高中数学必修四期末复习题(教师版)

v1.0 可编辑可修改
高中数学必修4期末复习题 命题人：张清
5
1． 已知△
ABC
中，tan
A
＝－，则cos
A
等于 ( )
12

5
C．－
13

12
D．－
13
2． 已知向量
a
＝(2,1)，
a
＋
b＝(1，
k
)，若
a
⊥
b
，则实数
k
等于 ( )
1
A.
2
B．－2 C．－7 D．3
→→
3． 在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，< br>AC
＝4，则
AB
·
AC
等于
A．－16 B．－8 C．8
( )
D．16
( )
π
4． 已知sin(π－
α
)＝－2sin(＋
α
)，则sin
α
cos
α
等于
2

22
B．－ 或－
55
1
D．－
5
π
5． 函数
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
) (ω
>0，|
φ
|<，
x
∈R)的部分图象如图所示，则函数表达 式
2
为( )

?
ππ
??
ππ
?< br>A．
y
＝－4sin
?
x
＋
?
B．
y
＝4sin
?
x
－
?

4
?
4
??
8
?
8
?
ππ
??
ππ
?
C．
y
＝－4sin
?
x
－
?
D．
y
＝4sin
?
x
＋
?

4
?
4
??
8
?
8
6． 若|
a
|＝2cos 15°，|
b
|＝4sin 15°，
a，
b
的夹角为30°，则
a
·
b
等于
( )
C．23


π
?
π
?
7． 把函数
f
(
x
) ＝sin
?
－2
x
＋
?
的图象向右平移个单位可以得到函数
g
(
x
)的图象，则
3
?
3
?
g
??
等于
4
1
?
π
?
??
( )

v1.0 可编辑可修改
A．－
3

2
C．－1 D．1
→→→
1
→→
8． 在△
ABC
中，已知
D
是
AB
边上一点，若
AD
＝2
DB
，
CD
＝
CA
＋
λCB
，则
λ
等于( )
3

1
C．－
3

2
D．－
3
9． 若2
α
＋
β
＝π，则
y
＝cos
β
－6sin
α
的最大值和最小值分别是 ( )
A． 7,5
11
C．5，－
2

11
B． 7，－
2
D． 7，－5
10．已知向量
a
＝(sin(
α
＋
于 ( )
A．－
3

4

π4π
)，1)，
b
＝(4,4cos
α
－3)，若a
⊥
b
，则sin(
α
＋)等
63
1
B．－
4

π
11．将函数
f
(x
)＝sin(
ωx
＋
φ
)的图象向左平移个单位，若所得图象 与原图象重合，则
2
ω
的值不可能等于( )
A．4 B．6 C．8 D．12
→→→→→
12．已知向量
OB
＝(2,0) ，
OC
＝(2,2)，
CA
＝(2cos
α
，2sin
α
)，则
OA
与
OB
夹角的范围
是( ) ?
π
??
π5π
??
π5π
??
5ππ
?
A．
?
0，
?
B．
?
，
?
C．
?
，
?
D．
?
，
?

4
???
412
??
1212
??
122
?

二、填空题
13．sin 2 010°＝________.
?
1
?
14．已知向量
a
＝(1－sin
θ
，1)，
b
＝
?
，1＋sin
θ
?< br>(
θ
为锐角)，且
a
∥
b
，则tan
θ
＝
?
2
?
________.
→→
1 5．已知
A
(1,2)，
B
(3,4)，
C
(－2,2)，
D
(－3,5)，则向量
AB
在
CD
上的投影为_____ ___．
ππ
16．已知函数
f
(
x
)＝sin(
ωx
＋
φ
)(
ω
>0，－≤
φ
≤)的图象上的两 个相邻的最高点和
22
1
最低点的距离为22，且过点(2，－)，则函数
f
(
x
)＝________.
2
2

v1.0 可编辑可修改
三、解答题
3
17．已知向量
a
＝(sin
x
，)，
b
＝(cos
x
，－1)．
2
(1)当
a
∥
b
时，求2cos
2
x
－sin 2
x
的值；
π
(2)求
f
(
x
)＝(< br>a
＋
b
)·
b
在[－，0]上的最大值．
2






18．设向量
a
＝(4cos
α
，sin
α
)，
b
＝(sin
β
，4cos
β
)，
c
＝(cos
β
，－
4sin
β
)．
(1)若
a
与
b
－2
c
垂直，求tan(
α
＋
β
)的值； (2)求|
b
＋
c
|的最大值；
(3)若tan
α
tan
β
＝16，求证：
a
∥
b
.





π
19．已知向量
a
＝(sin
θ
，－2)与
b
＝(1，cos
θ
)互相垂直，其中
θ
∈(0，)．
2
(1)求sin
θ
和cos
θ
的值；
π
(2)若5cos(
θ
－
φ
)＝35cos
φ
，0<
φ
<，求cos
φ
的值．
2






3

v1.0 可编辑可修改

20．已知函数
f
(
x
)＝sin(π－
ωx
)cos
ωx
＋cos
2
ωx
(
ω
>0)的最小正周期为π.
(1)求
ω
的值；
1
(2) 将函数
y
＝
f
(
x
)的图象上各点的横坐标缩短到原来的， 纵坐标不变，得
2
到函数
y
＝
g
(
x
)的 图象，求函数
g
(
x
)在区间[0，







4cos
4
x
－2cos 2< br>x
－1
21．已知函数
f
(
x
)＝
ππsin＋
x
sin－
x
44
(1)求
f
(－< br>11π
)的值；
12
π1
)时，求
g
(
x
)＝
f
(
x
)＋sin 2
x
的最大值和最小值．
42
.
π
]上的最小值．
16
(2)当
x
∈[0，











4

v1.0 可编辑可修改
22．已知向量
a
＝(cos
α
，sin
α
)，
b
＝(cos
β
，sin
β
)，|
a
－
b
|＝
(1)求cos(
α
－
β
)的值；
ππ5
(2)若0<
α
<，－<
β
<0，且sin
β
＝－，求sin
α
.
2213
















高中数学必修

25
.
5
4期末复习题参考答案
sin
A
55
＝－，∴cos
2
A
＋(－cos
A
)
2
＝1且
cos
A
1212
1．D ∵cos
2
A
＋sin
2
A
＝1，且
cos
A
<0，解得cos
A
＝－
12
．
13
2．D ∵
a
＝(2,1)，
a
＋
b
＝(1，
k
)，∴
b
＝(
a
＋
b
)－a
＝(1，
k
)－(2,1)
＝(－1，< br>k
－1)．∵
a
⊥
b
．∴
a
·
b< br>＝－2＋
k
－1＝0∴
k
＝3．
3．D
→
AB
·
→
AC
＝(
→
AC
＋
→
CB
)·
→
AC
＝
→
AC
2
＋
→
CB
·
→
AC
＝
→
AC
2
＋0＝ 16．
π
4．B ∵sin(π－
α
)＝－2sin(＋
α
)∴sin
α
＝－2cos
α
．∴tan
α
＝
2
－2．
∴sin
α
cos
α
＝
sin
α
cos
α
tan
α
＝＝
sin
2
α
＋cos< br>2
α
tan
2
α
＋1
－22
＝－．
－2
2
＋15
5．A 由图可知，
A
＝4，且
5

v1.0 可编辑可修改
?
6
ω
＋
φ＝0，
?
?
－2
ω
＋
φ
＝－π
π
?
ω
＝
?
8
，解得
?
3
φ
＝－π
?
4
?

．∴
y
＝4sin(π3π
x
－)＝－
84
ππ
4sin(
x
＋) ．
84
6．B由cos 30°＝
＝3，故选B．
7．C
y< br>＝cos(
x
＋
πππ5π
)＝sin(
x
＋＋)＝ sin(
x
＋)，
3326
a
·
b
3
a
·
ba
·
b
得＝＝∴
a
·
b
|< br>a
||
b
|22cos 15°·4sin 15°4sin 30°
5π
∴只需将函数
y
＝sin
x
的图象向左平移个 长度单位，即可得函数
y
＝
6
π
cos(
x
＋)的 图象．
3
2
→→
2
→→
1
→
2
→→→→→→→
8．A 由于
AD
＝2
DB
，得
CD
＝
CA
＋
AD
＝
CA
＋
AB
＝
CA
＋(
CB
－
CA
)＝
CA
＋
CB，
3333
12
结合
→
CD
＝
→
CA
＋
λ
→
CB
，知
λ
＝．
33
9．D ∵
β
＝π－2
α
，∴
y
＝c os(π－2
α
)－6sin
α
＝－cos 2
α
－6sin
α
3
?
11
?
＝2si n
2
α
－1－6sin
α
＝2sin
2
α
－6sin
α
－1＝2
?
sin
α
－
?
2
－，当sin
α
2
?
2
?
＝1时，
y
min
＝－5；
当sin
α
＝－1时，
y
max
＝7．
π
10．B
a
·
b
＝4sin(
α
＋)＋4cos
α
－3＝23sin
α
＋6cos
α
－3＝
6
ππ14ππ
43sin(
α
＋)－3＝0，∴sin(
α
＋)＝．∴sin(
α
＋)＝－sin(
α
＋)
33433
1
＝－，故选B．
4
π
11．B 将
f
(
x)＝sin(
ωx
＋
φ
)的图象向左平移个单位，若与原图象重合，2
6

v1.0 可编辑可修改
ππ2π
则为函数f
(
x
)的周期的整数倍，不妨设＝
k
·(
k
∈Z)，得
ω
＝4
k
，即
ω
22
ω
为4的 倍数，故选项B不可能．


12．C

建立如图所示的直角 坐标系．∵
→
OC
＝(2,2)，
→
OB
＝(2,0)，< br>→
CA
＝(2cos
α
，
2sin
α
)，
∴点
A
的轨迹是以
C
(2,2)为圆心， 2为半径的圆．过原点
O
作此圆的切线，
切点分别为
M
，
N
，连结
CM
、
CN
，如图所示，则向量
→
OA与
→
OB
的夹角范围是∠
MOB
≤
1
〈
→
OA
，
→
OB
〉≤∠
NOB
．∵|
→
OC
|＝22，∴|
→
CM
|＝|
→
CN
|＝|
→
OC
|，∴∠
COM
＝∠
CON
＝
2
ππ
，又∵∠
COB
＝．
64
∴∠
MOB
＝
1
13．－
2
sin 2010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－
1
sin 30°＝－．
2
14．1
11
∵
a
∥
b
，∴(1－sin
θ
)(1＋sin
θ
)－＝0．∴cos
2
θ
＝ ，∵
θ
为锐角，
22
∴cos
θ
＝
∴
θ
＝
7
π5ππ5π
，∠
NOB
＝，故≤〈
→
OA
，
→
OB
〉≤．
12121212
2
，
2
π
，∴tan
θ
＝1．
4

v1.0 可编辑可修改
15．
210

5
→
AB
·
→
CD
→→→→→→→
AB
＝(2,2)，
CD
＝(－1,3)．∴
AB
在
C D
上的射影|
AB
|cos〈
AB
，
CD
〉＝
→
|
CD
|
＝
2×－1＋2×34210
＝＝．
22
5
－1＋310
π
x
π
＋)
26< br>16．sin(
据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得
T
2
2
＋1＋1
2
＝
2πππ
x
22，解得
T
＝ 4，故
ω
＝＝，即
f
(
x
)＝sin(＋
φ
)，又函数图象过点(2，
T
22
11πππ
－)，故
f
(
x
)＝sin(π＋
φ
)＝－sin
φ
＝－，又－≤< br>φ
≤，解得
φ
＝，
22226
故
f
(
x
)＝sin(





33
17．解 (1)∵
a
∥
b
，∴cos
x
＋sin
x
＝0，∴tan
x
＝－，
22
2cos
2
x
－2sin
x
cos
x
2－2tan
x
20
2cos
x
－sin 2
x
＝＝＝
sin
2
x
＋cos
2
x< br>1＋tan
2
x
13
2
π
x
π
＋) ．
26


f
(
x
)＝(
a
＋
b
)·
b
＝
∵－
2π
sin(2
x
＋)．
24
π3πππ
≤
x
≤0，∴－≤2
x
＋≤， < br>2444
π2211
)≤，∴－≤
f
(
x
)≤，∴< br>f
(
x
)
max
＝．
42222
∴－1≤sin(2
x
＋

18．(1)解 因为
a
与
b
－2
c
垂直，
8

v1.0 可编辑可修改
所以
a
·(
b
－2
c
)＝4cos
α
sin
β
－8cos
α
cos
β
＋4sin
α
cos
β
＋8sin
α
sin
β

＝4sin(
α
＋
β)－8cos(
α
＋
β
)＝0，
因此tan(
α
＋
β
)＝2．

(2)解 由
b
＋
c
＝(sin
β
＋cos
β
，4cos
β
－4sin
β
)，得
|
b
＋
c
|＝sin
β
＋cos
β
2
＋4cos
β
－4sin
β
2
＝
17－15sin 2
β
≤42．
又当
β
＝－

(3)证明 由tan
α
tan
β
＝16得


19．解 (1)∵
a
·
b
＝0，∴
a
·
b
＝sin
θ
－2cos
θ
＝0，
即sin
θ
＝2cos
θ
．又∵sin
2
θ
＋cos2
θ
＝1，∴4cos
2
θ
＋cos
2
θ＝1，即
1
cos
2
θ
＝，
5
4π25 5
∴sin
θ
＝．又
θ
∈(0，)，∴sin
θ
＝，cos
θ
＝．
5255
2
π
时 ，等号成立，所以|
b
＋
c
|的最大值为42．
4
4cos
α
sin
α
＝，所以
a
∥
b
．
sin
β
4cos
β

(2)∵5cos(
θ
－
φ
)＝5(cos
θ
cos
φ
＋sin
θ
sin
φ
)＝5cos
φ
＋25sin
φ
＝35cos
φ
，
1
∴cos
φ
＝sin
φ
．∴ cos
φ
＝sin
φ
＝1－cos
φ
，即cos
φ
＝．又∵
2
2222
0<
φ
<





9
π2
，∴cos
φ
＝．
22

v1.0 可编辑可修改





20．解 (1)因为
f
(
x
)＝sin(π－
ωx
)cos
ωx
＋cos
2
ωx
．所以
f
(
x
)＝ sin
ωx
cos
ωx
＋
1＋cos 2
ωx

2
π
?
11112
?
2
ωx
＋
? ?
＋． ＝sin 2
ωx
＋cos 2
ωx
＋＝sin
4
2222
??
2
2π
由于
ω
>0，依题意得＝π， 所以
ω
＝1．
2
ω
(2)由(1)知
f
(
x
)＝
1
＋．
2
π
?
ππππ2
?< br>当0≤
x
≤时，≤4
x
＋≤，所以≤sin
?
4x
＋
?
≤1．因此
4
?
164422
?
1≤
g
(
x
)≤
1＋2
．
2
π
?
1
π
?
22
??
sin
?
2
x
＋
?
＋，所以
g
(
x
)＝
f
( 2
x
)＝sin
?
4
x
＋
?
4
?
2
4
?
22
??
π
??
0，
?< br>上的最小值为1． 故
g
(
x
)在区间
?
16
??


21．解 (1)
f
(
x
)＝
1＋cos 2
x
2
－2cos 2
x
－1
ππ
sin＋
x
sin－
x
44

＝
cos
2
2x
π
sin＋
x
4
cos
π
＋
x4
2cos
2
2
x
＝
π
sin＋2
x
2
2cos
2
2
x
11π11ππ
＝＝2cos 2
x
，∴
f
(－)＝2cos(－)＝2cos ＝3．
cos 2
x
1266
(2)
g
(
x
)＝cos 2
x
＋sin 2
x
＝2sin(2
x
＋
πππ< br>)．∵
x
∈[0，)，∴2
x
＋∈
444
10

v1.0 可编辑可修改
π3π
[，)．
44
∴ 当
x
＝
π
时，
g
(
x
)
max< br>＝2，当
x
＝0时，
g
(
x
)
min
＝1．
8


22．解 (1)∵|
a
|＝1，|b
|＝1，|
a
－
b
|
2
＝|
a|
2
－2
a
·
b
＋|
b
|
2
＝|
a
|
2
＋|
b
|
2
－2(c os
α
cos
β
＋sin
α
sin
β
)
＝1＋1－2cos(
α
－
β
)，
25
2
443
|
a
－
b
|
2
＝ ()＝，∴2－2cos(
α
－
β
)＝得cos(
α
－β
)＝．
5555
(2)∵－
4
＝，
5
(3)由sin
β
＝－
512
得cos
β
＝．
1313
ππ3
<
β
<0<
α< br><，∴0<
α
－
β
<π．由cos(
α
－
β
)＝得sin(
α
－
β
)
225
∴sin
α
＝sin[(
α
－
β
)＋
β
]＝sin(α
－
β
)cos
β
＋cos(
α
－
β
)sin
β
4123533
＝×＋×(－)＝．
51351365




11