人教A版高中数学必修四平面向量

--- -------------------------------------------------- --------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
---------------- -------------------------------------



rrrrrr
4．若向量
|a|?1,|b|?2,|a?b|?2,则
|a?b|?
。
rr
r
r
b?5
，则向量
b?
______。 < br>5．平面向量
a,b
中，已知
a?(4,?3)
，
b?1，且
a
g
三、解答题
1．已知
a,b,c
是三个向量 ，试判断下列各命题的真假．（1）若
a?b?a?c
且
a?0
，则
b?c

r
r
r
r
r
rrr
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
（2）向量< br>a
在
b
的方向上的投影是一模等于
acos
?
（?
是
a
与
b
的夹角），方向与
a
在
b
相同或相反的一个向量．
2．证明：对于任意的
a,b,c,d?R
，恒有 不等式
(ac?bd)?(a?b)(c?d)

22222
r
13
r
)
，若存在不同时为
0
的实数
k
和
t< br>，使 3．平面向量
a?(3,?1),b?(,
22
r
rrrrr
rr
x?a?(t
2
?3)b,y??ka?tb,
且
x?y
，试求函数关系式
k?f(t)
。

4．如图，在直角△ ABC中，已知
BC?a
，若长为
2a
的线段
PQ
以点A
为中点，问
PQ与BC

的夹角
?
取何值时
BP?CQ
的值最大？并求出这个最大值。

A组
一、选择题
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
r
1.D
AD?BD?AB?AD?DB?AB?AB?AB?0

uuruur
2.C 因为是单位向量，
|a
0
|?1,|b
0
|?1

r
r
r
r
r
r
r
2
r
2
r
2
r
2
3.C （1）是对的；（2）仅得
a?b
；（ 3）
(a?b)?(a?b)?a?b?a?b?0


rrrrrr
b?a?bcos
?
??a?b

（4）平行时分
0
和
180
两种，
a
g
0
0
uuuruuur
r
r
r
r
4.D 若
AB? DC
，则
A,B,C,D
四点构成平行四边形；
a?b?a?b

r
r
r
r
r
r
0
0
若
ab
，则
a
在
b
上的投影为
a
或
?a
，平行时分
0
和
180
两种

r
r
r
r
r
r
2
b?0,(a
g
b)?0

a?b?a
g
5.C
3x?1?(?3)?0,x?1

信达

-------- -------------------------------------------------- ---------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
--------------------- --------------------------------



rrrr
22
6.D
2a?b?(2cos
?
?3,2 sin
?
?1),|2a?b|?(2cos
?
?3)?(2sin
?
?1)


?8?4sin
?
? 43cos
?
?8?8sin(
?
?
二、填空题
?
3
)
，最大值为
4
，最小值为
0

uuuruuuruuur
1.
(?3,?2)

AB?OB?OA?(?9,?6)

r
r
r
r
1
r
a
g
b
rrr
r
4343
2.
(,?)

a?5,cos?a,b??
r
r
?1,a,b
方向相同，
b?a?(,?)

55555
ab
1
rr
r
r
2
r
2
r
rr
2
3.
7

a?b?(a?b)?a?2ab?b?9?2?2?3??4?7

2
4.圆 以共同的始点为圆心，以单位
1
为半径的圆
r< br>r
2
r
2
r
r
2
r
2
4< br>r
r
4
2
5．
?

a?tb?(a?tb) ?a?2tab?tb?5t?8t?5
，当
t??
时即可
55
三、解答题
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
r< br>1
rr
r
1
r
1.解：
DE?AE?AD?AB?B E?AD?a?b?b?a?b

22
uuuruuuruuuruuuruuuru uur
r
1
rr
r
1
r
BF?AF?AB?AD? DF?AB?b?a?a?b?a

22
uuur
1
uuurr1
uuu
1
r
r
G
是△
CBD
的重心 ，
CG?CA??AC??(a?b)

333
rrrr
r
2
r
2
r
r
(a?3b)?a?a
g
b?6b? ?72

2.解：
(a?2b)
g
r
2
r
2
r
r
r
2
r
0
a?abcos60?6b??7 2,a?2a?24?0,

rrr
(a?4)(a?2)?0,a?4
< br>uuuruuur
AO
3.解：设
A(x,y)
，
??3，得
AO??3OB
，即
(?x,?y)??3(2,?1),x?6,y??3

OB
r
uuuv
r
uuuvuuuv
b
g
AB5
得
A(6,?3)
，
AB?(?4,2), AB?20
，
bcos
?
?
uuu

v
?
10
AB
r
r
4.解：
ka?b?k(1,2)?(?3, 2)?(k?3,2k?2)

r
r
a?3b?(1,2)?3(?3,2)?(10,?4)

r
r
r
r
(ka?b)?(a?3b)
， （1）
r
r
r
r
得
(ka?b)
g
(a?3b)?10( k?3)?4(2k?2)?2k?38?0,k?19

信达

-- -------------------------------------------------- ---------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
--------------- --------------------------------------

r
r
r
r
1
（2）
(ka?b)(a?3b)
，得
?4(k?3)?10(2k?2),k??

3
r
r
1041
此时
ka?b?(?,)??(10,?4)
，所以方向相反。
333

B组
一、选择题
uuuruuuruuur
1.D 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，
OA?OB?BA
；
uuuruuur
r
uuuruuur

AB,BA
是一对相反向量，它们的和应该为零向量，
AB?BA?0

uuuruuur
uuuruuuruuuruuur
2.C 设
P(x, y)
，由
AB?2AP
得
AB?2AP
，或
AB??2AP
，
uuuruuur
AB?(2,2),AP?(x?2,y)
，即
(2,2)?2(x?2,y),x?3,y?1,P(3,1)
；
(2,2)??2(x?2,y),x?1,y??1,P(1,?1)

r
r
r
2
3.A 设
b?ka?(k,?2k),k? 0
，而
|b|?35
，则
5k?35,k??3,b?(?3,6)

rr
ma?b?(2m,3m)?(?1,2)?(2m?1,3m?2)
4.D
rr
1
a?2b?(2,3)?(?2,4)?(4,?1)
，则
? 2m?1?12m?8,m??

2
1
r
2
r
r< br>a
r
2
r
a
g
b1
r
2
r
r
r
r
r
2
r
2
r
5.B
a?2a
g
b?0,b?2a
g
b?0,a?b,a?b,cos< br>?
?
r
r
?
2
r
2
?

2
ab
a
6.D
31
??sin
?
c os
?
,sin2
?
?1,2
?
?90
0
,
?
?45
0

23
二、填空题
r
r< br>r
rr
a
g
b?a
2
1
rrrr
2
0
a?0,a?a
g
b?0,cos
?
?
r
r
?
r
r
??
,或画图来做 1.
120
< br>(a?b)
g
2
abab
r
r
2.
(2,? 1)
设
c?xa?yb
，则
(x,2x)?(?2y,3y)?(x?2 y,2x?3y)?(4,1)

?

x?2y?4,2x?3y?1,x?2,y??1

rr
rr
r< br>r
2
r
r
23
b?5b
2
?0

3.
(3a?5b)
g
(ma?b)?3ma?(5m?3)a
g
8

3m?(5m?3)?2?cos60?5?4?0,8m?23

0
uuu ruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
4.
2

AB?CB?CD?AB?BC?CD?AC?CD?AD?2

信达

--------------------------------------------- ----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点
-------- ---------------------------------------------


r
r
65
a
g
b13
r
5．
acos
?
?
r
?

5
65
b
三、解答题

r
rrr
r1.解：设
c?(x,y)
，则
cos?a,c??cos?b,c?,

?
?
x?
?
x?2y?2x?y
?
得
?< br>2
，即
?
2
x?y?1
?
?
y?
?
?
2
?
?
x??
2
或
?
?
2
?
y??
?
?
2
2
2

2
2
2222
r
c?(,)
或
(?,?)

2222
uuur
r
uuur
r
uuur
r
r
uuur
r
r
2.证明：记
AB?a,AD?b,
则< br>AC?a?b,DB?a?b,

uuur
2
uuur
2r
2
r
r
2
r
r
2
r
2
AC?DB?(a?b)?(a?b)?2a?2b

uuur
2
uuur
2
r
2
r
2

?AC?DB?2a?2b

r
r
rrr
r
rr
rrrr
r
r
r
rr
[(a
g
c) b?(a
g
b)c]?(a
g
c)(a
g
b)?(a
g
b)c
g
a

3.证明：
Q
a
gd?a
g
rrr
r
rrr
r
?(a
g
c)(a
g
b)?(a
g
c)(a
g
b)?0

r
r

?a?d

r
rr
r
r
2
r
2
Q
(a?b)
g
(a?b)?a?b?(cos
2
?
?sin
2
?
)?( cos
2
?
?sin
2
?
)?0

4.（1）证明：
r
r
r
r

?a?b
与
a?b
互相垂直
（2）
ka?
b? (kcos
?
?cos
?
,ksin
?
?sin
?
)
；
?
?
?
a?k
b?(cos
??kcos
?
,sin
?
?ksin
?
)
< br>r
ka?b?k
2
?1?2kcos(
?
?
?
)

?
?
?
r
a?kb?k
2
?1?2 kcos(
?
?
?
)
2

而
k?1?2k cos(
?
?
?
)?k
2
?1?2kcos(
?< br>?
?
)

信达

------------- -------------------------------------------------- ----奋斗没有终点任何时候都是一个起点
-------------------------- ---------------------------



cos(
?
?
?
)?0
，
?
?
?
?
?
2

C组
一、选择题
uuuruuuruuuruuur
1.C
AB?(1,a?3),AC?(2,b?3),ABAC?b?3?2a?6,2a?b?3


uuuur
2.C
PP
12
?(2?sin
?
?cos
?
,2?cos
?
?sin
?
),
uuuur
22
?2(2?cos
?
)?2sin
?
?10?8cos
?
?18?32

PP
12
r
r
3.C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不 同；当
b?0
时，
a
与
c
可以为任意向量；

|a?b|?|a?b|
，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角
r r
2
rr
2
r
r
b?9b?1?6cos60
0< br>?9?13

4.C
a?3b?a?6a
g
r
r
a
g
b21
?
5.C
cos
?
?
r
r
??,
?
?

3
ab
42
rr
r
r
2
6.D 设b?ka?(2k,k),
，而
|b|?25
，则
5k?25,k??, b?(4,2),或(?4,?2)

二、填空题
?
r
?
r
?
1.
4

2a?b ?(2cos
?
?3,2sin
?
?1),2a?b?8?8sin(
?
?)?16?4

3
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
2.直角三角形
AB?(1,1),AC?(?3,3),AB
g
AC?0,AB?AC

3.
(
2222
,),或(?,?)

2222
设所求的向量为
(x,y),2x?2y?0,x?y?1,x?y??
22
2
2
4.
6
由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
r
2
r
2
r
r
2
r
r
2
r
r
2
r
2
r
r
2
r
2

a?b?a?b?2a?2b?a?b?2a?2b?a?b?2?2?4?4?6

r
4343
22
5．
(,?)
设
b?(x,y),4x?3y?5,x?y?1,x?,y??

5555
三、解答题
信达

-------------- -------------------------------------------------- ---奋斗没有终点任何时候都是一个起点
--------------------------- --------------------------



r
rr
r
rrr
r
1.解：（1）若
a?b?a?c
且
a?0
，则
b?c
，这是一个假命题
r
rr
r
rrr
r
rr
因为
a?b?a?c,a?(b?c)?0
，仅得
a?(b?c)

r
r
r
r
r
r
r
（2）向量
a
在
b
的方向上的投影是一模等于
acos
?
（
?
是< br>a
与
b
的夹角），方向与
a
在
b
相同或相反 的一个向量．这是一个假命题
r
r
因为向量
a
在
b
的方向上的投影是个数量，而非向量。
2.证明： 设
x?(a,b),y?(c,d)
，则
x
g
y?ac?bd,x?
而
x
g
y?xycos
?
,x
g
y?xy cos
?
?xy

即
x
g
y?xy
，得< br>ac?bd?
rr
rrrr
a
2
?b
2
,y ?c
2
?d
2

rrrrrrrrrr
rrrr
a
2
?b
2
c
2
?d
2

?(ac ?bd)
2
?(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)

r
r
13
r
r
r
r
)
得
a
g
b?0,a?2,b?1

3.解：由
a?(3,?1),b?(,
22
rr
2
rr
r
r
2
r
r
r
r
222
[a?(t?3)b]
g
(?ka?tb)?0,?ka?ta
g
b?k(t?3)a
g
b ?t(t?3)b?0

11
?4k?t
3
?3t?0,k?(t< br>3
?3t),f(t)?(t
3
?3t)

44
uuuruuuruuuruuur
4. 解：
Q
AB?AC,?AB?AC?0.

uuuruuuruuuruuu ruuuruuuruuuruuur
Q
AP??AQ,BP?AP?AB,CQ?AQ?AC ,

uuuruuuruuuruuuruuuruuur
?BP?CQ?(AP?A B)?(AQ?AC)
?AP?AQ?AP?AC?AB?AQ?AB?AC
??a
2
?AP?AC?AB?AP
??a?AP?(AB?AC)

2


1
??a?PQ?BC
2
1
??a
2
?PQ?BC
2
??a
2
?a
2
cos
?
.
2
故当cos
?
?1,即
?
?0(P Q与BC方向相同)时,BP?CQ最大.其最大值为0.

信达