高中数学必修四向量练习题

一、选择题
1．(文)(2014·郑州月考)设向量
a
＝(
m,
1)，
b
＝(1，
m
)，如果
a
与
b
共线且方向相反，
则
m
的值为( )
A．－1
C．－2
[答案] A
[解析] 设
a
＝
λb
(
λ
<0)，即
m
＝
λ
且1＝
λm
.解得
m
＝±1，由于
λ
<0，∴
m
＝－1.
[点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若
a
＝(
x
1
，< br>y
1
)，
b
＝(
x
1
，
y
2
)，
则
a
∥
b
?
x
1
y
2
－
x
2
y
1
＝0，当
a
，
b
都是非零向量时，
a
⊥
b
?
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝0，同时还要注意
a
∥
B．1
D．2
x
1
y
1
b
与＝不等价．
x
2
y
2
2．证明共线(或平行)问题的主要依据：
(1 )对于向量
a
，
b
，若存在实数
λ
，使得
b
＝
λa
，则向量
a
与
b
共线(平行)．
(2)
a
＝(
x
1
，
y
1
)，
b
＝(
x
2
，
y
2
)，若
x
1
y
2
－
x
2
y
1
＝0，则向量
a
∥
b
.
(3)对于向量
a
，
b
，若|
a< br>·
b
|＝|
a
|·|
b
|，则
a
与
b
共线．
要注意向量平行与直线平行是有区别的．
(理)(2013·荆 州质检)已知向量
a
＝(2,3)，
b
＝(－1,2)，若
ma＋
nb
与
a
－2
b
共线，则
m
＝( )
n
A．－2
1
C．－
2
[答案] C
[解析] 由向量
a
＝(2,3)，
b
＝(－1,2)得
ma
＋
nb
＝(2
m
－
n,
3
m
＋2
n
)，
a
－2
b
＝(4，－1)，
B．2
1
D．
2
m
1
因为
ma
＋
nb
与
a
－2
b
共线，所以(2
m
－
n
)×(－1)－(3
m
＋2
n
)×4＝0，整理得＝－.
n2
2．(2014·山东青岛期中)设
a
，
b
都是非零向量，下 列四个条件中，一定能使＋
|
a
||
b
|
＝0成立的是( )
1
A．
a
＝－
b

3
C．
a
＝2
b

[答案] A
B．
a
∥
b

D．
a
⊥
b

ab

[解析] 由题 意得＝－，而表示与
a
同向的单位向量，－表示与
b
反向的
|
a
||
b
||
a
||
b
|
1
单 位向量，则
a
与
b
反向．而当
a
＝－
b
时 ，
a
与
b
反向，可推出题中条件．易知B，C，D
3
都不正 确，故选A.
[警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特
别对于这些概念：(1)单位向量，要知道它的模长为1，方向同
a
的方向；(2)对 于任意
|
a
|
非零向量
a
来说，都有两个单位向量，一个与
a
同向，另一个与
a
反向；(3)平面内的所有
单位向量的起点都移 到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相等向量的大小不
仅相等，方向也必须相同，而相 反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反向量
都是共线向量，但共线向量不一定是相等向 量，也有可能是相反向量．
→→
3．(2015·广州执信中学期中)在△
ABC< br>中，点
P
在
BC
上，且
BP
＝2
PC
，点
Q
是
AC
的中
→→→
点，若
PA
＝ (4,3)，
PQ
＝(1,5)，则
BC
＝( )
A．(－2,7)
C．(2，－7)
[答案] B
→→→
[解析] 由条件知，
PC
＝2
PQ
－
PA
＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)，
→→
∵
BP
＝2
PC
＝(－4,14)，
→→→
∴
BC
＝
BP
＋
PC
＝(－6,21)．
→→→
4．在四边形
ABCD
中，
AB
＝
a
＋2
b
，
BC
＝－4
a
－
b
，
CD< br>＝－5
a
－3
b
，其中
a
，
b
不共 线，
则四边形
ABCD
为( )
A．平行四边形
C．梯形
[答案] C
→→→→→
[解析] ∵
AD
＝
AB
＋
BC
＋
CD
＝－8
a
－2
b
＝2BC
，
∴四边形
ABCD
为梯形．
→→→
5．(文 )(2014·德州模拟)设
OB
＝
xOA
＋
yOC
，x
，
y
∈R且
A
，
B
，
C
三 点共线(该直线不过
点
O
)，则
x
＋
y
＝( )
A．－1 B．1
B．矩形
D．菱形
B．(－6,21)
D．(6，－21)
abab
a

C．0
[答案] B
→→
[解析] 如图，设
AB
＝
λAC
，
D．2

→→→→→→→→
则
OB
＝
OA
＋
AB
＝
OA
＋
λAC
＝
OA
＋
λ
(
OC
－
OA
)
→→→→→
＝
OA
＋
λOC
－
λOA
＝(1－
λ
)
OA＋
λOC

∴
x
＝1－
λ
，
y
＝
λ
，∴
x
＋
y
＝1.
[点评] 用已知向量 来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，
要尽可能将它们转化到平行四边形或三 角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利
用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出 来．
→→
(理)(2013·安庆二模)已知
a
，
b
是不 共线的两个向量，
AB
＝
xa
＋
b
，
AC
＝
a
＋
yb
(
x
，
y
∈R)，若
A
，
B
，
C
三点共线，则点
P
(
x
，
y
)的轨迹是( )
A．直线
C．圆
[答案] B
[解析] ∵
A
，
B
，
C
三点共线，
→→
∴存在实数
λ
，使
AB
＝
λAC
.
?
?
x
＝
λ
，
则
xa
＋
b
＝
λ
(
a
＋
yb
)?
?
?1＝
λy
?
B．双曲线
D．椭圆

?
xy
＝1，故选B.
→→
6．(2014·湖北武汉调研)如图 所示的方格纸中有定点
O
，
P
，
Q
，
E
，
F
，
G
，
H
，则
OP
＋
OQ＝( )



[答案] D
[解析] 由平行四边形法则和图示可知，选D.

二、填空题
→
B．
OG

→
D．
FO

?< br>ππ
?
若
a
∥
b
，
2
7．已知a
＝(2，－3)，
b
＝(sin
α
，cos
α
)，
α
∈
?
－，
?
，则tan
α
＝__ ______.
?
22
?

[答案] －
3

3
2
sin
α
cos
α
2
[解析] ∵< br>a
∥
b
，∴＝，∴2cos
α
＝－3sin
α
，
2－3
∴2sin
α
－3sin
α
－2＝0，
1
∵|sin
α
|≤1，∴sin
α
＝－，
2< br>33
?
ππ
?
∵
α
∈
?
－，
?
，∴cos
α
＝，∴tan
α
＝－.
23
?
22
?
8．(文)(2014·宜春质检)如图所示，在△
ABC
中 ，
H
为
BC
上异于
B
，
C
的任一点，M
为
2
AH
的中点，若
AM
＝
λAB
＋
μAC
，则
λ
＋
μ
＝________.

1
[答案]
2
→→→
[分析] 由
B
，
H
，
C
三点共线可用向量
AB
，
AC
来表示AH
.
→→→→
[解析] 由
B
，
H
，C
三点共线，可令
AH
＝
xAB
＋(1－
x
)
AC
，又
M
是
AH
的中点，所以
AM
＝< br>1
→
1
→
1111
→→→→
AH
＝
xAB
＋(1－
x
)·
AC
，又
AM
＝
λ AB
＋
μAC
.所以
λ
＋
μ
＝
x
＋(1－
x
)＝.
222222
[点评] 应用平面向量基本定理表示向量 的实质是利用平行四边形法则或三角形法则
进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关 重要的作用．当基底确定后，
任一向量的表示都是唯一的．
2π
(理)(2014· 河北二调)在△
ABC
中，
AC
＝1，
AB
＝2，
A
＝，过点
A
作
AP
⊥
BC
于点
P
，
3
→→→
且
AP
＝
λAB
＋
μAC< br>，则
λμ
＝________.
[答案]
10

49
→→→
2π
→→→→→
[解析] 由题意知
AB
·
AC
＝2×1×cos＝－1，∵
AP
⊥
BC
，∴AP
·
BC
＝0，即(
λAB
＋
3
μAC)·(
AC
－
AB
)＝0，
5
→→→
2→
2
∴(
λ
－
μ
)
AB
·
A C
－
λAB
＋
μAC
＝0，即
μ
－
λ－4
λ
＋
μ
＝0，∴
μ
＝
λ
，① < br>2
∵
P
，
B
，
C
三点共线，∴
λ< br>＋
μ
＝1，②
→→→

2
λ
＝
?
?
7
由①②联立解得
?
5
μ
＝
??
7

2510
，即
λμ
＝×＝.
7749
→
9．(文)已知
G
是△
ABC
的重心，直线
EF
过点
G
且与边
AB
、
AC
分别交于点
E< br>、
F
，
AE
＝
αAB
，
AF
＝βAC
，则＋＝______.
αβ
[答案] 3
→
2
→
1
→→→
[解析] 连结
AG
并延 长交
BC
于
D
，∵
G
是△
ABC
的重心， ∴
AG
＝
AD
＝(
AB
＋
AC
)，设EG
33
→
＝
λGF
，
1
→
λ→→→→→→
∴
AG
－
AE
＝
λ
(
A F
－
AG
)，∴
AG
＝
AE
＋
AF
，
1＋
λ
1＋
λ
1
→
1
→
α
→
λβ
→
∴
AB
＋
AC
＝
AB< br>＋
AC
，
331＋
λ
1＋
λ
→→→
11
α
1
＝，
?
?
1＋
λ
3
∴
?
λβ
1
?
?
1＋
λ
＝
3
，













三、解答题

13
＝
?
?
α
1＋
λ
，
∴
?
13
λ＝
?
?
β
1＋
λ
，

∴
1
αβ
1
＋＝3.
→→→
10．(文)已知< br>O
(0,0)、
A
(2，－1)、
B
(1,3)、
O P
＝
OA
＋
tOB
，求
(1)
t
为何值 时，点
P
在
x
轴上？点
P
在
y
轴上？点< br>P
在第四象限？

(2)四点
O
、
A
、
B
、
P
能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．
→→→
[解析] (1)
OP
＝
OA
＋
tOB＝(
t
＋2,3
t
－1)．
1
若点
P
在
x
轴上，则3
t
－1＝0，∴
t
＝；
3若点
P
在
y
轴上，则
t
＋2＝0，∴
t
＝－2；
?
?
t
＋2>0
若点
P
在第四象限， 则
?
?
3
t
－1<0
?

1
，∴－2<
t
<.
3
→→
(2)
OA
＝(2，－1)，
PB
＝(－
t
－1，－3
t
＋4 )．
→→
若四边形
OABP
为平行四边形，则
OA
＝PB
.
?
?
－
t
－1＝2
∴
??
－3
t
＋4＝－1
?

无解．
∴ 四边形
OABP
不可能为平行四边形．
同理可知，当
t
＝1时，四 边形
OAPB
为平行四边形，当
t
＝－1时，四边形
OPAB
为平行
四边形．
(理)已知向量
a
＝(1,2)，
b
＝ (cos
α
，sin
α
)，设
m
＝
a
＋< br>tb
(
t
为实数)．
π
(1)若
α
＝，求 当|
m
|取最小值时实数
t
的值；
4
π
(2)若
a
⊥
b
，问：是否存在实数
t
，使得向量
a
－
b
和向量
m
的夹角为，若存在，请求
4
出
t< br>；若不存在，请说明理由．
π2232
[解析] (1)∵
α
＝，∴
b
＝(，)，
a
·
b
＝，
4222
∴|
m
|＝
2
a
＋
tb
2
＝5＋
t< br>＋2
ta
·
b

2
＝
t
＋32t
＋5＝
t
＋
32
2
2
1
＋， 2
322
∴当
t
＝－时，|
m
|取到最小值，最小值为 .
22