认识,使本节的总结成为学生凝练提 高的平台.
2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+
?
) 的图象,并分别观察参数φ、
3
ω、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化 ,领会由简单到复杂、特殊到
一般的化归思想.
作业
1.用图象变换的方法在同一 坐标系内由y=sinx的图象画出函数y=
?
2.要得到函数y=cos(2x-
1
sin(-2x)的图象.
2
?
)的图象,只需将函数y=sin2x的图象通过怎样的变换得到?
4
3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx的关系.
解答:1.∵y=
?
11
sin(-2x)=sin2x,作图过程: 2
2
1
纵坐标变为原来的倍
2
横坐标不变
y=sinx
??
y=
1
sin2x.
????????
y=sin2 x
??????
纵坐标不变
1
横坐标变为原来的倍
2
2?????
)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+),
42448
?
∴将曲线y=sin2x向左平移个单位长度即可.
8
2.∵y=cos(2x-
3.∵y=cos2x+1,
∴将余弦曲线y =cosx上各点的横坐标缩短到原来的
移1个单位长度,即可得到曲线y=cos2x+1.
1
倍,再将所得曲线上所有的点向上平
2

81

设计感想
1.本节图象较多,学生活动量大,因此本节设计的主要 指导思想是充分利用信息技术工具,从
整体上探究参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象 整体变化的影响.这符合新课标精神,
符合教育课改新理念.现代教育要求学生在富有的学习动机下主动 学习,合作探究,教师仅是
学生主动学习的激发者和引导者.
2.对于函数y=sinx的图 象与函数y=Asin(ωx+φ)的图象间的变换,由于“平移变换”与
“伸缩变换”在“顺序”上的 差别,直接会对图象平移量产生影响,这点也是学习三角函数
图象变换的难点所在,设计意图旨在通过对 比让学生领悟它们的异同.
3.学习过程是一个认知过程,学生内部的认知因素和学习情景的因素是影 响学生认知结构的
变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构,外部的变量就不能发挥它们的作 用,但
外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.
(设计者:张云全)
第2课时
导入新课
思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参 数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)
的图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌 握函数y=Asin(ωx+φ)(其中
A>0,ω>0,φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开 新课.
思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y=4si n(
1
x-
2
?
)的简图,学生动手画图,教师适时的点拨、纠正, 并让学生回答有关的问题.在学生回顾与
3
复习上节所学内容的基础上展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①在上节课的学习中,用“五点作图法”画 函数y=Asin(ωx+φ)的图象时,列表中最关键的
步骤是什么？
?
)的图< br>3
?
象；(2)把函数y＝sin3x的图象向_______平移_______个单 位长度得到函数y＝sin(3x＋)
6
?
的图象；(3)如何由函数y＝sinx的 图象通过变换得到函数y＝sin(2x+)的图象？
3
?
③将函数y=f(x)的 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度,所得
2
1
到的曲线是 y=sinx的图象,试求函数y=f(x)的解析式.
2
②(1)把函数y＝sin2x的 图象向_____平移_____个单位长度得到函数y＝sin(2x－
对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出
示各自解法)
1
?
1
?
sinx的图象先向右平移个单位长度,得到y=sin( x-)
22
22
11
?
的图象,再将所得的图象上所有点的横坐标缩 短到原来的,得到y=sin(2x-),即y=
22
2
甲生:所给问题即是将y=

82

?
11
cos2x的图象,∴f(x)=
?
cos2x.
22
乙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的横坐标伸长到原 来的2倍,得到
y=Asin(
+φ)=
?
2
x+φ)的图象,再将 所得的图象向左平移
?
?
?
个单位长度,得到y=Asin(x+
2 22
11
?
?
sinx,∴A=,=1,+φ=0,
22
22
1
?
1
?
1
即A=,ω=2,φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=
?
cos2x.
22
222
丙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图象上各点的 横坐标伸长到原来的2倍,得到
y=Asin(
?
2
x+φ)的图象,再将所 得的图象向左平移
?
?
个单位长度,得到y=Asin[(x+
22
?
?
??
1
)+φ]=Asin(x++φ)= sinx,
42
22
1
?
??
∴A=,=1,+φ=0.
2
2
4
1
?
解得A=,ω=2,φ=-,
22
1
?
1
∴f(x)=sin(2x-)=
?
cos2 x.
2
22
活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课 重、难点创设情境.让学生
回答并回忆A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引 导学生回顾“五点作图法”,
既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.
问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导
致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理
解及使用诱导 公式的综合能力.
问题③,甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来, 由y=
1
sinx
2
变换到y=f(x),解答正确.乙、丙两名同学都是采 用代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题
设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式,这 种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答
?
?
x+φ)的图象向左平移个单位长度时 ,把
22
?
?
?
?
y=Asin(x+φ)函数中的自变量 x变成x+,应该变换成y=Asin[(x+)+φ],而不是
2222
?
?
变换成y=Asin(x++φ),虽然结果一样,但这是巧合,丙同学的解答是正确的.
22
过程中存在实质性的错误,就是将y=Asin(
三角函数图象的“逆变 换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序
就会出错,故在对这种方法不是很熟练的 情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平
移变换是对自变量x而言的,比如乙同学的变换就 出现了这种错误.
?
3
?
,π, ,2π.
2
2
?
?
?
②(1)右, ；(2)左, ；(3)先y＝ sinx的图象左移,再把所有点的横坐标压缩到原来
6183
讨论结果:①将ωx+φ看作一 个整体,令其分别为0,

83

的
1
倍(纵坐标不变).
2
③略.
提出问题
①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图象,你能说出简谐运动
的函数关系吗 ？
②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A、ω、
φ有何关系.
活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识 的联系,了
解常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图象”
所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0 .物理中,描
述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简 谐
运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=
2
?
?
?
=给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+ φ称为相位;x=0时
2
?
的相位φ称为初相.
讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),其中A>0,ω>0.
②略.
应用示例
例1 图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:
(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?
(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 ;这个简谐运动的频率由公式f=
1
T

图7
活动:本例 是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的
相关知识,并提醒学生注意本 课开始时探讨的知识,思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A
在图象上是怎样反映的,要解 决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A等参数在
图象上是如何得到反映的.让学生明确解 题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处
理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过 程,概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的
图象的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点 评、补充.
解:(1)从图象上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为
5
.
4
(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一 次往复运动;如果从A点算起,则到曲线
上的E点,表示完成了一次往复运动.
(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x∈［0,+∞),
那么 A=2;由
2
?
?
=0.8,得ω=
5
?
;由图象 知初相φ=0.
2
84

于是所求函数表达式是y=2sin
5
?
x,x∈［0,+∞).
2
点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思 想方
法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法.
变式训练
函 数y=6sin(
1
?
x-)的振幅是,周期是____________,频率是_ ___________,初相是
4
6
___________,图象最高点的坐标是 _______________.
解:6 8π
1
?
8
?

?
(8kπ+,6)(k∈Z)
8
?
63
例2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0 )在其一个周期内的图象上有一个最高点
(
??
,3)和一个最低点(,-5),求这 个函数的解析式.
1212
活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的 实际上是一个图象,它的解析式
为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0),这是学生未 遇到过的.教师应引导学生思考它与
y=Asin(ωx+φ)的图象的关系,它只是把y=Asin( ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象向上(B>0)
或向下(B<0)平移|B|个单位.由图象 可知,取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值
只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难,因 为题目中毕竟没有直接给出图象,不像例1
那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ |<π,如不注明,就取离y轴最
近的一个即可.
解:由已知条件,知y
max
=3,y
min
=-5,
则 A=
11T7
?
?
?
(y
max
-y
mi n
)=4,B= (y
max
+y
min
)=-1,=-=.
22
212122
∴T=π,得ω=2.
故有y=4sin(2x+φ)-1.
?
?
,3)在函数的图象上,故有3=4sin(2×+φ)-1,
121 2
???
?
?
即sin(+φ)=1.一般要求|φ|<,故取+φ=.∴φ =.
62623
?
故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1.
3
由于点(
点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但 脑中应有图或根据题意
画出草图,结合图象可直接求得A、ω,进而求得初相φ,但要注意初相φ的确定 .求初相也
是这节课的一个难点.
变式训练
已知函数y=Asin(ωx+φ)( 其中A>0,ω>0)一个周期的图象如图8所示,求函数的解析式.

解:根据“五点法”的作图规律,认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点,而选择对

85

应的方程ωx
i
+φ=0,
?3
?
,π,,2π(i=1,2,3,4,5),得出φ的值.
2
2
方法一:由图知A=2,T=3π,
22
,∴y=2sin(x+φ).
33
?
3
?
由“五点法”知,第一个零点为(,0),
4
23
?
?
∴·+φ=0φ=-,
34
2
2
?
故y=2sin(x-).
3
2
2
方法二:得到y=2sin(x+φ)同方法一.
3
3
?
9
?
由图象并结合“五点法”可知,(,0)为第一个零点,(,0)为第二个零点.
44
29
?
?
∴·+φ=πφ=
?
.
342
2
?
∴y=2sin(x-).
3
2
由=3π,得ω=
点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法,然后再利用ωx
1
+φ=0或ωx
2
+φ=π
求出φ.
2.2007海南高考,3 函数y=sin(2x-
2
?
?
?
)在区间［
?
, π］上的简图是( )
2
3

图9
答案:A
知能训练
课本本节练习3、4.
3.振幅为
21
?
,周 期为4π,频率为.先将正弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度,
3
4
?
4
2
倍.
3
86
再在纵坐标保持不变的情况下将各点的横坐标 伸长到原来的2倍,最后在横坐标保持不变的
情况下将各点的纵坐标缩短到原来的

点评:了解简谐运动的物理量与函数解析式的关系,并认识函数y= Asin(ωx+φ)的图象
与正弦曲线的关系.
?
?
?
.把正弦 曲线在区间［,+∞)的部分向左平行移动个单位长度,就可得到函数
121212
?
y=sin(x+),x∈［0,+∞)的图象.
12
4.
点评:了解简谐 运动的物理量与函数解析式的关系,并认识函数y=sin(x+φ)的图象与
正弦曲线的关系.
课堂小结
1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方 法:由简单
到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想,数形结合思想,待定系数法,数学的应用价值 .
2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法,求变换后的函数或图象,这种题目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名,
则将异名 函数化为同名函数,且需x的系数相同.左右平移时,如果x前面的系数不是1,需将
x前面的系数提出 ,特别是给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点
法”中的第一零点(
?
作业
把函数y=cos(3x+
( )
?
,0)作为突破口,一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置.
?
?
)的图象适当变动就可以得到y=sin(-3x)的图象,这种变动可以是
4
??
??
B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移
441212
?
?
?
解:∵y=cos(3x+)= sin(-3x)=sin[-3(x-)],
4412
?
?
∴由y=si n[-3(x-)]向左平移才能得到y=sin(-3x)的图象.
1212
A.向右平移
答案:D
点评:本题需逆推,教师在作业讲 评时应注意加强学生逆向思维的训练.如本题中的
-3x需写成-3(x-
?
4
?
),这样才能确保平移变换的正确性.
12
设计感想
1.本节课符合 新课改精神,突出体现了以学生能力的发展为主线,应用启发式、讲述式引导学
生层层深入,培养学生自 主探索及发现问题、分析问题和解决问题的能力.注重利用非智力因
素促进学生的学习,实现数学知识价 值、思维价值和人文价值的高度统一.
2.由于本节内容综合性强,所以本节教案设计的指导思想是: 在教师的引导下,让学生积极、
主动地提出问题,自主分析,再合作交流,达到殊途同归.在思维训练的 过程中,感受数学知识
的魅力,成为学习的主人.新课改要求教师在新的教学理念下,要勇于,更要善于 把问题抛给
学生,激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识.教学的目的是以知识为平台,全面提升学生
的综合能力.

1.6 三角函数模型的简单应用

87

整体设计
教学分析
三角函数作为描述现实世 界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻
画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥 着十分重要的作用.
三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期 变化现象的学
习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的 选
择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知
识解决问题 的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题
常常涉及一些复杂数据 ,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据
的散点图,根据散点图进行函数拟合 等.
三维目标
1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规 律.将实际问题
抽象为三角函数有关的简单函数模型.
2.通过切身感受数学建模的全过程, 体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日
常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、 生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学
思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力. < br>3.通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,
培 养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.
重点难点
教学重点:分 析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,
用三角函数模型解决一些 具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周
期性变化的现象 无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到
底能发挥哪些作用呢？由此展 开新课.
思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期 性.
在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？
回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的
函数模型来刻 画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中 的哪些
规律的?
②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?
③上述的数学模型是怎样建立的?
④怎样处理搜集到的数据?
活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前

88

已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究 新的数学模型.
对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下 ,学
生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求
解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.
这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本 节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教
学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是 教师引领学生逐步登高,在合作
探究中自己解决问题,探求新知.
讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
②简单地说,数学模型就是把实际问 题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地
反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描 述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽
象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题 的一般数学方法.
③解决问题的一般程序是:
1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；
3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.
④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.
应用示例
例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.

图1
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研
究温度随时间 呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型
函数是什么？要解决的问题 是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.
题目给出了某个时间段的温度变化曲线 这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图
象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生 观察思考:“求这一天的最大温差”实
际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所 学的三角函数图象直接写出
而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用 .第(2)小题只
要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期
(14-6),通过建立方程得解.
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.
(2)从图中可以看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,
11
(30-10)=10,b= (30+10)=20.
22
12
?
∵·=14-6,
2
?
∴A=

89

∴ω=
?
.将x=6,y=10代入上式,解得φ=
综上,所求解析 式为y=10sin(
?
x+
?
8
3
?
.
4
?
8
3
?
)+20,x∈[6,14].
4
点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒 学生注
意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特
别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.
例2 2007全国高考 函数y=|sinx|的一个单调增区间是( )
A.(
?
D.(
?
??
3
?
3
?
,) B.(,) C.(π,)
442
44
3
?
,2π)
2
答案:C
例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射 纬度,φ为该地的纬
度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值, 冬半年δ取负
值.
如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h
0
的楼房北面盖一新楼,要使新楼
一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小 于多少?
活动: 如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学 科的知
识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.

首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地 球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为
θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ= 90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取
正值,冬半年δ取负值.
根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画
图易知
太阳高度角θ、楼高h
0
与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:
h
0
=htanθ.
由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体 的影子最短,直射南回归线时物体
的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考 虑太阳直射南回归线时
的情况.

图3
解:如图3,A、B、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影
点.要使新楼一层正午的太阳全年不被 前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,

90

此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意两楼的间距应不小于MC.
根据太阳高度角的定义,
有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′,
所以MC＝
h
0
h
0
=≈2.000h
0
,
tanC
tan26
?
34'
即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.
点评:本例是研究楼高 与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三
角函数有关的简单函数模型,然后根据所 得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函
数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是 联系相关知识,画出图3,然后由图形
建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价 值.教学中,教师可以在这
道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.
变式训练
某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层 3米,楼与楼
之间相距15米.要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层 的
房？

图4
解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为
h=15tan［90°-(23°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,
由于每层楼高为3米,根据以上数据,
所以他应选3层以上.
知能训练
课本本节练习1、2.
解答:
1.乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处. < br>1
周期,波正好从乙点传到丁点,又因为
2
1
在波的传播过程中,绳上 各点只是上下震动,纵坐标在变,横坐标不变,所以经过周期,乙
2
点评:因为波从乙点传到戊 点正好是一个周期,经过
点位置将移至它关于x轴的对称点处,即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同 .
2.如CCTV—1新闻联播节目播出的周期是1天.
点评:了解实际生活中发生的周期变化现象.
课堂小结
1.本节课我们学习了三个 层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式
作出图象,将实际问题抽象为与三角函 数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模
型解决实际问题的基本步骤吗？
2.实际 问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用
数学知识解决实际 问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学

91

科知识来帮助理解问题.
作业
1.图5表示的是电流I与时间t的函数关系

图5
I=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<
?
)在一个周期内的图象.
2
1
s的时间内电流I能同时取得最大值和最
100
(1)根据图象写出I= Asin(ωx+φ)的解析式;
(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t在任意一段
小值,那么正整数ω的最小值为多少?
11
,0),第二个零点为(,0),
30 0150
11
??
∴ω·(－)+φ=0,ω·+φ=π.解得ω=100π,φ=, ∴I=300sin(100πt+).
300150
33
12
?
1
(2)依题意有T≤,即≤,∴ω≥200π.故ω
min
=629.
1 00100
?
解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－
2.搜集、归纳、分类 现实生活中周期变化的情境模型.
解:如以下两例:
①人体内部的周期性节律变化和个人的 习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、
睡眠节奏、饥饿程度等；
②蜕皮(tu ipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽
有保护身体的作用 ,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行1次或数次
脱去旧表皮,再长出宽大的 新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称
为“蜕”,只有这样,虫体才能得以继 续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮
的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动 物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具
有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层 连同眼球外面透明的皮肤,约每2
个月为一个周期可完整地脱落1次,称为蛇蜕.
设计感想
1.本教案设计指导思想是:充分唤起学生已有的知识方法,调动起相关学科的知识,尽量降低
实例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣.
2.应用三角函 数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立
起适当三角函数模型.如 果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生
根据自己选择的模型进行求解,然后 再根据所求结果与实际情况差异进行评价.
3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生 利用计算机或计算器处理数据,有
条件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本 质的理解.
(设计者:郑吉星)
第2课时
导入新课

92

思路1.通过展示上节作业引入,学生搜集、归纳到的现实生活中的 周期现象有:物理情
景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律,②月圆与月 缺；心理、
生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退< br>潮,②股票变化等等.
思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子 ,这节课我们继续探究三
角函数模型在日常生活中的一些简单应用.
推进新课
新知探究
提出问题
①本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周 期性涨落现象.回忆上节课
的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？在指数 、对数模型中
是怎样处理搜集到的数据的？
②请做下题(2007浙江高考)若函数f(x) =2sin(ωx+φ),x∈R(其中ω＞0,|φ|＜
小正周期是π,且f(0)=
3,则( )
?
)的最
2
1
?
1
?
,φ= B.ω=,φ=
22
63
??
C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=
63
A.ω=
活动:这样的开头对学生来说是感兴趣的. 教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上
节的课下作业.教师指导、适时设问,让学生尽快回忆到上 节课的学习氛围中,使学生的思维
状态进入到现在的情境中.
讨论结果:①略 ②D
应用示例
例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮 .一般地,
早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返 回
海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
时刻
水深
米
0:00
5.0
3:00
7.5
6:00
5.0
9:00
2.5
12:00
5.0
15:00
7.5
18:00
5.0
21:00
2.5
24:00
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关 系,给出整点时的水深的近似
数值(精确到0.001).
(2)一条货船的吃水深度(船底 与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间
隙(船底与洋底的距离),该船何时能 进入港口?在港口能呆多久?
(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00 开始卸货,吃水深度以每小时
0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的 水域?
活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数 据.
并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生注意仔细准确观察散点图,
如图6.教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.
根据散点 图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与
时间的关系可以用形 如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画.其中x是时间,y是水深,我们可以
根据数据确定相应 的A,ω,φ,h的值即可.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学
生独立操作完成,教师指导 点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据

93

所得的函数模型,求出整点时的水深.

图6
根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理
解题意,一天中有 两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时
间情况？如果不符合,应怎样 修改？让学生养成检验的良好习惯.
在本例(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深 ,那么如何刻画船的安全水深呢？
引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型.求货船停止卸货,将船 驶向深水域的含义又是
什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的 安全水深、
港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.
进 一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸
货行吗？为什么 ？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通
过讨论或争论,最后得出一致 结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船
驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证 货船有足够的时间发动螺旋桨.
解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图6).
根据图象 ,可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图
象可以得 出:
A＝2.5,h＝5,T＝12,φ＝0,
由T＝
2
?
?
＝12,得ω＝
?
.
6
?
x+5近似描述.
6
10:0
0
2.83
5
22:0
0
2.83
5
11:0
0
3.75
4
23:0
0
3.75
4
所以这个港口的水深与时间的关系可用y＝2.5sin
由上述 关系式易得港口在整点时水深的近似值:
时3:0
0:00 1:00 2:00
刻 0
水5.00
深 0

时12:0
刻 0
水5.00
深 0
13:0
0
6.25
0
14:0
0
7.16
5
15:0
0
7.5
16:0
0
7.16
5
17:0
0
6.25
0
6.25
0
7.16
5
7.5
4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00
7.16
5
6.25
0
5.00
0
18:0
0
5.00
0
3.75
4
19:0
0
3.75
4
2.83
5
20:0
0
2.83
5
2.50
0
21:0
0
2.50
0
(2)货船需要的安全水深为4+1.5＝5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港.
令2.5sin
??
x+5=5.5,sinx=0.2.
66
由计算器可得
MODE

94

MODE
2
SHIFT

sin
0.2
=
0.201 357 92≈0.201 4.
如图7,在区间[0,12]内 ,函数y＝2.5sin
-1
?
x+5的图象与直线y＝5.5有两个交点A、B,
6

图7
因此
??
x≈0.201 4,或π－x≈0.201 4.
66
解得x
A
≈0.384 8,x
B
≈5.615 2.
由函数的周期性易得:x
C
≈12+0.384 8＝12.384 8,x
D
≈12+5.615 2＝17.615 2.
因此,货船可以在0时30 分左右进港,早晨5时30分左右出港;或在中午12时30分左右进
港,下午17时30分左右出港. 每次可以在港口停留5小时左右.

图8
(3)设在时刻x货船的安全水深为y, 那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两
个函数的图象,可以看到在6 —7时之间两个函数图象有一个交点(如图8).
通过计算也可以得到这个结果.在6时的水 深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3
米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约 为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货
船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.5 时之前停止卸货,将船驶向较深的水
域.
点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周 期性变化的问题,题目只给出了时间与水深
的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第( 2)问的解答,教师引导学生利用
计算器进行计算求解.同时需要强调,建立数学模型解决实际问题,所 得的模型是近似的,并
且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本 例中,一天
中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释.
变式训练
发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函< br>数,I
A
=Isinωt,I
B
=Isin(ωt+120°),I< br>C
=Isin(ωt+240°),则I
A
+I
B
+I
C
=________.

95

答案:0
例2 图9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:
(1)单摆振幅多大；
(2)振动频率多高；
(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；
(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；
2
(5)若当g＝9.86 msJ,求摆线长.
活动:引导学生观察图象 并思考,这个简谐运动的函数模型是什么？引导学生结合函数
上例.点拨学生考虑最高点、最低点和平衡 点.通过学生讨论、思考确定选用函数
y=Asin(ωx+φ)来刻画单摆离开平衡位置的位移与时间 之间的对应关系.

图9
解:结合函数模型和图象:
(1)单摆振幅是1 cm；
(2)单摆的振动频率为1.25 HZ；
(3)单摆在0.6 s通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值；
(4)单摆在0.4 s时处正向最大位移处,首次具有加速度最大负值；
gT
2
L
(5)由单摆振动的周期公式T=2π,可得L==0.16 m.
2
4
?
g
点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模 型,然后按数学模型处理.同时要注意
检验,使所求得的结论符合问题的实际意义.
变式训练
1.已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个 最高点
和最低点之间的距离为
4?
?
.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若sinx+f(x)＝
2
2
,求sinxcosx的值.
3
解:(1)∵f(x)为偶函数,
∴f(－x)＝f(x),即sin(－ωx+φ)＝sin(ωx+φ).
∴φ＝
?
.
2
?
)＝cosωx.
2
?
相邻两点P(x
0
,1),Q(x
0
+,－1).
?
∴f(x)＝sin(ωx+
2
由题意,|PQ|＝
()?4
=π+4.解得ω＝1.
?
?
2

96

∴f(x)＝cosx.
22
,得sinx+cosx＝.
33
5
两边平方,得sinxcosx＝
?
.
18
(2)由sinx+f(x)＝
2.小明在直角坐标系中,用1 cm代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐
标改用2 cm代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他
将横坐标改用2 cm代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是
什么？
解:小明原作的曲线为y=sinx,x∈R,由于纵坐标改用了2 cm代表一个单位长度,与原来1 cm
1
个单位长
2
1
度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化 ,而原曲线图象的解析式变为y＝
2
代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以 原来的1 cm只能代表
sinx,x∈R.同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm代表一个单 位,则横坐标被压缩到原来
的
1
,原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后,原曲 线图象的解析式变为
2
y＝sin2x,x∈R.
3.求方程lgx＝sinx实根的个数.
解:由方程式模型构建图象模型.
在同一坐标系内作出函数y＝lgx和y＝sinx的图象,如图10.可知原方程的解的个数为3.

图10
点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利 用数形结合来解就容易
多了,教师要让学生熟练掌握这一方法.
知能训练
课本本节练习3
3.本题可让学生上网查一下,下载有关人体节律的软件,利用软件就能方便 地作出自己某一
时间段的三条人体节律曲线,它们都是正弦型函数图象,根据曲线不难回答题中的问题. 让学
生在课下总结一下自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应
当加以锻炼,在什么时候应当保持体力,以利于学生的高效率学习.
点评:通过解决可用三角函数模型 描述的自身问题,让学生增强学习三角函数的兴趣,并进一
步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要 模型,体会数学应用的广泛性.
课堂小结
1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现 实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期
变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活 都发挥着什么样的作用.
2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问 题,其解答流程
大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题.在解决实际问题时 ,要
学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决
现实问题.

97

作业

图11
如图11,一滑雪运动员自h=50 m高处A点滑至O点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O点< br>保持速率v
0
不变,并以倾角θ起跳,落至B点,令OB=L,试问,当α=30°时, L的最大值为多
少?当L取最大值时,θ为多大?
分析:本题是一道综合性题目,主 要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.首先
运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数 的有关知识来解决实际问题.
?
s?Lcosa?v
0
tcos
?
?
解:由已知条件列出从O点飞出后的运动方程:
?
1
2

?
?h??Lsina?v
0
tsin
?
?gt.
2
?
由①②,整理得v
0
cosθ=
LcosaLsina1
,v
0
sinθ=
?
+gt.
t2
t
1
22
L
2
1
22
L
2
∴v
0
+ gLsinα=gt+
2
≥2
gt?
2
=gL.
t
4
4
t
2
运动员从A点滑至O点,机械守恒有mgh=
2
1
2
mv
0
,
2
v
0
2gh
2
?
∴v
0
=2gh.∴L≤=200(m),
g(1?sina)g(1?sina)
即L
max
=200(m). 1
22
s
2
?h
2
L
2
又gt==< br>2
,
t
4
t
2
∴t=
2L2L
, s=Lcosα=v
0
tcosθ=2gh··cosθ,
gg
得cosθ=cosα.∴θ=α=30°.
∴L最大值为200米,当L最大时,起跳倾角为30°.
设计感想
1.本节是三 角函数内容中新增加的一节,目的是加强学生的应用意识,本节教案设计的指导
思想,是让学生围绕着采 集到的数据展开讨论,在学生思考探究的过程中,学会积极冷静地对
待陌生背景,正确处理复杂数据以及 准确分析问题中的数量关系,这很符合新课改理念.
2.现实生活中的问题是多变的,学生的思维是发 散的,观察的视角又是多样的,因此课题教学
中,教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点,通过讨论例 题这个载体,充分激发学生的潜能,
让学生从观察走向发现,从发现走向创造,走向创新.
3 .学生面对枯燥的数据,潜意识里是讨厌的,因此教师要在有限的课堂时间里,着重解决物理
背景下、地 理背景下的三角函数的函数模型的选定,不要把时间浪费在一些计算上.

98

第二章 平面向量
本章教材分析
1.丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究
向量的 必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面
向量及其运算的意 义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能
力和解决实际问题的能力.平 面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学
生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数 量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量
积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度 和三角函数联系了起来,这样为解决
有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最 后介绍了平面向量的应
用.
2.教学的最佳契机,全新的思维视角.
向量具有几何 形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.
反过来,向量的理论和方 法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关
键是它具有一套良好的运算性质,通 过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通
过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种 有关问题.这一章的内容虽然概念多,但
大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系, 向量应用的优越性也是非常明
显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培 养学生创新精神与
能力的极佳契机.
3.本章充分体现出新教材特点.
以学生已有 的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算
的对比,特别注意知识的 发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、
分析、综合、抽象、概括得出结论 .这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进
行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题 后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数
学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的 处理,都尽量设计成让学生自己观察、
比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而 培养学生的思维能力.向量
的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可 用代数方程研
究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.
4.本章教学约需12课时,具体分配如下,仅供参考.
标题
2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.2向量的线性运算
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.4平面向量的数量积
2.5平面向量的应用举例
本章复习
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
整体设计
教学分析
本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可 根据原有的位移、力等物理概念来
学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等 概念.由于向量来源于
物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用, 可通过几个

99
课时
1课时
3课时
2课时
2课时
2课时
2课时

具体的例子说明它的应 用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常
用点表示位置,研究如何由一点的 位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之
间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力 是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既
有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理 学中力的其他一些实例,目的是要
建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更 加自然地引入向量概
念,并建立学习向量的认知基础.
三维目标
1.通过实例,利 用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性,理解平面向量的概念以
及确定平面向量的两个要素, 搞清数量与向量的区别.
2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念,并能判断向量之 间的关系,并会辨
认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
3.在教学过程中 ,应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移
这一特性.
重点难点
教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.
教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A 向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正
东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不 上,猫的速度再快也没用,
因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由 此展开新课.

图1
思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出, 各走了相同的路程,怎样用数学式子
表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日,象走“田” ,让学生在图上画出马、
象走过的路线引入也是一个不错的选择.
推进新课
新知探究
提出问题
①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什 么？还有哪些量和力具有同
样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这 些具有共同特
征的量呢？
②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？
③数量与向量的区别在哪里？
活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问 题,学生讨论列举与位移一样的一
些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力 越大；物体在液体中受
到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与 加速度都
是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多< br>既有大小,又有方向的量.

100