高中数学必修4三角函数常考题型：同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系
【知识梳理】
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin
2
α＋cos
2
α＝1.
(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即
π< br>其中α≠kπ＋?k∈Z?
?
. tan_α
?
2
??
sin α
＝
cos α
【常考题型】
题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值
12
【例1】 (1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.
13
4
(2)已知cos α＝－，求sin α和tan α.
5
12
?
2
?
5
?
2
5
[解] (1)c os
2
α＝1－sin
2
α＝1－
?
＝，又α是第二象限角 ，所以cos α<0，cos α＝－，
?
13
??
13
?
13
sin α12
tan α＝＝－.
cos α5
43
－
?
2
＝
??
2
， (2)si n
2
α＝1－cos
2
α＝1－
?
?
5
? ?
5
?
4
因为cos α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，
5
3sin α33
当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；当α是第三象限角时，sin α＝－，tan
5cos α45
sin α3
α＝
＝.
cos α4
【类题通法】
已知三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±1－sin
2
α，求得cos α的值，再由公式tan α
＝
sin α
求得tan α的值．
cos α
(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±1－cos
2
α，求得sin α的值，再由公式tan α
＝
sin α
求得tan α的值．
cos α
sin α
(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m?sin α＝mcos α及sin
2
α＋cos
2
α＝1，求
cos α

得cos α＝±
1m
，sin α＝±
22
的值．
1＋m1＋m
【对点训练】
4
已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
3
解：由tan α＝
sin α44
＝，得sin α＝cos α，①
cos α33
又sin
2
α＋cos
2
α＝1，② 169
由①②得cos
2
α＋cos
2
α＝1，即cos
2
α＝
.
925
344
又α是第三象限角，故cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
535
题型二、化切求值

【例2】 已知tan α＝3，求下列各式的值．
4sin α－cos α
(1)；
3sin α＋5cos α
sin
2
α－2sin α·cos α－cos
2
α
(2)；
4cos
2
α－3 sin
2
α
31
(3)sin
2
α＋
cos
2
α.
42
4tan α－14×3－1
11
[解] (1)原式＝
＝＝；
3tan α＋53×3＋5
14
tan
2
α－2tan α－1
9－2×3－1
2
(2)原式＝＝；
22
＝－
23
4－3tan
α
4－3×3
3
2
131
sinα＋
cos
2
α
tan
2
α＋
4242
(3)原式＝＝
sin
2
α＋cos
2
α
tan
2
α＋1
31
×9＋
42
29
＝＝.
40
9＋1
【类题通法】
化切求值的方法技巧
asin α＋bcos αasin
2
α＋bsin αcos α＋ccos
2
α
(1)已知tan α＝m，可以求或的值，将分子分母同
csin α＋dcos αdsin
2
α＋esin αcos α＋fcos
2
α
除以cos α或cos
2
α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin
2
α＋bsin αcos α＋ccos
2
α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin
2
α＋cos< br>2
α进行代
替后分子分母同时除以cos
2
α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．

【对点训练】
已知tan α＝2，求下列各式的值：
2sin α－3cos α
(1)；
4sin α－9cos α
(2)4sin
2
α－3sin αcos α－5cos
2
α.
2sin α－3cos α2tan α－32×2－3
解：(1)＝＝＝－1.
4sin α－9cos α4tan α－94×2－9
(2)4sin
2
α－3sin αcos α－5cos
2
α
4sin
2
α－3sin αcos α－5cos
2
α
＝，
sin
2
α＋cos
2
α
这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．
因为cos
2
α≠0，所以分子和分母同除以cos
2
α，
4tan
2
α－3tan α－5
4×4－3×2－5
则4sin
α－3sin αcos α－5cosα＝
＝＝1.
tan
2
α＋1
4＋1
22< br>题型三、化简三角函数式

【例3】 化简tan α
1
－1，其中α是第二象限角．
sin
2
α
[解] 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
故tan α
＝tan α
＝
1
－1＝tan α
sin
2
α
1－sin
2
α

sin
2
α
cos
2
α
sin α
?
cos α
?
＝·
sin
2
α
cos α
?
sin α
?
sin α
－cos α
·
cos αsin α
＝－1.
【类题通法】
三角函数式化简技巧
(1)化切为弦，即把正 切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目
的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin
2
α＋cos
2
α＝1，以降低
函数次数，达到化简的目的．
【对点训练】

sin θ－cos θ
化简：(1)；
tan θ－1
(2) sin
2
θ－sin
4
θ，θ是第二象限角．
sin θ－cos θsin θ－cos θsin θ－cos θ
解：(1)＝＝＝cos θ.
sin θ
tan θ－1sin θ－cos θ
－1
cos θ
cos θ
(2)由于θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0，
故sin
2
θ－sin
4
θ＝sin< br>2
θ?1－sin
2
θ?＝sin
2
θcos
2θ＝|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.
题型四、证明简单的三角恒等式

tan αsin α
tan α＋sin α
【例4】 求证：＝.
tan α－sin α
tan αsin α
t an
2
α－sin
2
α
tan
2
α－tan
2
αcos
2
α
[证明] 法一：∵右边＝
＝＝
?tan α－sin α?tan αsin α?tan α－sin α?tan αsin α
tan2
α?1－cos
2
α?
tan
2
αsin
2
α
tan αsin α
＝＝＝左边，
?tan α－sin α?tan αsin α?tan α－sin α?tan αsin αtan α－sin α
∴原等式成立．
tan αsin αsin α
法二：∵左边＝＝，
tan α－tan αcos α1－cos α
tan α＋tan αcos α1＋cos α1－cos
2
α
sin
2
α
sin α
右边＝＝＝＝＝，
tan αsin αsin α
sin α?1－cos α?sin α?1－cos α?1－cos α
∴左边＝右边，原等式成立．
【类题通法】
简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边；
(2)证明左、右两边等于同一个式子；
(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．
【对点训练】
1＋2sin θcos θ1＋tan θ
证明：＝
cos
2
θ－sin
2
θ
1－tan θ
sin
2
θ＋cos
2
θ＋2sin θcos θ
证明：∵左边＝
?cos θ＋sin θ??cos θ－sin θ?
?sin θ＋cos θ?
2
＝
?cos θ＋sin θ??cos θ－sin θ?

cos θ＋sin θ
cos θ
cos θ＋sin θ1＋tan θ
＝＝＝
cos θ－sin θcos θ－sin θ1－tan θ
cos θ
＝右边，
∴原等式成立．
【练习反馈】
π
?
3
，π
，sin α＝，则cos α等于( ) 1．已知α∈
?
?
2
?
5
4
A.
5
1
C．－
7



4
B．－
5
3
D.
5
π
?
3
，π
且sin α＝， 解析：选B ∵α∈
?
?
2
?
5
∴cos α＝－1－sin
2
α＝－
2．若α为第三象限角，则
A．3
C．1








3
?
2
4
1－
?
＝－.
?
5
?
5
cos α2sin α
＋
22
的值为( )
1－sin
α
1－cos
α
B．－3
D．－1
cos α2sin α
解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝＋＝－3.
－cos α－sin α
1
3．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为________．
2
1
解析：由已知得(cos α－sin α)
2
＝sin
2
α＋cos
2
α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝
，解得sin αcos
4
3
α＝
.
8
3
答案：
8
2sin α－cos α
4．若tan α＝2，则的值为________．
sin α＋2cos α
2sin α－cos α
cos α
2tan α－12×2－1
3
解析：原式＝＝＝＝.
4
sin α＋2cos αtan α＋22＋2
cos α
3
答案：
4

1－2sin 130°cos 130°
5．化简： .
sin 130°＋1－sin
2
130°
sin
2
130°－2sin 130°cos 130°＋cos
2
130°
解：原式＝
sin 130°＋cos
2
130°
|sin 130°－cos 130°|
＝
sin 130°＋|cos 130°|
sin 130°－cos 130°
＝＝1.
sin 130°－cos 130°