高中数学中集合的符号-高中数学双曲线的几何性质课件
-------------------------------------------
------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
------
-----------------------------------------------
平面向量
A组
一、选择题
uuur
uuu
r
uuur
u
uu
r
1.化简
AC?
BD?
CD?
AB
得(
)
uuur
r
A.
AB
B.
DA
C.
BC
D.
0
rr
uuruur
2.设
a
0
,b
0
分别是与
a,b
向的单位向量,则下列
结论中正确的是( )
uuruur
uuruur
A.
a
0
?b
0
B.
a?b?1
0uuruuruur
0
uur
C.
|a
0
|?|b0
|?2
D.
|a
0
?b
0
|?2
3.已知下列命题中:
rr
r
r
(1)若
k?R
,且
kb?0
,
则
k?0
或
b?0
,
rr
r
r
r
r
(2)若
a?b?0
,则
a?0
或
b?0
<
br>(3)若不平行的两个非零向量
a,b
,满足
|a|?|b|
,则(a?b)?(a?b)?0
rr
b?|a|?|b|
其中真命题的个数是( )
(4)若
a
与
b
平行,则
a
g
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
4.下列命题中正确的是( )
A.若a
B.若a
b=0,则a=0或b=0
b=0,则a∥b
C.若a∥b,则a在b上的投影为|a|
D.若a⊥b,则ab=(ab)
2
信达
-------
--------------------------------------------------
----------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
--------------------
---------------------------------
rr<
br>r
r
5.已知平面向量
a?(3,1)
,
b?(x,?3)<
br>,且
a?b
,则
x?
( )
A.
?3
B.
?1
C.
1
D.
3
6.已知向量
a?(cos
?
,sin
?
)
,向量
b?(3,?1)
则
|2a?b|
的最大值,
最小值分别是( )
A.
42,0
B.
4,42
C.
16,0
D.
4,0
二、填空题
1
AB
=_________
3
rr
rr
r
2.平面向量
a,b
中,若
a?(4,?3)<
br>,
b
=1,且
a?b?5
,则向量
b
=____。
1.若
OA
=
(2,8)
,
OB
=
(?7
,2)
,则
rrr
r
0
3.若
a?3
,
b
?2
,且
a
与
b
的夹角为
60
,则
a?b
?
。
4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点
所构成的图形是___________。
?
?
?
?
5.
已知
a?(2,1)
与
b?(1,2)
,要使
a?tb
最小
,则实数
t
的值为___________。
三、解答题
r
uu
ur
r
1.如图,
YABCD
中,
E,F
分别是
B
C,DC
的中点,
G
为交点,若
AB
=
a
,
AD
=
b
,
rr
r
uuur
uuu
试以
a
,
b
为基底表示
DE
、
BF
、
CG
.
D F
G
E
C
B
rr
r
rrrrr
A
o
2.已知向量
a与b
的夹角为
60
,
|b|?4,(a?2b).(a?3b)??72
,求向量
a
的模。
3.已知点
B(2,?1)
,且原点<
br>O
分
AB
的比为
?3
,又
b?(1,3)
,
求
b
在
AB
上的投影。
?
?
?
?
r
4.已知
a?(1,2)
,
b?(?3,2)
,当
k<
br>为何值时,
r
r
r
r
(1)
ka?b
与<
br>a?3b
垂直?
rr
(2)
ka?
b
与
a
?3
b
平行?平行时它们是同向还是反向?
B组
一、选择题
1.下列命题中正确的是( )
uuuruuuruuuruuuruuur
A.
OA?OB?AB
B.
AB?BA?0
ruuurruuuruuuruuuruuur
C.
0?AB?0
D.
AB?BC?CD?AD
信达
----------
--------------------------------------------------
-------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
-----------------------
------------------------------
uuuruu
ur
2.设点
A(2,0)
,
B(4,2)
,若点
P
在直线
AB
上,且
AB?2AP
,
则点
P
的坐标为( )
A.
(3,1)
B.
(1,?1)
C.
(3,1)
或
(1,?1)
D.无数多个
3.若平面向量
b
与向量
a?(1,?2)
的夹角是
180
,且
|b|?35
,则
b?
( )
A.
(?3,6)
B.
(3,?6)
C.
(6,?3)
D.
(?6,3)
o
rrrr
r
r
4.向量
a?(2,3)
,
b?(?1,2)
,若
ma?b
与
a?2b
平行,则
m
等于
A.
?2
B.
2
C.
rrrrrr
r<
br>r
r
r
5.若
a,b
是非零向量且满足
(a?2b)
?a
,
(b?2a)?b
,则
a
与
b
的夹角是(
)
1
1
D.
?
2
2
??
2
?
5
?
B. C.
D.
633
6
r
31
r
r
?
6.设a?(,sin
?
)
,
b?(cos
?
,)
,
且
a
b
,则锐角
?
为( )
23
A.
A.
30
B.
60
C.
75
D.
45
0000
二、填空题
rr
rr
rrrrr
1.若
|a|?1,|b|?2,c?a?b
,
且
c?a
,则向量
a
与
b
的夹角为 .
2.已知向量
a?(1,2)
,
b?(?2,3)
,
c?(4,1
)
,若用
a
和
b
表示
c
,则
c
=
____。
???
????
rr
rrrr
0
a
与
b
的夹角为
60
,3.若
a?1
,
b?2
,若
(3a?5b)?(ma?b)
,则
m
的值为 .
u
uuruuuruuur
4.若菱形
ABCD
的边长为
2
,则
AB?CB?CD?
__________。
5.若
a
=
(2,
3)
,
b
=
(?4,7)
,则
a
在
b上的投影为________________。
????
三、解答题
rr<
br>r
a?(1,2)b?(2,1)
1.求与向量,夹角相等的单位向量
c
的坐标.
2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.
r
r<
br>r
r
r
rr
r
r
r
r
r
r
c)b?(a
g
b)c
,求证:
a?d
3.设非零向量
a,b,c,d
,满足
d?(a
g
信达
-------------------------------------------- -----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
------- ----------------------------------------------
rr
4.已知
a?(cos
?
,sin
?
)
,
b?(cos
?
,sin
?
)
,其中
0?
?
?
?
?
?
.
r
r
r
r
(1)求证:
a?b
与
a?b
互相垂直;
(2)若
ka?
b
与
a?k
b
的长度相等,求
?
?
?
的值(
k
为非零 的常数).
?
?
?
?
C组
一、选择题
1.若三点
A(2,3),B(3,a),C(4,b)
共线,则有( )
A.
a?3,b??5
B.
a?b?1?0
C.
2a?b?3
D.
a?2b?0
2.设
0?< br>?
?2
?
,已知两个向量
OP
1
?
?
cos
?
,sin
?
?
,
OP
2
?< br>?
2?sin
?
,2?cos
?
?
,则向量
P
1
P
2
长度的最大值是( )
A.
2
B.
3
C.
32
D.
23
3.下列命题正确的是( )
A.单位向量都相等
r
r
C.
|a?b|?|a?b|
,则
a?b?0
r
r
D.若
a
0
与
b
0
是单位向 量,则
a
0
?b
0
?1
r
r
r
r
0
4.已知
a,b
均为单位向量,它们的夹角为
60,那么
a?3b?
( )
A.
7
B.
10
C.
13
D.
4
B.若< br>a
与
b
是共线向量,
b
与
c
是共线向量,则
a
与
c
是共线向量( )
rr
rr
rr
rr
5.已知向量
a
,
b
满足
a?1,b?4,< br>且
a?b?2
,
则
a
与
b
的夹角为
A.
????
B. C. D.
6432
6. 若平面向量
b
与向量
a?(2,1)
平行,且
|b|?25
,则
b?
( )
A.
(4,2)
B.
(?4,?2)
C.
(6,?3)
D.
(4,2)
或
(?4,?2)
二、填空题
r
r
r
r
1.已知向量
a?(cos
?
,sin
?
)
,向量
b?(3,?1)
,则
2a?b
的最大值是 .
2.若
A(1,2),B(2,3),C(?2,5)
,试判断则△ABC的形状 _________.
r
r
3.若
a?(2,?2)
,则与
a
垂直的单位向量的坐标为__________。
信达
---
--------------------------------------------------
--------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
----------------
-------------------------------------
rrrrrr
4.若向量
|a|?1,|b|?2,|a?b|?2,则
|a?b|?
。
rr
r
r
b?5
,则向量
b?
______。 <
br>5.平面向量
a,b
中,已知
a?(4,?3)
,
b?1,且
a
g
三、解答题
1.已知
a,b,c
是三个向量
,试判断下列各命题的真假.(1)若
a?b?a?c
且
a?0
,则
b?c
r
r
r
r
r
rrr
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(2)向量<
br>a
在
b
的方向上的投影是一模等于
acos
?
(?
是
a
与
b
的夹角),方向与
a
在
b
相同或相反的一个向量.
2.证明:对于任意的
a,b,c,d?R
,恒有
不等式
(ac?bd)?(a?b)(c?d)
22222
r
13
r
)
,若存在不同时为
0
的实数
k
和
t<
br>,使 3.平面向量
a?(3,?1),b?(,
22
r
rrrrr
rr
x?a?(t
2
?3)b,y??ka?tb,
且
x?y
,试求函数关系式
k?f(t)
。
4.如图,在直角△
ABC中,已知
BC?a
,若长为
2a
的线段
PQ
以点A
为中点,问
PQ与BC
的夹角
?
取何值时
BP?CQ
的值最大?并求出这个最大值。
A组
一、选择题
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
r
1.D
AD?BD?AB?AD?DB?AB?AB?AB?0
uuruur
2.C
因为是单位向量,
|a
0
|?1,|b
0
|?1
r
r
r
r
r
r
r
2
r
2
r
2
r
2
3.C (1)是对的;(2)仅得
a?b
;(
3)
(a?b)?(a?b)?a?b?a?b?0
rrrrrr
b?a?bcos
?
??a?b
(4)平行时分
0
和
180
两种,
a
g
0
0
uuuruuur
r
r
r
r
4.D 若
AB?
DC
,则
A,B,C,D
四点构成平行四边形;
a?b?a?b
r
r
r
r
r
r
0
0
若
ab
,则
a
在
b
上的投影为
a
或
?a
,平行时分
0
和
180
两种
r
r
r
r
r
r
2
b?0,(a
g
b)?0
a?b?a
g
5.C
3x?1?(?3)?0,x?1
信达
--------
--------------------------------------------------
---------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
---------------------
--------------------------------
rrrr
22
6.D
2a?b?(2cos
?
?3,2
sin
?
?1),|2a?b|?(2cos
?
?3)?(2sin
?
?1)
?8?4sin
?
?
43cos
?
?8?8sin(
?
?
二、填空题
?
3
)
,最大值为
4
,最小值为
0
uuuruuuruuur
1.
(?3,?2)
AB?OB?OA?(?9,?6)
r
r
r
r
1
r
a
g
b
rrr
r
4343
2.
(,?)
a?5,cos?a,b??
r
r
?1,a,b
方向相同,
b?a?(,?)
55555
ab
1
rr
r
r
2
r
2
r
rr
2
3.
7
a?b?(a?b)?a?2ab?b?9?2?2?3??4?7
2
4.圆 以共同的始点为圆心,以单位
1
为半径的圆
r<
br>r
2
r
2
r
r
2
r
2
4<
br>r
r
4
2
5.
?
a?tb?(a?tb)
?a?2tab?tb?5t?8t?5
,当
t??
时即可
55
三、解答题
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
r<
br>1
rr
r
1
r
1.解:
DE?AE?AD?AB?B
E?AD?a?b?b?a?b
22
uuuruuuruuuruuuruuuru
uur
r
1
rr
r
1
r
BF?AF?AB?AD?
DF?AB?b?a?a?b?a
22
uuur
1
uuurr1
uuu
1
r
r
G
是△
CBD
的重心
,
CG?CA??AC??(a?b)
333
rrrr
r
2
r
2
r
r
(a?3b)?a?a
g
b?6b?
?72
2.解:
(a?2b)
g
r
2
r
2
r
r
r
2
r
0
a?abcos60?6b??7
2,a?2a?24?0,
rrr
(a?4)(a?2)?0,a?4
<
br>uuuruuur
AO
3.解:设
A(x,y)
,
??3,得
AO??3OB
,即
(?x,?y)??3(2,?1),x?6,y??3
OB
r
uuuv
r
uuuvuuuv
b
g
AB5
得
A(6,?3)
,
AB?(?4,2),
AB?20
,
bcos
?
?
uuu
v
?
10
AB
r
r
4.解:
ka?b?k(1,2)?(?3,
2)?(k?3,2k?2)
r
r
a?3b?(1,2)?3(?3,2)?(10,?4)
r
r
r
r
(ka?b)?(a?3b)
, (1)
r
r
r
r
得
(ka?b)
g
(a?3b)?10(
k?3)?4(2k?2)?2k?38?0,k?19
信达
--
--------------------------------------------------
---------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
---------------
--------------------------------------
r
r
r
r
1
(2)
(ka?b)(a?3b)
,得
?4(k?3)?10(2k?2),k??
3
r
r
1041
此时
ka?b?(?,)??(10,?4)
,所以方向相反。
333
B组
一、选择题
uuuruuuruuur
1.D
起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,
OA?OB?BA
;
uuuruuur
r
uuuruuur
AB,BA
是一对相反向量,它们的和应该为零向量,
AB?BA?0
uuuruuur
uuuruuuruuuruuur
2.C 设
P(x,
y)
,由
AB?2AP
得
AB?2AP
,或
AB??2AP
,
uuuruuur
AB?(2,2),AP?(x?2,y)
,即
(2,2)?2(x?2,y),x?3,y?1,P(3,1)
;
(2,2)??2(x?2,y),x?1,y??1,P(1,?1)
r
r
r
2
3.A 设
b?ka?(k,?2k),k?
0
,而
|b|?35
,则
5k?35,k??3,b?(?3,6)
rr
ma?b?(2m,3m)?(?1,2)?(2m?1,3m?2)
4.D
rr
1
a?2b?(2,3)?(?2,4)?(4,?1)
,则
?
2m?1?12m?8,m??
2
1
r
2
r
r<
br>a
r
2
r
a
g
b1
r
2
r
r
r
r
r
2
r
2
r
5.B
a?2a
g
b?0,b?2a
g
b?0,a?b,a?b,cos<
br>?
?
r
r
?
2
r
2
?
2
ab
a
6.D
31
??sin
?
c
os
?
,sin2
?
?1,2
?
?90
0
,
?
?45
0
23
二、填空题
r
r<
br>r
rr
a
g
b?a
2
1
rrrr
2
0
a?0,a?a
g
b?0,cos
?
?
r
r
?
r
r
??
,或画图来做 1.
120
<
br>(a?b)
g
2
abab
r
r
2.
(2,?
1)
设
c?xa?yb
,则
(x,2x)?(?2y,3y)?(x?2
y,2x?3y)?(4,1)
?
x?2y?4,2x?3y?1,x?2,y??1
rr
rr
r<
br>r
2
r
r
23
b?5b
2
?0
3.
(3a?5b)
g
(ma?b)?3ma?(5m?3)a
g
8
3m?(5m?3)?2?cos60?5?4?0,8m?23
0
uuu
ruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
4.
2
AB?CB?CD?AB?BC?CD?AC?CD?AD?2
信达
---------------------------------------------
----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
--------
---------------------------------------------
r
r
65
a
g
b13
r
5.
acos
?
?
r
?
5
65
b
三、解答题
r
rrr
r1.解:设
c?(x,y)
,则
cos?a,c??cos?b,c?,
?
?
x?
?
x?2y?2x?y
?
得
?<
br>2
,即
?
2
x?y?1
?
?
y?
?
?
2
?
?
x??
2
或
?
?
2
?
y??
?
?
2
2
2
2
2
2222
r
c?(,)
或
(?,?)
2222
uuur
r
uuur
r
uuur
r
r
uuur
r
r
2.证明:记
AB?a,AD?b,
则<
br>AC?a?b,DB?a?b,
uuur
2
uuur
2r
2
r
r
2
r
r
2
r
2
AC?DB?(a?b)?(a?b)?2a?2b
uuur
2
uuur
2
r
2
r
2
?AC?DB?2a?2b
r
r
rrr
r
rr
rrrr
r
r
r
rr
[(a
g
c)
b?(a
g
b)c]?(a
g
c)(a
g
b)?(a
g
b)c
g
a
3.证明:
Q
a
gd?a
g
rrr
r
rrr
r
?(a
g
c)(a
g
b)?(a
g
c)(a
g
b)?0
r
r
?a?d
r
rr
r
r
2
r
2
Q
(a?b)
g
(a?b)?a?b?(cos
2
?
?sin
2
?
)?(
cos
2
?
?sin
2
?
)?0
4.(1)证明:
r
r
r
r
?a?b
与
a?b
互相垂直
(2)
ka?
b?
(kcos
?
?cos
?
,ksin
?
?sin
?
)
;
?
?
?
a?k
b?(cos
??kcos
?
,sin
?
?ksin
?
)
<
br>r
ka?b?k
2
?1?2kcos(
?
?
?
)
?
?
?
r
a?kb?k
2
?1?2
kcos(
?
?
?
)
2
而
k?1?2k
cos(
?
?
?
)?k
2
?1?2kcos(
?<
br>?
?
)
信达
-------------
--------------------------------------------------
----奋斗没有终点任何时候都是一个起点
--------------------------
---------------------------
cos(
?
?
?
)?0
,
?
?
?
?
?
2
C组
一、选择题
uuuruuuruuuruuur
1.C
AB?(1,a?3),AC?(2,b?3),ABAC?b?3?2a?6,2a?b?3
uuuur
2.C
PP
12
?(2?sin
?
?cos
?
,2?cos
?
?sin
?
),
uuuur
22
?2(2?cos
?
)?2sin
?
?10?8cos
?
?18?32
PP
12
r
r
3.C 单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不
同;当
b?0
时,
a
与
c
可以为任意向量;
|a?b|?|a?b|
,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直;还要考虑夹角
r
r
2
rr
2
r
r
b?9b?1?6cos60
0<
br>?9?13
4.C
a?3b?a?6a
g
r
r
a
g
b21
?
5.C
cos
?
?
r
r
??,
?
?
3
ab
42
rr
r
r
2
6.D 设b?ka?(2k,k),
,而
|b|?25
,则
5k?25,k??,
b?(4,2),或(?4,?2)
二、填空题
?
r
?
r
?
1.
4
2a?b
?(2cos
?
?3,2sin
?
?1),2a?b?8?8sin(
?
?)?16?4
3
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
2.直角三角形
AB?(1,1),AC?(?3,3),AB
g
AC?0,AB?AC
3.
(
2222
,),或(?,?)
2222
设所求的向量为
(x,y),2x?2y?0,x?y?1,x?y??
22
2
2
4.
6
由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
r
2
r
2
r
r
2
r
r
2
r
r
2
r
2
r
r
2
r
2
a?b?a?b?2a?2b?a?b?2a?2b?a?b?2?2?4?4?6
r
4343
22
5.
(,?)
设
b?(x,y),4x?3y?5,x?y?1,x?,y??
5555
三、解答题
信达
--------------
--------------------------------------------------
---奋斗没有终点任何时候都是一个起点
---------------------------
--------------------------
r
rr
r
rrr
r
1.解:(1)若
a?b?a?c
且
a?0
,则
b?c
,这是一个假命题
r
rr
r
rrr
r
rr
因为
a?b?a?c,a?(b?c)?0
,仅得
a?(b?c)
r
r
r
r
r
r
r
(2)向量
a
在
b
的方向上的投影是一模等于
acos
?
(
?
是<
br>a
与
b
的夹角),方向与
a
在
b
相同或相反
的一个向量.这是一个假命题
r
r
因为向量
a
在
b
的方向上的投影是个数量,而非向量。
2.证明:
设
x?(a,b),y?(c,d)
,则
x
g
y?ac?bd,x?
而
x
g
y?xycos
?
,x
g
y?xy
cos
?
?xy
即
x
g
y?xy
,得<
br>ac?bd?
rr
rrrr
a
2
?b
2
,y
?c
2
?d
2
rrrrrrrrrr
rrrr
a
2
?b
2
c
2
?d
2
?(ac
?bd)
2
?(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)
r
r
13
r
r
r
r
)
得
a
g
b?0,a?2,b?1
3.解:由
a?(3,?1),b?(,
22
rr
2
rr
r
r
2
r
r
r
r
222
[a?(t?3)b]
g
(?ka?tb)?0,?ka?ta
g
b?k(t?3)a
g
b
?t(t?3)b?0
11
?4k?t
3
?3t?0,k?(t<
br>3
?3t),f(t)?(t
3
?3t)
44
uuuruuuruuuruuur
4.
解:
Q
AB?AC,?AB?AC?0.
uuuruuuruuuruuu
ruuuruuuruuuruuur
Q
AP??AQ,BP?AP?AB,CQ?AQ?AC
,
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
?BP?CQ?(AP?A
B)?(AQ?AC)
?AP?AQ?AP?AC?AB?AQ?AB?AC
??a
2
?AP?AC?AB?AP
??a?AP?(AB?AC)
2
1
??a?PQ?BC
2
1
??a
2
?PQ?BC
2
??a
2
?a
2
cos
?
.
2
故当cos
?
?1,即
?
?0(P
Q与BC方向相同)时,BP?CQ最大.其最大值为0.
信达