高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)

三角函数的诱导公式(一)
【知识梳理】
1．诱导公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．
如图所示．

(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.
cos(π＋α)＝－cos_α.
tan(π＋α)＝tan_α.
2．诱导公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．
如图所示．

(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.
cos(－α)＝cos_α.
tan(－α)＝－tan_α.
3．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．
如图所示．

(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.
cos(π－α)＝－cos_α.
tan(π－α)＝－tan_α.
【常考题型】
题型一、给角求值问题

【例1】 求下列三角函数值：
119π
(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos.
6
[解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)
＝－sin 60°＝－
3
；
2
(2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；
ππ
119π
π< br>3
20π－
?
＝cos
?
－
?
＝cos＝. (3)cos＝cos
?
6
???
6
?
662
【类 题通法】
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤

【对点训练】
求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．
解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋
cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋
45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝
6－3－4
2331
×－×－1＝.
22224
题型二、化简求值问题
cos?－α?tan?7π＋α?
【例2】 (1)化简：＝________；
sin?π－α?
sin?1 440°＋α?·cos?α－1 080°?
(2)化简.
cos?－180°－α?·sin?－α－180°?
(1)[解析]
[答案] 1
sin?4×360°＋α?·cos?3×360°－α?sin α·cos?－α?
cos α
(2)[解] 原式＝＝＝＝－1.
cos?180°＋α?·[－sin?180°＋α?]?－cos α?·sin α－cos α
【类题通法】
cos?－α?tan?7π＋α?cos αtan?π＋α?
cos α·tan αsin α
＝＝＝＝1.
sin αsin αsin α
sin?π－α?

利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
【对点训练】
tan?2π－θ?sin?2π－θ?cos?6π－θ?
化简：.
?－cos θ?sin?5π＋θ?
tan?－θ?sin?－θ?cos?－θ?
tan θsin θcos θ
解：原式＝＝＝tan θ.
cos θsin θ
?－cos θ?sin?π＋θ?
题型三、给角（或式）求值问题
1
【例3】 (1)已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
3
A．1
1
C.
3

B．－1
1
D．－
3
1
(2)已知cos(α－55° )＝－，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值．
3
(1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1，
∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
1
∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－.
3
[答案] D
1
(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－<0，且α是第四象限角．
3
∴α－55°是第三象限角．
22
sin(α－55°)＝－1－cos
2
?α－55°?＝－.
3
∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，
∴sin(α＋125°)＝si n[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝
【类题通法】
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、 函数名称及有关运算之间
的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
22
.
3

【对点训练】
已知sin(π＋α)＝－
1
3
，求cos(5π＋α)的值．
解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，
所以sin α＝
1
3
，所以α是第一象限或第二象限角．
当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin
2
α＝
22
3
，
此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－
22
3
.
当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin
2
α＝－
22
3
，
此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝
22
3
.

1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P
?
－
525
?
5
，
5
?
?
，则cos(π－θ)
( )
A．－
25
5
B．－
5
5

C.
5
5
D.
25
5

解析：选C ∵r＝1，∴cos θ＝－
5
5
，
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝
5
5
.
2．已知sin(π ＋α)＝
4
5
，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－
3
5
B.
3
5

C．±
3
5
D.
4
5

解析：选B sin α＝－
4
5
，又α是第四象限角，
∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin
2
α＝
3
5
.
3．设tan(5π＋α) ＝m，则
sin?α－3π?＋cos?π－α?
sin?－α?－cos?π＋α?
＝________.
【练习反馈】
的值为

解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，
－sin α－cos α－tan α－1－m－1m＋1
∴原式＝＝＝＝.
－sin α＋cos α－tan α＋1－m＋1m－1
m＋1
答案：
m－1
4.
cos?－585°?
的值是________．
sin 495°＋sin?－570°?
cos?360°＋225°?
解析：原式＝
si n?360°＋135°?－sin?210°＋360°?
＝
cos?180°＋45°?< br>cos 225°
＝
sin 135°－sin 210°sin?180°－45° ?－sin?180°＋30°?
－
2
2
－cos 45°
＝＝＝2－2.
sin 45°＋sin 30°
21
＋
22
答案：2－2
π
?
5π
3
－α
＝，求cos
?
α＋
?
的值． 5．已知cos< br>?
6
??
6
?
3
?
5π5π
π＋< br>?
＝－cos
?
π－
?
α＋
??
＝ 解：c os
?
6
?
6
?????
π
3
－α
?
＝－. －cos
?
?
6
?
3