人教版高中数学必修四平面向量单元测试题(三套)

（数学4必修）第二章 平面向量
[基础训练A组]
一、选择题
1．化简
AC?
BD?
CD?
AB
得（ ）
A．
AB
B．
DA
C．
BC
D．
0

2．设
a
0
,b
0
分别是与a,b
向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．
a
0
?b
0
B．
a?b?1

00
C．
|a
0
|?|b
0
|?2
D．
|a
0
?b
0
|?2

3．已知下列命题中：
（1）若
k?R
，且
kb?0
，则
k?0
或
b?0
，
（2）若
a?b?0
，则
a?0
或
b?0

（3）若不平行的两个非零向量
a,b
，满足
|a|?|b|
，则
(a?b)?(a?b)?0

（4）若
a
与
b
平行，则< br>ab?|a|?|b|
其中真命题的个数是（ ）
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3

4．下列命题中正确的是（ ）
A．若a
?
b＝0，则a＝0或b＝0
B．若a
?
b＝0，则a∥b
C．若a∥b，则a在b上的投影为|a|
D．若a⊥b，则a
?
b＝(a
?
b)
2

5．已知平面向量
a?(3,1)
，
b?(x,?3)
，且
a?b
，则
x?
（ ）
A．
?3
B．
?1
C．
1
D．
3

6．已知向 量
a?(cos
?
,sin
?
)
,向量
b?(3, ?1)
则
|2a?b|
的最大值，
最小值分别是（ ）
A．
42,0
B．
4,42
C．
16,0
D．
4,0


二、填空题 < br>1．若
OA
=
(2,8)
，
OB
=
(?7, 2)
，则
1
AB
=_________
3
2．平面向量< br>a,b
中，若
a?(4,?3)
，
b
=1，且
a?b ?5
，则向量
b
=____。
3．若
a?3
,
b ?2
，且
a
与
b
的夹角为
60
，则
a?b ?
。
4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点
所构成的图形是___________。
0

?
?
?
?
5．已知
a?(2,1)
与
b?(1,2)
，要使a?tb
最小，则实数
t
的值为___________。
三、解答题
1．如图，
ABCD
中，
E,F
分别是
BC,DC
的中点，
G
为交点，若
AB
=
a
，
AD
=
b
，
试以
a
，
b
为基底表示
DE
、
BF
、
CG
．




< br>2．已知向量
a与b
的夹角为
60
，
|b|?4,(a?2b ).(a?3b)??72
,求向量
a
的模。




3．已知点
B(2,?1)
，且原点
O
分
AB< br>的比为
?3
，又
b?(1,3)
，求
b
在
A B
上的投影。






4．已知< br>a?(1,2)
,
b?(?3,2)
,当
k
为何值时，
（1）
ka?b
与
a?3b
垂直？



（2）
ka?
b
与
a?3
b
平行？平行时它们是同 向还是反向？




?
?
D F
G

E
B
C
A
?
?

（数学4必修）第二章 平面向量 [综合训练B组]
一、选择题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．
OA?OB?AB
B．
AB?BA?0

C．
0?AB?0
D．
AB?BC?CD?AD

2．设点
A(2,0)
，
B (4,2)
,若点
P
在直线
AB
上，且
AB?2AP
，
则点
P
的坐标为（ ）
A．
(3,1)
B．
(1,?1)

C．
(3,1)
或
(1,?1)
D．无数多个
3．若平面向量
b
与向量
a?(1,?2)
的夹角是
180
，且
|b|?35
，则
b?
( )
A．
(?3,6)
B．
(3,?6)
C．
(6,?3)
D．
(?6,3)

4．向量
a? (2,3)
，
b?(?1,2)
，若
ma?b
与
a?2b< br>平行，则
m
等于
A．
?2
B．
2
C．
o
1
1
D．
?

2
2
5．若
a,b
是非零向量且满足
(a?2b)?a
，
(b?2a)? b
，则
a
与
b
的夹角是（ ）
?
?
2
?
5
?
B． C． D．
633
6
?
31
6．设
a?(,sin
?
)
，
b?(cos
?
,)
，且
a
b
，则锐 角
?
为（ ）
23
A．
A．
30
B．
60
C．
75
D．
45

0000
二、填空题
1．若
|a|?1,|b|?2,c?a?b
，且
c?a
，则向量
a
与
b
的夹角为 ． 2．已知向量
a?(1,2)
，
b?(?2,3)
，
c?(4, 1)
，若用
a
和
b
表示
c
，则
c
=____。
0
???
????
3．若
a?1
,
b?2
，若
(3a?5b)?(ma?b)
，则
m
的值为 ．
a
与
b
的夹角为
60
，
4．若菱形
A BCD
的边长为
2
，则
AB?CB?CD?
__________。
5．若
a
=
(2,3)
，
b
=
(?4,7 )
，则
a
在
b
上的投影为________________。
????

三、解答题
1．求与向量
a?(1,2 )
，
b?(2,1)
夹角相等的单位向量
c
的坐标．








2．试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和．







3．设非零向量
a,b,c,d
，满足< br>d?(ac)b?(ab)c
，求证：
a?d








4．已知
a?(cos
?,sin
?
)
，
b?(cos
?
,sin
?< br>)
，其中
0?
?
?
?
?
?
．
(1)求证：
a?b
与
a?b
互相垂直；




(2)若
ka?
b
与
a?k
b
的长度相等，求
?
?
?
的值(
k
为非零的常数)．
?
?
?
?

（数学4必修）第二章 平面向量
[提高训练C组]
一、选择题
1．若三点
A(2,3),B(3,a),C(4,b)
共线，则有（ ）
A．
a?3,b??5
B．
a?b?1?0
C．
2a?b?3
D．
a?2b?0

2．设
0?< br>?
?2
?
，已知两个向量
OP
1
?
?
cos
?
,sin
?
?
，
OP
2
?< br>?
2?sin
?
,2?cos
?
?
，则向量
P
1
P
2
长度的最大值是（ ）
A.
2
B.
3
C.
32
D.
23

3．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若
a
与
b
是共线向量，
b
与
c
是共线向量，则
a
与
c
是共线向量（ ）
C．
|a?b|?|a?b|
，则
a?b?0
< br>D．若
a
0
与
b
0
是单位向量，则
a
0
?b
0
?1

4．已知
a,b
均为单位向量， 它们的夹角为
60
，那么
a?3b?
（ ）
A．
7
B．
10
C．
13
D．
4

5．已知向量
a
，
b
满足
a?1 ,b?4,
且
a?b?2
,
则
a
与
b
的夹 角为
A．
0
?
?
??
B． C． D．
6432
6．若平面向量
b
与向量
a?(2,1)
平 行，且
|b|?25
，则
b?
( )
A．
(4,2)
B．
(?4,?2)
C．
(6,?3)
D．
(4,2)
或
(?4,?2)

二、填空题
1．已知 向量
a?(cos
?
,sin
?
)
，向量
b?(3 ,?1)
，则
2a?b
的最大值是 ．
2．若
A(1,2) ,B(2,3),C(?2,5)
，试判断则△ABC的形状_________．
3．若< br>a?(2,?2)
，则与
a
垂直的单位向量的坐标为__________。
4．若向量
|a|?1,|b|?2,|a?b|?2,
则
|a?b|? 。
5．平面向量
a,b
中，已知
a?(4,?3)< br>，
b?1
，且
ab?5
，则向量
b?
______。

三、解答题
1．已知
a,b,c
是三个向量，试判断下列各命题的真假．
（1）若
a?b?a?c
且
a?0
，则
b?c
< br>（2）向量
a
在
b
的方向上的投影是一模等于
acos
?
（
?
是
a
与
b
的夹角），方向与
a< br>在
b
相同或相反的一个向量．


2．证明：对于任意的< br>a,b,c,d?R
，恒有不等式
(ac?bd)
2
?(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)






3．平面向量
a?(3,?1),b?(,
13
)
，若存在不同时为
0
的实数
k
和
t
，使
22
x?a?(t
2
?3)b,y??ka?tb,
且x?y
，试求函数关系式
k?f(t)
。




4．如图，在直角△ABC中，已知
BC?a
，若长为
2a
的线段
PQ
以点
A
为中点，问
PQ与BC

的夹角
?
取何值时
BP?CQ
的值最大？并求出这个最大值。

数学4（必修）第二章 平面向量 [基础训练A组]
一、选择题
1.D
AD?BD?AB?AD?DB?AB?AB?AB?0

2.C 因为是单位向量，
|a
0
|?1,|b
0
|?1

3.C （1）是对的；（2）仅得
a?b
；（3）
(a?b)?(a?b )?a?b?a?b?0

（4）平行时分
0
和
180
两种，
ab?a?bcos
?
??a?b

4.D 若< br>AB?DC
，则
A,B,C,D
四点构成平行四边形；
a?b?a?b

若
ab
，则
a
在
b
上的投影 为
a
或
?a
，平行时分
0
和
180
两种

a?b?ab?0,(ab)
2
?0

00
00
22
2
2
5.C
3x?1?(?3)?0,x?1

6.D
2a?b?(2cos
?
?3,2sin
?
?1),|2a?b|?(2cos
?
?3) ?(2sin
?
?1)


?8?4si
?
n?43c
?
os?
二、填空题
1.
(?3,?2)

AB?OB?OA?(?9,?6
)
22
?88
?
si?n
，最大值为
()
4< br>，最小值为
0

3
?
sab,??
2.
(,?)

a?5,co ?
4
5
3
5
143
b?a?(,?)
?a1b,< br>方向相同，
,

555
ab
ab
3.
7

a?b?(a?b)< br>2
?
2
a?2ab?
2
b?9
1
?2?2? 3?
2
4?

?7
4.圆 以共同的始点为圆心，以单位
1
为半径的圆
5．
?
4
4
22222

a?tb?(a?tb) ?a?2tab?tb?5t?8t?5
，当
t??
时即可
5
5
三、解答题
1.解：
DE?AE?AD?AB?BE?AD? a?
11
b?b?a?b

22
11
BF?AF?AB?AD?DF?AB?b?a?a?b?a
22
111
G
是△
CBD
的重心，
CG?CA??AC ??(a?b)

333

2.解：
(a?2b)(a?3b )?a
2
?ab?6b
2
??72

a?abcos60?6b??72,a?2a?24?0,

2
0
2
2
(a?4)(a?2)?0,a?4

3 .解：设
A(x,y)
，
AO
??3
，得
AO??3OB< br>，即
(?x,?y)??3(2,?1),x?6,y??3

OB
20
bcos
?
?
，
,B?
得
A(6?,3
，
)
AB?(?4,2)A
bAB
AB?
5

10
4.解：
ka?b?k(1,2)?(?3,2)? (k?3,2k?2)

a?3b?(1,2)?3(?3,2)?(10,?4)

（1）
(ka?b)?(a?3b)
，
得
(ka?b)
( a?3b)?10(k?3)?4(2k?2)?2k?38?0,k?19

（2）
(ka?b)(a?3b)
，得
?4(k?3)?10(2k?2),k??

此时
ka?b?(?
1
3
1041
,)??(10,?4)
，所以方向相反。
333
数学4（必修） 第二章 平面向量 [综合训练B组]
一、选择题
1.D 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，
OA?OB?BA
；

AB,BA
是一对相反向量，它们的和应该为零向量，
AB?BA?0

2.C 设
P(x,y)
，由
AB?2AP
得
AB?2A P
，或
AB??2AP
，
AB?(2,2),AP?(x?2,y)
，即
(2,2)?2(x?2,y),x?3,y?1,P(3,1)
；
(2,2)??2(x?2,y),x?1,y??1,P(1,?1)

3.A 设
b?ka?(k,?2k),k?0
，而
|b|?35
，则
5k< br>2
?35,k??3,b?(?3,6)

4.D
ma?b?(2m,3m)??(1,2?)m(2?

m1,?3
1
a?2b?(2,3)?(?2,4)?(4,?1)
，则
?2m?1?12m?8,m??

2

1
2
a
ab1
2222
2
5.B
a?2ab?0,b?2ab?0,a?b,a?b,cos
???
2
?

2
ab
a
6.D
31
??sin
?
cos
?
,sin2
?
?1,2?
?90
0
,
?
?45
0

23
0
二、填空题
ab
?
os?
1.
120

(a?b)a?0, a?ab?0,c
2
2
?a
?
1
?
,
?< br>或画图来做
abab
2
2.
(2,?1)
设
c
?
?xa?y
，则
b
(x,2x?)?(y2,y3?)x?(y2 x,?2

x?2y?4,2x?3y?1,x?2y,?

?
3.
23
8

(3a?5b)(ma?b)?3ma< br>2
?(5m?3)ab?5b
2
?0


3m?(5m?3?)2?co
0
s6?0?5?4m0,?8

23
4.
2

AB?CB?CD?A?BB?CC?DA?CC?D2

?AD
5．
65
5

acos
?
?
ab
b
?
13
65

三、解答题
1.解：设
c?(x,y)
，则
cos?a,c??c os?b,c?,

?
2
得
?
?
x?2y?2x? y
?
?
x?
2
?
2
?
?
x??< br>2
?
x
2
?y
2
?1
，即
?
或
?
?
2

?
?
y?
2
?2
?
?
y??
2
c?(
2
2
,
2
2
)
或
(?
22
2
,?
2
)

2.证明：记
AB?a,AD?b,
则
AC?a?b,DB?a? b,


AC
2
?DB
2
?(a? b)
2
?(a?b)
2
?2a
2
?2b
2


?AC
2
?DB
2
?2a
2?2b
2

3.证明：
ad?a[(ac)b?(ab)c]?(ac)(ab)?(ab)ca

?(ac)(ab)?(ac)(ab)?0

y?3)

?a?d

4.（1）证明：
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
?(cos
2
??sin
2
?
)?(cos
2
?
?sin
2< br>?
)?0


?a?b
与
a?b
互相垂直
（2）
ka?
b?(kcos
?
?cos
?
,ksin
?
?sin
?
)
； ?
?
?
a?k
b?(cos
?
?kcos
?< br>,sin
?
?ksin
?
)

?
ka?b? k
2
?1?2kcos(
?
?
?
)

?< br>?
a?kb?k
2
?1?2kcos(
?
?
?
)

k
2
?1?2kcos(
?
?
?
)
2
而
k?1?2kcos(
?
?
?
)?
cos (
?
?
?
)?0
，
?
?
?
??
2

数学4（必修） 第二章 平面向量 [提高训练C组]
一、选择题
1.C
AB?(1,a?3),AC?(2,b?3),ABAC?b?3?2a?6,2a?b?3


2.C
PP
12
?(2?sin
?
?cos
?
,2?cos
?
?sin
?
),


PP
12
?2(2?cos
?
)
2
?2sin2
?
?10?8cos
?
?18?32

3.C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当
b?0
时，
a
与
c< br>可以为任意向量；

|a?b|?|a?b|
，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角
4.C
a?3b?
5.C
cos
?
?
a
2
?6ab?9b
2
?1?6cos60
0
?9?13
?
21
?
?,
?
?

423
ab
ab
6.D 设
b?ka?(2k,k),
， 而
|b|?25
，则
5k
2
?25,k??,b?(4,2),或( ?4,?2)

二、填空题
1.
4

2a?b?(2c o
?
s?
?
3,2
?
s?ina?1),b?2
?
?8
?
?8s?in(?

)
3
?
164

2.直角三角形
AB?( 1,1)A,C??(3,3A)B,AC?
3.
(
0A?,B

AC
2222
,),或(?,?)

2222
设所求的 向量为
(x,y),2x?2y?0,x?y?1,x?y??
22
2

2
4.
6
由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
22
2
22
2
22

a?b?a?b?2a?2b?a?b?2a?2b?a?b
5．
(,?)
设
b?(x,y),4x?3y?5,x?y?1,x?
三、解答题
?2?2?4?4?6

4
5
3
5
22
43
,y??

5 5
1.解：（1）若
a?b?a?c
且
a?0
，则
b?c< br>，这是一个假命题
因为
a?b?a?c,a?(b?c)?0
，仅得
a?(b?c)

（2）向量
a
在
b
的方向上的投影是一模等于
acos
?< br>（
?
是
a
与
b
的夹角），方向与
a
在
b
相同或相反的一个向量．这是一个假命题
因为向量
a
在
b
的方向上的投影是个数量，而非向量。
2.证明： 设
x?(a,b),y?(c,d)
，则
xy?ac?bd,x?
而
xy?xycos
?
,xy?xycos
?
?xy

即xy?xy
，得
ac?bd?
a
2
?b
2
,y ?c
2
?d
2

a
2
?b
2
c
2
?d
2

?(ac?bd)
2
?(a
2
?b
2
)(c
2< br>?d
2
)

3.解：由
a?(3,?1),b?(,
13
)
得
ab?0,a?2,b?1

22
[a?(t2
?3)b](?ka?tb)?0,?ka
2
?tab?k(t
2?3)ab?t(t
2
?3)b
2
?0

?4k?t< br>3
?3t?0,k?
1
3
1
(t?3t),f(t)?(t< br>3
?3t)

44

4. 解：
AB?AC,?AB?AC?0.


AP??AQ,BP?AP?AB ,CQ?AQ?AC,
?BP?CQ?(AP?AB)?(AQ?AC)
?AP?AQ?AP? AC?AB?AQ?AB?AC
??a
2
?AP?AC?AB?AP
??a< br>2
?AP?(AB?AC)

1
??a
2
?PQ?BC
2
1
??a
2
?PQ?BC
2
??a
2
?a
2
cos
?
.


故当cos
?
?1,即
?
?0(PQ与BC方向相同)时,BP?CQ最大 .其最大值为0.