人教A版高中数学必修四模块综合测试卷

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------








模块综合测试卷

班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共6 0分．在下列各题的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的．
1．－3290°角是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
答案：D
解析：－3290°＝－360°×10＋310°
∵310°是第四象限角
∴－3290°是第四象限角
2．在单位圆中，一条弦
AB
的长度为3，则 该弦
AB
所对的弧长
l
为( )
23
A.πB.π
34
5
C.πD．π
6
答案：A
解析：设该弦
AB
所对的圆心角为
α
，由已知
R
＝1，
AB
α
2
3
α
π22
∴sin＝＝，∴＝，∴
α
＝π，∴
l
＝
αR
＝π.
2
R
22333
π
3．下列函数中周期为的偶函数是( )
2
A．
y
＝sin4
x

22
B．
y
＝cos2
x
－sin2
x

C．
y
＝tan2
x

D．
y
＝cos2
x

答案：B
2ππ2π解析：A中函数的周期
T
＝＝，是奇函数．B可化为
y
＝cos4
x
，其周期为
T
＝＝
424
信达

--- -------------------------------------------------- --------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------- ---------------------------------


ππ2π
，是偶函数．C中
T
＝，是奇函数，D中
T
＝＝π，是 偶函数．故选B.
222
4．已知向量
a
，
b
不共线，实 数
x
，
y
满足(3
x
－4
y
)
a
＋(2
x
－3
y
)·
b
＝6
a
＋ 3
b
，则
x
－
y
的值为( )
A．3B．－3
C．0D．2
答案：A
??
?
3
x
－4
y
＝6，
?
x
＝6，
解析：由原式可得
?
解得< br>?
∴
x
－
y
＝3.
??
?
2x
－3
y
＝3，
?
y
＝3.
→→→
5 ．在四边形
ABCD
中，
AB
＝
a
＋2
b
，
BC
＝－4
a
－
b
，
CD
＝－5
a
－3
b
，则四边形
ABCD
是( )
A．长方形B．平行四边形
C．菱形D．梯形
答案：D
→→→→→解析：
AD
＝
AB
＋
BC
＋
CD
＝－ 8
a
－2
b
＝2
BC
，
→→
且|
AD
|≠|
BC
|
∴四边形
ABCD
是梯形．
?
ππ
?
6．已知向 量
a
＝(1,0)，
b
＝(cos
θ
，sin
θ< br>)，
θ
∈
?
－，
?
，则|
a
＋b
|的取值范围
?
22
?
是( )
A．[0，2]B．[0,2]
C．[1,2]D．[2，2]
答案：D
?
ππ
?
222
解析：|
a
＋
b
|＝< br>a
＋
b
＋2
a
·
b
＝2＋2cos
θ
，因为
θ
∈
?
－，
?
，所以2＋2cos
θ
∈
?
22
?

[2,4]，所以|
a
＋
b
|的取值范围是[2，2]．
4
?
π
??
π
?
7．已知cos
α
＝－， 且
α
∈
?
，π
?
，则tan
?
－
α
?
＝( )
5
?
2
??
4
?
1
A．－B．7
7
1
C.D．－7
7
答案：B
433
?
π
?
解析：∵
α
∈
?
，π
?
，cos< br>α
＝－，∴sin
α
＝，tan
α
＝－，
554< br>?
2
?
?
3
?
1－
?
－
?
?
4
?
?
π
?
tan
?
－
α
?
＝＝7.
3
?
?
4
?
?
1＋
?
－
?
?
4
?
?
π
?
8．函数
f
(
x
)＝2sin
?
x
－
?
的部分图象是( )
2
??
信达

------ -------------------------------------------------- -----------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------- ------------------------------




答案：C
?
π
?
解析：∵
f
(
x
)＝2sin
?
x
－
?
，
2
??
π< br>???
π
?
∴
f
(π－
x
)＝2sin?
π－
x
－
?
＝2sin
?
－
x?

2
???
2
?
＝
f
(
x
)， < br>π
∴
f
(
x
)的图象关于直线
x
＝对称．排 除A、B、D.
2
?
π
?
9．
y
＝2cos?
－2
x
?
的单调减区间是( )
?
4
?
π5
??
A.
?
k
π＋，
k
π＋π
?
(
k
∈Z)
88
??
π
?
3
?
B.
?
－π＋
k
π，＋
k
π
?
(
k
∈Z)
8
?
8
?
5
?
π
?
C.
?
＋2
k
π，π＋2
k
π
?
(
k
∈Z)
8
?
8
?
π
?< br>3
?
D.
?
－π＋2
k
π，＋2
k
π
?
(
k
∈Z)
8
?
8
?
答案：A
π
?
π
?< br>π
??
解析：
y
＝2cos
?
－2
x
?
＝2cos
?
2
x
－
?
.由2
kπ≤2
x
－≤π＋2
k
π，(
k
∈Z)
4< br>?
4
?
4
??
π
?
π5
?
得＋
k
π≤
x
≤π＋
k
π(
k
∈Z)时，
y
＝2cos
?
2
x
－
?
单调递减．故选 A.
4
?
88
?
π5π
10．已知
ω
> 0,0<
φ
<π，直线
x
＝和
x
＝是函数
f
(
x
)＝sin(
ωx
＋
φ
)图象的两条
44< br>相邻的对称轴，则
φ
的值为( )
ππ
A.B.
43
π3π
C.D.
24
答案：A
π5π5ππ
T
解析：因为直线
x
＝和
x
＝是函数图象中相邻的两条对称轴，所 以－＝，即
44442
信达

------------------ -------------------------------------------------奋 斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------------------- ------------------



T
2ππ
＝ π，
T
＝2π.又
T
＝＝2π，所以
ω
＝1，所以
f
(
x
)＝sin(
x
＋
φ
)．因为直线
x
＝是
2
ω
4
πππ
函数图象的对称轴，所以＋
φ
＝＋
k
π，
k
∈Z，所以
φ
＝＋
k
π，
k
∈Z.因为0<
φ
<π，
424
π5π
所 以
φ
＝，检验知，此时直线
x
＝也为对称轴．故选A.
44
11．若向量
a
＝(2
x
－1,3－
x
)，
b< br>＝(1－
x,
2
x
－1)，则|
a
＋
b|的最小值为( )
A.2－1B．2－2
C.2D．2
答案：C 2
解析：|
a
＋
b
|＝2?
x
＋2
x
＋2?≥2.
β
?
ππ3
?
π
?
1?
π
β
??
12．若0<
α
<，－<
β
<0，cos
?
＋
α
?
＝，cos
?
－
?
＝，则cos
?
α
＋
?
＝
2
?
22
?
4
?
3
?
42
?
3
?( )
33
A.B．－
33
536
D．－
99
答案：C
C.
π
??
π
β
?
β
?
解析：∵
α
＋＝
?
α
＋
?
－
?
－
?
，
4
??
42
?
2< br>?
β
?
π
??
π
β
??
π
?
π
??????
π
β
??
∴cos
?
α
＋
?
＝cos
??
α
＋
?
－
?< br>－
??
＝cos
?
α
＋
?
cos
?
－
?
＋sin
?
α
＋
?
2
?4
??
42
??
4
?
4
??????
42
??
32263＋4353
?
π
β
?
1
sin
?
＋
?
＝×＋×＝＝.
3399
?
42
?
33
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 ．
π
13．已知|
a
|＝4，
a
与
b
的 夹角为，则
a
在
b
方向上的投影为__________．
6
答案：23
π
解析：由投影公式计算：|
a
|cos＝23.
6
14 ．函数
y
＝2sin
x
cos
x
－1，
x
∈R的值域是______．
答案：[－2,0]
解析：
y
＝2sin< br>x
cos
x
－1＝sin2
x
－1，∵
x
∈ R，
∴sin2
x
∈[－1,1]，∴
y
∈[－2,0]． π
??
15．已知函数
f
(
x
)＝3sin
?
ωx
－
?
(
ω
>0)和
g
(
x< br>)＝2cos(2
x
＋
φ
)＋1的图象的对称轴
6
? ?
?
π
?
完全相同．若
x
∈
?
0，
?
，则
f
(
x
)的取值范围是________．
2< br>??
?
3
?
答案：
?
－，3
?
< br>?
2
?
?
π
?
解析：由
f
(
x
)与
g
(
x
)的图像的对称轴完全相同，易知：
ω＝2，因为
x
∈
?
0，
?
，所
2
??
π
?
π5π
?
3π
?
π
?
以2< br>x
－∈
?
－，
?
，则
f
(
x
)的最小值为3sin
?
－
?
＝－，最大值为3sin＝3，
6
?
6
?
6
22
?
6
?
?
3
?
所以
f
(
x
)的取值范围是
?
－，3
?
.
?
2
?
信达

------ -------------------------------------------------- -----------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------- ------------------------------



16．下列判断正确的是________．(填写所有正确判断序号)
14
2①若sin
x
＋sin
y
＝，则sin
y
－cosx
的最大值是
33
π3π
??
π
??
②函数
y
＝sin
?
＋2
x
?
的单调增区间是
?
k
π－，
k
π＋
?
(
k
∈Z)
88
??
4
??
1＋sin
x
－cos
x
③函数
f
(
x
)＝是奇函数
1＋sin
x
＋co s
x
x
1
④函数
y
＝tan－的最小正周期是π
2sin
x
答案：①④
24
22
解析：①sin
y
－cos
x
＝sin
x
－sin
x
－，∴sin
x
＝－1时，最大值为.
33
πππ3ππ
②2
k
π－≤2
x
＋≤2
k
π＋，∴
k
π－≤
x
≤
k
π＋.
24288
③定义域不关于原点对称．
x
11
④
y
＝tan－＝－，∴
T
＝π.
2sin
x
tan
x
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
?
π
?
cos
?
＋α
?
sin?－π－
α
?
?
2
?
17 ．(10分)已知角
α
终边上一点
P
(－4,3)，求的值．
11 π9π
????
－
α
?
sin
?
＋
α?
cos
?
?
2
??
2
?
y
3
解：∵tan
α
＝＝－
x
4
?
π
?< br>cos
?
＋
α
?
sin?－π－
α
?
－sin
α
·sin
α
3
?
2
?
∴＝＝ tan
α
＝－.
4
?
11π
－
α
?sin
?
9π
＋
α
?
－sin
α
·c os
α
cos
???
2
?
?
2
???18．(12分)已知向量
m
＝(sin
A
，cos
A
)，
n
＝(1，－2)，且
m
·
n
＝0.
(1)求tan
A
的值；
(2)求函数
f
(
x< br>)＝cos2
x
＋tan
A
·sin
x
(
x
∈R)的值域．
解：(1)∵
m
·
n
＝0，
∴sin
A
－2cos
A
＝0.
sin
A
∴tan
A
＝＝2.
cos
A
(2)
f
(
x
)＝cos2
x
＋tan
A
sin
x
＝cos2
x
＋2sin
x

1
?
2
3
?
2
＝1－2sin
x
＋2sin
x
＝－2
?
sin
x
－
?
＋.
2
?
2
?
∵－1≤sin
x
≤1
13< br>∴sin
x
＝时，
f
(
x
)取最大值，
2 2
sin
x
＝－1时，
f
(
x
)取最小值－3，
3
??
∴
f
(
x
)的值域为
?
－ 3，
?
.
2
??
19．(12分)已知
a
，b
，
c
是同一平面内的三个向量，其中
a
＝(1,2)． (1)若|
c
|＝25，且
c
∥
a
，求
c的坐标；
5
(2)若|
b
|＝，且
a
＋2
b
与2
a
－
b
垂直，求
a
与
b
的夹 角
θ
.
2
信达

--------------- -------------------------------------------------- --奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------------------- ---------------------



解：(1)设
c
＝(
x
，
y
)．
222 2
∵|
c
|＝25，∴
x
＋
y
＝25，即
x
＋
y
＝20.①
∵
c
∥
a
，
a
＝(1,2)
∵2
x
－
y
＝0，即
y
＝2
x
，②
??< br>?
x
＝2
?
x
＝－2
?
联立①②得或
?

??
?
y
＝4
?
y
＝－4，
∴
c
＝(2,4)或(－2，－4)．
(2)∵(
a
＋2
b
)⊥(2
a
－
b
)，
∴(
a
＋2< br>b
)·(2
a
－
b
)＝0，
22
∴2|< br>a
|＋3
a
·
b
－2|
b
|＝0.
55
22
∵|
a
|＝5，|
b
|＝，代入上式得
a
·
b
＝－，
42
5
－
2
a
·
b
∴cos
θ
＝＝＝－1.
|
a
|·|
b
|
5
5×
2
又∵
θ
∈[0，π]，
∴
θ
＝π.
π
?
2
?
2
20． (12分)已知函数
f
(
x
)＝cos
?
x
－?
－sin
x
.
6
??
?
π
?(1)求
f
??
的值；
?
12
?
?
π
?
(2)若对于任意的
x
∈
?
0，
?
， 都有
f
(
x
)≤
c
，求实数
c
的取值范围 ．
2
??

π
?
π3
?
π
?
2
?
2
π
解：(1)
f
??
＝cos?
－
?
－sin＝cos＝.
1262
?
12
??
12
?
π
??
11
??
(2)
f< br>(
x
)＝
?
1＋cos
?
2
x
－< br>??
－(1－cos2
x
)
3
??
22
? ?
π
?
1
???
＝
?
cos
?
2
x
－
?
＋cos2
x
?

3
?< br>2
???
π
?
1
?
3
3
3
?
?
＝
?
sin2
x
＋cos2
x
?＝sin
?
2
x
＋
?
.
3
?
2
?
2
?
2
?
2
π
?
π4π< br>??
π
?
因为
x
∈
?
0，
?
，所以2
x
＋∈
?
，
?
，
2
?
3
?
3
?
3
?
πππ3
所以当2
x＋＝，即
x
＝时，
f
(
x
)取得最大值.
3 2122
3
?
π
?
所以对任意
x
∈
?0，
?
，
f
(
x
)≤
c
等价于≤c
.
2
?
2
?
?
3
?
?< br>π
?
故当对任意
x
∈
?
0，
?
，< br>f
(
x
)≤
c
时，
c
的取值范围是
?
，＋∞
?
.
2
??
?
2
?
π
?
335
?
π
???
ππ
?
21．(12 分)已知sin
α
＋cos
α
＝，
α
∈
?
0，
?
，sin
?
β
－
?
＝，
β
∈
?
，
?
.
4
?
4
?
55???
42
?
(1)求sin2
α
和tan2
α
的值；
(2)求cos(
α
＋2
β
)的值．
994< br>2
解：(1)由题意得(sin
α
＋cos
α
)＝，即1＋s in2
α
＝，∴sin2
α
＝.
555
信达