高中数学必修四(期末试卷 含答案)

数学必修四测试卷
一、选择题（本大题共12道小题，每题5分，共60分）
π
?
1．函数y＝sin
?
＋cos
?
?
?
0 ＜
?
＜
?
的值域为( )．
?
2
?
A．(0，1) B．(－1，1) C．(1，
2
] D．(－1，
2
)
2．锐角三角形的内角A，B 满足tan A－
A．sin 2A－cos B＝0
C．sin 2A－sin B＝0
?
4
?
1
＝tan B，则有( )．
sin2A




?


4
?




B．sin 2A＋cos B＝0
D．sin 2A＋sin B＝0
2
?
π
?
π
?
3．函数f(x)＝sin
2
??
x＋
?
－sin
?
x－
?
是( )．
A．周期为 ??的偶函数
C．周期为2??的偶函数






B．周期为??的奇函数
D．周期为2?的奇函数
4．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若
a
与
b
是共线向量，
b
与
c
是共线向量，则
a
与
c
是共线向量
C．
|a?b|?|a?b|
，则
a?b?0
D．若
a
0
与
b
0
是单位向量，则
a
0
?b
0
?1

5．已知
a,b
均为单位向量，它 们的夹角为
60
0
，那么
a?3b?
（ ）
A．
7
B．
10
C．
13
D．
4

6．已知向量
a
，
b
满足
a?1 ,b?4,
且
a?b?2
,
则
a
与
b
的夹 角为
A．
????
B． C． D．
6432
7.在?ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=
3
，则?C的大小 应为( )
A．
?

3
B．
?

6
C．
?
5
或
?

66
D．
?
2
?
或
33
8. 若，则对任意实数

的取值为（ ）
D. 不能确定
，则的大小为（ ）
A. 区间（0，1） B. 1 C.
9. 在
A.
中，
B. C. D.
10. 已知角
?
的终边上一点的坐标为（
sin
（ ）。
2< br>?
2
?
,cos
），则角
?
的最小值为
33
高一数学试卷 第1页 （共6页）

A、
5
?
5
?
11
?
2
?
B、 C、 D、
636
3
11. A，B，C是
?
ABC的三个内角，且tanA,tanB
是方程
3x
2
?5x?1?0
的两个
实数根，则
?
ABC是（ ）
A、等边三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形
1
12. 已知
sinxcosy?,则cosxsiny
的取值范围是（ ）
2
311311
A、
[?1,1]
B、
[?,]
C、
[?,]
D、
[?,]

222222


二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知方程
x
2
?4ax?3a?1?0
（a为大于1的常数）的两根为
tan
?
，
tan
?
，
?
?
?
?
?
??
且
?
、
?
?
?
?
,
?，则
tan
的值是_________________.
2
?
22
?
14. 若向量
|a|?1,|b|?2,|a?b|?2,
则
|a?b|?
。
15.给出四个命题：①存在实数
?
，使
sin
?
co s
?
?1
；②存在实数
?
，使
35
?
5< br>?
?
sin
?
?cos
?
?
；③
y ?sin(?2x)
是偶函数；④
x?
是函数
y?sin(2x?)
224
8
的一条对称轴方程；⑤若
?
,
?
是第一象限角，且
?
?
?
，则
sin
?
?sin
?
。其中
所有的正确命题的序号是_____。
π
?
，则sin 4
??
的值为 ．
?
＋
?
?
sin
?
－
?
?
＝，
?
∈
?
，
?
π
?
4
?
?
?
π
?
4
?
?
1
6
?
π
?
2
?
?
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.（10分）已知












，求的最小值及最大值。
高一数学试卷 第2页 （共6页）

sin2x＋2sin
2
x
37?7?
?
π
?
18.（12分）已知cos
?
＋ x
?
＝，＜x＜，求的值．
1－tanx
5124
?
4
?










19.（12分）已知函 数
f(x)?sin(
?
x??)(
?
?0,0
≤
?
≤
?
)
是R上的偶函数，其
3
?
图像关于点M< br>(
?
,0)
对称，且在区间[0，]上是单调函数，求
?
和< br>?
的值。
4
2











?
?
33
?
?
?
xx
??
?
?
20.（12分）已知向量< br>a?
?
cosx,sinx
?
,b?
?
cos,?s in
?
,且
x?
?
0,
?
,
求
22
?
22
????
2
?
?
?
?
?
(1)
a?b
及
a?b
;
?
?
?
?
3
(2)若
f
?x
?
?a?b?2
?
a?b
的最小值是
?
,求 实数
?
的值.
2









高一数学试卷 第3页 （共6页）

21. （12分）已知向量
a?(cos
?
,sin
?
)
，
b?(cos
?
,sin
?
)
，
a?b?
（1）求
cos(
?
?
?
)
的值 ；
（2）若
0?
?
?
25
．
5
?，
?
?
?
?
?0
，且
sin
?
??
5
，求
sin
?
的值．
2213











22.（12分）已知向量
a?(cos
3x3xx
2
，sin2
)
，
b?(cos
2
，?sin
x
2
)
，
其中
x?R
．
（1）当
a?b
时，求
x
值的集合；
（2）求
|a?c|
的最大值．


















高一数学试卷 第4页 （共6页）
c?(3，?1)
，

2011～2012学年度下学期期末考试
高一数学答案（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共12题，共60分）
1-5 CABCC 6-10 CBBAD 11-12 DD
1．C 解析：∵ sin
?
＋cos
?
＝
2
sin(
?
＋
2
]．
π
?
)，又
?
∈(0，)，∴ 值域为(1，
4
2
2．A 解析：由tan A－
sin(A－B)

cosAcosB
111
＝tan B，得＝tan A－tan B
?
＝
sin2Asin2A2sinAcosA
?
cos B＝2sin Asin(A－B)
?
cos[(A－B)－A]＝2sin Asin(A－B)
?
cos(A－B)cos A－sin Asin(A－B)＝0，即cos(2A－B)＝0．
∵ △ABC是锐角三角形，
∴ －
π
＜2A－B＜π，
2
?
?
sin 2A＝cos B，即sin 2A－cos B＝0．
2
π
???
π
??
π
?
3．B 解析：由 sin
2
?
x－
?
＝sin
2
?
－x?
＝cos
2
?
＋x
?
，
4
???
4
??
4
?
∴ 2A－B＝
得f (x)＝sin
2
?
x＋
?
－cos
2
?
＋x
?
＝－cos
?
2x＋
?
＝sin 2x．
4.C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当
b?0
时，
a< br>与
c
可以为任
意向量；

|a?b|?|a?b|
，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角
5. C
a?3b?a
2
?6ab?9b
2
?1?6 cos60
0
?9?13

6. C
cos
?
?
ab
ab
?
21
?
?,
?
?

423
?
?
π
?
4
?
?
π
?
4
?
?
?
?
π
?
2
?
7. 正确答案：B 错因：学生求?C有两解后不代入检验。
8.解一：设点


解得
选B
，则此点满足
或 即
高一数学试卷 第5页 （共6页）

解二：用赋值法， 令 同样有选B
说明：此题极易认为答案B最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们
忽略了一个隐含条件
9. 解：由
，导致了错选为C或D。
平方相加得
若 则
又 选A
说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现。这里提示我
们要注意对题目条件的挖掘。
10. 正解：D
23511
2
?
2
?
tan< br>?
?cos
?
??,?
?
?
?
或
?
?
?
，而
sin?0cos?0

3366
33< br>所以，角
?
的终边在第四象限，所以选D，
?
?
11
?

6
22
误解：
tan
?
?tan
?< br>,
?
?
?
,选B
33
11. 正解：D
3
?
tanA?tanB?
?
?
5
由韦达定理得：
?

?
tanAtanB?
1
?
3
?
5
tanA?tanB5
?tan(A?B)??
3
?

1?tanAtanB
2
2
3
高一数学试卷 第6页 （共6页）

在
?ABC
中，
tanC?tan[
?
?( A?B)]??tan(A?B)??
5
?0

2
??C
是钝角，
??ABC
是钝角三角形。
12. 答 案：D设
cosxsiny?t,则(sinxcosy)(cosxsiny)?
由
sin2xsin2y?1即2t?1??
错解：B、C
1
t
，可得sin2x sin2y=2t,
2
11
?t?
。
22
11
错因：将
sinxcosy?与cosxsiny?t相加得sin(x?y)??t
由 22
131
?1?sin(x?y)?1得?1??t?1得??t?
选B，相减 时选C，没有考虑上述
222
两种情况均须满足。
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
一、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.-2 14.
6
15. ③④ 16. －
42

9
13. 正确解法：
?a?1

?
tan
?
?tan
?< br>??4a
?0
，
tan
?
?tan
?
?3a ?1?o


?
tan
?
,tan?
是方程
x
2
?4ax?3a?1?0
的两个负根
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
?
?,0
?
又
?
,
?
?
?
?,
?

?
?
,
?
?
?
?,0
?
即
2
?
22
??
2
??
2
?
由
tan
?
?
?
?
?
=
答案: -2 .
14.
6
由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
22< br>2
22
2
22
tan
?
?tan
?
?4a
4
?
?
?
==可得
tan??2.

1?tan
?
?tan
?
1?
?
3a?1
?3
2

a?b?a?b?2a?2b?a?b?2a?2b?a?b?2?2?4?4?6

15.正解：③④
111
sin2
?
?[?,],?sin
?
cos
?
?1
不成立。
222
?
3
②
sin
?
?cos
??2sin(
?
?)?[?2,2],?[?2,2],?
不成立。
42
5
?
?
③
y?sin(?2x)?sin(?2x)?cos2x
是偶函数，成立。
22
5
?
3
?
??
④ 将
x?
代入
2x?
得,
?
x?
是对称轴，成立。
42
88
①
sin
?
cos
?
?
⑤ 若
?
?390< br>?
，
?
?60
?
,
?
?
?
,
但
sin
?
?sin
?
，不成立。
误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。
高一数学试卷 第7页 （共6页）

⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是
(0
?
,90
?
)
的角，从而根据
y?sinx
做出了 错误的判断。
16．－
42
．
9
π
?
4
?
π
?
2
π
?
4
?
??
??< br>?
解析：∵ sin
?
?
－
?
?
＝sin
?
－
?
＋
?
?
?
＝cos
?
＋
?
?
，
?
?
?
π
?
4
?
?
??
∴ sin
?
?
＋
?
?
sin
?
－
?
?
＝
?
1
?
π
??
π
?
?
sin
?
＋
?
?
cos
?
＋
?
?
＝
6
?
4
??
4
?
1
?
π
?
?
sin
?
＋ 2
?
?
＝．
3
?2
?
?
π
?
4
π
?
4
16
∴ cos 2
?
＝，又
?
∈(
1
3
?
，π)，∴ 2
?
∈(π，2π)．
2
22
，
3
42
．
9
∵ sin 2
?
＝－
1－cos
2
2
?
＝－
∴ sin 4
?
＝2sin 2
?
cos 2
?
＝－
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 解：

令 则
当时，
时，

；当时， 而对称轴为
说明：此题易认为
件
，最大值不存在，这是忽略了条
不在正弦函数的值域之内。
18. 解：∵
∴
7?
3
7?5??
?
π
?
＜x＜，∴ ＜＋x＜2?．又cos
?
＋ x
?
＝＞0，
4
126 5
4
?
4
?
44
3??
?
π
??
π
?
＜＋x＜2?，∴ sin
?
＋ x
?
＝－，tan
?
＋ x
?
＝－．
2453
?
4
??
4
?
?
π
?
7
?
π
??
π
?
又 sin 2x＝－cos
?
＋ 2x
?
＝－cos 2
?
＋ x
?
＝－2cos
2
?
＋ x
?
＋1＝， 25
?
4
??
4
?
?
2
?
高 一数学试卷 第8页 （共6页）

sin2xcosx＋2sin
2< br>xcosx
sin2x＋2sin
2
x
sin2x(cosx＋sin x)
∴ 原式＝＝＝
sinx
cosx－sinx
cosx－sinx1－
cosx
＝
sin2x(1＋tanx)28
?
＝sin 2x·tan(＋x)＝－．
4
1－tanx75
19. 正解：由
f(x)
是偶函数，得
f(?x)?f(x)

故
sin(?
?
x??)?sin(
?
x??),??cos?sin
?
x?cos?sin
?
x

对任意x都成立，且
?
?0,?cos??0

依题设0≤
?
≤
?
，
???
?
2

33
由
f(x)
的图像关于点M对称，得
f(
?
? x)??f(
?
?x)

44
333
取
x?0得f (
?
)??f(
?
),?f(
?
)?0

444
33
?
x
?
3
?
x3
?
x
?
f(
?
)?sin(?)?cos(),?cos(
)
?
0

44244
3
?
x
?
又
?< br>?0
，得
??k
?
,k?0,1,2......

42
2
?
?
?(2k?1),k?0,1,2...
3
22
?
?
当
k?0
时，
?
?,f( x)?sin(x?)
在
[0,]
上是减函数。
3322
当
k?1
时，
?
?2,f(x)?sin(2x?
当
k
≥2 时，
?
?
?
)
在
[0,]
上是减函数。
22
?
10
?
?
,f(x)?sin(
?
x?)< br>在
[0,]
上不是单调函数。
322
2
所以，综合得
?
?
或
?
?2
。
3
误解：①常见错误是未对K进行讨论，最后
?
只得一解。
?10
②对题目条件在区间
[0,]
上是单调函数，不进行讨论，故对
?< br>≥不
2
3
能排除。
?
?
20. 错误分析:(1) 求出
a?b
=
2?2cos2x
后,而不知进一步化为
2cosx< br>,人为增加
难度;
(2)化为关于
cosx< br>的二次函数在
?
0,1
?
的最值问题,不知对对称轴方
程讨论 .
?
?
?
?
答案: (1)易求
a?b?cos2x
,
a?b
=
2cosx
;
(2)
高一数学试卷 第9页 （共6页）

??
?
?
f
?
x
?
?a?b?2
?a?b
=
cos2x?2
?
?2cosx
=
2cos< br>2
x?4
?
cosx?1

=
2
?
cosx?
?
?
?2
?
2
?1

2
?
?
?
x?
?
0,1
?

?x?
?
0,
?

?cos
2
??
从而:当
?
?0
时,
f
?
x
?
min
??1
与题意矛盾,
?
?0
不合题意;
31
当
0?
?
?1< br>时,
f
?
x
?
min
??2
?
2< br>?1??,?
?
?

22
35
当
?
?1
时,
f
?
x
?
min
? 1?4
?
??,
解得
?
?
,不满足
?
?1
;
28
1
综合可得: 实数
?
的值为.
2
21. 解（Ⅰ）
a?
?
cos
?
，sin?
?
，b?
?
cos
?
，sin
?
?
,
?a?b?
?
cos
?
?cos
?
， sin
?
?sin
?
?
.
a?b?
25
,
?
5
?
cos
?< br>?cos
?
?
?
?
sin
?
?sin
?
?
?
43
.
?cos
?
?
?
?
?
?
.
55
22
25
,
5
即
2?2cos??
?
?
?
?
（Ⅱ）
0?
?
?


?
2
,?
?
2
?
?
?0 ,?0?
?
?
?
?
?
.

34
cos
?
?
?
?
?
?
，
?sin
?
?
?
?
?
?.

55
512
sin
?
??
，
?cos
?
?.

1313
?sin
?
?s
?
i
?
n
??
??
?
?
?
??

?sins?co
?
?s
?
?
?
?
?
co
?
?
?
4123
?
5
?
33
???
??
?
?
.
5135
?
13
?
65
?
?

s
?
in
22. 解：（Ⅰ）由
a?b
，得
a?
b?0
，即
cos
分
则
cos2x?0
，得
x?
5分
∴
3x x3xx
cos?sinsin?0
．…………4
2222
k
ππ< br>?(k?Z)
．…………………………………
24
k
ππ
??
x|x??，k?Z
??
24
??
为所
高一数学试卷 第10页 （共6页）

求．…………………………………6分
3x3x3x
π
（Ⅱ）
|a?c|
2
?(cos?3)
2
?(sin?1)
2
?5?4sin(?)
，……………
2223
10分
所以
|a?c|
有最大值为
3．……………………………………………………12分

高一数学试卷 第11页6页） （共