高中数学必修四三角函数教案

高中数学必修4知识点总结

第一章 三角函数（初等函数二）
?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成的 角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半 轴重合，终边落在第几象
限，则称
?
为第几象限角．
??
第二象限 角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?3 60?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?3 60?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?
< br>终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k? ?
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

4、已知
?
是第几象限角 ，确定
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等< br>?
n
*
份，再从
x
轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一 、二、三、四，则
?
原来
?
是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．
n
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
l
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
．
r
7、弧度制与角度制的 换算公式：
2
?
?360
，
1?
?
180
?
，
1?
?
?57.3
．
?
180
?< br>?
?
?
8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度 制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
， 面积为
S
，
1 11

11
则
l?r
?
，
C?2r?l
，
S?lr?
?r
2
．
22
9、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与 原点
yxy
，
cos
?
?
，
tan
??
?
x?0
?
．
rrx
10、三角函数在各象限的符 号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限
正切为正，第四象限余弦为正．
11、三 角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???，
tan
?
???
．
的距离是
rr?x
2< br>?y
2
?0
，则
sin
?
?
?
?< br>12、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
?
? cos
?
?1

22
y
P
T
OM
A
x
?
sin
2
?
?1?cos
2
?,cos
2
?
?1?sin
2
?
?
；
?
2
?
sin
?
??
sin
?
?tan< br>?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
sin
?
?tan
?

cos
?
13、三角函数的诱导公式：
?
1
?
s in
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
? tan
?
?
k??
?
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，tan
?
?
?
?
?
?tan
?
． < br>?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
sin
?
?
?
?
?< br>?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?< br>??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
5
?
sin
?
?
?
?
?
?
??
?
?cos
?
，
cos
?
?
??
?sin
?
．
?
2
?
?
2
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
??sin
?
． ?
2
??
2
?
?
?
6
?
si n
?
?
?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
14、函数
y?sinx
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y? sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩
短）到原来的
1
?
倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?< br>?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不
变） ，得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
2 11

函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
得到函数
1
?
倍（纵坐标不变），
?
y?sin
?
x
的图象；再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左（右）平移个单?
位长度，得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所
有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
函数< br>y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?< br>?0
?
的性质：
①振幅：
?
；②周期：
??
相：
?
．
函 数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当< br>x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x< br>2
时，取得
11?
?
y
max
?y
min< br>?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1
?
x
1
?x2
?
．
222
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
y?cosx

y?tanx

数
y?sinx

性
2
?
?
；③频率：
f ?
1
?
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初?2
?
最大值为
y
max
，则
??
质
图
象

定
义
域
值
域
R


R


?
?
?
?
xx?k
?
?,k??
?

2
??
R

?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

?
k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?时，
?
2
最
值
时，
y
max< br>?1
；当
x?2k
?
?
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
既无最大值也无最小
值
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周

2
?

2
?

3 11
?

期
性
奇
偶
性
奇函数 偶函数 奇函数
??
??
在
?
2k
?< br>?,2k
?
?
?

22
??
在
?< br>2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??< br>?
??
??
单
?
k??
?
上是增函数；在
上是增函数；在
在
?
k
?
?,k
?
??

22
??
调
?
2k
?
,2k?
?
?
?

?
3
?
?
性
?
2k
?
?,2k
?
?
?

?
k??
?
上是增函数．
?
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心对称中心
?
? ?
对
?
k
?
,0
??
k??
?

k
?
?,0
?
?
k??
?

?
称
2
??
对称轴
性
?
对称轴
x?k
?
?
k??
?

x?k
?
?
?
k??
?

2
< br>对称中心
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??
无对称轴
第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．









4 11

⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
⑷ 运算性质：①交换律：
a?b?b?a
；②结合律：
a?b?c?a?b?c
；
③
a?0?0?a?a
．











????
C

a

?

b

?

a?b??C?????C

⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x2
,y
1
?y
2
?
．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
19、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a
；
②当
?
?0< br>时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相
反；当
?< br>?0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?< br>?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐 标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y?
．
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线， 当且仅当有唯一一个实数
?
，使
??
??
b?
?
a
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
5 11

??

21、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
这 一平面内的任意向量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2< br>e
2
．（不共
线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?< br>2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
，当时，点的坐标是
,
x,y
? ??
?
??
?
?
22
?
??
．
12
1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积：
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
⑵性质：设
a
和b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与
b
反向时，a?b??ab
；
a?a?a
2
?a
或
a?a?a．③
a?b?ab
．
2
??
⑶运算律：①
a?b?b ?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
⑷坐标运算：设 两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x
2
?y
2< br>，或
a?x
2
?y
2
．
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2?y
1
y
2
?0
．
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?< br>，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
2
??????
c os
?
?

a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
21
x?y
2
2
2
2
．
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?< br>?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?s in
?
sin
?
；
⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
6 11

⑷
si n
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan
?< br>?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?< br>1?tan
?
tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan?
tan
?
?
）；
⑹
tan
?
?< br>?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1? tan
?
tan
?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?tan
?
?
）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2< br>?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
（
cos
2
?
?
cos2
?
?1
2
sin
2
?
?
1?cos2
?
2
）．
⑶
tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
．
26、
?sin
?
??cos
?
??
2
??
2
sin
?
?
?
?
?
， 其中
tan
?
?
?
?
．

















7 11

，

高中数学必修4测试题2

一、选择题（每题4分，共40分）：
1、已知平面向量a=，b=， 则向量
a?b

（x,1）
（－x,x
2
）
A. 平行于
x
轴
C.平行于
y
轴
B. 平行于第一、三象限的角平分线
D. 平行于第二、四象限的角平分线
2、已知向量
a?(1,2)
，
b?(2,?3)
. 若向量
c
满足
(c?a)b
，
c?(a?b)
，则
c
?

77
7777
,?)
C.
(,)
D.
(?,?)

39
3993
3、已知向量
a?(1 ,0),b?(0,1),c?ka?b(k?R),d?a?b
，如果
cd
，那么
A.
k?1
且
c
与
d
同向 B.
k?1
且
c
与
d
反向
C.
k??1
且
c
与
d
同向 D.
k??1
且
c
与
d
反向
A.
(,)
B.
(?
*4、已知O，N，P在
?ABC< br>所在平面内，且
OA?OB?OC,NA?NB?NC?0
，
且
PA? PB?PB?PC?PC?PA
，则点O，N，P依次是
?ABC
的
A. 重心 外心 垂心 B. 重心 外心 内心
C. 外心 重心 垂心 D. 外心 重心 内心
5、函数
y?2cos(x?
2
77
93
?
4
)?1
是
B. 最小正周期为
?
的偶函数 A. 最小正周期为
?
的奇函数
C. 最小正周期为
??
的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
2
2
12
6、已知
△
ABC中，
cotA??
，则
c osA?

5
125512
A. B. C.
?
D.
?

13131313
?
?
7、若将函数
y?tan(
?
x?)(
?
?0)
的图像向右平移个单位长度后，与函数
6
4
?
y?tan(
?
x?)
的图像重合，则
?
的最小值为
6
A.
1

6
B.
1

4
C.
1

3
，其中
D.
1

2
，则导数的取
8
、设函数
值范围是

A. B. C. D.
8 11

9、若函数
f(x)?(1?3tanx)cosx
，
0?x?
A. 1 B.
2
C.
，则
f(x)
的最大值为
2
3?1
D.
3?2

?
10、已知函数
f(x)?sin(x?
?2
)(x?R)
，下面结论错误的是
．．
A. 函数
f(x)
的最小正周期为2
?

?
］上是增函数
2
C. 函数
f(x)
的图象关于直线
x
＝0对称
B. 函数
f(x)
在区间［0，
D. 函数
f(x)
是奇函数

二、填空题（每题4分，共16分）
11、已知向量
a?(3,1)
，
b?(1,3)
，
c?(k,2)
，若
(a?c)?b
则
k
= .
12、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若
AD?xAB?yAC
，则
x?
，
y?
.
13、若
?
4
?x?
?
2

，则函数
y?tan2xtanx
的最大值为 。
3
14、当
0?x?1时
，不等式
sin
?
x
2?kx
成立，则实数
k
的取值范围是_______________.

三、解答题（第15、16题各10分，第17、18题各12分，共44分）
1 5、已知向量
a?(sin
?
,?2)
与
b?(1,cos
?
)
互相垂直，其中
?
?(0,
（1）求
sin
?
和
cos
?
的值
（2）若
5cos(
?
?
?
)?35cos
?
，
0?
?
?












9 11

?
2
)
。
?
，求
cos
?
的值
2

16、已知函数
f(x)?2sin(
?
?x)cosx
.
（Ⅰ）求
f(x)
的最小正周期；
（Ⅱ）求
f(x)
在区间
?
?

















17、设向量
a?(4cos
?
,sin
?
),b?(sin
?
,4cos
?
),c?(c os
?
,?4sin
?
)


（1）若
a
与
b?2c
垂直，求
tan(
?
?
?
)< br>的值；
（2）求
|b?c|
的最大值；
（3）若tan
?
tan
?
?16
，求证：
a
∥
b
.












10 11

?
??
?
,
?
上的最大值和最小值
?
62
?

18、如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛 道的前一部分为
曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asin
?
x（A>0，
?
>0） x
?
[0，4]的图象，且图象的最
高点为S（3，2< br>3
）；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定
?
MN P=120°
（I）求A ，
?
的值和M，P两点间的距离；
（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？





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