高中数学计算量很大-高中数学必修怎么分人教版
第1课时
如图∠
AOB
.
问题1:∠
AOB
能否看成射
线
OA
绕
O
点旋转到
OB
而成的呢?
提示:可以.
问题2:射线
OA
按顺时针方向、逆时针方向都能转到
OB
吗?
提示:都可以转到
OB
.
问题3:两者所得到的角相同吗?
提示:不相同.
1.角的概念
一个角可以看做平面内一条射线绕着它的
端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的
图形,射线的端点称为角的顶点,射线旋转的开始位置和终止
位置称为角的始边和终边.
2.角的分类
(1)正角——按逆时针方向旋转所形成的角;
(2)负角——按顺时针方向旋转所形成的角;
(3)零角——射线没有作任何旋转所形成的角.
若∠AOB
的顶点
O
为坐标原点,始边
OA
在
x
轴
的正半轴上,则∠
AOB
分别等于300°,
-300°,-160°,220°时,
终边
OB
落在第几象限?∠
AOB
分别等于-90°,180°,0°,270°,90°,-180°时,终边又落在何处?
提示:当∠
AOB
分别等于300°,-300°,-160°,220°时,终边
OB
分别落在第四、
一、三、三象限;当∠
AOB
分别等于-90°,180°,0°,270°,90°
时,终边
OB
分别落
在
y
轴的负半轴、
x
轴的负半
轴、
x
轴的正半轴、
y
轴的负半轴、
y
轴的正半轴上.
1.象限角
以角的顶点为坐标原点,角的始边为
x
轴正半轴,建
立平面直角坐标系.这样,角的终
边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.
2.轴线角
如果角的终边在坐标轴上,称这个角为轴线角.
如图,在同一坐标系中作出60°,420°角.
问题1:两角的终边有何特点?
提示:终边相同.
问题2:两角的角度有什么等式关系?
提示:420°=60°+360°.相差360°.
问题3:-300°与60°的终边有何特点?两角的角度又有什么等式关系?
提示:两角终边也相同,-300°=60°-360°.
相差-360°.
问题
4:试再写几个与60°终边相同的角,计算出它们与60°相差的角度,并观察这
些角度有什么共同特
点.
提示:780°,1 140°,-660°等,与60°相差720°,1
080°,-720°,相差的
角度都是360°的整数倍.
终边相同的角 一般地,与角α终边相同的角的集合为{β|β=
k
·360°+α,
k
∈Z}.
1.角的三要素:顶点、始边、终边.
2.象限角及轴线角的前提:角
的顶点与原点重合,始边与
x
轴的非负半轴重合,否则
不能判断该角为哪一个象限角.
3.终边相同的角与相等的角是两个不同的概念,两角相等,终边一定相同,但是两角
终边相同
时,两角不一定相等,它们相差360°的整数倍.
[例1] 下列结论:
①第一象限角是锐角;②锐角是第一象限角;③第二象限角大于第一象限角;④
钝角是
第二象限角;⑤小于90°的角是锐角;⑥第一象限角一定不是负角.
其中正确的结论是________(填序号).
[思路点拨]
根据任意角、象限角的概念进行判断,正确区分第一象限角、锐角和小于
90°的角.
[精解详析] ①400°角是第一象限角,但不是锐角,故①不正确;②锐角是大于0°
且小
于90°的角,终边落在第一象限,故是第一象限角,②正确;③120°角是第二象限角,
400°角
是第一象限角,故第二象限角不一定大于第一象限角,③不正确;④钝角是大于90°
且小于180°的
角,终边落在第二象限,故是第二象限角,④正确;⑤0°角是小于90°的
角,但不是锐角,故⑤不正
确;⑥-300°角是第一象限角,但-300°角是负角,故⑥不正
确.
[答案] ②④
[一点通] 解决此类问题的关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角
等概念
,另外需要掌握判断命题真假的技巧,判断命题为真,需要证明,而判断命题为假,
只要举出反例即可.
1.如图,则α=________,β=________.
答案:240°
-120°
2.经过2个小时,钟表上的时针旋转的角度为________.
360°<
br>解析:钟表的时针旋转一周是-360°,其中每小时旋转-=-30°,所以经过2
12
个小时应旋转-60°.
答案:-60°
3.下列命题正确的是________(填序号).
①三角形的内角必是第一、二象限角
②始边相同而终边不同的角一定不相等
③第四象限角一定是负角
④钝角比第三象限角小
解析:只有②正确.对于①,如∠
A
=90°不在任何象限;对于③,如330°在第四象
限但不是负角;对于④,钝角不一定比第三象限角
小.
答案:②
[例2]
在0°~360°之间,求出与下列各角终边相同的角,并判断是第几象限角.
(1)-736°;(2)904°18′.
[思路点拨] 首先写出与α终边相同的角的集
合,然后取适当的整数
k
即可求出满足
条件的角.可利用0°~360°之间与该角终
边相同的角来判断角的象限.
[精解详析]
(1)-736°=-3×360°+344°,344°是第四象限角.
∴344°与-736°是终边相同的角,且-736°为第四象限角.
(2)904°18′=2×360°+184°18′,184°18′是第三象限角.
∴184°18′与904°18′是终边相同的角,且904°18′为第三象限角.
[一点通] (1)把任意角化为α+
k
·360°(
k
∈Z且0°
≤α<360°)的形式,关键是确
定
k
.可以用观察法(α的绝对值较小),也可用
除法.要注意:正角除以360°,按通常的
除法进行;负角除以360°,商是负数,其绝对值比被除
数为其相反数时的商大1,使余数
为正值.
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角
,其方法是先求出与已知角终边相同的
角的一般形式,再依条件构建不等式求出
k
的值
.
4.在与角10 030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;(2)最小的正角;(3)360°~720°的角.
解:可设与10
030°终边相同的角的一般形式为β=
k
·360°+10
030°(
k
∈Z).
(1)由-360°<
k
·360°+10
030°<0°,
得-10 390°<
k
·360°<-10 030°,
解得
k
=-28,故所求的最大负角为β=-50°.
(2)由0°<
k
·360°+10 030°<360°,
得-10
030°<
k
·360°<-9 670°,
解得
k
=-27,故所求的最小正角为β=310°.
(3)由360°<
k
·360°+10 030°<720°,
得-9
670°<
k
·360°<-9 310°,
解得
k
=-26,故所求的角为β=670°.
5.已知角α的终边在如图所示的阴影部分内,试指出角α的取值范围.
<
br>解:终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为
S
1
=
{
α
{
α
|α=30°+
k
·180°,
k
∈Z}
,
终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为
S<
br>2
=
|α=105°+
k
·180°,
k
∈Z
}
,因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为
{
α|30°+
k·180°≤α<105°+
k
·180°,
k
∈Z
}
.
α
[例3] 已知α为第二象限角,问2α,分别是第几象限角?
2
[思路点拨] 由角α为第二象限角,则α的范围为90°+
k
·360°
<α<180°+
k
·360°,
k
∈Z,在此基础上可以写出2α,的范围
,进而可以判断出它们所在的象限.
[精解详析] ∵α是第二象限角,
∴90°+
k
·360°<α<180°+
k
·360°.
∴180°+2
k
·360°<2α<360°+2
k
·360°.
∴2α是第三或第四象限角,或是终边落在
y
轴的非正半轴上的角.
α
2
k
α
k
同理45°+
·360°<<90°+·360°.
222
α
当
k
为偶数时,不
妨令
k
=2
n
,
n
∈Z,则45°+
n
·
360°<<90°+
n
·360°,此时,
2
α
为第一象限角;
2
α
当
k
为奇数时,令
k
=2
n
+1,
n
∈Z,则225°+
n
·360°<<270°+
n
·360°,此
2
α
时,为第三象限角.
2
α
∴为第一或第三象限角.
2
[一点通]
已知角α终边所在象限,
(1)确定
n
α终边所在的象限,直接转化为终边相同的角即可.
α
(2)确定终边所在象限常用的步骤如下:
n
α
①求出的范围;
n
②对
n
的
取值分情况讨论:被
n
整除;被
n
除余1;被
n
除余2;…
;被
n
除余
n
-1;
③下结论.
6.若α是第三象限角,则180°-α是第________象限角.
解析:∵α是第三象限角,
∴
k
·360°+180°<α<
k<
br>·360°+270°,
k
∈Z.
∴
k
·360°-90°
<180°-α<
k
·360°,
k
∈Z.
∴180°-α为第四象限角.
答案:四
7.已知角2α的终边落在
x
轴上方,那么α是第________象限角.
解析::由题知
k
·360°<2α<180°+
k
·360°,
k
∈Z,
∴
k
·180°<α<90°+
k
·180°,
k
∈Z.
当
k
为偶数时,α是第一象限角;当
k
为奇数时,α为第三象限角,∴α为第一或第
三象限角.
答案:一或三
α
8.已知α是第三象限角,求,2α终边所在的象限.
2
解:因为α是第三象限角,
所以
k
·360°+180°<α<
k
·360°+270°,
k
∈Z.
α
所以的范围为
2
k
·180°+90°<<
k
·180°+135°,
k
∈Z,
α
所以终边落在第二或第四象限.
2
2α的范围为
k
·7
20°+360°<2α<
k
·720°+540°,
k
∈Z,
所以2α终边落在第一或第二象限或
y
轴的正半轴.
1.轴线角的集合
角α终边位置
在
x
轴非负半轴上
在
x
轴非正半轴上
角α的集合
{α|α=
k
·360°,
k
∈Z}
{α|α=
k
·360°+180°,
k
∈Z}
α
2
在
y
轴非负半轴上
{α|α=
k
·360°+90°,
k
∈Z}
{α|α=
k
·360°+270°,
k
∈Z}
{α|α=
k
·180°,
k
∈Z}
{α|α=
k
·180°+90°,
k
∈Z}
{α|α=
k
·90°,
k
∈Z}
在
y
轴非正半轴上
在
x
轴上
在
y
轴上
在坐标轴上
2.象限角的集合
象限角
第一象限的角
第二象限的角
象限角α的表示
{α|
k
·360°<α
<
k
·360°+90°,
k
∈Z}
{α|
k
·
360°+90°<α<
k
·360°+
180°,
k
∈Z} {α|
k
·360°+180°<α<
k
·360°+
270°
,
k
∈Z}
{α|
k
·360°+270°<α<
k·360°+
360°,
k
∈Z}
第三象限的角
第四象限的角
3.终边相同的角
关于与角α终边相同的角的一般形式
k
·360°+α应着重理解以下几点:
(1)
k
∈Z.
(2)α是任意角.
(3)
k
·360°+α之间是“+”号,
k
·360°-α可理解为
k
·360°+
(-α).
课下能力提升(一)
一、填空题
1
.射线
OA
绕端点
O
逆时针旋转120°到达
OB
位置,再
顺时针旋转270°到达
OC
位置,
则∠
AOC
=_
_______.
解析:根据角的定义∠
AOC
=120°+(-270°)=-150°.
答案:-150°
2.-1 445°是第________象限角.
解析:∵-1 445°=-5×360°+355°,
∴-1 445°是第四象限角.
答案:四
3.集合
A
=
{
α|α=
k
·
90°-36°,
k
∈Z
}
,
B
={β|-180°<β<
180°},则
A
∩
B
=________.
解析:由-180°<
k
·90°-36°<180°,
k
∈Z,
得-144°<
k
·90°<216°,
k
∈Z,
144
216
所以-<
k
<,
k
∈Z,所以
k
=-1,0
,1,2.
9090
所以
A
∩
B
=
{
-
126°,-36°,54°,144°
}
.
答案:{-126°,-36°,54°,144°}
4.已知角α,β的终边相同,那么α-β的终边在________.
解析:∵角α,β的终边相同,
∴α=
k
·360°+β,
k
∈Z.
作差α-β=
k
·360°+β-β=
k
·360°,
k
∈Z.
∴α-β的终边在
x
轴的正半轴上.
答案:
x
轴的正半轴上
5.已知α是第二象限角,且7α与2α的终边相同,则α=________.
解析:7α=2α+
k
·360°(
k
∈Z),
∴α=
k
·72°,又α为第二象限角,
∴在0°~360°内符合条件的角为144°,
故α=
k
·360°+144°(
k
∈Z).
答案:α=
k
·360°+144°(
k
∈Z)
二、解答题
6.已知α=-1 910°,
(1)把α写成β+
k
·360°(
k
∈Z,0°≤β<360°)的形式,指出它是第几象限的角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
解:(1)设α=β+
k
·360°(
k
∈Z),
则β=-1 910°-
k
·360°(
k
∈Z).
令-1 910°-
k
·360°≥0,
1
910
解得
k
≤-.
360
所以
k
的最大整数解
为
k
=-6,求出相应的β=250°,
于是α=250°-6×360°,它是第三象限的角.
(2)令θ=250°+
k
·360°(
k
∈Z),
取
k
=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角:
250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.
故θ=-110°或-470°.
7.已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界),试写出角α的集合.
解:在0°~360°范围内,终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或
270°≤α≤315°
.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°+
k
·360°≤α≤135
°+
k
·360°,
k
∈Z}∪{α|270°+
k
·36
0°≤α≤315°+
k
·360°,
k
∈Z}
={α|90°+
2
k
·180°≤α≤135°+2
k
·180°,
k
∈Z
}∪{α|90°+(2
k
+
1)·180°≤α≤135°+(2
k
+1)·180°,
k
∈Z}={α|90°+
n
·180°≤α≤135
°+
n
·180°,
n
∈Z}.
α
8.已知α与150°
角的终边相同,写出与α终边相同的角的集合,并判断是第几
3
象限角?
解:与α终边相同的角的集合为
{α|α=
k
·360°+150°,
k
∈Z},
α
∴=
k
·120°+50°,
k
∈Z.
3α
若
k
=3
n
(
n
∈Z),是第一象限角;
3
α
若
k
=3
n
+1(
n
∈Z)
,是第二象限角;
3
α
若
k
=3
n
+2(
n
∈Z),是第四象限角.
3
α
故是第一、二、四象限角.
3
第2课时 弧 度 制
问题1:目前,我们度量角的单位是什么?是如何定义的?
提示:度量角的单位是“度”,1度的角等于周角的
1
.
360
问
题2:下图是半径不等的两个圆,在每个圆上取长等于半径的一条弧,连接圆心与弧
的两个端点,得到两
个角,你认为这两个角是否相等?
提示:相等.角的大小与半径无关.
问题3:
在半径为
r
的圆周上,长为
l
的圆弧所对的圆心角α为定值吗?说明什么问<
br>题?
α360
l
提示:是定值,因为
l
=2π
r<
br>·,∴α=·.说明圆心角只与它所对的弧与半径
3602π
r
的比值有关系.
1.角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,周角的
2.弧度制
(1)弧度制的定义:
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,记作1_rad.
用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.
(2)任意角的弧度数与实数的对应关系:
正角的弧度数是正数;负角的弧度数是负数;零角的弧度数为0.
3.角度制与弧度制的换算
(1)角度与弧度的换算公式:
角度化弧度
弧度化角度
1
为1度的角.
360
360°=2π rad
180°=π rad
π
1°= rad≈0.01745 rad
180
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系:
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
π
180
π
6
π
4
π
3
π
2
120
°
2π
3
2π rad=360°
π rad=180°
180
1
rad=度≈57.30°
π
135
°
3π
4
150
°
5π
6
180
°
π
270
°
3π
2
360
°
2π 弧度
0
在角度制下,扇形的弧长公式和面积公式分别是
l
=
n
π
r
180
,
S
=
n
π
r
2
360
,根据角度制与弧
度制的互换,能否用圆心角的弧度
表示如图所示的扇形的弧长与面积?
1
2
提示:弧长
l
=
r
|α|;
S
扇形
=|α|
r
.
2
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为
r
,弧长为
l
,α(0<α<2π)为其圆心角,则
度量单位
类别
扇形的弧长
扇形的面积
α为角度制
απ
r
180
α为弧度制
l
=
S
=
l
=α
r
S
=
lr
=α
r
2
1
2
1
2
απ
2
r
360
1.
弧度制与角度制是两种不同的度量方法,弧度制为十进制,角度制为60进制.1弧
1
度是等于
半径长的弧所对的圆心角的大小,而1°是周角的.
360
2.用弧度制表示角时,“弧度”
二字或“rad”可以省略不写,如:角α=10就表示
α是10弧度的角.
[例1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度:
(1)72°;(2)-300°
2π
(3)2;(4)-.
9
[思路点拨]
先看清题目中所给的角是用角度制表示的,还是用弧度制表示的,然后利
用公式计算即可.
[精解详析] (1)72°=72×
π2π
rad= rad;
1805
π5π
(2)-300°=-300× rad=- rad;
1803
180°360°
(3)2 rad=2×=≈114.59°;
ππ
2π2π180°
(4)- rad=-×=-40°.
99π
[一点通] 在进行角度与弧度的换算时,抓住关系式π=180°是关键,由它可以得
到:
π180°
角度数乘以即为弧度数,弧度数乘以即为角度数.
180π
1.把下列弧度化成角度或角度化成弧度:
π
(1)-450°;(2)
10
4π
(3)-;(4)112°30′
3
π5π
解:(1)-450°=-450× rad=- rad;
1802
ππ180°
(2) rad=×=18°;
1010π
4π4π180°
(3)- rad=-×=-240°;
33π
π5π
(4)112°30′=112.5°=112.5×
rad= rad.
1808
2.设三角形三内角之比为2∶5∶8,求各内角的度数,并化成弧度数.
解:∵三角形内角和为180°,
2
∴三个内角分别为×180°=24°,
2+5+8
58
×180°=60°,×180°=96°,
2+5+82+5+8
π2π
又24°= rad×24= rad;
18015
ππ
60°=60× rad= rad;
1803
π8π
96°= rad×96= rad.
18015
[例2] (1)把-1
480°写成α+2
k
π(
k
∈Z)的形式,其中0≤α<2π;
(2)若β∈[-4π,0],且β与(1)中α终边相同,求β.
[思路点拨]
首先把角度化成弧度,再写成所要求的形式.
1 480π
[精解详析] (1)∵-1
480°=- rad
180
74π16π16π
=-
rad=-10π+=2×(-5)π+.
999
16π
∴-1
480°=+2×(-5)π.
9
16π
(2)由(1)可知α=.∵β与α终边相同,
9
16π
∴β=2
k
π+,
k
∈Z.
9
又∵β∈[-4π,0],令
k
=-1,
2π
则β=-;令
k
=-2,
9
20π2π20π
则β=-,∴β的值是-,-.
999
[一点通] 表示角的集合,既可以用角度,也可以用弧度,但必须要统一单位,不能既
含有角度又含有弧度,如在“α+2
k
π(
k
∈Z)”中,α必须是
用弧度制表示的角,在“α
+
k
·360°,(
k
∈Z)”中,α必
须是用角度制表示的角.
3.把角-690°化为2
k
π
+α(0≤α<2π,
k
∈Z)的形式为________.
π
?
23π
?
解析:法一:-690°=-
?
690×
?
rad=- rad,
180
?
6
?
23πππ
∵-=-
4π+.即-690°=-4π+.
666
法二:-690°=-2×360°+30°,
π
∴-690°=-4π+.
6
π
答案:-4π+
6
4.用弧度制表示终边落在
x
轴上方的角的集合为__________.
解析:若角α的终边落在
x
轴上方,
则2
k
π<α<2
k
π+π(
k
∈Z).
答案:{α|2
k
π<α<2
k
π+π,(
k
∈Z)}
5.如图,用弧度表示顶点在原点,始边重合于
x
轴的正半轴,终边落在阴影部分内的
角的集合(不包括边界).
π2π
解:(1)如题图①,以
OA
为终边的角为+2
k
π(
k
∈Z);以
OB
为终边
的角为-+
63
2
k
π(
k
∈Z).
所以阴影部分内的角的集合为
?
?
α
?
?
-2π
+2
k
π<α<
π
+2
k
π,
k
∈Z
?
?
?
36
?
?
π
(2)如题图②,以
OA
为终边的角为+2
k
π(
k<
br>∈Z);
3
2π
以
OB
为终边的角为+2
k
π(
k
∈Z).
3
不妨设右边阴影部分所表示的集合为
M
1
,左边阴影部分所表示的集合为
M
2
,
??
π
则
M
1
=
?
α|2
k
π<α<+2
k<
br>π,
k
∈Z
?
,
3
??
?
M2
=
?
α
?
+2
k
π<α<π+2
k
π,
k
∈Z
?
?
?
3
?
所以阴影
部分内的角的集合为
M
1
∪
M
2
=
?
2π
?
.
??
π2π
?
α|2
k
π<α<+2
k
π,或+2
k
π<α
<π+2
k
π,
k
∈Z
?
.
33
??
8π
[例3]
已知一个扇形的周长为+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积.
9
[思路点拨]
(1)将圆心角化为弧度数;(2)求出扇形的半径或弧长;(3)代入面积公式.
[精解详析] 设
扇形的半径为
r
,面积为
S
,由已知,扇形的圆心角为80×
4π<
br>∴扇形的弧长为
r
.
9
4π8π
由已知,
r
+2
r
=+4,∴
r
=2,
99
14π
28π
∴
S
=·
r
=.
299
8π
故扇形的面积是.
9
[一点通] (1)求扇形面积关
键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个
量,相反,也可由扇形的面积结合其他条件求扇
形的圆心角、半径、弧长.
11
2
(2)注意弧长公式
l
=|α|
·
R
与扇形面积公式
S
=|α|·
R
=
l
·
R
中的圆心角α的
22
单位必须是弧度.
6.若2弧度的圆心角所对的弧长为4
cm,则这个圆心角所夹的扇形的面积是
________cm.
2
π4π
=,
1809
l
4
解析:由已知得扇形的半径
r
===2
cm,
α2
11
2
所以扇形的面积
S
=
lr=×4×2=4 (cm).
22
答案:4
7.若扇形
OAB
的面积是1 cm,它的周长是4
cm,求扇形的圆心角的弧度数.
解:设弧长为
l
,半径为
r
,
1
由题意得
lr
=1,①
2
2
l
+2
r
=4.②
由①②解得
l
=2,
r
=1,所以α=2.
8.如图所示,扇形周长为
a
,当扇形的圆心角α和半径
r
各取何值时,扇
形的面积最
大.
解:设扇形弧长为
l
,面积为
S
,
1
则
S
=
l
·
r
,
2
又∵
l
+2
r
=
a
,
1∴
S
=(
a
-2
r
)·
r
2
1
2
=-
r
+
ar
2
?
a
?
2
a
=-
?
r
-
?+,
?
4
?
16
∴当
r
=时,
S<
br>max
=,
416
由
l
=
a
-2
r
=及α=得α=2
rad.
2
r
1.用弧度表示终边相同的角
(1)用弧度表示
的与角α终边相同的角的一般形式为β=2
k
π+α,(
k
∈Z).
这些角所构成的集合为{β|β=2
k
π+α,
k
∈Z}.
(2)在同一个代数式中,弧度与角度两种单位制不能同时出现,如2
k
π+30°(
k
∈Z)或
2
aa
2
al
k
·360°+(k
∈Z)的写法都是不正确的.
2.利用弧度制解决扇形的弧长及面积问题
(
1)在扇形的有关问题中,要充分揭示图形的性质及内在联系.在圆心角、半径、弧长、
面积这些量中,
已知其中的两个,就可以求出其他量.
(2)在解决有关扇形、弓形的有关计算问题时,采用弧度制通常要比采用角度制更方便.
π
3
课下能力提升(二)
一、填空题
1.-600°=________弧度.
π10π
解析:-600°=-600× rad=- rad
1803
10π
答案:-
3
2.若α=-4,则α是第________象限角.
180°
解析:∵-4×≈-229°,∴在第二象限.
π
答案:二 3.圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长,则圆弧所对的圆心角的弧度数是
_______
_.
解析:圆内接正三角形的边长等于半径的3倍.
答案:3
π
4.若
角α的终边与角的终边关于直线
y
=
x
对称,且α∈(-4π,4π),则α
=
6
________________________.
解析:与α终边相同的角的集合为
?
?
α
?
?
α
=2
k
π+
π
,
k
∈Z
?
?
?<
br>3
?
?
.
∵α∈(-4π,4π),
π
∴-4π<2
k
π+<4π,
3
1311
化简得:-<
k
<.
66
∵
k
∈Z,
∴
k
=-2,-1,0,1,
11π5ππ7π
∴α=-,-,,.
3333
11π5ππ7π
答案:-,-,,
33335.已知集合
A
={
x
|2
k
π≤
x
≤2
k
π+π,
k
∈Z},集合
B
={
x
|-4≤
x
≤4},则
A
∩
B
=
________
.
解析:如图所示,
∴
A
∩
B
=[-4,-π]∪[0,π].
答案:[-4,-π]∪[0,π]
二、解答题
6.设角α=-570°,β=
3π
.
5
(1)将α用弧度制表示出来,并指出它所在的象限;
(2)将β用角度制表示出来,并在-720°~0°之间找出与它有相同终边的所有角.
解:(1)∵180°=π rad,
π19π
∴-570°=-570×=-.
1806
19π5π
∴α=-=-2×2π+.
66
∴α在第二象限.
3π3π180°
(2)∵β==×=108°,
55π
设θ=
k
·360°+β(
k
∈Z).
由-720°≤θ<0°,
∴-720°≤
k
·360°+108°<0°.
∴
k
=-2或
k
=-1.
∴在-720°~0°间与β有相同终边的角是-612°和-252°.
7.一个扇形的周
长等于所在圆的周长,那么这个扇形的圆心角是多少?如果半径等于
3,那么,扇形的面积等于多少?
解:设扇形的圆心角为α,半径为
r
,则2
r
+α
r
=2π
r
,
故α=2π-2,
S
扇形
=α
r
2
=×(2π-2)×3=3π-3.
1
2
1
2
8.已知α是第二象限的角,
α
(1)指出所在的象限,并用图形表示其变化范围;
2
(2)若α同时满足条件-6≤α≤2,求α的取值区间.
π
解:(1)
依题意,2
k
π+<α<2
k
π+π,
k
∈Z,
2
παπ
∴
k
π+<<
k
π+,
k
∈Z,
422
α
若
k
为偶数,则是第一象限的角;
2
α
若
k
为奇数,则是第三象限的角;
2
其变化范围如图中阴影部分所示(不含边界).
(2)又-6≤α≤2,
π
??
故α∈
?
2
k<
br>π+,2
k
π+π
?
∩[-6,2],
2
??
?
3π
??
π
?
由图不
难知道,α∈
?
-,-π
?
∪
?
,2
?
.
?
2
??
2
?
第1课时 任意角的三角函数
如图,直角△
ABC
.
问题1:如何表示角
A
的正弦、余弦、正切值?
提示:sin
A
=,cos
A
=,tan
A
=.
问题2:
如图,锐角α的顶点与原点
O
重合,始边与
x
轴的非负半轴重合,在α终边<
br>上任取一点
P
(
a
,
b
),作
PM
⊥
x
轴,如何用图中的数据表示sin α,cos α,tan α?
a
c
b
c
a
b
提示:∵
PM
⊥
x
轴,∴△
OPM
为直角三角形,
∴|
OP
|=|
OM
|+|
PM
|=
a<
br>+
b
,
|
PM
|
b
|
OM
|
a
∴sin
α==
22
,cos α==
22
,
|
OP
||
OP
|
a
+
ba
+
b
|
MP|
b
tan α==.
|
OM
|
a
在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点
P
的坐标是(
x
,
y
),它与原点的距离为
2222
r
(
r
=
x
2
+
y
2
>0)规定:
三角函数
正弦
余弦
定义
sin α=
cos α=
定义域
y
r
x
r
y
x
R
R
π
{α|α≠
k
π+,
k
∈
2
Z}
正切
tan α=
问题1:由三角函数的定义知sin α在什么条件下函数值为正?
提示:α的终边在第一、二象限或
y
轴正半轴.
问题2:tan
α在什么情况下为负数?
提示:因tan
α=,则
x
、
y
异号为负数,即α的终边在二、四象限为负数.
三角函数值在各象限内的符号,如图所示:
y
x
如图,由单位圆中的三角函数的定义可知sin α=
y
,cos
α=
x
,tan α=.
问题:sin
α是否等于
PM
的长?若不等,怎样才能相等?
提示:不一定,可能等于
P
M
的长,也可能等于
PM
长的相反数,把
MP
看成有向线段即
可.
1.有向线段
规定了方向(即规定了起点和终点)的线段.
2.有向线段数量
根据有向线段
AB
与有向直线
l
的方向
相同或相反,分别把它的长度添上正号或负号,
这样所得的数,叫做有向线段的数量.
3.单位圆
圆心在原点,半径等于单位长度的圆.
4.三角函数线
设角
α的终边与单位圆的交点为
P
,过点
P
作
x
轴的垂线,垂足
为
M
.
y
x
(1)则有向线段
MP
、
OM
就分别是角α的正弦线与余弦线,即
MP
=sin
α,
OM
=cos α;
(2)过点
A
(1,0)作单位圆的切线
,设这条切线与角α的终边或角α终边的反向延长线
交于点
T
,则有向线段
A
T
就是角α的正切线,即
AT
=tan_α.
1.三角函数值是
比值,是一个实数,这个实数的大小与点
P
(
x
,
y
)在终
边上的位置无
关,只由角α的终边位置确定,即三角函数值的大小只与角有关.
2.三角函数
值的符号,用角α的终边所处的位置确定,即“一全正,二正弦,三正切,
四余弦”.
3.正
弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段,是与坐标轴
垂直的线段.这些线段分
别可以表示相应三角函数的值,它们是三角函数的一种几何表示.
[例1] 已知角α的终边上有一点
P
(-3
a,
4
a<
br>)(
a
≠0),求2sin α+cos α的值.
[思路点拨] 由三角函
数的定义求三角函数时,应先确定α终边位置.由于含有参数
a
,而
a
的条件
为
a
≠0,所以必须对
a
进行分类讨论.
[精解详析]
∵
x
=-3
a
,
y
=4
a
,
∴
r
=-3
a
2
+
a
2
=5|
a<
br>|.
当
a
>0时,
r
=5
a
,角α为第二象限角,
y
4
a
4
∴sin α===,
r
5
a
5
cos
α==
x
-3
a
3
=-,
r
5
a
5
43
∴2sin α+cos α=2×-=1.
55
当
a
<0时,
r
=-5
a
,角α为第
四象限角,
∴sin α==
cos
α==
y
4
a
4
=-,
r
-5
a
5
x
-3
a
3
=,
r
-5
a
5
?
4
?
3
∴2sin
α+cos α=2×
?
-
?
+=-1.
?
5
?
5
[一点通] 已知角的终边上一点,求该角的三角函数值,
一般是先求出该点到原点的距
离
r
,再由三角函数的定义求出三角函数值.当点的坐标
有字母时,由于字母符号未知,所
以点所在象限不确定,因此要根据情况进行分类讨论,避免漏解.
4
1.角α的终边过点
P
(-8
m
,-6cos
60°)且cos α=-,则
m
的值是____________.
5
解析:
P
(-8
m
,-3),
4-8
m
4
由cos α=-可得=-,
2
55
64
m
+9
11
解得
m
=(
m
=-不合题
意,舍去).
22
1
答案:
2
2.已知角α终边上点
P
(
x,
3)(
x
≠0),且cos
α=
解:∵
r
=
x
+9,cos α=,
∴
10
x
x
=
2
.
10
x
+9
2
10
x
,求sin α,tan
α.
10
x
r
又
x
≠0,则
x
=±1.
∵
y
=3>0,
∴α在第一或第二象限.
310
当α在第一象限时,sin α=,tan α=3.
10
310
当α在第二象限时,sin α=,tan α=-3.
10<
/p>
3.已知角的终边落在直线
y
=2
x
上,求sin
α,cos α,tan α的值.
解:(1)当角的终边在第一象限时,在角的终边上取点
P
(1,2),由
r
=|
OP
|=1+2=
5,
得sin α=
2
5
=
2515
,cos α==,tan
α=2.
5
5
5
22
(2)当角的终边在第三象限时,在角的终边
上取点
Q
(-1,-2),由
r
=|
OQ
|=
-
2
+-
2
=5,
-225-15
得sin
α==-,cos α==-,tan α=2.
55
55
[例2]
确定下列式子的符号:
5π11π
cos ·tan
66
(1)tan
108°·cos 305°;(2);
2π
sin
3
(3)tan
191°-cos 191°;(4)sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] 角度确
定了,所在的象限就确定了,三角函数值的符号也就确定了,因此
只需确定角所在象限,即可进一步确定
各式的符号.
[精解详析] (1)∵108°是第二象限角,∴tan 108°<0.
∵305°是第四象限角,∴cos 305°>0.
从而tan 108°·cos
305°<0,∴式子符号为负.
5π11π2π
(2)∵是第二象限角,是第四象限角,是第二象限角.
663
5π11π2π
∴cos <0,tan <0,sin >0.
663
5π11π
cos ·tan
66
从而>0.
2π
sin
3
∴式子符号为正.
(3)∵191°是第三象限角,
∴tan 191°>0,cos 191°<0.
∴tan 191°-cos 191°>0.
∴式子符号为正.
π3π3π
(4)∵<3<π,π<4<,<5<2π,
222
∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0.
∴sin 3·cos 4·tan 5>0.
∴式子符号为正.
[一点通] 对
于已知角α,判断α的相应三角函数值的符号问题,常依据三角函数的
定义,或利用口诀“一全正、二正
弦、三正切、四余弦”来处理.
4.判断下列各式的符号:
(1)sin
105°·cos 230°;
?
2π
?
(2)cos
3·tan
?
-
?
.
?
3
?
解:(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角,
∴sin 105°>0,cos 230°<0.
于是sin 105°·cos
230°<0.
π
(2)∵<3<π,∴3是第二象限角,
2
∴cos
3<0,
2π
?
2π
?
又-是第三象限角,∴tan
?<
br>-
?
>0,
3
?
3
?
?
2π
?
∴cos
3·tan
?
-
?
<0.
?
3
?
5.已知sin α·tan α>0,则α是第几象限角?
?
?
sin α>0,
解:∵sin α·tan
α>0,∴
?
?
tan α>0,
?
?
?
sin α<0,
或
?
?
tan
α<0.
?
当sin α>0,且tan α>0时,α为第一象限角;
当sin α<0,且tan α<0时,α为第四象限角.
∴α为第一、四象限角.
2π4π2π4π
[例3] 分别作出和的正弦线、余弦线和正切线,
并比较sin与sin,
3535
2π4π2π4π
cos与cos,tan与tan
的大小.
3535
[思路点拨]
作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边;比较三角函数值的大小时
依据三角函数线的长度和正负.
2π
[精解详析] 在直角坐标系中作单位圆如图,以
Ox
轴
正方向为始边作的终边与单位
3
圆交于
P
点,作
PM
⊥Ox
轴,垂足为
M
,由单位圆与
Ox
正方向的交点
A<
br>作
Ox
轴的垂线与
OP
2π2π2π
的反向延长线交于
T
点,则sin=
MP
,cos=
OM
,tan=
AT<
br>.
333
4π
同理,可作出的正弦线、余弦线和正切线,
5
4π4π4π
sin=
M
′
P
′,cos=
O
M
′,tan=
AT
′.
555
2π4π
由图形可知:<
br>MP
>
M
′
P
′,符号相同?sin>sin,
3
5
OM
>
OM
′,符号相同?cos
2π4π
>cos,<
br>AT
<
AT
′,
35
2π4π
符号相同?tan
[一点通] 利用
三角函数线比较三角函数值的大小,关键在于准确作出正弦线、余弦线、
正切线,并注意它们为有向线段
,方向代表三角函数值的符号,然后结合图形作出判断.
6.sin 1,sin
1.2,sin 1.5三者的大小关系是________.
解析:在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比较可得.
答案:sin 1.5>sin
1.2>sin 1
7.利用三角函数线,求满足下列条件的角
x
的集合.
13
(1)sin
x
≤; (2)cos
x
<.
22
1
解:(1)利用角
x
的正弦线,作出满足sin
x
≤的角
x
的终边所在位置的范围.如图(1)
2
?
?
?
7ππ
的阴影部分,由图形得角
x
的集合为
?
x
?
2
k
π-≤
x
≤2
k
π+,
k
∈Z
?
66
?
?
?
.
(2)利用角
x
的余弦线,作出满足cos
x
<
3
的角
x
的终边所在位置的范围,如图(2)
2
?
?
?π11π
??
2
k
π+<
x
<2
k
π
+,
k
∈Z
的阴影部分,由图形得角
x
的集合为
x
?
66
?
?
?
.
1.准确理解三角函数的定义
根据三角函数的定义,各三角函数值的大小与在终边
上所取的点的位置无关,只与角
α的大小有关,即它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.定义
中的α是任意角,
但对于一个确定的角,只要各个三角函数有意义,其值就是唯一的.
2.确定三角函数的符号
根据三角函数的定义可知,正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标
y
、横坐标
x
的符
号;正切值则是纵坐标
y
、横坐
标
x
同号时为正,异号时为负.
3.三角函数线的应用
三角函数线的方向
和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小,从三角函数线
的方向可以看出三角函数值的符号,
从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值大小.
课下能力提升(三)
一、填空题
1.若α是第三象限角,则
|sin α|cos
α
-=________.
sin α|cos α|
解析:∵α是第三象限角,
∴sin α<0,cos α<0,
∴
|sin α|cos
α
-=-1-(-1)=0.
sin α|cos α|
答案:0
2.有下列命题:
(1)若sin α>0,则α是第一、二象限的角;
(2)若α是第一、二象限角,则sin α>0;
(3)三角函数线不能取负值;
(4)若α是第二象限角,且
P
(
x
,
y
)是其终边上一点,则cos
α=
其中正确的序号是________.
ππ
解析:只有(2)正确;∵sin
=1>0,但不是第一、二象限角,∴(1)不正确;三角
22
函数线是三角函数值的几何表示
,其数量可正可负,也可为0,∴(3)不正确;(4)应是cos
α
=
-
x
x
+
y
22
.
xx
2
+
y
2
(∵α是第二象限角,已有
x
<0
),∴(4)不正确.
答案:(2)
3.已知角α的终边经过点(3
a
-9,
a
+2),且sin
α>0,cos α≤0,则α的取值
范围是________.
解析:由cos
α≤0及sin α>0知角α的终边在第二象限或
y
轴的正半轴上.
?
?
3
a
-9≤0,
故
?
?
a
+2>0,?
∴-2<
a
≤3.
答案:(-2,3]
4
4.角α的终边上有一点
P
(
a,
4),且tan
α=,则3sin α-
3
2cos α的值为________.
4
解析:∵tan α=,∴
a
=3.
3
43
22
∴
r
=3+4=5,sin α=,cos
α=,
55
1266
∴3sin α-2cos α=-=.
555
6
答案:
5
5.依据三角函数线,作出如下四个判断:
π7π
①sin =sin ;
66
π
?
π
?<
br>②cos
?
-
?
=cos ;
4
?
4
?
π3π
③tan >tan ;
88
3π4π
④sin >sin .
55
其中判断正确的有________.
解析:分别作出各角的三角函数线,可知:sin
π3π3π4π
tan
8855
∴②④正确.
答案:②④
二、解答题
6.已知角α的顶点在原点,始边为
x
轴的正半轴,若角α终边过点
P
(-3,
y
),且
sin
α=
3
y
(
y
≠0),判断角α所在的象限,并求cos α的值.
4
π7ππ
?
π
?
=-sin
,cos
?
-
?
=cos ,
664
?
4
?
解:依题意,
P
到原点
O
的距离
r
=|
OP
|=
y
r
-3
2
+
y
=3+
y
.
3
y
.
4
22
∴sin α==
y
2
3+
y
=
2
∵
y
≠0,∴9+3<
br>y
=16.
721
2
∴
y
=,
y
=±.
33
∴点
P
在第二或第三象限,
且cos
α=
-3
3+
y
=-
2
3
=-.
47
3+
3
3
7.已知角α的终边在直线3
x
+4
y
=0上,求sin α,cos α,tan α的值.
解:∵角α的终边在直线3x
+4
y
=0上,∴在角α的终边上任取一点
P
(4
t
,-3
t
)(
t
≠0),
则
x
=4
t
,
y
=-3
t
,
r
=
x
+<
br>y
=
22
t
2
+-3
t
2
=5|<
br>t
|,
y
-3
t
3
x
4
t
4
y
-3
t
当
t
>0时,
r
=5
t
,sin α===-,cos α===,tan α===
r
5
t<
br>5
r
5
t
5
x
4
t
3
-;
4
当
t
<0时,
r
=-5
t
,sin
α==
3
=-.
4
综上可知,
343
sin
α=-,cos α=,tan α=-;
554
y
-3
t
3x
4
t
4
y
-3
t
=,cos
α===-,tan α==
r
-5
t
5
r
-5
t
5
x
4
t
343
或sin α=,cos
α=-,tan α=-.
554
ππ
8.已知<θ<,试用三角函数线比较sin θ,cos θ,tan
θ
42
小.
解:如图,在单位圆中作出正弦线、余弦线、正切线,
sin
θ=
MP
>0, cos θ=
OM
>0,
tan θ=
AT
>0,由图知
OM
<
MP
<
AT
,
即cos θ
第2课时 同角三角函数关系
的大
若角α的终边与单位圆交于
P
(
x
,
y
),如图.
问题1:角α的三角函数值是什么?
提示:sin
α=
y
.cos α=
x
.tan α=.
问题2:sin
α与cos α有什么关系?
提示:sinα+cosα=
y
+
x
=1.
sin
α
问题3:的值与tan α有什么关系?
cos α
sin
α
y
提示:==tan α.
cos α
x
同角三角函数的基本关系式
平方关系
sin_α+cos_α=1
22
2222
y
x
商数关系
sin απ
tan α=,其中α≠+
k
π,
k
∈Z
cos α2
同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义.所以s
inα+cosα=
sin α
1对于任意角α∈R都成立,而tan
α=并不是对任意角α∈R都成立,此时α≠
k
π
cos
α
π
+,
k
∈Z.
2
22
4
[例1] (1)若sin α=-,且α是第三象限角,求cos α,tan
α的值;
5
2sin α-2cos α
(2)已知tan α=2,求的值.
4sin α-9cos α
[思路点拨]
第(1)题应先利用平方关系求余弦,再由商的关系求正切;
第(2)问先把所求式化为只含tan
α的代数式,再代入求值.
4
[精解详析] (1)∵sin α=-,α是第三象限角,
5
∴cos α=-1-sinα=-
2
3
?
4
?
2
1-
?
-
?
=-,
5
?
5
?
sin
α4
?
5
?
4
tan
α==-×
?
-
?
=.
cos
α5
?
3
?
3
(2)∵tan α=2,
∴
2sin α-2cos α2tan α-22×2-2
===-2.
4sin α-9cos α4tan α-94×2-9
[一点通]
已知某角的一个三角函数值,求该角的其他三角函数值时要注意:
(1)角所在的象限;
(2)用平方关系求值时,所求三角函数的符号由角所在的象限决定;
sin
α
(3)用商数关系时,不要另加符号,只需用公式tan α=代入sin α、cos
α
cos α
的值即可求得tan α.
1
1.已知sin α+cos α=,则sin αcos α=________.
2
1
解析:∵sin α+cos α=,
2
11
2
∴(sin α+cos α)=,即1+2sin αcos
α=.
44
3
∴sin αcos α=-.
8
3
答案:-
8
1
2.若sin θ-cos
θ=2,则tan θ+=__________.
tan θ
解析:由已知得(sin
θ-cos θ)=2,
1
∴sin θcos θ=-.
2
∴tan
θ+
答案:-2
5
3.若cos α=,求sin α和tan α.
13
5
解:∵cos α=>0,
13
∴α是第一或第四象限角.
当α是第一象限角时,sin α=1-cosα=
sin α12
∴tan
α==;
cos α5
当α是第四象限角时,
sin α=-1-cos
α=-
sin α12
∴tan α==-.
cos
α5
4.保持本例(2)的条件不变,求4sinα-3sin αcos α-5cosα的值.
解:4sinα-3sin αcos α-5cosα
4sinα-3sin αcos
α-5cosα
=
22
sinα+cosα
22
22
22
2
2
2
1sin θcos θ1
=+==-2.
tan
θcos θsin θsin θcos
θ
?
5
?
2
12
1-
??
=,
?
13
?
13
1-
5
13
2
12
=-.
13
4tanα-3tan
α-54×4-3×2-5
===1.
2
tanα+14+1
[例2] 化简:
1
tan α+tan αsin
α
?
·
?
1+
tan α+sin α
?
cos
α
2
?
·
sin α
.
?
1+sin
α
?
1+cos αsin α
·=
cos α1+sin
α
[思路点拨] 采用切化弦,减少函数种类,以达到化简的目的.
[精解详析]
原式=
tan α+sin α
tan α+sin α
·
sin
α
cos α
1+cos α11+cos αsin α
·· sin
α=··sin α==tan α.
sin αcos α1+cos αcos αcos
α
+sin α
cos α
[一点通] 化简三角函数式的常用方法:
(1)切化弦,即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数,从而减少函数种类以便化简.
(2)对含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)
对于化简高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或用“1”的代换,以降低函数
次数,达到化简目的
.
5.
sin θ-cos θ
=________.
tan
θ-1
sin θ-cos θsin θ-cos θsin θ-cos
θ
解析:===cos θ.
tan θ-1sin θsin θ-cos
θ
-1
cos θcos θ
答案:cos θ
1-2sin
10°cos 10°
6.化简的值为________.
2
sin
10°-1-sin10°
sin10°-2 sin 10°cos
10°+cos10°
解析:原式=
2
sin10°-cos10°
=
-
sin 10°-cos
10°
2
22
cos 10°-sin 10°
==-1.
sin
10°-cos 10°
答案:-1
3π
7.若<α<2π,化简:
2
1-cos α
+
1+cos α
1+cos α
.
1-cos α
3π
解:∵<α<2π,∴0<cos α<1,-1<sin
α<0,
2
∴原式=
=
-cos α
+cos
α-cos α
2
2
+
2
+cos α
-cos
α+cos α
2
-cos α
2
1-cos α
+
2
+cos α
2
1-cos α
2
(1-cos α)(1+cos α)
= +
22
sinαsinα
1-cos α1+cos α
=--
sin αsin α
2
=-.
sin α
[例3]
求证:
1
?
11
?
sin θ(1+tan θ)+cos
θ
?
1+
=+.
?
?
tan
θ
?
sin θcos θ
[思路点拨]
从较复杂的一边入手,采用切化弦的方式,即把左边的正切值用tan θ
sin θ
=替换.
cos θ
?
sin θ
?
+cos
θ
?
1+
cos θ
?
[精解详析] 左边=sin
θ
?
1+
??
sin θ
?
?
cos
θ
???
sinθcosθ
=sin θ++cos θ+
cos
θsin θ
cosθ
??
sinθ
?
+cos
θ
?
=
?
sin θ+
+
???
sin
θ
??
cos θ
??
22
22
?
sinθ+co
sθ
?
+
?
sinθ+cosθ
?
=
????
sin θcos
θ
????
=
11
+=右边.
sin θcos
θ
2222
∴原式成立.
[一点通]
证明三角恒等式的原则是由繁到简,常用的方法有:
(1)从一边开始证明它等于另一边;
(2)证明左右两边都等于同一个式子;
(3)变更论证,采用左右相减,化除为乘等方法,转化成与原结论等价的命题形式.
1+2sin
x
cos
x
1+tan
x
8.求证:=.
22
cos
x
-sin
x
1-tan
x
sin
x
1+
cos
x
cos
x
+sin
x
证明:法一:右边==
sin
x
cos
x
-sin
x
1-
cos
x
=
2
x
+sin
x
2
x
-sin
xx
+sin
x
2
cos
x
+sin
x
+2sin
x
cos
x
1+2sin
x
cos
x
===左边,∴原式成立.
2222
cos
x
-sin
x
cos
x
-sin
x
sin
x
+cos
x
+2sin
x
cos
x
法二:左边=
22
cos
x
-sin
x
=
=
22
x
+cos
x
2
sin
x
+cos
x
=
x
+sin
xx
-sin
x
cos
x
-sin
x
tan
x
cos
x
+cos
x
1+tan
x
==右边,∴原式成立.
cos
x
-tan
x
cos
x
1-tan
x
sin α-cos α+11+sin α
9.求证:=.
sin
α+cos α-1cos α
证明:左边=
2
α-cos α+
α+cos
α-
2
α+cos α+
α+cos α+
=
2
α+-cosα
2
α+cos
α-1
2
sinα+2sin α+1-cosα2sin α+sin
α
==
1+2sin αcos α-12sin αcos
α
=
1+sin α
=右边.
cos α
∴原等式成立.
1.对同角三角函数的基本关系式的理解
“同角”有两层含义,一是“角相同”,如sin α+cos β=1就不一定成立;二是
对
“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立,与角的表达形式无关.
α
sin
2
α
22
如:sin3α+cos3α=1,tan=.
2α
cos
2
2.同角三角函数的基本关系式的应用
(1)应用同角三角函数关系式时,应灵活选择和使用.如cosα=1-sin
α,sinα=
sin α
2
1-cos α,cos α=,sin α=tan
α·cos α等,上述关系都必须在定义域允许
tan α
的范围内才成立.
22
2
22
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外的三角函数值,且
因为利用“平方”
关系公式,最终需求平方根,会出现两解,所以要注意角所在的象限.这类问题通常会
出现
以下这几种情况:
①如果已知三角函数值,且角的象限已被指定,那么只有一组解; <
br>②如果已知三角函数值,但没有指定角所在的象限,那么先由三角函数值确定角所在的
象限,然后
再求解,这种情况一般有两组解;
③如果所给的三角函数值是用字母表示的,且没有指定角所在的象限,则需要分类讨论.
课下能力提升(四)
一、填空题
1.已知sin
θ=
2
m
-34-2
m
,cos
θ=,则
m
=________.
m
+5
m
+5
2
解析:∵sinθ+cosθ=1, ∴
?
?
m
-3
?
2
+
?
4-
2
m
?
2
=1.
???
?
m
+5
??
m
+5
?
2222
即(
m
-3)+(4-2
m
)=(
m
+5),∴4
m
-32
m
=0
.
∴
m
=0或
m
=8
答案:0或8
sin
α+cos α
2.若=2,则tan α=________.
2sin α-cos
α
sin α+cos αtan α+1
解析:∵=2,∴=2.
2sin
α-cos α2tan α-1
∴tan α+1=4tan α-2
即3tan
α=3,∴tan α=1.
答案:1
3.化简:cosα+sinα·cosα+sinα=________.
解析:cosα+sinαcosα+sinα
=cosα(cosα+sinα)+sinα
=cosα+sinα=1.
22
2222
4222
4222
答案:1
3π
4.已知tan α=
m
(π<α<),则sin
α=________.
2
3π
解析:∵tan
α=
m
,π<α<.
2
∴
m
>0且sin α<0.
sinαsinα
2
又tanα===
m
.
22
cosα1-sinα
2
22
∴sinα=
2
m
2
1+
m
2
.
∵sin α<0,∴sin
α=-
答案:-
m
1+
m
2
.
m
1+
m
2
sin α
2
1-sinα
5.若角α的终边在直线
x
+
y
=0上,则+=________.
2
cos α
1-cosα
1-sinαsin α|cos
α|
解析:∵+=+.
2
cos α|sin α|cos
α
1-cosα
又角α的终边落在
x
+
y
=0上,
故角α的终边在第二、四象限.
当α在第二象限时,
sin α-cos
α
原式=+=0,
sin αcos α
当α在第四象限时,
原式=
sin αcos α
+=0.
-sin αcos
α
sin α
2
答案:0
二、解答题
6.已知tan
x
=2,求:
cos
x
+sin
x
(1)的值;
cos
x
-sin
x
21<
br>22
(2)sin
x
+cos
x
的值.
34
cos
x
+sin
x
1+tan
x
1+2
解:(1)===-3.
cos
x
-sin
x
1-tan
x
1-2
21
22
sin
x
+cos
x
4
21
2
3
2
(2)sin
x
+cos
x
=
22
34sin
x
+c
os
x
2121
2
tan
x
+×4+
3434
7
===.
2
tan
x
+14+112
tan α·sin αtan
α+sin α
7.求证:=.
tan α-sin αtan α·sin
α
sinαsin α
证明:法一:左边==,
sin α-sin α cos
α1-cos α
sin α+sin α cos α1+cos α
右边==,
2
sinαsin α
而sinα=1-cosα,
∴
sin
α1+cos α
=,故左边=右边,∴原式成立.
1-cos αsin
α
22
2
tan α·sin αtan α+sin α
法二:-
tan α-sin αtan α·sin
α
tanαsinα-
=
α-sin
α
22
222
α-sinα
=
αsin
α
2
2
tanαα-
α-sin
α
2
22
+sinα
αsin
α
2
2
=
∴
-tanαcosα+sinα
=
α-sin ααsin
α
-sinα+sinα
=0,
α-sin ααsin α
tan
α·sin αtan α+sin α
=.
tan α-sin αtan α·sin
α
π1
8.已知-<
x
<0,sin
x
+cos
x
=.求sin
x
-cos
x
的值.
25
1
解:法一:由sin
x
+cos
x
=,
5
1
22
平方得sin
x
+2sin
x
cos
x
+cos
x
=,
25
24
即2sin
x
cos
x
=-,
25
49
2
∴(sin
x
-cos
x
)=1-2sin
x
cos
x
=.
25
π
又∵-<
x
<0,∴sin
x
<0,cos
x
>0,
2
∴sin
x
-cos
x
<0,
7
∴sin
x
-cos
x
=-.
5
1
?
?
sin
x
+cos
x
= ①,
5
法二:联立方程
?
?
?
sin
2
x
+cos
2
x
=1 ②,
1
由①得sin
x
=-cos
x
,将其代入②,
5
整理得25cos
x
-5cos
x
-12=0,
34
解得cos
x
=-,或cos
x
=.
55
π
∵-<
x
<0,
2
4
cos
x
=,
?
?
5
∴
?
3
sin
x
=-,
?
?
5
2
7
∴sin
x
-cos
x
=-.
5
第3课时 三角函数的诱导公式一~四
对于任意角α.
问题1:2
k
π+α(
k
∈Z)与α的三角函数之间有什么关系?
提示:由于α与2
k
π+α(
k
∈Z)的终边相同,所以三角函数值
对应相等.
问题2:观察下图,角π-α,π+α,-α的终边与角α的终边之间有什么关系?
你能利用它们与单位圆的交点的坐标之间的关系推导出它们的三角函数之间的关系吗?
提
示:π-α,π+α,-α的终边与α的终边分别关于
y
轴,坐标原点,
x
轴
对称.能.
诱导公式
角的终边间关系
公式
sin(α+2
k
π)=sin_α(
k
∈Z)
公式一
终边相同
cos(α+2
k
π)=cos_α(
k
∈Z)
tan(α+2
k
π)=tan_α(
k
∈Z)
sin(-α)=-sin_α
公式二
终边关于
x
轴对称
cos(-α)=cos_α
tan(-α)=-tan_α
sin(π-α)=sin_α
公式三
终边关于
y
轴对称
cos(π-α)=-cos_α
tan(π-α)=-tan_α
sin(π+α)=-sin_α
公式四
终边关于原点对称
cos(π+α)=-cos_α
tan(π+α)=tan_α
公式一、二、三、四都叫诱导公式,它们可概括如下:
(1)记忆方法:2
k
π+α,-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加
上一个把α看成锐角时原函数值的符
号,一句话概括:即“函数名不变,符号看象限”.
(2)解释:“函数名不变”是指等式两边的三角
函数同名;“符号”是指等号右边是正
号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数名在本公
式中角的终边所在象限
是取正值还是负值,如sin(π+α),若α看成锐角,则π+α在第三象限,
正弦在第三
象限取负值,故sin(π+α)=-sin α.
[例1] 求下列各三角函数式的值:
?
31π
?
;(3)tan(-945°). (1)sin 1
320°;(2)cos
?
-
6
?
??
[思路点拨]
利用诱导公式进行化简求值.
[精解详析] (1)法一:sin 1
320°=sin(3×360°+240°)=sin
240°=sin(180°
+60°)=-sin 60°=-
3
.
2
法二:sin 1 320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°)
=-sin(180°-60°)=-sin 60°=-
3
.
2
?
31π
?
=cos
31π
(2)法一:co
s
?
-
6
?
6
??
7π
?
π?
π3
??
=cos
?
4π+
?
=cos?
π+
?
=-cos=-.
6
?
6
?
62
??
?
31π
?
=cos
?
-6π+
5π
?
法二:cos
?
-
?
6
?
6<
br>?
????
π
?
π3
?
=cos
?
π-
?
=-cos=-.
6
?
62
?
(3)tan(-945°)=-tan 945°
=-tan(225°+2×360°)
=-tan
225°=-tan(180°+45°)
=-tan 45°=-1.
[一点通] 此问
题为已知角求值,主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐
角的三角函数值求解.如果是负角
,一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数.要准确
记忆特殊角的三角函数值.
1.tan 690°的值为________.
解析:tan
690°=tan(720°-30°)=-tan 30°=-
3
3
3
.
3
答案:-
29π
2.cos=________.
6
5
π
?
29π5π
?
解析:cos=cos
?
4π+
?
=cos
6
?
66
?
π
?
π3
?
=cos(
?
π-
?
=-cos=-.
6
?
62
?
答案:-
3
2
3.求下列各式的值:
π19π21π
(1)sincostan;
464
19π
?
37π
?
.
(2)3sin(-1 200°)tan-cos 585°tan
?
-
?
4
?
6
?
7π
?
π
?
π
??解:(1)原式=sincos
?
2π+
?
tan
?
5
π+
?
6
?
4
?
4
??
==
27ππ
costan
264
π
?
2
?<
br>cos
?
π+
?
6
?
2
?
2π
(-cos)
26
236
×=-.
224
=
=-
π
?
?
(2)原式=-3sin(4×360°-240°)tan
?
3π+
?<
br>-
6
??
37π
??
cos(360°+225°)
?
-tan
4
?
??
π
?
π
?
=-3sin(-240°)tan-cos
45°tan
?
9π+
?
4
?
6
?=3×
32π
sin(180°+60°)-tan
324
322+3
sin 60°-=-.
322
[例2] 化简下列各式:
(1)
(2)
π+α
-α-π
-
--
α+2π
-π-α
;
.
=-3×
[思路点拨]
利用诱导公式一、二、四将函数值化为α角的三角函数值或锐角的三角
函数值,再约分化简.
[精解详析] (1)原式=
-
=
-cos α·sin α
sin
α-cos α
=1.
-
-
+
-
+
+
-cos α
α+π
α
π+α
(2)原式=
=
=
=
--
cos
10°·tan 225°
sin 30°sin 30°1
==.
+45°tan 45°2
[一点通] 三角函数式的化简有如下方法:
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
π
22
(3)注意“1”的应用:1=sinα+cosα=tan.
4
4.化简:
解析:
=
=
=
sin[3
60°+
-
+α
tan α
-sin αcos α
tan α
cos α
2
=-cosα.
sin
α
+α
α-
+α
α-
+α
-α
α
-α
-α
α
=____________.
=-sin αcos α
答案:-cosα
2
5.设
k
为整数,化简:
k
π-α
k
+π+α
k
-π-α]
.
k
π+α
解:当
k
为偶数时,设
k
=2
m
(
m
∈Z),
原式=
=
=
m
π-α
m
+π+α
-α
π+α
π+α
α
m
-π-α]
m
π+α
-sin α-cos
α
-sin αcos α
=-1.
当
k
为奇数时,设
k
=2
m
+1(
m
∈Z),
原式=
=
π-α
sin α
m
π+π-α
m
+π+α
-α
π+α
m
π-α
m
+π+α]
sin αcos α
=
sin α-cos
α
=-1.
综上可知,当
k
为整数时
k
π
-α
k
+π+α
k
-π-α]
=-1.
k
π+α
π-α
-α
的值.
sinπ-α+
6.
若sin(α-π)=2cos(2π-α),求
π-α-
解:由sin(α-π)=2cos
(2π-α),
得-sin α=2cos α,所以tan α=-2.
sin
α+5cos αtan α+5-2+5
所以原式===
-3cos α+sin
α-3+tan α-3+-
3
=-.
5
[例3]
判断下列函数的奇偶性.
(1)
f
(
x
)=3cos
x
-1;
(2)
g
(
x
)=
x
sin
x
;
(3)
h
(
x
)=sin(π+
x
)+cos(π-
x
)cos(-
x
)-3.
[思路点拨]
(1)判断函数的定义域是否关于原点对称.
(2)通过判断f
(-
x
)与
f
(
x
)的关系得出结论.
[精解详析] (1)∵
x
∈R,
又
f
(-
x<
br>)=3cos(-
x
)-1=3cos
x
-1=
f
(
x
),
∴
f
(
x
)为偶函数.
(2)∵
x
∈R,
又
g
(-
x
)=(-
x
)sin(-
x
)=
x
sin
x
=
g
(
x
),
∴
g
(
x
)为偶函数.
(3)∵
x
∈R
,
h
(
x
)=sin
x
-cos
x
-3,
又
h
(-
x
)=sin
x
-cos
x-3=
h
(
x
),
∴
h
(
x
)为偶函数.
[一点通]
根据诱导公式可知,正弦函数
f
(
x
)=sin
x
为奇函数,余弦函数
y
=cos
x
为偶函数,正切函数
y
=tan
x
为奇函数.
7.函数
y
=cos(sin
x
)的奇偶性为________.
解析:令
f
(
x
)=cos(sin
x
), <
br>则
f
(-
x
)=cos[sin(-
x
)]=cos
(-sin
x
)
=cos(sin
x
)=
f
(
x
).
∴
f
(
x
)为偶函数.
22
22
33
2
3
答案:偶函数
2cos
x
-sin
x
+π-
8.若函数
f
(x
)=
2
2+2cosπ+
x
+
偶函数;
3
2
-
x
-π
-
x
+1
,(1)求证:
y<
br>=
f
(
x
)是
?
π
?
(2)求f
??
的值.
?
3
?
2cos
x
-sin
x
+2cos
x
+1
解:(1)证明:∵
f
(
x
)=
2
2+2cos
x
+cos
x
2cos
x
--cos
x
+2cos
x
+1
=
2
2+2cos
x
+cos
x
2cos
x
+cos
x
+2cos
x
=
2
2+2cos
x
+cos
x
cos
xx
+cos
x
+
=
2
2cos
x
+cos
x
+2
即
f
(
x
)=cos
x
,
x
∈R.
则
f
(-
x
)=cos(-
x
)=cos
x
=
f
(
x
),
∴
y
=
f
(
x
)是偶函数.
π1
?
π
?
(2)
f
??
=cos =.
32
?
3
?
诱导公式的应用
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是:
任意负角的
用
公式一或二
任意正角的
用公式一
0~2π的角
用公式三或四
锐角三<
br>――→――→――→
三角函数三角函数的三角函数角函数
可以看出,这些步
骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想.可以简单记为“负
化正,大化小,化成锐角再求值”.
2
32
32
32
=cos
x
,
课下能力提升(五)
一、填空题
1.sin 480°的值等于________.
解析:sin
480°=sin(360°+120°)
=sin 120°
=sin(180°-60°)=sin 60°=
答案:
3
2
-α
π+α
π+α
π+α
π+α
=________.
3
.
2
2.化简:
cos α
解析:原式=
=
cos αtan
αsin α
==-1.
-sin α-sin α
答案:-1
13π<
br>3.已知cos(π+α)=-,<α<2π,则sin(2π-α)的值是________.
22
11
解析:由cos(π+α)=-,得cos α=,
22
又
3π3
<α<2π,∴sin α=-,
22
3
.
2
∴sin(2π-α)=-sin
α=
3
2
答案:
12
4.已知cos(508°-α)=
,则cos(212°+α)=________.
13
12
解析:∵cos(508°-α)=,
13
12
∴cos[360°+(148°-α)]=,
13
12
即cos(148°-α)=.
13
∴cos(212°+α)=cos[360°-(148°-α)]
12
=cos(148°-α)=.
13
12
答案:
1
3
5.设函数
f
(
x
)=
a
sin(π
x
+α)+
b
cos(π
x
+β),其中
a
,
b
,α,β都是非零实数,
且满足
f
(2
013)=-1,则
f
(2 014)的值为________.
解析:∵
f
(2 013)=
a
sin(2
013π+α)+
b
cos(2 013π+β)=-1,
∴
f
(2 014)=
a
sin(2
014π+α)+
b
cos(2 014π+β)
=
a
sin[π+(2 013π+α)]+
b
cos[π+(2
013π+β)]
=-[
a
sin(2
013π+α)+
b
cos(2 013π+β)]=1.
答案:1
二、解答题
6.求值:
25π
?
15π
?
;
(1)cos+tan
?
-
4
?
3
??
(2)si
n 420°cos 750°+sin(-690°)cos(-660°).
25ππ1
?
π
?
解:(1)∵cos=cos
?
+8π
?
=
cos=,
332
?
3
?
?
15π
?
=
tan
?
π
+
tan
?
-
??
44
???
-4π
?
=tan
π
=1,
?
4
?
25π
?
15π
?
=
1
+1=
3. ∴cos+tan
?
-
?
4
?
232
?<
br>(2)原式=sin(60°+360°)cos(30°+2×360°)+sin[30°+(-2)
×360°]cos[60°
+(-2)×360°]
=sin 60°cos
30°+sin 30°cos 60°
=
3311
×+×=1.
2222
sin(3π+θ)=
1cosπ+θ
,求
4cos
θ[cosπ+θ
的值.
-1]
+7.已知
cosθ-2π
cos
θ+2πcosπ+θ+cos-θ
1
解:sin(3π+θ)=-sin θ,∴sin
θ=-.
4
原式=
cos θ
=
-cos
θ
+
-cos θ-1cos θ
cos θ
-cos θ+cos
θ
1122
+==
2
=32.
2
1+cos
θ1-cos θ1-cos θsin θ
1
8.已知cos(75°+α)=,其中α为第
三象限角.求cos(105°-α)+sin(α-105°)
3
的值.
解:∵cos(105°-α)=cos[180°-(75°+α)]
1
=-cos(75°+α)=-,
3
sin(α-105
°)=-sin(105°-α)=-sin[180°-(75°+α)]=-sin(75°+α).
1
又cos(75°+α)=>0,α为第三象限角,
3
可知角75°+α为第四象限角,
则有sin(75°+α)=-1-cos
=-
22
?
1
?
2
1-
??
=-.
3
?
3
?
2
+α
12222-1
∴cos(105°-α)+sin(α-105°)=-+=.
333
第4课时 三角函数的诱导公式五~六
<
br>ππ
如图,设角α,-α,+α的终边分别与单位圆交于
P
1
,
P
2
,
P
3
.
22
问题1:若点<
br>P
1
的坐标为(
x
,
y
),那么
P
2
,
P
3
的坐标分别是什么?
提示:
P
2
(
y
,
x
),
P
3
(-
y
,<
br>x
).
ππ
问题2:你能根据
P
1
,
P<
br>2
,
P
3
的坐标间的关系得出α,-α,+α的三角函数之间
22
的关系吗?
ππ
提示:根据三角函数的定义可求出α,-α,+α的三角函数值
,从而可推出它
22
们之间的关系.
诱导公式
角的终边间关系
公式
公式五
角的终边关于
y
=
x
对称
?
π
?
sin
?
-α
?
=cos_α
?
2<
br>?
?
π
?
cos
?
-α
?
=sin
_α
?
2
?
?
π
?
sin
?
+
α
?
=cos_α
?
2
?
?
π
?
cos
?
+α
?
=-sin_α
?
2
?
公式六
ππ
+α的终边与-α的终边关于
y
轴对称
22
诱导公式五~六的巧记方法
π
±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α
的余弦(正弦)函数值,前面加一个把α看
2
成锐角时原函数值的符号,简记为“函数名改变,
符号看象限”或“正变余,余变正,符号
看象限”.
[例1] 化简:
π-α
π-α
π-α
+
?
α
-
7π
?
??
2
??
π+α
?
3π
-α
?
?
2
?
??
?
3π
?
s
in
?
+α
?
?
2
?
.
[思路点拨]
充分利用诱导公式及同角三角函数的基本关系进行化简.
[精解详析]
∵tan(3π-α)=-tan α,
sin(π-α)=sin α,
sin(2π-α)=-sin α,cos(2π+α)=cos α,
sin
?
?
3π
-α
?
=-cos α,
?
?
2
?
7π
???
7π
cos
?
α-
?
=cos
?
-α
2
???
2
?
?
?
π
???
π
?
=c
os
?
4π--α
?
=cos
?
+α
?
=
-sin α,
2
???
2
?
sin
?
?
3π
+α
?
=-cos α,
?
?
2
?
+
-sin α-sin α
-cos
α·cos α
2
-tan α
∴原式=
sin α-cos
α
22
1sinα1-sinαcosα
=-==
2
=1.
222
cosαcosαcosαcosα
[一点通]
(1)本题化简主要采用“异角化同角,导名化同名”的解题策略.
sin
α
22
(2)注意同角三角函数关系的应用,如sinα+cosα=1,tan α=等.
cos α
1.化简sin(π+α)·cos
?
?
3π
+α
?
+sin
?
π
+α
?
·cos(π
+α)=________.
??
2
?
?
2
???
解析:原式=(-sin
α)·sin α+cos α·(-cos α)
=-(sinα+cosα)=-1.
答案:-1
π-α
2.化简:
π-α
sin
α
解析:原式=
-cos α
答案:-tan α
3.已知α为第三象限角,
π
???
3π
sin
?
α-
?
cos
?
+α
2
???
2
f(α)=
-α-π
(1)化简
f
(α);
3π
?1
?
(2)若cos
?
α-
?
=,求
f
(α)的值.
2
?
5
?
π+α
-cos
α
-sin α
π+α
22
?
3π
+α
?
?
2
?
??
=________.
?
5π
-α<
br>?
?
2
?
??
α
=-tan α.
α
?
?
?
π-α
-α-π
.
?
π
-sin
?
-α
?
2
解:(1)
f
(α
)=
?
·cos
?
π+
?
π
+α
??-tan α
???
2
??
?????
π+α
-tan
α
π+α
??
π
??
-cos α·
?
-cos
?
+α
??
??
2
??
=tan α-sin α
=
cos α·sin α
=-cos
α.
-sin α
3π
???
3π
???
π
??
(2)由于cos
?
α-
?
=cos
?
-α
?
=cos
?
π+
?
-α
??
2???
2
???
2
??
1
?
π
?=-cos
?
-α
?
=-sin α=,
5
?
2
?
1
所以sin α=-.
5
又α是第三象限角,
所以cos α=-
1
?
2
26
?
-
1-
??
=-,
5
?
5
?
26
故
f
(α)=-cos
α=.
5
[例2] 若sin α=
5
,求
5
π-α
?
π
???
7π
sin
?
+α
?
?
sin
?
+α
?
2
???
2
cos?
-1
?
??
??
+
sin
?
π+α
?
5π
-α
?
2
?
5π
+α
?<
br>2
?
?
?
?
?
-sin
?
7π+α
??
2
??
?
?
?
的值.
[思路点拨] 可利用诱导公式首先把所求式进行化简,使化简的结果与已知条件sin
α
=
5
建立联系,最后求得数值.
5
[精解详析]
π-α
+
π7π
??????
sin
?
+α??
sin
?
+α
?
-1
?
?
2???
2
??
sin
?
π+α
=
?
5
π
-α
?
2
?
5π
+α
?
2
?<
br>?
?
?
?
-sin
?
7π
+α
??
2
??
+
?
?
?
cos[2π+π-α
π
??
cos α
?
sin
?
3π++α
2
??
?
-1
?
??
??<
br>π+α
=
??
π
??
sin
?
2π+
?
-α
??
??
2
??
?
2π+?
π
+α
??
-sin
?
3π+
?
π
+α
??
??
2
????
2
??
????
????
+
cos α
-cos αcos α+cos
α
-cos α
cos α-cos
α-
=
112
+= .
2
1+cos
α1-cos αsinα
52
,∴
2
=10.
5sinα
∵sin α=
即原式=10.
[一点通]
(1)利用公式五、六化简时一定要注意符号的准确性及名称的变化.
(2)求值时整体把握角与角之间的相互关系及恒等变形,这是常用的解题策略.
?
π
?
1
4.若cos
?
+α
?
=,则s
in(3π-α)=________.
?
2
?
2
11
?
π
?
1
解析:∵cos
?
+α
?
=,∴-
sin α=,即sin α=-.
22
?
2
?
2
1∴sin(3π-α)=sin(π-α)=sin α=-.
2
1
答案:-
2
5.已知
π+θπ+θ
-π-θ
π-θ
?
π?
cos
?
-θ
?
?
2
?
=1,
求
3
的值.
2
sinθ+3sin θ cos
θ+2cosθ
2
解:∵
π+θπ+θ
-π-θ
π-θ<
br>?
π
?
cos
?
-θ
?
?
2
?
π-θ
π+θ
2
=
sin θtan
θ
-sin θ
-sin θtanθ
=
-sin θtan
θ
=tan θ=1.
∴
3
2
sinθ+3sin θ
cos θ+2cosθ
2
22
3sinθ+3cosθ
=
22
sinθ+3sin θcos θ+2cosθ
3tanθ+3
=
2
tanθ+3tan θ+2
=
3+3
=1.
1+3+
2
2
3
?
π
??
5π
??
2π
?
6.已知cos
?
-α
?
=,求cos
?
+α?
+sin
?
-α
?
的值.
?
6
?
3
?
6
??
3
?
解:因为cos<
br>?
?
5π
+α
?
6
?
=cos
?<
br>π-
?
π
-α
??
???
6
??
?????
?
π
?
=-cos
?
-α
?<
br>
?
6
?
=-
sin
?
3
,
3
π
?
?
2π
-α
?
=sin
?
π
+
?
-α
?
??
?
?
?
?
?
3
?
?
2
?
6
?
3
?
π
?
=cos
?
-α
?
=.
?
6
?
3
∴cos
?
[例3] 求证:
π-α-2π-α
3π
??
3π
??
s
in
?
α+
?
cos
?
α+
?
2
??
2
??
π-α
=-tan α.
?
5π
+
α
?
+sin
?
2π
-α
?
=-
3
+
3
=0.
??
3
?
33
?
6
???
[思路点拨]
解答本题可直接把左边利用诱导公式进行化简推出右边.
[精解详析]
左边=
ππ
????????
sin
?
2π-
?
-α
??
·cos
?
2π-
?
-α
??
??
2????
2
??
-sin αα
-α-α-α
=
-tan α
??
π
????
π<
br>??
sin
?
-
?
-α
??
cos
?
-
?
-α
??
??
2
????
2
??
sinα
2
=
?
π
??
π
?
-sin
?
-α
?
cos
?
-α
?
?<
br>2
??
2
?
2
sinαsin α
==-
-cos α·sin αcos α
=-tan α=右边.
∴原等式成立.
[一点通] 利用诱导公式证明等式问题,关键在于公式的灵活运用,其主要思路是利用
诱导公
式化同角后,利用同角三角函数关系进行化简证明,可从左边推得右边,也可从右边
推得左边.
7.已知△
ABC
的三个内角分别为
A
,
B
,
C
,求证:
sin
B
+
C
=cos.
22
A
证明:
∵
A
+
B
+
C
=π,∴
B
+
C<
br>=π-
A
.
∴
B
+
C
π
B
+
C
2
=-
222
=sin
?
A
∴s
in
?
π
-
A
?
=cos
A
.
?
2
?
22
?
π+θ
π+θ
-1
+1
.
-1
3π
??
π
??
2sin<
br>?
θ-
?
cos
?
θ+
?
-1
2<
br>??
2
??
8.求证:=
2
1-2sinπ+θ
?<
br>3π
?
-2sin
?
-θ
?
-sin θ
?
2
?
证明:左边=
2
1-2sinθ
2sin
?<
br>π+
?
=
?
?
?
π
-θ
??
sin θ-1
??
?
2
??
2
1-2sinθ
?
π
?
-2sin
?
-θ
?
sin
θ-1
?
2
?
=
2
1-2sinθ
=
=
=
-2cos θsin
θ-1
222
cosθ+sinθ-2sinθ
θ+cos
θ
22
sinθ-cosθ
sin θ+cos θ
.
sin
θ-cos θ
π+θ
π+θ
+1tan θ+1
=
-1tan
θ-1
2
右边=
=
sin θ+cos θ
.
sin θ-cos θ
∴左边=右边,故原式成立.
1.利用诱导公式解决条件求值问题的基本思路
化简条件三角代数式的常见思路有:
(1)若条件简单,结论复杂,可从化简结论入手,用上条件;
(2)若条件复杂,结论简单,可从化简条件入手,转化出结论的形式;
(3)若条件、结论都比较复杂,可同时化简它们,直到找出它们间的联系为止.
2.利用诱导公式证明三角恒等式
(1)三角函数式证明的过程也是化简的过
程,它是一个经历多次化归,由负角变正角,
由大角变小角,一直变到0°~90°角的过程.对同一角
的化归方式可以多种多样.
(2)证明条件等式,一般有两种方法:一是从被证等式一边推向另一边的
适当时候,将
条件代入,推出被证式的另一边,这种方法称作代入法;二是直接将条件等式变形,变形为
被证的等式,这种方法称作推出法.
课下能力提升(六)
一、填空题
π
??
cos
?
α-
?
2<
br>??
1.化简·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为________.
5
??
sin
?
π+α
?
?
2
?
?
π
?
cos
?
-α
?
?
2
?<
br>解析:原式=
π
?
sin
?
2π++α
2
?
=
sin α
?
π
sin
?
+α
?
2
?
?
?
·(-sin α)·cos(-α)
?
?
?
·(-sin α)·cos α
=
sin
α
·(-sin α)·cos α
cos α
2
=-sinα.
答案:-sinα
2
?
π
sin
?
+θ
?
2
2.已知tan θ=2,则
?
π
sin
?
-
θ
?
2
?
π
sin
?
+θ
?
2<
br>解析:
?
π
sin
?
-θ
?
2
=<
br>?
-π-θ
?
?
?
-sinπ-θ
?
?=________.
?
-
?
?
?
-
??
π-θ
π-θ
cos θ+cos θ
=
cos
θ-sin θ
2cos θ22
===-2.
cos θ-sin θ1-tan
θ1-2
答案:-2
?
π
??
2
?
3.若sin
?
-α
?
=
a
,则cos
?
π-α
?
=________.
?
6
??
3
?
解析:cos
?
?
2π
-α
?
=sin
?
π
-
2π
+α
?
??
2
?3
?
3
???
?
=-sin
?
π
-α
??
6
??
?
=-
a
.
?
?<
br>?
π
=sin
?
-+α
?
6
答案:-
a
?
π
?
4.若
f
(
x
)=
sin
?
x
+α
?
+1,且
f
(2
013)=2,则
f
(2 015)=________.
?
2
?
?
π
?
解析:∵
f
(2
013)=sin
?
×2 013+α
?
+1
?
2
?
π
??
=sin
?
1
006π++α
?
+1
2
??
?
π
?
=
sin
?
+α
?
+1=cos α+1=2,
?
2
?
∴cos α=1.
?
π
?
∴
f
(2
015)=sin
?
×2 015+α
?
+1
?
2
?
π
???
π
?
=sin
?
1
007π++α
?
+1=-sin
?
+α
?
+1
2
???
2
?
=-cos α+1=0.
答案:0
5.
f
(cos
x
)=cos
2
x
,则
f
(sin 15°)的值为________.
解析:∵sin 15°=cos 75°,
∴
f
(sin
15°)=
f
(cos 75°)=cos
150°=-
答案:-
3
2
3
.
2
二、解答题
6.若sin(180°+α)=-
求
10
(0°<α<90°),
10
的值.
-α+-90°-α
-α+cos-270°-α
解:
由sin(180°+α)=-
10
(0°<α<90°),
10
得sin
α=
∴原式=
=
10310
,cos α=,
1010
-sin α-
+180°-α
+α
++α
-sin α-cos α
-cos α+sin α
-
1031
0
-
1010
=
31010
-+
1010
=2.
7.已知sin α
3π
?
sin
?
α+
2
?
是方程5
x
-7
x
-6=0的根,且α
π-α
的值.
2
为第三象限角,求
?
·sin
?
3π
-α
?
·tan
2
π-α
??
2
?
???
?
π
??
π
?
cos
?
-
α
?
·cos
?
+α
?
?
2
??
2
?
3
2
解:∵5
x
-7
x
-6=0的两
根
x
=2或
x
=-,
5
3
∴sin α=-.
5
又∵α为第三象限角,
43
2
∴cos
α=-1-sinα=-.∴tan α=.
54
∴原式=
-cos α-cos
αα
sin α-sin α
2
-tan α
3
=tan
α=.
4
8.已知sin(α+β)=1,求tan(2α+β)+tan β的值.
解:∵sin(α+β)=1,
ππ
∴α+β=+2
k
π,
k
∈Z,即α=2
k
π+-β,
k
∈Z.
22
∴tan(2α+β)+tan β
π
????
=tan?
2
?
2
k
π+-β
?
+β
?
+tan β
2
????
=tan(4
k
π+π-β)+tan
β
=tan(π-β)+tan β
=-tan β+tan β
=0.
第1课时 三角函数的周期性
问题1:今天是周三,66天后的那一天是周几?你是如何推算的?
提
示:66天后的那一天是周六,因为每隔七天,周一到周日依次循环,而66=7×9+3,
所以66天
后的那一天是周六.
问题2:在三角函数中:
(1)终边相同的角的正弦函数值相等,即s
in(
x
+
k
·2π)=sin
x
(
k
∈Z).
(2)终边相同的角的余弦函数值相等,即cos
(
x
+
k
·2π)=cos
x
(
k
∈Z).
上述两个结论说明正弦函数和余弦函数有什么共同性质?
提示:正弦函数和余弦函数都具有周期性.
1.周期函数
对于函数f
(
x
),如果存在一个非零的常数
T
,使得定义域内的每一个
x
值,都满足
f
(
x
+
T
)=
f
(
x
),那么函数
f
(
x
)就叫做周期函数,非零
常数
T
叫做这个函数的周期.
2.最小正周期
(1)定义:对于一个周期
函数
f
(
x
),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么
这
个最小的正数叫做
f
(
x
)的最小正周期.
(2)正弦函数和余弦
函数都是周期函数,2
k
π(
k
∈Z且
k
≠0)都是它们的
周期,它们的最
小正周期都是2π.
(3)正切函数
y
=tan
x
也是周期函数,并且最小正周期是π.
问题:由周期函数的定义可知
y
=sin
x
,
y
=sin 2
x
,
y
=sin 3
x
,
y
=sin,
y
=sin的
23
2π
周期分别为2π,π,,4π,6π.
3
1
你能猜出
y
=sin 4
x
,
y=sin
x
的周期吗?那么
y
=sin
ω
x
(ω>0)的周期又是什么?
4
1π
提示:
y
=sin
4
x
,
y
=sin
x
的周期分别为,8π;
42
xx
y
=sin ω
x
(ω>0)的周期为
2π
.
ω
(1)若函数
y
=
f
(
x
)的周期为
T
,则函数
y
=
Af
(ω
x
+φ)的周期为(其中
A
,ω,φ
|ω|
为常数,且
A<
br>≠0,ω≠0).
(2)函数
y
=
A
sin(ω
x
+φ)及
y
=
A
cos(ω
x
+φ)(其中
A
,ω,φ为常数,且
A
≠0,ω>0)
2π
的周期
T<
br>=.
ω
1.对周期函数与周期定义中的“对定义域内的任意一个
x
”,要特别注意“任意一个”
的要求,如果只是对某些
x
有
f
(
x
+
T
)=
f
(
x
)成立,那么T
就不是函数
f
(
x
)的周期.
πππ
?<
br>ππ
??
ππ
?
例如:sin
?
+
?
=sin,但是sin
?
+
?
≠sin,也就是说,不能对
x在定义
432
?
42
??
32
?
π
?
π
?
域内的每一个值都有sin
?
x
+
?
=sin
x
成立,因此不是函数
y
=sin
x
的周期.
2
?
2
?
2.从等式
f
(
x
+<
br>T
)=
f
(
x
)(
T
≠0)来看,应强调的
是与自变量
x
相加的常数才是周期,
如
f
(2
x
+
T
)=
f
(2
x
),
T
不是最小正周期,
而应写成
f
?
2
?
x
+
??
=
f
(2
x
),则是
f
(
x
)的最小
2
??
2
??
正周期.
3.若
f
(
x
)
是周期函数,则其图象平移周期的整数倍后,一定与原图象完全重合,即周
期函数的周期不唯一.
T
??
T
??
T
[例1] 求下列函数的最小正周期.
?
x
π
?
(1)
f
(
x
)=2sin
?
+
?
;
?
33
?
π
??
(2)
f
(
x
)
=2cos
?
-3
x
+
?
;
4
??1
?
1π
?
(3)
f
(
x
)=sin
?
x
+
?
;
3
?
4
?
2
π
??
(4)
f
(
x
)=-2cos
?
2
ax
+
?
(
a
≠0).
4
??
[思路点拨] 直接利用周期公式求解.
2π
[精解详析]
(1)
T
==6π,∴最小正周期为6π.
1
3
2π22π
(2)
T
==π,∴最小正周期为.
|-3|33
2π
(3)
T
==4π,∴最小正周期为4π.
1
2
2πππ
(4)
T
==,∴最小正周期为.
|2
a
||
a
||
a
|
[一点通] 利用
公式求
y
=
A
sin(ω
x
+φ)或
y
=
A
cos(ω
x
+φ)的最小正周期时,要注
2ππ
意ω的
正负,公式可记为
T
=;函数
y
=
A
tan(ω
x
+φ)的最小正周期为
T
=.
|ω||ω|
?
x
π
?
1.函数
f
(
x
)=3sin
?<
br>-
?
的最小正周期为________.
?
24
?
2π
解析:
T
==4π.
1
2
答案:4π
π
??
2.函数
f
(<
br>x
)=tan
?
-3
x
+
?
的最小正周期为
________.
6
??
ππ
解析:
T
==.
|-3|3
π
答案:
3
π
?
π<
br>?
3若
f
(
x
)=-5sin
?
kx
-
?
的最小正周期为,求
k
.
3
?
5
?
2ππ
解:由
T
==.∴|
k
|=10,∴
k<
br>=±10.
|
k
|5
π
?
π
??
5π
?
[例2] 若
f(
x
)是以为周期的奇函数,且
f
??
=1,求
f?
-
?
.
2
?
3
??
6
?
5π
[思路点拨]
利用奇偶性、周期性将-转化可求.
6
π
??
5π
??
5π
??
[精解详析]
f
?
-
?
=-
f
??
=-
f?
π-
?
6
??
6
??
6
??
?
ππ
??
π
??
ππ
?
=-
f
?
2×-
?
=
f
??
=
f
?
-
?
26
??
6
??
23
??
?
π
?
=-
f
??
=-1.
?
3
?
[一点通] 函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题,一般在
条件中,周期性起
到变量值转化作用,也就是将所求函数值转化为已知求解.
4.
设
f
(
x
)是定义在R上的以4为周期的奇函数,且
f
(1
)=-1,则
f
(2 015)=________.
解析:∵
f
(
x
)的周期为4,
f
(
x
)为奇函数,且
f(1)=-1.
∴
f
(2 015)=
f
(4×504-1)
=
f
(-1)=-
f
(1)=-(-1)=1.
答案:1
5.若
f
(
x
)是R上周期为5的奇函数,且满足
f
(1
)=1,
f
(2)=2,则
f
(3)-
f
(4)=
________.
解析:由于
f
(
x
)的周期为5,
所以
f
(3)-
f
(4)=
f
(-2)-
f
(-1).
又
f
(
x
)为R上的奇函数,
∴
f
(-2)-
f
(-1)=-
f
(2)+
f
(1)
=-2+1=-1.
答案:-1
6.已知
f
(
x
)在R
上是奇函数,且满足
f
(
x
+4)=
f
(
x
),当
x
∈(0,2)时,
f
(
x
)=2
x,求
2
f
(7)的值.
解:∵
f
(
x
+4)=
f
(
x
),∴
f
(
x
)是周期
为4的函数,
∴
f
(7)=
f
(2×4-1)=
f
(-1),
又∵
f
(
x
)在R上是奇函数,∴
f
(-
x
)=-
f
(
x
),
∴
f
(-1)=-
f
(1),而当
x
∈(0,2)时,
f
(
x
)=2
x
,
2
∴
f
(1)=2×1=2
,∴
f
(7)=
f
(-1)=-
f
(1)=-2.
1.求三角函数的周期的常用方法
正弦函数和余弦函数的周期性实质是由终边相同
的角所具有的周期性决定的.求三角函
数的周期的常用方法有:
(1)公式法:对形如函数<
br>y
=
A
sin(ω
x
+φ)及
y
=
A
cos(ω
x
+φ)(
A
,ω,φ为常数,
A
≠
0,
ω>0)的周期直接用公式
T
=
2π
求解;
ω
2
(2)定义法:用周期函数的定义求解;
(3)图象法:周期函数的图
象总是周而复始地重复同一个形状,因而观察图象是不是周
期性的循环也是判断周期性的常用方法.
2.周期函数的一些常见结论
由周期函数的定义“函数
f
(
x)满足
f
(
x
)=
f
(
a
+
x
)(
a
>0),则
f
(
x
)是周期为
a
的周期函
数”得:
(1)若函数
f
(
x
)满足-
f
(
x
)=
f
(
a
+
x
),则
T
=2
a
;
(2)若
f
(
x+
a
)=
(3)若
f
(
x
+
a
)=
1
fx
(
f
(
x
)≠0)恒成立,则
T
=2
a
;
fx
+1
(
f
(
x
)≠1),则
T
=2
a
.
fx
-1
课下能力提升(七)
一、填空题
?
π<
br>?
1.函数
y
=2sin
?
-2
x
?
的最小正周期为________.
?
4
?
2π
解析:
T
==π.
|-2|
答案:π
π
??
2.函数
y
=tan<
br>?
3
x
-
?
的最小正周期为________.
4
??
π
解析:
T
=.
3
π
答案:
3
?
k
π
?
3.函
数
y
=cos
?
x
+
?
(
k
>0
)的最小正周期不大于2,则正整数
k
的最小值应是________.
3
??
4
2π8π
解析:∵
T
==≤2,∴
k
≥4π
,∴
k
min
=13.
k
4
k
答案:13 π
??
4.已知函数
f
(
x
)=sin
?π
x
-
?
-1,则下列命题正确的是________.
2
??
①
f
(
x
)是周期为1的函数
②
f
(
x
)是周期为2的函数
1
③
f
(
x
)是周期为的函数
2
④
f
(
x
)是周期为π的函数
π
??
解析:
f
(
x
)=sin
?
π
x
-
?
-1=-cos π
x
-1,
2
??
2π
∴
f
(
x
)的周期为=2.
π
答案:②
5.已知定义在R上的奇函数
f
(
x
)满足
f
(
x
+2)=-
f
(
x
),则<
br>f
(6)的值为________.
解析:∵
f
(
x
)是定义在R上的奇函数,
∴
f
(0)=0.
又
f
(
x
+4)=<
br>f
[(
x
+2)+2]=-
f
(
x
+2)=
f
(
x
),
∴函数
f
(
x
)是周期为4的周期函数,
∴
f
(6)=
f
(2).
由
f
(2)=-
f
(0)=0,得
f
(6)=0.
答案:0
二、解答题
6.求下列函数的最小正周期.
?
π1<
br>?
(1)
f
(
x
)=-2sin
?
-
x
?
;
?
36
?
π
??
(2)
f
(
x
)=3cos
?
mx
+
?
(m
≠0).
6
??
解:(1)
T
=<
br>2π
=12π,
?
-
1
?
?
6
?
??
?
π1
?
即函数
f
(
x
)=
2sin
?
-
x
?
的最小正周期为12π.
?
36
?
2π
(2)
T
=,
|
m
|
π
?
2π
?
即函数
f
(
x<
br>)=3cos
?
mx
+
?
(
m
≠0)的最小
正周期为.
6
?
|
m
|
?
7.已知函数
f
(
n
)=sin
解:由诱导公式知sin
?
∴
f
(
n
+12)=
f
(
n
),
且
f
(1)+
f
(2)+
f
(3)+…+
f
(12)
=0,102=12×8+6,
∴
f
(1)+
f
(2)+
f
(3)+…+
f
(102)
=
f
(1)+
f<
br>(2)+
f
(3)+…+
f
(6)
π2π6π
=sin+sin+…+sin
666
=2+3.
8
.若单摆中小球相对静止位置的位移
x
(cm)随时间
t
(s)的变化而周期
性变化,如下图
所示,请回答下列问题:
n
π
6
(
n∈Z),求
f
(1)+
f
(2)+
f
(3)+…+f
(102).
?
n
+12
π
?
=sin<
br>?
n
π
+2π
?
=sin
n
π
,
??
6
?
6
?
6
???
(1)单摆运动的周期是多少?
(2)从
O
点算起,到曲线上的哪一点表示
完成了一次往复运动?如从
A
点算起呢?
(3)当
t
=11
s时,单摆小球相对于静止位置的位移是多少?
解:(1)从图象可以看出,单摆运动的周期是0.4
s.
(2)若从
O
点算起,到曲线上的
D
点表示完成了一次往复运
动;若从
A
点算起,到曲线
上的
E
点表示完成了一次往复运动.
(3)11=0.2+0.4×27,所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm.
第2课时 三角函数的图象与性质
问题1:作函数图象的基本步骤是什么?
提示:列表、描点、连线.
问题2:正弦函数值与正弦线有关系吗?
提示:有关系,正弦函数值可以用正弦线表示. <
br>问题3:若在直角坐标系的
x
轴上取一点
O
1
,以
O
1
为圆心,单位长为半径作圆,从⊙
O
1
π
与
x<
br>轴的交点
A
起,把⊙
O
1
分成12等份,过⊙
O1
上各分点作
x
轴的垂线,得到对应于0,,
6
ππ
,
,…,2π等角的正弦线.相应地,再把
x
轴上从0到2π这一段分成12等份,把
3
2
角
x
的正弦线向右平移,使它的起点与
x
轴上的点
x重合,再把这些正弦线的终点用光滑的
曲线连接起来,如图,所得函数图象是什么图象?
提示:函数
y
=sin
x
,
x
∈[0,2π]的图象.
问题4:由此你能作出
y
=sin
x
,
x
∈R的图象吗?
提示:能.因sin(
x
+2
k
π)=sin
x
(
k
∈Z),这样只要将函数
y
=sin
x<
br>,
x
∈[0,2π]
的图象向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度),
可得
y
=sin
x
,
x
∈R的图象.
1.正弦曲线
正弦函数的图象叫做正弦曲线.如图:
2.正弦曲线的作法
(1)几何法——借助三角函数线;
(2)描点法——五点法.
用“五点法”画正弦曲线在[0,2π]上的图象时所取的五个关
键点为(0,0),
?
(π,0),
?
?
π
,1
?
,
?
?
2
?
?
3π
,-1
?,(2π,0).
?
?
2
?
?
π
?
由于cos
x
=sin
?
x+
?
,
x
∈R.想一想,你能通过
y
=sin
x
,
x
∈R的图象变换得到
y
2
??
=cos
x
,
x
∈R的图象吗?
π
提示:能.只要把
y
=sin
x
,
x
∈R的图象向左平移个单位即可.
2
1.余弦曲线
余弦函数的图象叫做余弦曲线.如图所示:
2.余弦曲线的画法
π
(1)要得到
y
=cos
x
的图象,只需把
y
=sin
x
的图象向左平移个单位长度便可,这
2
π
是由于cos
x
=sin(
x
+).
2
(2)用“五点法”画出余弦曲线
y
=cos
x
在[0
,2π]上的图象时所取的五个关键点分别
?
π
??
3π
,0
?
,(2π,1). 为:(0,1),
?
,0
?
,(π,-1)
,
??
?
2
??
2
?
1.正弦曲线、余弦曲线的作法
(1)正弦、余弦函数图象的几何作法.
作图时,
函数自变量要用弧度制.这样自变量与函数值均为实数,因此在
x
轴、
y
轴上
可以统一单位,作出图象正规、准确,但较繁琐.
(2)五点法:在要求不太高的情况下,可用五点法作出,
?
π??
3π
?
对
y
=sin
x
取(0,0)、
?
,1
?
、(π,0)、
?
,-1
?
、(
2π,0);
?
2
??
2
?
?
π
??<
br>3π
?
对
y
=cos
x
取(0,1)、
?
,0
?
、(π,-1)、
?
,0
?
、(2π,1)
.
?
2
??
2
?
然后用平滑曲线将它们连接起来,就得到
[0,2π]内的简图.
2.正弦曲线、余弦曲线的对称性
正弦曲线是中心对称图形,其所
有的对称中心坐标为(
k
π,0)(
k
∈Z),正弦曲线也是轴
π<
br>对称图形,其所有的对称轴方程是
x
=
k
π+(
k
∈
Z).
2
π
??
余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标为
?
k
π+,0
?
(
k
∈Z),余弦曲线也
2??
是轴对称图形,其所有的对称轴方程是
x
=
k
π(
k
∈Z).
[例1]
用“五点法”作出下列函数的简图:
?
π
?
(1)
y
=-sin
x
;(2)
y
=sin
?
x
-
?
.
3
??
[思路点拨] 取五个关键点利用列表、描点、连线的作法即可画出简图.
[精解详析] (1)列表:
x
sin
x
-sin
x
0
0
0
π
2
1
-1
π
0
0
3π
2
-1
1
2π
0
0
描点画图,然后由周期性得整个图象,如图所示:
(2)列表:
x
π
3
5π
6
4π
3
11π
6
7π
3
x
-
y
=sin
?
x
-
?
3
π
3
0
0
π
2
1
π
0
3π
2
-1
2π
0
?
?
π
?
?
π
描点、连线得
y
=sin(
x
-)在一个周期内的图象,然后由周期性得整个图象,如图所
3
示:
[一点通] 画函数的图象一般先根据函数的解析式判断函数的特点,再采用
列表描点的
方法进行画图.根据与其有关的已知曲线的特点列出关键的五个点,再描点连线即可.用“五
点法”作图要注意画出一个周期的图象后,再利用周期性作平移才能得到整个函数图象.
1.作出函数
y
=|sin
x
|的图象.
解:由
y
=|sin
x
|,
?
k
∈Z,
?
sin
x
, 2
kπ≤
x
≤2
k
π+π
得
y
=
?
?
k
∈Z
?
-sin
x
,
2
k
π+π<
x
≤2
k
π+2π
(
k
∈Z).
其图象如图所示,
2.作出函数
y
=sin|
x
|的图象.
?
?
sin
x
,
x
≥0.
解:y
=sin|
x
|=
?
?
?
-sin
x
,
x
<0,
其图象如图所示,
3.用“五点法”作函数
y
=1-cos
x
(0≤
x
≤2π)的简图.
解:列表:
x
cos
x
1-cos
x
0
1
0
π
2
0
1
π
-1
2
3π
2
0
1
2π
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来,如图所示:
1
[例2] 求方程sin
x
=在区间[-π,π]内的解的个数.
x
1
[思路点拨] 利用数形结合,画出两个函数
y
=sin
x
和
y
=在[-π,π]
内的图象,
x
两图象交点的个数即为方程解的个数.
[精解详析]
根据条件只需在同一直角坐标系中画出
y
=sin
x
与
y
1
=在区间[-π,π]上的图象.如图,根据图象可知,两个函数图象有
x
4个交点
,即方程有4个实根.
[一点通] 本题如果没有范围限制就还需要继续补充图象,由正弦函数图象的
无限延续
及反比例函数无限接近于
x
轴与
y
轴的特点可知,方程应有
无数个解.不管有没有范围限制,
我们在解决这一类问题时都不可能画出全部图象,而是画出一部分图象
,根据图象的趋势判
断解的个数.
4.求方程
x
=cos
x
的实数解的个数.
解:作函数
y
=cos
x
与
y
=
x
的图象如图所示,由图象可知原方程有
两个实数解.
5.判断方程-cos
x
=0的根的个数.
4
解:设
f
(
x
)
=,
g
(
x
)=cos
x
,在同一直角坐标系中画出f
(
x
)与
g
(
x
)的图象,如图所
4
示.
2
2
x
x
由图象可知,
f(
x
)与
g
(
x
)的图象有三个交点,
故方程-cos
x
=0有三个根.
4
13
[例3] 利用正弦曲线,求满足<sin
x
≤的
x
的集合.
22
[思路点拨]
作出正弦函数
y
=sin
x
在一个周期内的图象,然后借助图象求解.
[精解详析] 首先作出
y
=sin
x
在[0,2π]上的图象,如图所示,
x
1
作直线<
br>y
=,根据特殊角的正弦值,可知该直线与
y
=sin
x
,
x
∈[0,2π]的交点横坐
2
π5π3π2π
标为和;作直线y
=,该直线与
y
=sin
x
,
x
∈[0,
2π]的交点横坐标为和.观
66233
ππ2π5π13
察图象可知,在[0,2π
]上,当<
x
≤,或≤
x
<时,不等式<sin
x
≤成立.
633622
13
所以<sin
x
≤的解集为
22
?
?
π
?
π2π5π
?
x
?
+2
k
π<
x
≤+2
k<
br>π或+2
k
π≤
x
<+2
k
π,
k
∈Z
?
336
?
?
6
?
.
[一点通] 利用正弦曲线、余弦曲线解三角不等式的一般步骤为:
(1)画出正弦函数
y
=sin
x
或余弦函数
y
=cos
x
在[0,2π]上的图象;
(2)写出适合不等式的在区间[0,2π]上的解集;
(3)把此解集推广到整个定义域上去.
1
6.求满足cos
x
≤的
x
集合.
2
解:作出余弦函数
y
=cos
x
,
x
∈[0,2π]的图象,如图.
5π
?
π
?
由
图形可以得到,满足条件的
x
的集合为
?
+2
k
π,+2<
br>k
π
?
3
?
3
?
(
k
∈Z
).
?
π
?
1
7.求满足sin
?
x
+
?
≤的
x
的范围.
4
?
2
?
π
1
解:令
z
=
x
+,sin
z
≤,在同一直角坐标系中作出
42
y
=sin
z
,
z
∈
?
-
?
3π
,
π
?
与直线
y
=
1
的图象,
?
2
?
2
?
2
?
3ππ
?
如图所示,然后观察图象可知,在
?
-,
?
内适合
2
??
2
1
?
7ππ
?
sin
z
≤的
z
∈
?
-,
?
,
6?
2
?
6
π
?
7π
?
故当
z
∈
?
-+2
k
π,+2
k
π
?
,
k
∈
Z
,
6
?
6
?
7πππ<
br>即-+2
k
π≤
x
+≤+2
k
π,
k
∈Z时,
646
?
π
?
1
sin
?
x
+
?
≤成立.
4
?
2
?
∴
17
ππ
+2
k
π≤
x
≤-+2
k
π,
k∈
Z
.
1212
?
π
?
1
即满足s
in
?
x
+
?
≤的
x
的范围为
4
?
2
?
x
∈
?
-
?
17π
+2
k
π,-
π
+2
k
π
?
,
k∈
Z
.
?
12
?
12
?
1.“五点法”作图
(1)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,作图的实质是选取函数
的一个周期,将
其四等分(即取五个点),分别找到函数图象的最高点、最低点及“平衡点”.这五个点
大致
确定了函数图象的位置与形状,因此可以画出函数的简图.
(2)由于“五点法”作图时
,精确度较差,因此画图之前要做到心中有图,明确正弦曲
线的变化趋势和规律.正弦函数的图象是“波
浪状”,在连线时一定要注意这一点,不要画
成“折线”.
2.利用三角函数图象解简单的三角不等式
利用正弦函数的图象解sin
x
>
a
的方法
(1)作出直线
y
=
a
和正弦函数
y
=sin
x
的图象;
(2)在一个周期内确定sin
x
=
a
的
x
值;
(3)确定sin
x
>
a
的解集.
课下能力提升(八)
一、填空题
1.已知sin
x
=
m
-1且
x
∈R,则
m
的取值范围是________.
解析:由
y
=sin
x
,
x
∈R的图象知,
-1≤sin
x
≤1,
即-1≤
m
-1≤1,所以0≤
m
≤2.
答案:0≤
m
≤2
2.函数
y
=
1
logsin
x
的定义域是________.
2
1
?
?
logsin
x
≥0,
解析:
由题意可得,
?
2
?
?
sin
x
>0,
?
?
sin
x
≤1,
即
?
?
sin
x
>0,
?
∴0<sin
x
≤1,
由正弦函数图象可得{
x
|2
k
π<<
br>x
<(2
k
+1)π,
k
∈Z}.
答案:{
x
|2
k
π<
x
<(2
k
+1)π,
k
∈Z}
3.方程sin
x
=lg
x
的解有________个.
解析:如图所示,
y
=sin
x
与
y
=lg
x
的图象有3个交点,故方程有3个解.
答案:3
4.已知
y
=cos
x
(0≤x
≤2π)的图象和直线
y
=1围成一个封闭的平面图形,则该图形
的面
积为________.
1
解析:
S
=2×2π×=2π.
2
答案:2π
5.若cos
x
≥
2
,则
x
的取值范围为________.
2
2
时,
2
π
4
解析:当cos
x<
br>=
π
4
x
=+2
k
π或
x
=-+2
k
π,
k
∈Z.
借助余弦曲线可知,
x
的取值范围为
?
?
?
ππ
?
x
?
2
k
π-≤
x
≤2
kπ+,
k
∈Z
?
44
?
?
?
.
?
?
?
ππ
答案:
?
x
?<
br>2
k
π-≤
x
≤2
k
π+,
k
∈Z
?
44
?
?
?
二、解答题
6.用五点法在同一坐标系中作出下列函数一个周期上的简图:
(1)
y
=sin
x
;
(2)
y
=2sin
x
;
(3)
y
=2sin.
2
解:(1)(2)五点选取列表如下,图象如下图:
x
x
y
=sin
x
y
=2sin
x
0
0
0
π
2
1
2
π
0
0
3π
2
-1
-2
2π
0
0
(3)五点选取列表如下,图象如下图:
x
x
2
0
0
0
π
π
2
2
2π
π
0
3π
3π
2
-2
4π
2π
0
x
y
=2sin
2
7.设sin
θ>cos θ,θ∈[0,2π],借助正弦曲线和余弦曲线求θ的取值范围.
解:作出正弦函数
y
=sin
x
和余弦函数
y
=cos
x
在一个周期[0,2π]上的
图象如图所
?
π5π
?
示,由图象可知:满足不等式sin
θ>cos θ的θ的范围是
?
,
?
.
4
??
4
8.函数
f
(
x
)=sin
x
+2|sin <
br>x
|,
x
∈[0,2π]的图象与直线
y
=
k
有且仅有两个不同的
交点,求
k
的取值范围.
?
?
3sin
x
,
x
∈[0,π],
解
:
f
(
x
)=sin
x
+2|sin
x
|=
?
?
-sin
x
,
x
∈π,2π],
?
如下图,则
k
的取值范围是(1,3).
第3课时
正、余弦函数的图象与性质
观察分析正弦函数图象如图.
问题1:你能说出正弦函数
y
=sin
x
的定义域、值域、周期性及奇偶性吗?
提示:能.定义域为R,值域为[-1,1],最小正周期为2π,是奇函数.
问题2:你能写出正弦函数
y
=sin
x
,
x
∈R的单调区间吗?
π3π
?
π
??
π
?
提示:能.在
?
-+2
k
π,+2
k
π
?
(
k
∈Z)上为增函数,在
?
+2
k
π,+2
k
π
?
(
k
22
?
2
??
2
?
∈Z)上为减函数.
正、余弦函数的性质
函数名称
图象与性质
性质分类
y
=sin
x y
=cos
x
图象
定义域
相同处
值域
周期性
奇偶性
R
[-1,1]
2π
奇函数
ππ
??
在
?
2
k
π-,2
k
π+
?
(
k
22
?
?
单调性
∈Z)上递增;
π3
??
在
?
2
k
π+,2
k
π+π
?
(
k
22??
∈Z)上递减
R
[-1,1]
2π
偶函数
在[2
k
π-π,2
k
π](
k
∈Z)上递增;
在[2
k
π,2
k
π+π](
k
∈
Z)上递减
不同处
x
=2
k
π+(
k
∈Z)时,
y
max
=
最值
1;
π
2
x
=2
k
π(
k
∈Z)时,
y
max
=
1;
x
=2
k
π+π(
k
∈Z
)
时,
y
min
=-1
x
=2
k
π-(
k
∈Z)时,
y
min
=
-1
π
2
π
?
π
?
1.正弦函数在
?
-+2
k
π,+2
k
π
?
(
k
∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在
2
?
2
?
每一个区间
?
?
π
+2
k
π,
3π
+2
k<
br>π
?
(
k
∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1;类似地,余?
2
?
2
?
弦函数在区间[2
k
π-π,2<
br>k
π](
k
∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个区间
[2
k
π,2
k
π+π](
k
∈Z)上都是减函数,其值从
1减小到-1.
?
π
?
2.正弦函数在区间
?
0,
?
上是增函数,但不能说正弦函数在第一象限内是增函数.例
2
??
ππ1
3
如
x
1
=+2π,
x
2
=,都是第一象限角,而
sin
x
1
=,sin
x
2
=,从而有
x1
>
x
2
,sin
6322
x
1
2
,这不符合增函数定
义.所以正弦函数、余弦函数的单调性,只能针对区间而言,
不能针对象限而言.
3.正、余弦函数都不是单调函数,但是它们有无数个单调区间,利用其单调性,可以
比较同一个单
调区间内两个角的同名三角函数值的大小.
[例1]
求下列函数的单调区间:
?
π
?
(1)
y
=sin
?
x
-
?
;
3
??
(2)
y
=cos 2
x
.
[思路点拨] 可依据
y
=sin
x
(
x
∈R)和
y
=cos
x
(
x
∈R)的单调区间.
[精解详析]
(1)令
u
=
x
-
π
,函数
y
=sin
u
的递增、递减区间分别为
3
?
2
k
π-
π
,2
k
π+
π
?
(
k
∈Z),
?
2
k
π+
π
??
22
?
2
??
?
,
3π
2
k
π+
?
(
k
∈Z).
2
?
?
?
π
?
∴
y
=sin
?<
br>x
-
?
的递增、递减区间分别由下面的不等式确定:
3
??
πππ
2
k
π-≤
x
-≤2
k
π+,k
∈Z,
232
ππ3π
2
k
π+≤
x-≤2
k
π+,
k
∈Z,
232
π5π
得2
k
π-≤
x
≤2
k
π+,
k
∈Z, 66
5π11π
2
k
π+≤
x
≤2
k
π+,
k
∈Z.
66
π5π
??
π
??
∴函数
y
=sin
?
x
-
?
的递增区间、递减区间
分别是
?
2
k
π-,2
k
π+
?
(
k
∈Z)、
3
?
66
???
?
2
kπ+
5π
,2
k
π+
11π
?
(
k<
br>∈Z).
?
66
?
??
(2)函数
y
=c
os2
x
的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定:
2
k<
br>π-π≤2
x
≤2
k
π,
k
∈Z,2
kπ≤2
x
≤2
k
π+π,
k
∈Z.
<
br>ππ
∴
k
π-≤
x
≤
k
π,
k∈Z,
k
π≤
x
≤
k
π+,
k
∈Z.
22
π
??
∴函数
y
=cos2
x
的单调
递增区间、单调递减区间分别为
?
k
π-,
k
π
?
(
k
∈Z)、
2
??
?
k
π,
k
π+
π
?
(
k
∈Z).
??
2
??
[一点通] 求形如
y
=
A
s
in(ω
x
+φ)(其中
A
≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法来解答,列不等式的原则是:①把“ω
x
+φ”视为一个“整体”(若ω<
0,
可利用三角函数的诱导公式化
x
系数为正);②根据
A
的符号选
取
y
=sin
x
的单调区间.
π
??
1.函数
y
=cos
?
2
x
-
?
的单调
递减区间是________.
3
??
ππ4π
解析:2
k
π≤2
x
-≤2
k
π+π,2
k
π+≤2
x≤2
k
π+,
333
k
π+≤
x
≤
k
π+
π
6
4π
,
k
∈Z.
3
π2π
??
即递减区间是
?
k
π+,
k
π+
?
(
k
∈Z).
63
??
π2π
??
答案:
?
k
π+,
k
π+
?
(
k
∈Z)
63
??
?
π
?
2.求函数
y
=
2sin
?
-
x
?
的单调递增区间.
?
4
?
?
π
??
π
?
解:
y
=2sin?
-
x
?
=-2sin
?
x
-
?,
4
??
4
??
π
令
z
=
x
-,则
y
=-2sin
z
.
4
∴要求
y
=-2sin
z
的单调递增区间,即求
y
=sin
z
的单调递减区间.
π3π
即2
k
π+≤
z
≤2
k
π+(k
∈Z).
22
ππ3π
∴2
k
π+≤
x<
br>-≤2
k
π+(
k
∈Z),
242
3π7π
即2
k
π+≤
x
≤2
k
π+(
k
∈Z)
,
44
∴函数
y
=2sin
?
?
π
-<
br>x
?
的递增区间为
?
?
4
?
?
2
k
π+
3π
,2
k
π+
7π
?
(
k
∈Z).
?
44
?
??
[例2] 比较下列各组三角函数值的大小:
15π14π
(1)sin 250°与sin 260°; (2)cos与cos;
89
(3)sin 11°,cos 10°,sin 168°.
π3π
[思路点拨] (1)250°和260°在函数
y
=sin
x
的单调递减区间[,]内,可比较
22
大小;
(2)利用诱导公式将已知角转化为
y
=cos
x
同一单调区间内,然后比较大小;
(3)先转化为同名三角函数再比较大小.
?
π3π
?
[精解详析] (1)∵函数
y
=sin x
在
?
,
?
上单调递减,且90°<250°<260°<27
0°,
2
??
2
∴sin 250°>sin 260°.
π?
15ππ
?
(2)cos=cos
?
2π-
?
=cos,
8
?
88
?
4π
?
14π4π?
cos=cos
?
2π-
?
=cos.
9
?
99
?
∵函数
y
=cos
x
在[0,π]上单调递减,
π4ππ4π
且0<<<π,∴cos>cos,
8989
15π14π
∴cos>cos.
89
(3)sin
168°=sin(180°-12°)=sin 12°,
cos
10°=sin(90°-10°)=sin 80°.
又因为
y
=sin
x
在
x
∈[0,
π
]上是增函数,
2
所以sin 11°
把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数,以便运用函数的单调性
进行比较.
3.比较下列各组数的大小.
75
(1)sin
2016°和cos 160°;(2)sin和cos.
43
解:(1)sin 2
016°=sin(360°×5+216°)=sin 216°=
sin(180°+36°)=-sin 36°.
cos
160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°.
∵sin 36°<sin 70°,∴-sin 36°>-sin 70°,
即sin 2 016°>cos 160°.
5π7π53π
?
π5?
(2)cos=sin
?
+
?
,又<<+<,
324232
?
23
?
?
y
=sin
x
在
?
,
π
?
2
3π
?
上是减函数
,
2
?
?
75
?
π5
?
∴sin>si
n
?
+
?
=cos,
43
?
23
?
75
即sin>cos.
43
4.若△
ABC
是锐角三角形,试比较sin
A
与cos
B
的大小.
πππ
解:因为△
AB
C
是锐角三角形,
A
+
B
=π-
C
,且0<
C
<,所以
A
+
B
>,所以0<-
222
B<
A
<,
π
2
?
π
?
所以sin<
br>?
-
B
?
,即cos
B
.
?
2
?
?
3
π
??
3π
?
5.比较sin
?
sin
?
和sin
?
cos
?
的大小.
8
?
8
?
??
3ππ3π3ππ
解:∵cos=sin,∴0<cos<sin<1<.
88882
?
π
?
而
y
=sin
x
在
?
0,
?
内递增,
2
??
?
3π
??
3π
?
∴sin
?
cos
?<
br><sin
?
sin
?
.
8
?
8
???
[例3]
求下列函数的最大值和最小值,并写出取得最值时的
x
取值集合.
(1)
y
=
1
1-sin
x
;
2<
br>π
??
(2)
y
=3+2sin
?
2
x+
?
;
3
??
(3)
y
=2cos
x
+5sin
x
-4.
1
[思路点拨] 解答本题中的(1)可先根据sin
x
的范围,求出1-sin
x
的范围.解答
2
π
?
π
?
本题中的(2)可由2
x
+∈R,得到sin
?2
x
+
?
的范围.解答本题中的(3)可先减少函数名,
3?
3
?
即利用sin
x
+cos
x
=1消去c
os
x
便可转化成关于sin
x
的二次函数问题.
222
2
1
?
?
1-sin
x
≥0,
[精解详析]
(1)∵
?
2
?
?
-1≤sin
x
≤1,
∴-1≤sin
x
≤1.
∴当sin
x
=-1时,
y
max
=
此时
x
的取值集合为
?
?
?
π
?
x
?
x
=-+2k
π,
k
∈Z
?
2
?
?
?
6
,
2
;
当sin
x
=1时,
y
min
=
2
,
2
?
?
?
π
此时
x
的取值集合为
?
x
?
x
=+2
k
π,
k
∈Z
?
2
?
?
?
.
π
??
(2)∵-1≤sin
?
2
x
+
?
≤1,
3
??
π
??
∴当sin
?
2
x
+
?
=1时,
y<
br>max
=5,
3
??
πππ
此时2
x
+=
+2
k
π(
k
∈Z),即
x
=+
k
π(<
br>k
∈Z),
3212
?
?
?
π
故
x
的取值集合为
?
x
?
x
=+
k
π,k
∈Z
?
12
?
?
?
.
π
??
当sin
?
2
x
+
?
=-1时,<
br>y
min
=1,
3
??
ππ5π
此时2
x
+=-+2
k
π(
k
∈Z),即
x
=-+
k
π,
3212
?
?
?
5π
故
x
的取值集合为
?
x
?
x
=-+
k
π,
k
∈Z
?
12
?
?
?
22
.
(3)
y
=2cos
x
+5sin
x
-4=-2sin
x
+5sin
x
-2
5
?
2
9
?
=-2
?
sin
x
-
?
+.
4
?
8
?
π
∵sin
x
∈[-1,1],∴当sin
x
=-1,即
x
=-+2
k
π(
k
∈Z)时,
y
有最小值-9,
2
?
?
?
π
此时
x
的取值集合为
?
x?
x
=-+2
k
π,
k
∈Z
?
2?
?
?
;
当sin
x
=1,即
x
=
π
+2
k
π(
k
∈Z)时,
y
有最大值1,此时
x
的取值集合为
2
?
?
?
π
?
x
?
x
=+2
k
π,
k<
br>∈Z
?
2
?
?
?
.
[一点通]
(1)求有关
y
=
A
sin(ω
x
+φ)+
b,
x
∈R的最值或值域这类题目的关键在于
充分利用好正弦函数
y
=sin
x
的有界性,即|sin
x
|≤1.
(2)形如<
br>y
=
p
sin
x
+
q
sin
x<
br>+
r
(
p
≠0)形式的三角函数最值问题常利用二次函数的思想
转化成在给定区间[
m
,
n
]上求二次函数最值的问题,解答时依然采用数
形结合的思想加以分
析,必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题.
2π
??
π
??
π
6.函数
y
=2cos
?
x
-
??
≤
x
≤
?
的最小值是________.
3
??
63
??
π2ππππ解析:由≤
x
≤,得-≤
x
-≤,
63633
ππ<
br>所以
y
=2cos(
x
-)在
x
=时有最大值2,
33
2π
在
x
=时有最小值1.
3
答案:1
7.求函数
y
=cos
x
-4cos
x
+5的值域.
解:
y
=cos
x
-4cos
x
+5=(cos
x
-2)+1.
∵-1≤cos
x
≤1,
∴当cos
x
=-1时,
y
取最大值(-1-2)+1=10;
当cos
x
=1时,
y
取最小值(1-2)+1=2.
∴函数
y
=cos
x
-4cos
x
+5的值域为[2,10].
π
???
π
?
8
.已知函数
f
(
x
)=2
a
sin
?
2<
br>x
-
?
+
b
的定义域为
?
0,
?<
br>,函数的最大值为1,最小值
3
?
2
???
为-5,求
a
和
b
的值.
πππ2π
解:∵0≤
x
≤,∴-≤2
x
-≤.
2333
∴-
π
?
3
?
≤sin
?
2
x
-
?
≤1.
3
?
2
?
2
2
2
22
2
2
?
2
a
+
b
=1,
若
a
>0,则
?
?
-3
a
+
b
=-5.
?
2
a
+
b
=
-5,
若
a
<0,则
?
?
-3
a
+
b
=1.
解得
?
?
a
=12-63
,
?
b
=-23+123.
?
a
=-12+63,
解得
?
?
b
=19-123.
<
/p>
?
a
=12-63,
综上知
?
?
b<
br>=-23+123
?
a
=-12+63,
或
??
b
=19-123.
1.正、余弦函数的单调性
(1)求
y
=
A
sin(ω<
br>x
+φ)的单调区间时,首先把
x
的系数化为正数,再利用整体代换,
即把ω
x
+φ代入相应不等式中,求解相应的变量
x
的范围.
(2)求复合函数的单调区间时,要先求定义域,同时还要注意内层、外层函数的单调性.
2.正、余弦函数的最值(或值域)问题
求含有正、余弦函数的式子的最值,常见的方法有:
(1)可化为
y
=
A
sin(ω
x
+φ)+
B
或
y
=
A
cos(ω
x
+φ)+
B<
br>(
A
≠0)的形式,利用三角函
数的性质求最值;
(2)转化成关于
某一三角函数的二次函数的形式,即
y
=
A
sin
x
+B
sin
x
+
C
,或
y
=
A
cos
x
+
B
cos
x
+
C
,利用配方法求解.
22
课下能力提升(九)
一、填空题
?
π2π
?
1.函数
y
=sin
x
,<
br>x
∈
?
,
?
的值域是________.
3
??
6
解析:∵函数
y
=sin
x
,
x
∈
?
单调递减,
ππ1
∴
y
max
=sin=1,
y
min
=sin=.
262
?
π
,
2π
?
,在区间
?
π
,<
br>π
?
上单调递增,在
?
π
,
2π
?
上
?
62
??
23
?
3
?
?
6<
br>?????
?
1
?
∴该函数的值域为
?
,1
?
.
?
2
?
?
1
?
答案:
?<
br>,1
?
?
2
?
2.函数
y
=cos
x
在区间[
-π,
a
]上为增函数,则
a
的取值范围是________.
解
析:
y
=cos
x
在[-π,0]上为增函数,在[0,π]上为减函数,所
以
a
∈(-π,0].
答案:(-π,0]
3.将cos
150°,sin 470°,cos
760°按从小到大的顺序排列为
______________________.
解析:cos 150°<0,sin 470°=sin 110°=cos 20°>0,
cos 760°=cos 40°>0,且cos 20°>cos 40°,
故cos
150°<cos 760°<sin 470°.
答案:cos 150°<cos
760°<sin 470°
?
π
?
4.若
f
(
x
)=2sin ω<
br>x
(0<ω<1)在区间
?
0,
?
上的最大值是2,则ω=_
_______.
3
??
πωππωπωπ
解析:由题意知0≤
x
≤时,0≤ωπ≤<,
f
(
x
)
max
=2sin
=2,sin=
33333
2ωππ3
,=,ω=.
2344
3
答案:
4
5.若函数
f
(
x
)=sin
x
+φ
3
(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=________.
解析:∵
f
(
x
)为偶函数,
φπ
∴=
k
π+(
k
∈Z),
32
3π
∴φ=3
k
π+(
k
∈Z).
2
又∵φ∈[0,2π],
3π
∴φ=.
2
3π
答案:
2
二、解答题
π
??
6
.求函数
y
=sin
?
-2
x
+
?
的单调
区间.
4
??
π
?
π
?
解:
y
=sin
?
-2
x
+
?
=-sin(2
x
-).
4
?
4
?
π
?
ππ
?
因
为2
x
-是关于
x
的增函数,所以只需要考虑
y
=-sin
?
2
x
-
?
关于2
x
-的单调
4
?
44
?
性即可.
πππ
当2
k
π-≤
2
x
-≤2
k
π+(
k
∈Z)时,
242
y
=sin(2
x
-)为增函数,
y
=sin?
-2
x
+
?
为减函数,
4
π
4<
br>?
?
π
?
?
π3π
解得
k
π-≤<
br>x
≤
k
π+(
k
∈Z),
88
π
??
即函数
y
=sin
?
-2
x
+
?的单调减区间为
4
??
?
k
π-
π
,
k
π+
3π
?
(
k
∈Z);
??
88
??
ππ3π
同理,令2
k
π+≤2
x
-≤2k
π+(
k
∈Z),
242
π
求得函数
y<
br>=sin(-2
x
+)的单调增区间为
4
?
k
π+
3π
,
k
π+
7π
?
(
k
∈Z)
.
?
88
?
??
7.求下列函数的值域:
π
?
?
ππ
??
(1)
y
=2sin
?
2
x<
br>+
??
-≤
x
≤
?
;
3
??
66
??
(2)
y
=6-sin
x
-cos
x
.
ππ
解:(1)∵-≤
x
≤,
66
π2π
∴0≤2
x
+≤,
33
π
?
?
∴0≤sin
?
2
x
+
?
≤1,∴
y<
br>∈[0,2].
3
??
π
??
ππ
??
即
函数
y
=2sin
?
2
x
+
??
-≤π<
?
的值域为[0,2].
3
??
66
??
(2)
y
=6-sin
x
-cos
x
=sin
x
-sin
x
+5
1
?
2
19
?
=
?
sin
x
-
?
+
2
?
4
?
∵-1≤sin
x
≤1,
2
2
2
?
19
?
∴
y
∈
?
,7?
.
?
4
?
?
19
?
2
即
函数
y
=6-sin
x
-cos
x
的值域为
?
,7
?
. ?
4
?
?
ππ
?
8.已知ω是正数,函数
f<
br>(
x
)=2sin ω
x
在区间
?
-,
?<
br>上是增函数,求ω的取值
?
34
?
范围.
π
π
解:由2
k
π-≤ω
x
≤2
k
π+(
k
∈Z)得
22
-
π2
k
ππ2
k
π+≤
x
≤+(
k
∈Z).
2ωω2ωω
?
π
2
k
π
,
π
+
2
k
π
?
(
k
∈Z). ∴
f
(
x
)的单调递增区间是
?<
br>-+
?
ω2ωω
??
2ω
?
ππ
??
π2
k
π
,
π
+
2
k
π
?(
k
∈Z). 据题意:
?
-,
?
?
?
-+
?
ω2ωω
??
34
??
2ω
?
?
π
从而有
?
π
≥,
2ω4
?
?
ω
>0,
ππ
-≤-,
2ω3
3
解得0<ω≤.
2
?
3
?
故ω的取值范围是<
br>?
0,
?
.
?
2
?
第4课时
正切函数的图象和性质
单位圆中的正切线如图所示.
问题1:由三角函数的定义知tan
α=,此时
x
≠0.试想
y
=tan α中,α有什么限
制?
π
提示:α≠+
k
π,
k
∈Z.
2
y<
br>x
?
π
?
问题2:如图甲,当α在
?
0,
?
上增大时,正切线
AT
如何变化?正切值又如何变化?
2<
br>??
提示:正切线
AT
向
Oy
轴的正向逐步延伸,正切值增大
且无限增大.
?
π
?
问题3:如图乙,当α在
?
-,0<
br>?
上增大时,又该如何?
?
2
?
提示:正切线
AT
向
Oy
轴的正向逐步缩小,正切值增大.
?
ππ
?
问题4:正切函数
y
=tan
x
在
?
-,
?
)单调性如何?
?
22
?
提示:递增.
函数
y
=tan
x
的性质与图象
y
=tan
x
图象
定义域
值域
周期
奇偶性
?
?
?
π
?x
?
x
∈R且
x
≠
k
π+,
k
∈Z
?
2
?
?
?
R
π
奇函数
π
?
π
?
在开区间
?
-+
k
π,+
k
π
?
k
∈Z上都是增
2
?<
br>2
?
函数
单调性
1.正切函数
y
=tan
x
的定义域是{
x
|<
br>x
∈R且
x
≠
k
π+
π
,
k
∈Z}
2
,这与正弦、余弦函数不同.
2.正切函数
y
=tan
x
的最小正周期是π,这与正弦函数、余弦函数不同.
3.正切函数无单调减区间,
在每一个单调区间内都是递增的,并且每个单调区间均为
开区间,不能写成闭区间.
[例1]
观察正切函数图象,写出下列不等式的解集:
(1)tan
x
>0;(2)|tan
x
|≤1.
?
ππ
?
[思路点拨]
画出正切函数在
?
-,
?
内的图象,结合图象求解集.
?
22
?
?
ππ
?
[精解详析]
(1)设
y
=tan
x
,则它在
?
-,
?
内的图象如图所示:
?
22
?
由图可知满足不等式tan
x
>0的解集为
π
{
x
|
k
π<
x
<
k
π+,
k
∈Z}.
2
?
ππ
?
(2)设
y
=|tan
x
|,则它在
?
-,
?
内的图象如图所示:
?
22
?
由图可知满足不等式|tan
x
|≤1的解集为
?
?
?
ππ
?
x?
k
π-≤
x
≤
k
π+,
k
∈Z?
44
?
?
?
.
π
+
k
π(
k
∈Z)所隔开的无
2
[一点通] (1)正切函数的图象是由
被互相平行的直线
x
=
数多支曲线组成的,这些直线叫作正切曲线各支的渐近线. <
br>π
(2)正切函数的图象向上、向下无限延伸,但永远不与
x
=+
k<
br>π(
k
∈Z)相交,与
x
轴
2
交于点(
k<
br>π,0)(
k
∈Z).
1.函数
y
=sin
x
与
y
=tan
x
的图象在区间[0,2π]上的交点个数是________.
解析:作出
y
=sin
x
与
y
=tan
x
的图象知有1个交点.
答案:1
2.观察正切曲线,满足条件|tan
x
|>3的
x
的取值范围是________.
ππππ
解析:画出函数
y
=|tan
x
|的图象可知+
k
π<
x
<+
k
π或-+
k
π<
x
<-+
k
π,
3223
k
∈Z.
ππ
?
π
??
π
?
答案:
?
-+
k
π
,-+
k
π
?
∪
?
+
k
π,+
k
π
?
(
k
∈Z)
32
?
2
??
3
?
π
??
[例2] 求函数
y
=tan
?
3
x
-
?
的定义域、值域,并指出它的单调区间.
3
??
π
[思路点拨]
利用换元法,把3
x
-看做一个整体来求其单调区间.
3
ππ
[精解详析]
令3
x
-≠
k
π+(
k
∈Z),
32
得
x
≠
k
π5π
+(
k
∈Z),
318
∴函数的定义域为
??
k
π5π
?
x|
x
∈R,且
x
≠+,
k
∈Z
?
,值
域为R.
318
??
πππ
令
k
π-<3
x-<
k
π+(
k
∈Z),
232
得
k
ππ
k
π5π
-<
x
<+(
k
∈Z).
318318
∴函数的单调递增区间为
?
?
k
π
-
π
,
k
π
+
5π
?
(
k
∈Z)
.
18
?
?
3183
?
[一点通] 正切函数在每一个单
调区间内都是增函数,不存在减区间.因此在求单调区
间时,若ω<0,应先由诱导公式把
x<
br>的系数化成正值,再用换元法整体代换,最后求出
x
的范围即可.
1
3.函数
y
=的定义域是________.
1+tan
x
解析:要使函数
y
=
1
有意义,则
1+tan
x
π
?
?
x
≠+
k
π,
k
∈Z,
2
?
?
?
tan
x
≠-1,
ππ
即
x
≠+
k
π,且
x
≠-+
k
π,
k
∈Z.
24
?
??
ππ
答案:
?
x
?
x
≠+
k
π,且
x
≠-+
k
π,
k
∈Z
?
24<
br>?
?
?
4.
y
=tan
满足下列哪些条件________(填序号).
2
x
?
π
?①在
?
0,
?
上单调递增;
2
??
②为奇函数;
③以π为最小正周期;
??
πk
π
④定义域为
?
x
|
x
≠+,
k<
br>∈Z
?
.
42
??
x
?
π
??<
br>π
?
解析:令
x
∈
?
0,
?
,则∈
?
0,
?
,
2
?
4
?
2
??
x
?
π
?
所以
y
=tan
在
?
0,
?
上单调递增正确;
2
?
2
?
tan
?
-
?
=-tan ,故
y
=tan
为奇函数;
22
?
2
?
?
x
?
xxT
==2π,所以③不正确;
x
π
由≠+
k
π,k
∈Z得,
x
≠π+2
k
π,
k
∈Z,所以④
不正确.
22
答案:①②
π
ω
?
π
x
?
5.求函数
y
=tan
?
-
?
的单调减区间.
?
64
?
?
π
x
??
x
π
?
解:∵
y
=tan
?
-
?
=-tan
?
-
?
,
?
64
??
46
?
?
x
π
?
∴只需求函数
y
=tan
?
-?
的单调增区间,即为原函数的单调减区间.
?
46
?
πx
π
?
π
?
令μ=-,则μ∈
?
-+
k
π,+
k
π
?
k
∈Z,
2
46
?
2
?
ππ
即-+
k
π<μ<+
k
π(
k
∈Z).
22
π
x
ππ
∴-+
kπ<-<+
k
π(
k
∈Z).
2462
4π8π解得4
k
π-<
x
<4
k
π+(
k
∈
Z).
33
?
π
x
?
∴函数
y
=tan
?
-
?
的单调减区间为
?
64
?
?
4
k
π-
4π
,4
k
π+
8π
?
(
k
∈Z).
??
33
??
[例3] 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小:
?
6π
??
13π
?
; (1)tan
?
-
?
与tan
?
-
?
7
??
5
?
?
(2)tan(-1 280°)与tan1 680°.
[思路点拨]
利用诱导公式将角转化到同一单调区间内,再借助正切函数的单调性求解.
π
??
6π
??
[精解详析] (1)∵tan
?
-
?
=tan
?
-π-
?
5
??
5
??
?
π
?
=tan
?
-
?
,
?
5
?
?
13π
?
=tan
?
-2π+
π
?
=tan
π
, tan
?
-
???
7
?
7
?
7
??
?
ππ
?
又函数
y
=tan
x
在
?
-,
?
上是增函数,
?
22
?
ππππ
而-<-<<.
2572
π<
br>?
π
??
6π
??
13π
?
. ∴tan<
br>?
-
?
<tan,即tan
?
-
?
<tan
?
-
7
?
7
?
5
??
5
???
(2)∵tan(-1 280°)=tan(-4×360°+160°)
=tan(180°-20°)=tan(-20°),
tan 1
680°=tan(4×360°+240°)
=tan(180°+60°)=tan 60°,
?
ππ
?
而函数
y
=tan
x
在
?
-,
?
上是增函数,
?
22
?
∴tan(-20°)<tan 60°,
即tan(-1 280°)<tan 1 680°.
[一点通]
运用正切函数的单调性比较大小的一般步骤为:
(1)利用诱导公式将角化到同一单调区间上;
(2)运用单调性得到大小关系.
6.记
a
=tan
1,
b
=tan 2,
c
=tan
3,则
a
,
b
,
c
三数的大小关系是________.
解析:∵tan 3=tan(3-π),tan 2=tan(2-π),
ππ
又∵-<2-π<3-π<0<1<,
22
ππ
且
y
=tan
x
在(-,)上是单调递增的,
22
∴tan(2-π)
a
>
c
>
b
?
13π
?
与tan
?
-
12π
?
的大小
. 7.比较tan
?
-
?
4
?
5
?
??
??
?
13π
?
=-tan
13π
=-tan
?<
br>3π+
π
?
解:∵tan
?
-
?
4
?
4
?
4
????
π
=-tan.
4
?
12π
?
=-tan
?
12π
?
=-t
an
?
2π+
2π
?
=-tan
2π
. tan<
br>?
-
??
5
???
5
?
5
?
5
????
ππ
又函数
y
=tan
x
在(
-,)上是增函数,
22
ππ2πππ2π
且-<<<,∴tan
π2π
?
13π
?
>tan
?
-
12π
?
. ∴-tan>-tan,即tan
?
-
?4
?
5
?
45
????
1.正切函数图象的性质
?
ππ
??
π
??
π<
br>?
函数
y
=tan
x
,
x
∈
?<
br>-,
?
的图象过
?
-,-1
?
,
?
,1
?
,(0,0)三点,以直线
x
?
22
??
4
??
4
?
π
=±为渐近线,根据这三点两线就可以大体勾画出正切函
数图象的草图.
2
2.正切函数的单调区间的求法
正切函数
y
=tan
x
在整个定义域上不具有单调性,但在每一个
区间
?
-
π
+
k
π,
π
+
kπ
?
(
k
∈Z)上具有单调性,是增函数.在求函数
y
=tan(ω
x
+φ)(ω≠0)
?
2
?
2
??<
br>的单调区间时,首先保证ω>0,否则就先利用诱导公式化为正的,再利用整体换元的方法
求出单
调区间.
课下能力提升(十)
一、填空题
1.下列正确命题的序号为________.
①
y
=tan
x
为增函数;
2π
②
y
=tan(ω
x
+φ)(ω>0)的最小正周期为;
ω
③在
x
∈[-π,π]上
y
=tan
x
是奇函数;
?
ππ
?
④在
?
-,?
上
y
=tan
x
的最大值是1,最小值为-1.
?
44
?
解析:函数
y
=tan
x
在定
义域内不具有单调性,故①错误;函数
y
=tan(ω
x
+φ) (ω>0)
πππ
的最小正周期为,故②错误;当
x
=-,时,
y
=t
an
x
无意义,故③错误;由正切函
ω22
数的图象可知④正确.
答案:④
ππ
?
π
?
2.函数
f
(x
)=tan ω
x
(ω>0)的图象相邻的两支截直线
y
=所
得线段长为,则
f
??
44
?
4
?
的值是____
____.
πππ
解析:
T
=,∴=,∴ω=4,
4ω4
∴
f
(
x
)=tan4
x
,
?
π
?
∴
f
??
=0.
?
4
?
答案:0
3π
??
tan θtan θ
3.
a
,
b
是不等于1的正数,θ∈
?
π,
?
,若
a
>
b
>1,则下列不等式成立的
2
??
是________.(填序号)
①
a
>
b
>1;②a
<
b
<1;③
b
<
a
<1;④
b<
br>>
a
>1.
3π
??
解析:∵θ∈
?
π,
?
,∴tan
θ>0.
2
??
又
b
tan θ
>
b
,
tan
θ
0
∴
b
>1,又
a
>
b
tan
θ
,
∴
a
>
b
,∴
a
>
b
>1.
答案:①
?
3π3π
?
4.在区间<
br>?
-,
?
范围内,函数
y
=tan
x
与函数
y
=
2
??
2
sin
x
的图象交点的个数为________个.
解析:在同一坐标系中,首先作出
y
=sin
x
与
y
=tan
x
在
?
-
π<
br>,
π
?
内的图象,须明确
x
∈
?
0,
π
?
时,有sin
x
<
x
<tan
?
22
??
2
?
????
x
(利用单位圆中的正弦线,正切
线就可证明),然后利用对称性作
?
3π3π
?
出
x
∈?
-,
?
的两函数的图象如图,由图象可知它们有三个
2
??<
br>2
交点.
答案:3
?
ππ
?
5.已知函数
y
=tan ω
x
在
?
-,
?
内是减函数,则ω的范围是________.
?22
?
ππ
?
ππ
??
π
,-
π?
,解析:若ω使函数在(-,)上递减,则ω必小于0,且
?
-,
?<
br>?
?
2ω
?
22
?
22
??
2ω<
br>?
故-1≤ω<0.
答案:[-1,0)
二、解答题
6.求下列函数的单调区间:
?
π
?
(1)
y
=
tan
?
x
-
?
;
4
??
1
(2)
y
=tan 2
x
+1.
3
πππ
解:(1)由-+
k
π<
x
-<+
k
π(
k
∈Z),
242
π3
解得-+
kπ<
x
<π+
k
π(
k
∈Z),
44
?
π
?
∴函数
y
=tan
?
x
-
?
的单调增区间是
4
??
?
-
π
+
k
π,
3π
+
k
π
?
(
k
∈Z).
?
4
?
4
??
ππ
(2)令-+
k
π<2
x
<+
k
π(
k
∈Z),
22
π
k
ππ
k
π
∴-+<
x
<+(
k
∈Z),
4242
1
∴函数
y
=tan
2
x
+1的单调增区间是
3
?
-
π
+
k
π
,
π
+
k
π
?
(
k
∈
Z).
?
4
?
242
??
π
??ππ
??
7.当
x
∈
?
,
?
时,若使
a
-2tan
?
2
x
-
?
的值总大于零,
求
a
的取值范围.
3
??
63
??
ππ
?
ππ
?
解:∵
x
∈
?
,
?
,∴
0≤2
x
-≤.
33
?
63
?
?
π?
又∵
y
=tan
x
在
?
0,
?
内单调递增,
3
??
π
∴0≤tan(2
x
-)≤3,
3
π
∴0≤2tan(2
x
-)≤23.
3
π<
br>由题意知
a
-2tan(2
x
-)>0恒成立,
3
π
?
ππ
?
即
a
>2tan(2
x
-),
x
∈
?
,
?
恒成立.
3
?
63
?
∴
a
>23.∴实数
a
的取值范围是(23,+∞) <
br>?
ππ
?
2
8.已知
f
(
x
)=<
br>x
+2
x
·tan θ-1,
x
∈[-1,3],其中θ∈<
br>?
-,
?
.求θ的取
?
22
?
值范围,使<
br>y
=
f
(
x
)在区间[-1,3]上是单调函数.
解:函数
f
(
x
)=(
x
+tan
θ)-1-tanθ的图象的对称轴为直线
x
=-tan θ.
∵
y
=
f
(
x
)在[-1,3]上是单调函数,
∴-tan θ≤-1或-tan θ≥3,
即tan θ≥1或tan θ≤-3. π
??
ππ
??
π
因此,θ角的取值范围是
?
-,-
?
∪
?
,
?
.
3
??
42
??
2
第5课时
函数
y
=
A
sin(ω
x
+φ)的图象
22
?
π
??
π<
br>?
在同一坐标系中画出
y
=sin
x
,
y
=sin
?
x
+
?
,
y
=sin
?
x
-
?
的图象,如图所示,观
3
?
3
???察这三个图象之间有什么关系?
?
π
??
π
?提示:
y
=sin
?
x
+
?
与
y=sin
?
x
-
?
的图象可以看作是由
y
=s
in
x
的图象分别向左、
3
?
3
???
π
向右移动个单位长度所得到的图象.
3
函数
y
=sin(x
+φ)的图象可以看作是将函数
y
=sin
x
的图象上所有
的点向左(当φ>0)
或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度而得到的.
1
在同一坐标系中作出函数
y
=sin
x
,
y
=2sin
x
,
y
=sin
x
的图象,如图所示.观察
2
这三个图象之间有什么关系?
1
提示:
y
=2sin
x
与
y
=sin
x
的图象可以分别看作是由
y
=sin
x
的图象的纵坐标
变
2
1
为原来的2倍、纵坐标变为原来的所得到的.
2
函数
y
=
A
sin
x
(
A
>0
且
A
≠1)的图象,可以看作是将函数
y
=sin
x
的图
象上所有点的
纵坐标变为原来的
A
倍(横坐标不变)而得到的.
1
在同一坐标中作出函数
y
=sin
x
,
y
=sin 2
x
,
y
=sinx
的图象,如图所示.观察这三
2
个图象之间有什么关系?
1
提示:
y
=sin 2
x
与
y
=sin
x
的图象可以分别看作是由
y
=sin
x
的图象的横坐标变为
2
1
原来的倍和2倍所得到的.
2
1.函数
y
=sin
ω
x
(ω>0且ω≠1)的图象,可以看作是将函数
y
=sin
x
的图象上所
1
有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)而得到的. ω
2.函数
y
=sin(ω
x
+φ)(ω>0,φ≠0)的图象
,可以看作是将函数
y
=sin ω
x
的图
?
φ
?
象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(φ<0时)平移
??
个单位长度而得到的.
?
ω
?
A
,ω,φ对函数
y
=
A
sin(ω
x
+φ)(
A
>0,ω>0)图象的影响,可归纳如下
:
(1)对于函数
y
=sin
x
与
y
=sin
(
x
+φ)之间的图象变换称为相位变换,它实质上是一
种左右平移变换,此时相位由
x
变成
x
+φ,初相由0变成φ,不改变函数的周期及振幅.
(2
)对于函数
y
=sin(
x
+φ)与
y
=sin(ω
x
+φ)之间的图象变换称为周期变换,它实质
2π
上是横向的伸缩,此时,
y
=sin(ω
x
+φ)的周期为
T
=,其振幅不变.
ω
(3)对于函数
y
=sin(ω
x
+φ)与
y
=
A
sin(ω
x
+φ)之间的图象变换称为振幅变换,它
实质上是纵
向的伸缩,只改变振幅,不改变周期及相位.
[例1] 已知一个振动量可以用函数
y
=
A
sin(ω
x
+φ)(
A
>0,0<ω<π)来表示,且其离
π
开平衡位置的最大距离为2
,一个振动周期为π,且初相为.
6
(1)写出这个振动量的函数表达式;
(2)画出这个振动量函数一个周期内的简图.
[思路点拨] (1)根据
A
、ω、φ表示的意义和周期的定义来求函数表达式;(2)用五点
法作函数简图.
2π
[精解详析]
(1)根据条件可知,
A
=2,
T
==π,
ω
π
?
π
?
所以ω=2.又初相为φ=,所以
y
=2sin
?<
br>2
x
+
?
.
6
?
6
?
(2)列表作图.
x
π
2
x
+
6
π
??
2sin<
br>?
2
x
+
?
6
??
-
π
12
π
6
π
2
2
5π
12
π
0
2π
3
3π
2
-2
11π
12
2π
0
0
0
[一点通] 求解本题,关键是理解振动量的含
义,根据含义求出相应的待定字母,得到
函数解析式.要画函数的简图通常采用五点法作图,这就需要先
列表,列表时五点的选择一
π3π
般要考虑函数与坐标轴的交点及最大值点与最小值点,即ω<
br>x
+φ分别取0,,π,,
22
2π对应的点.
π
??
1.函数
y
=2sin
?
2
x
-
?
的振幅是________,周期是________,初相是________.
4
??
2ππ
解析:振幅为2,周期为
T
==π,初相为-.
24
π
答案:2 π -
4
2.已知简谐运动
f
(
x
)=2sin
?
?
π
x
+φ
??|φ|<
π
?
的图象经过点(0,1),则该简谐运动的
??
2
?
?
3
???
最小正周期
T
=________________________________________________
________________________,
初相φ=________.
2π
解析:
T
==6.∵图象经过点(0,1),
π
3
1ππ
∴1=2sin φ,即sin φ=,又∵|φ|<,∴φ=.
226
答案:6
π
6
π
??
[例2] 说明
y
=-2sin
?
2x
-
?
+1的图象是由
y
=sin
x
的图象怎样变换而来的.
6
??
[思路点拨]
可以先伸缩后平移,应右移
位.振幅变换不分先后.
[精解详析] 法一:(先平移后伸缩)
ππ
个单位;也可先平移后伸缩,平移个单
126
y
=sin
x
各点的纵坐标变为原来的2倍
――――――――――――→
y
=-2sin
x
且关于
x
轴作对称变换
π
?
????
???
y
=-2sin
?
?
x
-
6
?
??
向右平移个单位
6
?
?
2
x
-
π
?
y
=-2sin
?????????
??<
br>纵坐标不变
6
??
各点的横坐标变为原来的
1
2
π<
br>??
向上平移1个单位长度
,y
=-2sin
?
2
x
-
?
+1.
6
??
法二:(先伸缩再平移)
y
=sin
x
各点的纵坐标变为原来的2倍
――――――――――――→
y
=-2sin
x
且关于
x
轴作对称变换
?????????
y
=-2sin
2
x
纵坐标不变
????????
y
=-2sin
?
2
x
-
6
?
12
向右平移
各点的横坐标变为原来的
1
2
?
个单位长度
?
?
π
?
?
π
??
向上平移1个单位长度
,y
=-2si
n
?
2
x
-
?
+1.
6
??
[一点通] 图象变换一般有平移变换、伸缩变换、对称变换,相位变换属于平
移变换,
振幅变换与周期变换都是伸缩变换.由
y
=sin
x
的图象通过变换得
y
=
A
sin(ω
x
+φ)的
图
象,其变化途径有两条:一是先平移后伸缩,二是先伸缩后平移.两种途径的变换顺序不同,
其中变换的量也有所不同:①是先平移后伸缩,平移|φ|个单位.②是先伸缩再平移,平移
|φ|个单位.这是易出错的地方,应特别注意.
ω
π
3.将函数
y
=sin
x
的图象上所有点向右平移个单
位长度,再把所得各点的横坐标伸
10
长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式
是________________.
解析:由题意知
y
=sin
x
????????
y
=
10
向右平移
?
个单位长度
2倍
?
π
?
横坐标伸长到原来的
?
1
x
-
π
?
. sin
?
x
-
?<
br>――――――――――→
y
=sin
?
210
?
纵坐
标不变
?
10
???
?
1π
?
答案:
y<
br>=sin
?
x
-
?
?
210
?<
br>?
x
π
?
4.为了得到函数
y
=2sin
?
+
?
,
x
∈R的图象,只需把函数
y
=2sin
x
,
x
∈R的图象
?
36
?
上所有的点向
________平移________个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的
_______
_(纵坐标不变).
π
?
π
?
解析:先将
y
=2sin
x<
br>,
x
∈R的图象向左平移个单位长度,得到函数
y
=2sin
?
x
+
?
,
6
?
6
?
x
∈R的图象,再把所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)得到函数
y
=
?
x
π
?
2sin
?
+
?
,
x
∈R的图象.
?
36
?
答案:左
π
3倍 <
br>6
?
π
?
5.为得到函数
y
=cos
?x
-
?
的图象,可以将函数
y
=sin
x
的
图象向________平移
3
??
________个单位长度.
?
π
??
π
?
解析:
y
=sin
x
=cos
?
-
x
?
=cos
?
x-
?
,
2
??
2
??
y
=cos<
br>?
x
-
?
=cos
?
x
-+
?.
326
?
?
π
?
?
?
?
ππ
?
?
π
?
π
?
所以,函数
y
=cos
?
x
-
?
的图象可以将函数
y
=sin
x
的图象向左平移个单位长度
3
?
6
?
得到.
答案:左
π
6
[例3]
如图所示的是函数
y
=
A
sin(ω
x
+φ)的图象,确定
其一个
函数解析式.
[思路点拨] (1)由最高或最低点求
A
.
(2)先求周期再确定ω.
(3)代入特殊点求φ.
[精解详析]
法一:由图象知振幅
A
=3,
5π
?
π
?
2π<
br>又
T
=-
?
-
?
=π,∴ω==2.
6<
br>?
6
?
T
ππ
?
π
?
又图象过点<
br>?
-,0
?
,令-·2+φ=0,得φ=,
63
?
6
?
π
??
∴
y
=3sin
?
2
x
+
?
.
3
??
?
π
??
5π
?
法二:由图象知
A
=3,且图象过点
?
,0
?<
br>和
?
,0
?
,
?
3
??
6
?
π
?
?
3
·ω+φ=π
根据五点作图法原理,有
?
5π
?
?
6
·ω+φ=2π
π
?
π<
br>?
解得ω=2,φ=,∴
y
=3sin
?
2
x
+
?
.
3
?
3
?
.
?<
br>π
?
法三:∵
T
=π,
A
?
-,0
?
,
?
6
?
π
∴图象由
y
=3sin2
x
向左平移个单位长度得到.
6
π
??
π
??<
br>∴
y
=3sin2
?
x
+
?
,即
y
=3sin
?
2
x
+
?
.
6
?
3
???
[一点通] (1)利用代点法求参数
A、ω、φ时,须分清代入的点是相应“五点法”作
图中的第几个点:
“第一点”(即图象
上升时与
x
轴的交点)为ω
x
+φ=0;“第二点”(即图象曲线的“峰π
点”)为ω
x
+φ=;“第三点”(即图象下降时与
x
轴的交
点)为ω
x
+φ=π;“第四点”
2
3
(即图象曲线的“谷点”)为
ω
x
+φ=π;“第五点”为ω
x
+φ=2π.
2
(2)
运用逆向思维的方法,先确定函数的基本函数式
y
=
A
sinω
x<
br>,根据图象平移规律也
可以确定相关的参数.
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-
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