初中升高中数学衔接教材6-论高中数学教学策略
数
学
知
识
点
总
结
第一章
集合与函数概念
高中数学
必修 1 知识点
〖 1.1 〗集合
.1.1 】集合的含义与表示【
1(
1)集合的概念
集
合中的元素具有确定性、互异性和无序性
.
(2)常用数集及其记法
N 表示自然数集,
N
或 表示正整数集, Z 表
示整数集, 表示有理数集, R 表示实数集
.
QN
(3)集合与元素间的关系
对象 a 与集合 M 的关系是 ,或者,两者必居其
一.
a M aM
(4)集合的表示法
①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大
括号内表示集合
.
③描述法: { x | x 具有的性质 } ,其中 x 为集合
的代表元素
.
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.
(5)集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集
. ②含有无
限个元素的集合叫做无限集 . ③不含有任何元素
的集合叫做空集 (
).
【1.1.2】集合间的基本关系
(6)子集、真子集、集合相等
名称记号意义性质示意图
(1)A
A
AB
(2)
A
中的任一元素(或A
A(B)
子集
B
都属于
BA
若且,则(3)
A B AB CCBA)
或
若且,则AB(4)
B AB A
A
B
(1)
A (A
为非空子集)
中,且B
B A
真子
(或
AB
CA 且B C,则(2)若A
B集
至少有一元素不
B
)A
A属于
A 中
的任一元素
(1)A
B
集合
中的B 都属于 B,
A(B)
BA
任一元素都属于
相等
(2)B
A
A
nnn
个非空子集,个真子集,它有有
个元素,则它
有个子集,它有(7)已知集合 A
12 21 n( n1)
2
n
.非空真子集它有
2 2
【 1.1.3
】集合的基本运算
(8)交集、并集、补集
名性质记意义
示意图
页第-2-
页共27
号称
)(1
AAA
且
A, { x | x
()2交
ABA
AB
集
xB}
3)
(
AAB
BAB
(
1)
AAA
或
A, { x |
x
(
2)
并
AAAB
AB
集
xB}
(3)
ABA
BAB
1
(e A)A
U
x
A}{ x | x U ,
且补
B)(A B) ( A) (?痧
UUU
Ae
U
集
(A B)痧A) (? B)(
2
A(e
A)U
UUU
U
【补充知
识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法
不等式解集
|
x
|a(a0){ x | a x a}
或
x a}x | xa 0)| x
|a(a
把
看成一个整体,化成 ax,
b
| x
|
a
c(cb | c,| ax b
| | ax
0)
型不等式来求解
0) a(a | x |
(2)一元二次不等式的解法
判别式
00
0
4acb
2
二次函数
2
axbxc(a0)y
O
的图象
2
b一元二次方程4acb
x
b0)0(abxc
21
2a
x(其中 )x的根
1
2
b
}
2
0(aaxbxc
12
2a
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1,2
2
2a
xxax
无实根
或x R{ x |
x
x}{ x | xx0)
bx c 0(a 0)ax
的解集
2
x x}{ x | x
21
的解集
〖 1.2 〗函数及其表示
【 1.2.1 】函数的概念
(1)函数的概念
,在集中任何一个数x①设 A 、 B
是两个非空的
数集,如果按照某种对应法则,对于集合A
f
合 B
中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的
对应(包括集合
f (x) 的对应到 B A ,
B 以及 A
法则)叫做集合A到B的一个函数,记作
f : A
f .
B
②函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则.
③
只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才
是同一函数.
(2)区间的概念及表示法
①设是两个实数,且,满足的实数x的集合叫做闭
区间,记做;满足
[ a,b]
a
x b a,b a b
的实数x的集合叫做开区间,记做;满足,或的实
数x的集合
b a x
( a, b) b a x x a b
叫做半开半闭区间,分别记做,;满足的实数x的
集合分别记
a, x b, x
b [a, b) (a,b] a, x x
做.
,b) ),(, b],( [ a,),( a,
b
,而后者必须可以大于或等于,前者注意:对于
集合与区间a
x b}
(a, b) { x | a
,(前者可以不成立,为空集;而后者必须成
b
a
立).(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:
①
是整式时,定义域是全体实数.
f ( x)
②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实
数.
f ( x)
是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的
实数的集合.③
f ( x)
1.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数
的底数中含
变量时,底数须大于零且不等于
.中,⑤
x k(k Z
) y tan x
2
⑥零(负)指数幂的底数不能为零.
⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成
的函数时,
则其定义域一般是各基本初等函
f ( x)
数的定义域的交集.
⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已
知的定义域为,其复合函数
[
a, b] f (x)
f [ g (x)]
的定义域应由不等式
解出.g( x)a
b
⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题
具体情况需对字母参数进行分类讨
论.
第 -4-页共27页
⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意
义外,还要符合问题的实际意义.(4)求函数的
值
域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本
上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存
在一个最小(大)数, 这个数就是函数的最小(大)
值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,
只是提问的角度 不同.求函数值域与最值的常用方
法:
①观察法:对于比较简单的函数 ,我们可以通过观
察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式
化成含有自变量的平方式与 常数的和,然后根据变
量的取值范围确定函数的值域或最值.
③判别式法:若函数可以化成一个系数含有y的关
于x的二次方程
yf ( x)
22
0 ,则在 时,由于
x, y 为实数,故必须有b ( y)
4a( y) c( y)a( y) x0 ,b(
y) x c( y)
a( y) 0
从而确定函数的值域或最值.
④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最
值.
⑤换元
法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易
的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为
三
角函数的最值问题.
⑥反函数法:利用函数和
它的反函数的定义域与值域的互逆关
系确定函数
的值域或最值.
⑦数形结合法:利用函数图象或
几何方法确定函数的值域或最值.
⑧函数的单调
性法.
【1.2.2 】函数的表示法
(5)函数的表示方法
表
示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法
三种.
<
br>解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对
应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量
之
间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量
之间的对应关系.
(6)映射的概念
①设 A 、 B
是两个集合,如果按照某种对应法则,
对于集合A中任何一个元素,在集合
B 中 f
都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括
集合A , B 以及 A 到 B
的对应法则 )叫做
f
集合 A 到
B 的映射,记作
f : A.
B
b
对应,那么我们把元和元素 .如果元素a②给定
一个集合 A 到集合 B
的映射,且
B A, b a
素 b 叫做元素
a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原
象. 〖 1.3 〗函数的基本性质 【 1.3.1
】单
调性与最大(小)值
(1)函数的单调性①定
义及判定方法
函数的
图象
判定方法
定义
质 性
第 -5-页共27页
(1)利用定义如果对于属于定义域
(I
内某个区间上的任2)利用已知函
yy=f(X)
、意两个自变量的值 x数的单调性
1
(3时,都有x, 当
x< x )利用函数图
)f(x
221
...
2
象(在某个区间,那么就)
21
)f(x
.........
图
在这个区间上说 f(x)
o
1
12
x
象上升为增)是增函数.
xx
(4)利用复合函...
数函数的
(1单调性)利用定义
如果对于属于定义域
(2)利用已知函
内某
个区间上的任I
数的单调性
y=f(X)y
、意两个自
变量的值 x
1
(3)利用函数图
时,都有x,当 x
< x
)f(x
221
象(在某个区间
...
)f(x
,那么
1
2
就)>f(x f(x )
图
21
o
.........
在这个区间上说 f(x) 象下降为减)
x
x x
(4)
21
利用复合函是减函数.
...
数
②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两
个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函
数为
增函数,减函数减去一个增函数为减函数.
为增,则,若为增,③对于复合函数,令
为增; y u
y
f [
g(x)] f (u) u g( x) g ( x) y
f [ g( x)]
若为减,则为减,为增;若为增,为减,则
g( x) y
g( x) f (u)
y y
f (u) u u f [ g( x)]
为增,则为减;若为减,
为减.y
u
y
g (x) f [ g( x)] yf (u)
f [ g( x)]
a
(a 0)
y
)打“√”函数2(
xf ( x)
的图象与性质
x
、分别在
(f ( x) ,a ]
[
a ,
)
上为增函数,分别
上为减函数.、在
a] a,0)
(0,
[
)最大(小)值定义(3
o
x
,如果存在的定义域为I①一般地,设函数
f ( x)
y
实数 M
满足:(1)对于任意的 ,都有 ;
f ( x)
Mx I
M.那么,我们称 f ( x ) M 2)存在
,使
得(
Ix
00
(
x)f是函数的最大值,记作.M
f ( x)
max
,如果存在实数 m ②一般地,设函数的定义
域为满足:( )对于任意的
,都有
I y f (x) x
I1
;(2)存在,使得f ( x)
m.那么,我们称的最小
值,记作 m 是函数
f (x) m I x
f ( x)
00
第 -6-页共27页
f (x) m
.
max
【1.3.2 】奇偶性
(4)函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
图象判定方法
定义
性 质
如果对于函数 f(x) 定( 1)利用定义
,都义域内任意一个 x(要先判断定义
f(x) , 那有 f( -x)= -
域是否关于原
点
...........
叫做奇函 f(x)
么函数
对
称)
..
(
2)利用图象
数.
.(图象关于原点
函数的对称)
定f(x) 奇偶性如果对于函数(
1)利用定义
,都义域内任意一个 x(要先判断定义
x)= f(x) , 那么有 f( -
域是否关于原
点
..........
f(x)
对称)
函数
叫做
( 2)利用图象
函
偶
..
(图象关于 y 轴
数.
.对称)
②若函数为奇函数,且在处有定义,则
f (0)
x
f (x) 0
.
0
③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,
偶函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相反.
④在公共定义域内,两个偶函数
(或奇函数)的和
(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数
(或奇函数
)的积(或商)是偶函数,一个偶函数
与一个奇函数的积(或商)是奇函数.
〖补充知
识〗函数的图象
(1)作图
利用描点法作图:
①确定函数的定义
域;②化解函数解析式;
③讨论函数的性质(奇
偶性、单调性) ;
④画出函数的图象.
利用基本
函数图象的变换作图:
要准确记忆一次函数、二次函
数、反比例函数、指
数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本
初等函数的图象.
①平移变换
左移
hh
0,
个单
上移
位个单位
kk 0,
ky f ( x
h) y f ( x)y f ( x)
y f
(x)
0,h|k 0,k|
个单位个单位 | 右移 | 下移
h
②伸缩变换
伸
1,0
y f ( x)
f ( x)y
缩
1,
缩
0
A
1,
y Af ( x)
yf ( x)
伸
A 1,
③对称变换
第 -7-页共27页
轴轴
xy
直线原点
f ( x)y
yf (x)yf (
x)yf (x)
f ( x)
y
1
( x)f f ( x)f ( x)yyy
y x
y
轴左边图 去掉
y f ( x)
象
y f (| x |)
轴对称图
f ( x)y
y
轴右边图象,并
作其关保留
y
象
于
)识图(2
轴上方图象保留
x
| f ( x)
|y
x
轴下方图象翻折上去将
对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分
别范围、
变化趋势、对称性等方面研究函数的定义
域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析
式中
参数的关系.
(3)用图
函数图象形象地显示
了函数的性质,为研究数量关
系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,
获得问题结果
的重要工具.要重视数形结合解题的
思想方法.
第二章基本初等函数 (
Ⅰ)
〖 2.1 〗指数函数
【 2.1.1
】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念
1,且,那么叫做的次方根.当①如果,,,是奇数时,
的
n
xaxnanna a R x R n
n N
nn
次方根用符号
次方根用n次方根用符
号表示,
负的n是偶数时,正数a的正的n表示;当
a a
n
表示;0的n次方根是0;负数a没有n次方根.符
n叫做
根指数,a叫做被开
号
a
n
②式子叫做根式,这里
方数.当n为奇数时,a为任意实数;
a
当 n 为偶数时, .
0 a
nnnn
a 时 ,数当 n 为 奇 ③根 式 的 性
质 :; a ; 当 n 为 偶 数 时 ,
a)
( a
a(a0)
a
| a |
.
nn
a0)(a
(2)分数指数幂的概念
且,
的正分数指数幂等.①正数的正分数指
数幂的意义是:,0,
m
(
m n
n
0aaam
nN
1)n
于 0.
mm
mnn
(a))
a
N , 且
.0的负分数②正数的负分数指数幂的意义
是:0, m, n(11
n1)
(
n
aa
指数幂没有意义.注意口诀:
底数取倒数,指数
取相反数.
(3)分数指数幂的运算性质
rrsrsr ss
)
rRbabaab
②① a (a (a 0, r , s R)(
aaaa0,r , s R)
r
(
)
(③0,)0,
r
r
【2.1.2
】指数函数及其性质
第 -8-页共27页
(4)指数函数
函数名称指数函数
x
(a 0 a且
定义函数 y
叫做指数函数a
1)
a 10 a
1
xx
y
a
yya
y
图象
y 1y 1
(0,1)
(0,1)
O
x
O
x
定义域R
值域
(0, )
图象过定点,即当时,.过定点
y 1 (0,1) 0
奇偶性非奇非偶
在 R 上是增函数在 R
上是减函数单调性
xx
a a1(x 0)1 ( x 0)
xx
函数值的
a a1(x 0)1 ( x
0)
变化情况
xx
a
a11
( x 0)(x 0)
x
a 变化对图象的
在第一象限内, a 越大图象越高;
在第二象限内, a 越大图象越低.
影响
〖
2.2 〗对数函数 【 2.2.1 】对数与对数运算
(1)对数的定义
x
N
N x a 为底
的对数,记作0, N ( a 且a 1),
则 x ①若 a叫做以
a
叫做底数,log N ,其中
a
叫做真数.
②负数和零没有对数.
x
1, NN ( a log ③对数式与指数式的互化:x
Na0,a
.0)
a
)几个重要的对数恒等式(2
b
1, ,log 1
0 log a
alog
.
b
aaa
)常用对数与自然对数(3
).,;自然对数:,即常用对数:logN,即(其中
lg
N e
2.71828 ln N log N
e10
,那么如果 4()对数的运算性质
0a0, a 0, N 1,M
页
第-9-页共27
①加法: log M
log N②减法: ( MN )log
log
Mlog N log
M
aaaaaa
N
logNn
a
④
M③数乘: n log (nlog M R)
N
aa
b
a
n
n
log log
N)log 0,(
⑥换底公式:⑤
N log
且 b 1)nMb
b
a
(b 0,RaMa
log ab
b
【 2.2.2 】对数函数及其性质
(5)对数函数
函数
对数函数
名称
log x(a 0 且 叫做对数函数 y函数定义
a1)
a
0 a11a
11xx
y log xy log
xyy
aa
图象
(1,0)
O
(1, 0)
x
O
x
定义域
(0,)
值域R
图象过定点,即当时,.过定点
0 (1,0) y x 1
非奇非偶奇偶性
在上是增函数在上是减函数单调性
) (0,) (0,
log xlog x0(x(x1)1)0
aa
函数值的
log
log x1)0(xx0(x1)
aa
变化情况
log log x1)(0xx0x
1)0(0
aa
a
变化对在第一象限内, a 越大图象越靠低;在
第四象限内,a 越大图象越的图象
靠高.影响
反函数的概念(6)
C
,从式子,值域为的定义域为A中解出设函数x,
得式子.如果
y f
( x) ( y) yf ( x) x
C
中的任何一个值,通过式子对于 y
在,x在A
中都有唯一确定的值和它对应,那么式
( y) x
1
,习惯( y) f
x叫做函数的函数,函数是子表示
xy的反函数,记作
y xf (x) ( y) (
y) x
第-10-页共27页
1
. y f ( x) 上改写成
( y) f x中反解出①确定反函数的定义域,即原
( y) 改写成 y
f,并注明反函数的定义
)反函数的求法( 7
1
;
函数的值域;②从原函数式
y f ( x)
11
( x) f
域. x③将
(8)反函数的性质
1
y的图象关于直线与反函数y f( x)①原函数x
y
f(x)的值域、
对称.
y f ( x)
1
的定义域、值域分别是其反函数
定义域.②函数
f ( x)
y
1'
的图象上,则P(b, a)在反函数y
f(x)的图象
上.在原函数③若
f ( x) yP( a, b)
④一般地,函数要有反函数则它必须为单调函数.
f
(x) y
〖 2.3 〗幂函数
(1)幂函数的定义
为自变量,叫做幂函数,其中x
一般地,函数
是常
数.x y
(2)幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①图象分布:幂函数图象分布
在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是
偶函数时,图象分
布在第一、二象限 ( 图象关于 y 轴对称 )
;是
奇函数时,图象分布在第一、三象限
图象关于原点
对(
称) ;是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.
第 -11-页共27页
②过定点:所有的幂函数在都有定义,并且图象都
通过点.
(1,1)
(0,)
,则幂函数的图象过原点,并且在,则幂函数上为
增函数.如果③单调性:如果
0
[0,0 )
上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x
轴与
y 的图象在轴.
) (0,
q
(其中 p,q当
④奇偶性:当当为偶数时,幂函
数为偶函数.为奇数时,幂函数为奇函数,
p
q q
pp
为偶数时,则q是奇函数,若p为奇
数为奇数时,则为奇数q和
),若p互质, p
y x
x
yqZ
q
p
q
为奇数时,则是偶函数,若 p 为
偶数
y
是非奇非偶函数.
x
) ,当时,若,其图象在直线yx
下方,若⑤图象
特征: 幂函数 y ,x , x (0,
1 0 x11
x
x 上方,当x ,其图象在直线
y上方,若时,若
其图象在直线 y ,其图象在直
1 0xx 11
下方.线 y x
〖补充知识〗二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
22
h)ax0) f ( x) a(x③两根式:0) ②顶点式: f
(x)①一般式:k(abx c(a
xf
( x) a( x x)( x )( a0)
21
(2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标
时,宜用一般式.
②已知抛物线的顶点坐标或与
对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点
式.
③若已知抛物线与 x
轴有两个交点,且横线坐标
已知时,选用两根式求更方便.
f ( x)
)二次函数图象的性质3(
2
ax0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为①二次
函数 f
(x)顶点坐标是bx c(a
, bx
2a
2
4ac bb
,
.
) (
4a2a
b
b
时,上递减,在
b [ ]
,
上递增,当②当时,抛物
线开口向上,函数在
x0 ) a(
,
2a2a2a
b
2
上递增,在
[ ] b
,
上递减,;当时,抛物线开口
向下,函数在
b ( x)f) a0
( ,4ac
min
2a4a2a
b
2
时,
( x) f
当.
4ac b x
max
4a2a
22
ax时,图象与x当轴有两个交点③二次函数 f
(x)0) bx
c(a
b 4ac 0
第-12-页共27页
0(abx c )一元二次方程 ax (4
根的分布0)
x |.
| | x,0),M (x,0),|MMM (x
1221112
2
|a|
2
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,
这部分知识在初中代数中虽有所涉及,
但尚不够
系统和完整,
且解决的方法偏重于二次方程根的
判别式和根与系数关系定理 (韦达定理)的运用,<
br>下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元
二次方程实根的分布.
22
f ( x) ax .令 设一元二次方程 ax,且c 0(a
0) 的两实根为bx c ,从以下bx
x, xx x
2211
b
a ②对称轴位置:④端点函数值四
个方面来分
析此类问题:①开口方向:
x
③判别式:
2a
符号.
x< x≤① k
21
yy
b
x
k
OO
x
x
xk
xxx
2
112
2a0f (k) 0a
0f (k )b
a
0x
2a
2a
<x ② x≤k
21
yy
b
xf
(k ) 0
0a
x
k
OO
k
x
2
xx
2
xx
11
f (k) 0a
0b
x
2a
xk< x③<
0<af ( k)
21
yy
0a
0f (k )
k
O
O
x
k
x
xxx
1 1
x
2
0f ( k)
0a
2
< k
④k<xx≤
2121
页第页共-13-27
y
a0
b
y
x
2a
0
f
(k ) )f (k0
2
1
kkx
x
1
2
xO
x
2
x
kkO
x
21
1
f
(k )0
1
b
) 0
f (k
2
x
a
2
1
0
2a
fkfk,并同时考虑
k x)< x(或 x)满足
k
<x(或⑤有且仅有一个根
21112212
()()0
f (
k)=0 或 f ( k)=0 这两种情况是否也符合
21
yy
0a
f (k) 0f (k
)0
1
1
kkx
221
xO
Okx
x
2
1
1
k
x
x
1
2
f (k )0
2
a 0f (k )
0
2
⑥ k <x<k≤
p<x <p
212112
此结论可直接由⑤
推出.
2
ax(5)二次函数 f ( x)c(a 0) 在闭区间
上的
最值bx
[ p, q]
1
.
( p q)
,令m设在区间上的最大值为M,最
小值为
x f ( x) [ p, q]
0
2
时(开口向上)(Ⅰ)当
0 a
b
③若
)
,则,
则,则②若①若
m f (
q)q q p m f ( p mbf
( p)bb
2a2a2a2a
fff
f
(p)(q)(p)
(q)
(p)
x
O
xx
OO
f
bbb
f
f ()f ()
)f (
2a2a
(q)
2a
bb
,则①若②,则
Mx f (q)f ( p) M
x
0
0
2a2a
f
f(p)
x
(q)
x
0
0
x
O
x
O
b
f f
f ()
b2a
(q)
(p)
)f (
2a
第-14-页共27页
( Ⅱ ) 当
时(开口向下)a
0
bbb
b
)
,则,则②若 ③若,则①若
(q)
Mf ( p) Mpf (q q
2a2a2a2a
b
f
(fb b
))
f (2af ()
2a2a
(q)f
(p)(p)
x
O
xx
OO
fff
f
Mp f
(p)(q)(q)
bb
.,则,则①若
m f ( p) x m
f (q)
②
x
0
0
2a2a
f ()
bb
f
(f
)2a2a
f
(q)
(p)
xx
00
xx
OO
f
f
(q)
(p)
页-15-第页共27
高中数学必修 4 知识点
第一章
三角函数
正角 : 按逆时针方向旋转形成的角
1、任意角
负角 : 按顺时针方向旋转形成的角
零角 : 不作任何旋转形成的角
2、角x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,
则称为第几的顶点与原点重合,角的始边与
象限角.
第一象限角的集合为
k 360k36090 , k
第二象限角的集合为
180 , k90k 360k
360
第三象限角的集合为
270
, k360k 360180k
第四象限角的集合为
360 ,kk 360270k360
轴上的角的集合为终边在 x
180 , kk
轴上的角的集合为 y 终边在
90 , k180k
终边在坐标轴上的角的集合为
k 90 , k
、与角3终边相同的角的集合为
, k360k
弧度.4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1
,则角所对弧的长为5、半径为 r
的圆的圆心角.的
弧度数的绝对值是
l l
r
180
,、弧度制与角度制的换算公式:6.57.3
13602
1,
180
,r 7、若扇形的圆心角为为弧度制,半径为 r ,
弧长为,则
l,,面积为,周长为
2r lSlCC
2
.
r 1rS1l
y
22
T
P
是一个任意大小的角,
8、设,它与的终边上
任意一点的坐标是x, y
xy
x
O M
A
22
,,
tan cos
r
rx原点的距离是y.0 ,
则
0 nisxy
xrr
、三角函数在各象限的符号:
第一象限全为正,第
二象限正弦为正,9第三象限正切为正,第四象限
余弦为正.
., 10、三角函数线:,
tansincos
2222
1 sin:1 cos 11
、角三角函数的基
本关系
cossin 1
22
;
sin
,cos
1
页-16-第页共27
.. (3) 倒数关系:
tancotsin1sintansintan
cos ,cos2
tancos
12、函数的诱导公式:
, cos 2k, tan 2k.kcos1 sin2ksintan
tan cos,,.tansin2
sincos
sin , cos,
tantan .cos3 sin
,
cos, tan.cos4 sinsintan
口诀:函数名称不变,符号看象限.
,.,.
sin 6cos cos cossinsin5
sincos
2222
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
、①的图象上所有点向左(右)平移13个单位长
度,得到函数的图象;再将函数sin
xy
1
倍(纵坐标不变)
,得到函数的图象上所有点的
横坐标伸长(缩短)到原来的xysin
y的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长
(缩短)到原来的xsinysinx
倍(横坐标不变),得到函数 y的图象.xsin
②数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来
的倍(纵坐标不变),得到函
数
sin x y1
的图象;再将函数的图象上所有点向左(右)平移
个单位长度,得到函数
x x
ysinysin
的图象;再将函数 y的图象上所有点的纵坐标伸长
(缩短)到原来的xsinysinx
倍(横坐标不变),得到函数 y的图象.xsin
14、函数 y的性质:00,sinx
;③频率:;④相位:;⑤初相:①振幅:;②周
期:.
fx21
2
,当 x
x 时,取得最小值为 x 时,取得最大
值为 y ,则 x;当函数
yxsin
y
max21min
yyyy
,,.
xx xx11
222
max minmax min
2121
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函
y=cotx
tan xy cos x y sin xy
数性
质
页页共第-17-27
y
y=cotx
图
象
ox
23
-
-
2
22
定
x
x k,
kx x k,k
义
2R2R
域
值
1,11,1RR
域
当
当 x时,
k2k
2kx
k
2
当;1y
max
y 1 ;
当, 时
max
2kx
最既无最大值也无
既无最大值也无
值k
x 2k
y时,.1最小值k最小值
min
2
时,
y.1
min
周
22
期
性
奇奇函数偶函数奇函数
奇函数
偶
性
在
在
,2
k2k
在
22
,2 k k2k
单k上是增函数;
k, k
上是增函数;在
22
调
增函k
3
在
性,2 k2k
上是
2k
, 2k
k数.上是减函数.
22
k 上是减函数.
称对对中心
称中称心对称中心对称中心对
k
,0k
性
第-18-页共27页
对称轴
kk
kk,0
,0
k,0 k
x kk222
2
无对称轴无对称轴
x对称轴kk
第二章 平面向量
、向量:既有大小,又有方向的量.16
数量:只有
大小,没有方向的量.
零向量:长度为有向线段的三要素:起点、方向、
长度.的向量.
0
个单位的向量.单位向量:长度等于 1
平行向量<
br>(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向
量与任一向量平行.
相等向量:长度相等且方向
相同的向量.
、向量加法运算:17
三角形法则的特点:首尾相
连.?
平行四边形法则的特点:共起点.?
:式 不 等 ?
三 角
形
a ba b a b .
?运算性质:①交换律:a ;ba
b
;③②结合律:aa .0
a0
ac Cabcb
,则设 ?坐标运算:.,
2
1 22
2
x y , yx , ya b xxa, yb
111
a
18、向量减法运算:
三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被
减向量.?
b
设坐标运算: ?,,则.a b x x y , yxax ,
y, y
222 2 1 1
1 1
abCC
x , y ,
x , y, 设、两点的坐标分别为则
2211
.
xyy
x,
112
2
、向量数乘运算:19
.实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数
乘,记作?
a
a
a ;①a
的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;
当
时,
时,②当
0 a a a a 0 0
.
0 a
?运算律:①a ;②a ;③.aaa
b baa
?坐标运算:设,则 ax,y.x, yx, ya
20、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一
一个实数,使.
a
b b0a a
页-19-第页共27
设
ax, y , bx , y ,其中 ,则当且仅当xyx y
0 时,向量 、
共线.
0 b b b0 a
11221212
21、平面向量基本定理:如果
e 、 e
是同一平面
内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任
21
e
、 e
.(不共线的向量
e
、
e
作为这一平面
内所
a意向量,使,有且只有一对实数
a
1 2 11
2221
有向量的一组基底)
,当 , y、, x上的一点,的坐标分别是,
yx
是线段22、分点坐标公式:设点
1
21
2 21211
2
xy
1时,就为中点公
,
.(当的坐标是时,点
yx式。)
1 2
21
11
23、平面向量的数量积:
..零向量与任一向量的数量积为?
0 180a b cosa0,
b0,0a b
?性质: 设 和
都是非零向量, 则① a0 .②当
与 同向时, ;当与ba b
b a aaba ba b b
22
a 或a
a .③ .;反向时,
a a b a b a b aaaa b
.?运算律:①;②;③
b c a abb ca bba
cababa
yy .xxx ,
yx , y a b b?坐标运算:设两个非零向量,
则,a
21221211
2
2222
a设.x , yx , y b或,若 ax, y ,
则
, , 则
y yxx aa
2211
.
xx
y y 0ba
2
1
21
x, yx , y是与b的 夹 角 向 零 量
, a, , b
则都、设 是 非,
a a b
2112
xxy ya
b.cos
2211
2
2
2
2
ya b
x
y
x
2
1
1
2
知识链接:空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而
得 .
下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应
用进行总结归纳 .
1、直线的方向向量和平面的法向量
?.直线的方向向量:
若 A、B 是直线 上的任意两点, 则 为直线
的
一个方向向量; 与 平行的任意非零向量也
ABlABl
是直线的方向向量.
l
?.平面的法向量:
若向量 n
所在直线垂直于平面,则称这个向量垂
直于平面,记作 n,如果 n
,那么
向量 n 叫做平面
的法向量 .
?.平面的法向量的求法(待定系数法):
第-20-页共27页
①建立适当的坐标系.
②设平面的法向量为 n
(
x, y, z) .
③求出平面内两个不共线向量的坐标a (a, a , a ),
b
(b, b
,b ) .
321
321
n a
0
④根据法向量定义建立方程组.
n b
0
⑤解方程组,取其中一组解,即得平面的法向量 .
(如图)
1、
用向量方法判定空间中的平行关系
?线线平行
∥ b ,即、 ,则要证明设直线.
a,只需证明 l l
∥, ll a的方向向量分别是a
kb(k R)b
2121
两直线的方向向量共线。即:两直线平行或重合
线
面平行?
①(法一)设直线的方向向量是a,平面的法向量
是 u ,则要证明 ∥ ,只需证明
a
ll
u ,
即 a u 0 .
即:直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法
向量垂直且直线在平面外
②(法二)要证明一条直线和一个平面平行,
也
可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量
是共线向量即可
.
?面面平行
的法向量为 u ,平面的法向量为,要证∥ ,只
需证 u ∥ ,即证
u v .若平面
v v
即:两平面平行或重合两平面的法向量共线。
、用向量方法判定空间的垂直关系3
线线垂直?
,即 a b 0 .、
设直线,则要证明
l ,l 的方向向量分别是 al l
,只需证明 a
bb
2211
即:两直线垂直两直线的方向向量垂直。
?线面垂直
①(法一)设直线的方向向量是a,平面的法向量
是 u ,则要证明 ,只需证明 a ∥
u ,
l l
a u .即
第-21-页共27页
a
m
,若nm、②(法二)设直线的方向向量是,
平面 内的两个相交向量分别为
l a ,则 l.0
0a n
即:直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向
量共线直线的方向
向量与平面内两条
不共线直线的方向向量都垂直。
面面垂直?
,只需证 的法向量为
u v ,即证 u v ,要
证若平面 的法向量为 u ,平面0
.
v
即:两平面垂直两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角
求异面直线所成的角?
已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任
意两点,所成的角为,
a, b
a,b a, b
AC BD
cos则.
AC BD
?求直线和平面所成的角
① 定义:平面的一条斜
线和它在平面上的射影
所成的锐角叫做这条斜线
和这个平面所成的角
②求法:设直线的方向向量为a,平面的法向量为
u ,直线与平面所成的角为, a 与
u 的夹
l
的补角角为, 则 为的余角或
的余角 . 即有:
a u
cossin.
a u
?求二面角
① 定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,
其中的每一部分叫做半平面;
从一条直线出发的
两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫
做二面角的棱,每个半平面
叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点
O,
分别在两个半平面内作射线l
,则为二面角
AOB 的平面角 .AO
l , BO ll
如图:
A
B
l
BO
O
A
的两个半平面的法向量分别为 m、n ,再设 m
、
n 的夹角为,二面角②求法:设二面角
l
或其补角的夹角 、
.
m n
为,则二面角的平面角为
l
根据具体图形确定是锐角或是钝角:
第-22-页共27页
m n
◆如果是锐角,则 coscos,
m n
m n
arccos即 ; m
n
m n
cos是钝角,则◆
如果cos,
m n
m
n
即
arccos
.
m n
5、利用法向量求空间距离
?点 Q到直线
距离
l
若 Q为直线 外的一点 , P 在直线
上, 为直
线 的方向向量, = PQ ,则点 Q到直线
距离
为
lblall
22
(a b )(| a
|| b |)1h
| a |
?点 A 到平面的距离
若点 P
为平面外一点,点 M为平面内任一点,
的法向量为 n ,则
P 到平面的距离就等于在法向
量n方向上的投影的绝对值.平面
MP
即 d MP cos n,
MP
n MP
MP
n
MP
n MP
n
?直线 a 与平面
之间的距离
当一条直线和一个平面平行时, 直线上的各点到
平面的距离相等。 由此可知,直线到平面的
距离
可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为
点面距离。
n MP
即 d
.
n
?两平行平面
之间的距离,
利用两平行平面间的距离处处相等,
面间的距离转化为求点面距离。
n MP
d即
.
n
页-23-第页共27
可将两平行平
?异面直线间的距离
设向量 n 与两异面直线
都垂直, 则两异面直
线间的距离就是在向量n
a, b d a,b a, P Mb,
MP
方向上投影的绝对值。
n MP
即 d
.
n
6、三垂线定理及其逆定理
?三垂线定理: 在平面内的一条直线,如果它和这
个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和
这条斜
线垂直
P
O
A
,OPO
a
推理模式:
PAa
PAA
OAa, a
概括为:垂直于射影就垂直于斜线.
?三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线,如果
和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这
条斜线
的射影垂直
PO,O
推理模式:
PAAOAa
AP, a
a
概括为:垂直于斜线就垂直于射影.
7、三余弦定理
设 AC是平面内的任一条直线, AD是
的一条斜
线 AB在
内的射影,且 BD⊥ AD,垂足为 D.
设 AB 与(AD) 所成的角为 , AD 与 AC 所成
的角为 , AB 与
AC 所成的角为 .则 cos cos
cos .
2121
B
1
AD
2
C
8、
面积射影定理
已知平面内一个多边形的面积为 S S
,它在平
面内的射影图形的面积为
S S
,平面
射原
与平面 所成的二面角的大小为锐二面角
,则
第-24-页共27页
S
'
.
S=cos
射
SS
原
9、一个结论
,
、、
,
夹角分别为
l、l、l的线段在三条两两互相垂直的
直线上的射影长分别为长度为
l
312
312
2 22 2 2
2
2222
.则有
3132
2213
1
2l l llsin cos cos
1cos sinsin
.(立体几何中长方体对角线长的公式
是其特例)
第三章 三角恒等变换
、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:24
;? cos;sinsincoscossinsin?coscos cos
sin;?;sinsin
coscos?sincossincossin
tantan
tan();tantan1tan?tantan
tantan1
tantan
tan().tantantantan?tan1
tan1tan
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
222
cos )
sin
cos.(sin?cos1sin 22sin
cos2sinsin
2
2222
1
2sin
2cossincos1?cos2
22
升幂公式
2 sin
2cos
1cos,1cos
22
1
22
,
sin
降幂公式.
cos1 cos2cos2
22
万能公式:
26、
αα
2
2 tan
tan 1
22
; cos
αα
α
2
tan
tan
αsin 11
2
22
2tan
2
tan.tan21
27、
半角公式:
αcos
αcos
sin
cos α11
2222
αt an
cos αsin αcos α11
αsin αcos 1cos α12
(后两个不用判断符号,更加好用)
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一
;
α
个角,一次方”的28、合一变形
第-25-页共27页
,其中 形式。.
tancosy
22
A
sin( x) B sin sin
29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,
提高三角变换能力,要学会创设条件,
灵活运用
三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的
数学思想方法技巧如下:
(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表
达式中往往出现较多的相异角,可
根据角与角之间
的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,
沟通条件与结论中角的差异
,使问题获解,对角的
变形如:
①的二倍;是的二倍;是的二倍;是的二倍;是
2
4 2
422
o
30
o o oo o
;② 问 :;
sin 15
456045
30
122
;
cos
12
;;④③
)
()(
442
)
;等等
⑤
2(()) ()(
44
(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函
数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基
础,通常化切为弦,变异名为同名。
(3)常数代换:在三角函
数运算,求值,证明中,
有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数
“
1”的代换变形有:
22oo
tan 45cos1
sin
cotsin 90
tan
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对
次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方
法。常用降幂公式有:;。降幂并非绝对,
有 时 需 要 升 幂 , 如 对 无 理 式 1 c o s
常 用 升 幂
化 为 有 理 式 , 常 用 升 幂 公
式
有:;;
(5)公式变形:三
角公式是变换的依据,应熟练
掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
11
;
如:
_______________
;
_____________tantan
tan11tan
;;
__________ _ 1____________
tantantantan
;;
__________ _
1____________ tantantantan
2
;;
tan 12tan
oooo
tan 40tan203 tan20tan40
;
;=
cossin
;(其中=
b cosasin
;)
tan
;;
1coscos1
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(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、
形、幂”四方面入手;
基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,
异名
化同名,高次化低次,无理化有理,
;3 tan10 如:
sin 50 (1 )
特殊值与特殊角的三角函数互化。
oo
。
tancot
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