高中数学新课标必修四测试题及详解

必修四测试题及答案
一、选择题（本大题共12小题, 每小题5分, 满分60分. 在每小题给出的四个选项中, 只
有一项是符合题目要求的）
1.
sin585
的值为（ ）
(A)
?
o
2
2
33
(B) (C)
?
(D)
2
22
2
答案：A．
解 析：
sin585?sin(360?225)?sin(180?45)??sin45??
oooooo
2
，故选A。
2
3?sin70
?
?
（ ） 2．
2
?
2?cos10
A．
1

2
B．
2

2
C．
2
D．
3

2
答案 C
3?sin70
?
3?co s20
?
3?(2cos
2
20
?
?1)
???2
，选C 解析
2
?
2
?
2
?
2?co s102?cos102?cos10
3?tanx
的定义域为（ ） 3.函数
y?
A.
(k
?
?
?
,k
?
?)(k?Z )
B.
(k
?
?,k
?
?](k?Z)
C.
(,]
D.
(,)

23232323
???< br>??
??
?
3?tanx?0
??
?
(k
?
?,k
?
?](k?Z)
. 答案B由
?
可得，自变量的取 值范围
?
23
?
x??k
?
(k?Z)
?2
?
??
?
的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象( )
4
??
??
A. 沿x轴向左平移单位 B. 沿x轴向右平移单位
88
??
C. 沿x轴向左平移单位 D. 沿x轴向右平移单位
4 4
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
答案Ａ 由
3cos
?
2x?
?
? 3cos
?
?
2x?
?
?
?

?3sin
?
2x?
?
．
4
?
4
?
4
?
2
?
?
?
?
?
?
易知把函数y = 3 sin 2x的图象沿x轴向左移个单位后进行平移，可以得到函数
8
?
??
y?3sin
?
2x?
?
的图象．因此选A．
4
??
m?34?2m
?
5、已知
sin
?
?
，
cos
?
?
（
?
?
?
?< br>），则
tan
?
?
（C）
m?5m?52
4、要得到函数
y?3cos
?
2x?

A、
答Ｃ
4?2mm?3535
B、
?
C、
?
D、
?或?
m?34?2m412
12
22
易忽略
sin
?
?co s
?
?1
，而不解出
m

正解：C
6．函数y?sinxcosx?3cos
2
x?3
的图象的一个对称中心是（ ）
A.
(
2
?
3
5
?
3
,?) B.
(,?)

32
62
C.
(?
?< br>2
?
3
,)
D.
(,?3)

3
32
13133

sin2x?(1?cos2x)?3?sin2x?cos2x?
22222
B
y?
3
?
k
??
5
?

,令2x??k
?
,x??,当k?2,x?
323266
y
7. 已知函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b
的 一部分图象如下图
4

?sin(2x?
?
)?< br>所示，如果
A?0,
?
?0,
?
?
?
2，则( )
2
O
?

A.
A?4
B.
?
?1

C.
?
?
x
6
?
6
D.
b?4

5
?

12
正确答案C解析由图易 知
A?2,b?2
，观察图形知
T5
???
???
，得T?
?
，因而
41264
?
??
?
?2
；因为点
(,4)
是函数
y?2sin(2x?
?
)?2
的第二个点，从而有
2??
?
?
，得
662
?
?< br>?
. 故选C.
6
8．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若
a
与
b
是共线向量，< br>b
与
c
是共线向量，则
a
与
c
是共线向量（ ）
?
?
C．
|a?b|?|a?b|
，则
a?b?0

?
?
D．若
a
0
与
b
0
是单位向 量，则
a
0
?b
0
?1

?
?
答C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当
b?0
时，
a
与
c
可以为任意向量；

|a?b|?|a?b|
，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；最后一项还要考虑夹角

?
1
?
3
?
?
9．设
a?(,sin
?
)
，
b?(cos
?
, )
，且
a
b
，则锐角
?
为（ ）
23
A．
30
B．
60
C．
75
D．
45

答.D
0000
3 1
??sin
?
cos
?
,sin2
?
?1,2< br>?
?90
0
,
?
?45
0

23< br>10．函数
y?sin(2x?
?
)(0?
?
?
?< br>)
是
R
上的偶函数，则
?
的值是（ ）
??
C. D.
?

42
?
?
答C 当
?
?
时，
y?sin (2x?)?cos2x
，而
y?cos2x
是偶函数
22
11． 设
0?
?
?2
?
，已知两个向量
OP
1
?
?
cos
?
,sin
?
?
，
A
．
0
B
．
OP
2
?
?2?sin
?
,2?cos
?
?
，则向量
P
1
P
2
长度的最大值是（ ）
A.
2
B.
3
C.
32
D.
23

C < br>?????
PP
12
?(2?sin
?
?cos
?< br>,2?cos
?
?sin
?
),
?????
PP2( 2?cos
?
)
2
?2sin
2
?
?10?8co s
?
?18?32

12
?
12、△OAB中，
O A
=
a
，
OB
=
b
，
OP
=p
，9若
p
=
t(
???????????
??
?
a
?
|a|
?
?
b
|b|
?
)
，t∈R，则点P在
A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上
C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上
?
答、A由于
a
|a|
二、(本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分)
?
?
13、把函数y=cosx图象沿
b?( 2k??,1)(k?Z)
平移，得到函数___________的图象。
2
答：
y?sinx?1

14．化简
?
表示与< br>a
同向的单位向量，故可知
p
与△OAB的角分线共线，所以选A
?
?
?
1111
?
3
?
?
?
??c os2
?
?
?
?，2
?
=__________
??
?
??
2222
?
2
?
??
sin< br>答：
又因
?
3
?
11
因为
?
??2
?
，所以?cos2
?
?cos
?
?cos
?
，
2

222
3
??
11
??
??
?
，所以?cos
?
?sin?sin
，
422222

所以，原式=
sin
?
。
2
??
,]
上为增函数，那么ω的取值范围是_____
34
15、设ω>0，函数f(x)=2sinωx在
[?
答案：0<ω≤
2
??????
点评：
[?,]?[?,]

33422
16.关于下列命题：
①函数
y?tanx
在第一象限是增函数；
②函数
y?cos2(
?
4
?x)
是偶函数；
③函数
y?4sin(2x?
④函数
y?4sin(2x?
?
3)
的一条对称轴是
x?
?
6
；
?
)
的一个对称中心是
(,0)

36
?
正确的命题有 .
答案④解析：①错误，因为< br>y?tanx
的递增区间是
(?
因为
y?cos2(
因为sin(2?
?
2
?k
?
,
?
2
?k
?
)(k?Z)
；②错误，
?
4
?x)?sin2x
是奇函数；③错误，因为
sin(2?
?
?)?0??1
；④正确，
63
?
?
?)?0
.所以正确的命题为④.
63
?
三、(本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）
7sin2x?2cos
2
x
?
?
?
317
17．(本小题满分10分)若
cos
?
?x
?
?，
?< br>?x?
?
,求的值
。
41?tanx
?
4
?
512
分析：注意
x?
?
解法一：由
?
?
?
?
?
?
?
?

?x
?
?，及 2x?2
?
?x
?
?
的两变换，就有以下的两种解法。
44 42
????
1775
?
?
?x?
?
，得
?
?x??2
?
，
12434
4
?
?
?
3
?
?
?
又因cos
?
?x
?
? ，sin
?
?x
?
??.

5
?
4
?
5
?
4
?
?
?
??
2
??
?
?
?
??
?
?
?

c osx?cos
?
?
?x
?
?
?
?cos
?
?x
?
cos?sin
?
?x
?
sin??，< br>44444410
?????
?
?
?
从而sinx??
72
，tanx?7.

10
2
?
72
??2
??
72
?
2???
????
?2
?
?
?
2
101010
2sinxcosx?2sinx
?????
??
28
.

原式??
?
1?tanx1?775

2 sinxcosx
?
1?tanx
?
?
?
?
解法二 ：
原式??sin2x?tan
?
?x
?
，
1?tanx
?
4
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?7
而sin2x?sin
?
2
?
?x
?
?
?
??cos2
?
?x
?
??
?
2cos
2
?
?x
??1
?
?

?
4
??
4
?
?
25
?
?
4
?
2
??
?
?
?
sin
?
?x
?
?
?
?
?
4
?
??
4
，tan
?
?x
?
?

3
?
4
?
cos
?
?
?'x
?< br>??
?
4
?
所以，原式?
7
?
4
?
28
?
?
?
?
??.

25
?
3
?
75
?
4
18 (本小题满分12分) 已知
f(x)??4cos
2
x?43asinxcosx< br>，将
f(x)
的图象向左平移
个单位后所得的图象关于
x?
?
12
对称．
（1）求实数
a
，并求出
f(x)
取得最大值时的集合；
（2）求
f(x)
的最小正周期，并求
f(x)
在
[?
??
,]
上的值域．
46
解：（1）由已知可知
f(x)??4cos
2
x?43asinxcosx
关于
x?

?f(0)?f(
?
3
对称
2
?
?
)
??4?1?2?3a?a?1
,
f(x)?4sin(2x?)?2
，
3
6
???
当且仅 当
2x??2k
?
??x?k
?
?，k?z
时取最大值，
623
?
?
所以，取得最大值时的集合为
?
?
xx ?k
?
? k?z
?
.
3
??
（2）
f(x)
的最小正周期为
?
；
???
2
??

?x?[?,]?2x??[?,],
4 6636
??
?
1
??1?sin(2x?)?
，
f(x)
在
[?,]
上的值域为
?
?6，0
?
.
46
62
19、(本小题满分12分)求与向量
a
=
(3
， -1）和
b
=（1，
3
）夹角相等，且模为
2
的
向 量
c
的坐标。
法一：设
c
=（x，y），则
a·
c
=
3
x-y，
b
·
c
=x+3
y
∵ <
a
，
c
>=<
b
，
c
>
??
??
?
?????
????
∴
a?c
??
|a||c|
??
?
b?c
|b||c|
??

∴
3x?y?x?3y

即
x?(2?3)y
①
又|
c
|=
2

∴ x+y=2 ②
22
?
??
3?13?1
?
x?
?
x ??
?
2
或
?
2
（舍） 由①②得
??
3?13?1
??
y?y??
??
22
??
∴
c
=
(
?
3?13?1
,)

22
法二：从分析形的特征着手
∵ |
a
|=|
b
|=2

a
·
b
=0
∴ △AOB为等腰直角三角形，如图
∵ |
OC
|=
2
，∠AOC=∠BOC
∴ C为AB中点
∴ C（
3?13?1
,
）
22
???
??
??
20. (本小题满分12分) 函数
f(x)?asinx?b
的最大值为3，最小值为2，求
a
，
b的值
。
1
?
a?
?
?
a?b?3
?
2解：若
a?0
则
?

?
?

??a?b?2
?
b?
5
?
?2
1
?
a ??
?
?a?b?3
?
?
2
?
?
若
a?0
则
?

5
a?b?2
?
?< br>b?
?
2
?
??
21. (本小题满分12分)已知
a?2(co
?
sx,c
?
osxb?),(
?
coxs< br>（其中
),
?
3xsin
??
?
0?
??1
），函数
f
?
x
?
?a?b
，若直线x?
是函数f（x）图象的一条对称轴，
3
（1）试求
?
的值；

（2）先列表再作出函数
f(x)
在区间
y
3
?
?
?
,
?
?
上的图象．






2
1
?
?

?
2
?
3
?
?
3

O
-
1

?
3

2
?
3
?
x
??
2
解：
f(x )?a?b?2
?
cos
?
x,cos
?
x
??cos
?
x,3sin
?
x?2cos
?
x?23c os
?
xsin
?
x

??
?1?cos2
?
x?3sin2
?
x?1?2sin(2
?
x?)
< br>6
2
???
2
????
?
?)??1
，?
??k
?
?(k?Z)
（1）
?
直线
x?
为对称轴，
?
sin(
36362
3
31
?
?
?k?
，
22
111
?0?
?
?1???k ??k?0?
?
?

332
?
（2）
f(x)?1?2sin(x?)

6

?
x?




?
6

5
?
?

6
x

y

?
?

0
2
2
?
?

3
-1
?
?

0
?
?
6
1

?

2
?

3
3
?

5
?

6
1
7
?

6
?

0
函数
f
（x）在
[?
?
,
?
]
的图象如图所示。

22. (本小题满分12分)设向量
???
a?(4cos
?
,s in
?
),b?(sin
?
,4cos
?
),c?(cos
?
,?4sin
?
)


???
（1）若
a
与
b?2c
垂直，求
tan(
?
?
?< br>)
的值；
??
（2）求
|b?c|
的最大值;
??
（3）若
tan
?
tan
?
?16
， 求证：
a
∥
b
.
【解析】 本小题主要考查向量的基 本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角
的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证 明得基本能力。满分14分




备选题
：已知向量
m?
(
cos
?
,sin
?
) 和
n
=(
2 ?sin
?
,cos
?
)，
?
∈［π，2π］．
求
|m?n|
的最大值；(2)当
|m?n|
=
82
5时，求
cos
?
?
??
?
?
?
的值
28
??
解：(1)
???
m?n?cos
?
?sin
?
?2,cos
?
?sin
?
??

=
???
m?n?
?
cos
?
?sin
?
?2
?
2
?(cos
?
?sin
?
)2
4?22(cos
?
?sin
?
)
=
??
?
???
4?4cos
?
?
?
?
=
21?cos
?
?
?
?
4
?
4
? ??

∵θ∈［π，2π］，∴
5
??
9
?，∴
?
?
??
444

cos(
?
?)
≤1
|m?n|
4
(2) 由已知
?
?
2
2
．
???
82
?
?
??
?
?
7
?< br>?
m?n?,
,得
cos
?
?
?
?
?
又
cos
?
?
?
?
?2cos
2< br>(?)?1

5
4
?
28
4
?
25
?
?
∈［π，2π］∴
∴
cos
2
??16
(?)?
∵θ
2825
4
?
???
5
???
9
?
，∴
cos
?
??
??

???
8288
5
?
28
?