(完整word版)高中数学必修一必修四知识点总结(杠杠的),推荐文档

高中数学







数
学
知
识
点
总
结

















1知识点

必修

第一章 集合与函数概念
〖1.1〗集合

【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有
确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N
表示 自然数集，
N
?
或
N
?
表示 正整数集，
Z
表示 整数集，
Q
表示 有理数集，
R
表示 实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象
a
与集合
M
的 关系是
a?M
，或者
a?M
，两者必居其一.
只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{
x
|
x
具有的性质}，其中
x
为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.
②含有无限个元素的集合叫做无限集.
③不含有任何元素的集合叫做空集(
?
). 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

【1.1.2】集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一 个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的
子集。记作
A?B
.
2、 如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且
x?A，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
?
.并规定：空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有
2
个子集，
2?1
个真子集.
5、子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义
A中的任一元素都
属于B
性质
(1)A
?
A
(2)
??A

(3)若
A?B
且
B?C
，则
A?C

(4)若
A?B
且
B?A
，则
A?B

示意图
n
n
A?B

子集
（或
A(B)
BA
B?A)

A
?
B
?
或
A
（A为非空子集）
A?B
，且B中至
（1）
??
?
BA
真子集 少有一元素不属于
（或B
?
A）
A
?
(2)若
A?B
且
B?C
，则
A?C

???

第 - 2 - 页 共 20 页

集合
相等
A?B

A中的任一元素都
(1)A
?
B
属于B，B中的任一
(2)B
?
A
元素都属于A
n
A(B)

nnn
6、已知集合
A
有
n (n?1)
个元素，则它有
2
个子集，它有
2?1
个真子集，它有< br>2?1
个非空子集，它有
2?2
非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素 组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：
A?B
.
2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：
A?B
.
3、全集、补集
C
U
A?{x|x?U,且x?U}

名称 记号 意义 性质
（1）
AI
（2）
AI
（3）
AI

AI
示意图
交集
AIB

{x|x?A,
且
x?B}

并集
AUB

{x|x?A,
或
x?B}

A?A

???

B?A

B?B

（1）
AUA?A

（2）
AU??A

（3）
AUB?A


AUB?B

1< br>痧
U
(AIB)?(
U
A)U(?
U
B)
痧
U
(AUB)?(
U
A)I(?
U
B)
AI(?< br>U
A)??

AB

A
B

补集
?
U
A

{x|x?U,且x?A}

2
AU(?
U
A)?U



【1.2.1】函数的概念
1、函数的概念
?
设A、B是非空的数集， 如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合A中的任意一个数
x
，在集合B 中都有
惟一确定的数
f
?
x
?
和它对应，那么就称
f:A?B
为集合A到集合B的一个函数，记作：
y?f
?
x
?,x?A
.
?
函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
?
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等

【1.2.2】函数的表示法
2、函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
?
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
?
列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
?
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
3、映射的概念
第 - 3 - 页 共 20 页

①设
A
、
B是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中任何一个元素，在 集合
B
中都有唯一的
元素和它对应，那么这样的对应（包括集合
A
，
B
以及
A
到
B
的对应法则
f
）叫做集合< br>A
到
B
的映射，记作
f:A?B
．

②给 定一个集合
A
到集合
B
的映射，且
a?A,b?B
．如果元 素
a
和元素
b
对应，那么我们把元素
b
叫做元
素< br>a
的象，元素
a
叫做元素
b
的原象．

〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
如果对于属于定义域I内
某个区间上的任意两个
自变量的值x
1
、x
2
,当x<
1
．
．．
x时，都有f(x)212
．．．
．．．．．．．．．．
那么就说f(x)在这个区
间上是 增函数．
．．．
如果对于属于定义域I内
某个区间上的任意两个
自变量的值 x
1
、x
2
，当x<
1
．
．．
x时，都 有f(x)>f(x)，
212
．．．
．．．．．．．．．．
那么就说f(x )在这个区
间上是减函数．
．．．
图象 判定方法
（1）利用定义
（2）利用已知函数
的单调性
（3）利用函数图象
（在某个区间图
象上升为增）

（4）利用复合函数
（1）利用定义
（2）利用已知函数
的单调性
（3）利用函数图象
（在某个区间图
象下降为减）
（4）利用复合函数
y
y=f(X)
f(x )
1
f(x )
2
o
x
1
x
2
x
函数的
单调性
y
f(x )
1
y=f(X)
f(x )
2
o
x
1
x
2
x

②在公共定 义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，
减函数 减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数
y?f[g(x)]
，令
u?g (x)
，若
y?f(u)
为增，
u?g(x)
为增，则
y? f[g(x)]
为增；若
y?f(u)
为减，
u?g(x)
为减，则
y?f[g(x)]
为增；若
y?f(u)
为增，
u?g(x)为减，则
y?f[g(x)]
为减；若
y?f(u)
为减，
u? g(x)
为增，则
y?f[g(x)]
为减．
（2）打“√”函数
f(x)?x?
y

a
(a?0)
的图象与性质
x
o

x

f(x)
分别在
(??,?a]
、
[a,??)
上为增函数 ，分别在
第 - 4 - 页 共 20 页

[?a,0)
、
(0,a]
上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果存在 实数
M
满足：（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
；
（2）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．那么，我们称
M
是函数
f(x)
的最大值，记 作
f
max
(x)?M
．
②一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数
m
满足：（1）对于任意的
x ?I
，都有
f(x)?m
；
（2）存在
x
0
?I< br>，使得
f(x
0
)?m
．那么，我们称
m
是函数f(x)
的最小值，记作
f
max
(x)?m
．

【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
如果对于函数f(x)定义
域内任意一个x，都有
f (－x)=－f(x),那么函
．．．．．．．．．．．
数f(x)叫做奇函数．
．．．
函数的
奇偶性

如果对于函数f(x)定义
域内 任意一个x，都有
f(－x)=f(x),那么函数
．．．．．．．．．．
f(x)叫 做偶函数．
．．．

②若函数
f(x)
为奇函数，且在
x ?0
处有定义，则
f(0)?0
．
③奇函数在
y
轴两侧相 对称的区间增减性相同，偶函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义 域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函
数）的积（ 或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
①平移变换
h?0,左移h个单位k?0,上移k个单位
y? f(x)????????y?f(x?h)y?f(x)????????y?f(x)?k

h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位
图象 判定方法
（1）利用定义（要
先判断定义域是否
关于原点对称）
（2）利用图象（图
象关于原点对称）
（1）利用定义（要
先判断定义域是否
关于原点对称）
（2）利用图象（图
象关于y轴对称）
②伸缩变换
0?
?
?1,伸0?A?1,缩
y?f(x)?????y?f(
?
x)y?f(x)?? ???y?Af(x)

?
?1,缩A?1,伸
③对称变换
y轴
x轴
??y?f(?x)

y?f(x)????y??f(x)

y?f(x)??
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直线y?x
原点
y?f(x)????y??f(?x)

y?f(x)?????y?f
?1
(x)

去掉y轴左边图象y?f(x)????????????????y?f(|x|)
保留y轴右边图象，并作其关于 y轴对称图象
保留x轴上方图象
y?f(x)??????????y?|f(x)|

将x轴下方图象翻折上去
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
1、根式的概念
（1） 一般地，如果
x?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根。其中
n?1,n?N
?
.
（2） 当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；
（3）当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
（4） 我们规定：

?
a

?
a
n
m
n
?
a (a?0)

?a (a?0)
?
?
m
a
n
a?0,m ,n?N
*
,m?1
；
??
?n
?
1
?
n?0
?
；
n
a
sr?s
（5） 运算性质：
①
a?a?a
r
(a?0,r,s?R)
②
(a
r)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)
③
(ab)< br>r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?R)

注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．

【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
函数名称
定义
x
指数函数
函数
y?a(a?0
且
a?1)
叫做指数函数
a?1


y

y?a
x



(0,1)
0?a?1

y?a
x
y
图象
y?1

y?1

(0,1)

O


定义域
x
R

O
x
第 - 6 - 页 共 20 页

值域
过定点
奇偶性
单调性
在
R
上是增函数
(0,??)

图象过定点
(0,1)
，即当
x?0
时，
y?1
．
非奇非偶
在
R
上是减函数
a
x
?1(x?0)
函数值的
变化情况
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
图象的影响 在第一象限内，
a
越大图象越高；在第二象限内，
a
越大图象越低．
a
变化对

〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
x
①若
a?N(a?0,且a?1)
， 则
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
x?loga
N
，其中
a
叫做底数，
N
叫做真数．
②负数和零没有对数．
x
③对数式与指数式的互化：
x?log
a
N?a?N(a?0,a?1,N?0)
．
（2）几个重要的对数恒等式
log
a
1?0
，
log
a
a?1
，
a< br>log
a
N
?N
．
（3）常用对数与自然对数
常 用对数：
lgN
，即
log
10
N
；自然对数：
l nN
，即
log
e
N
（其中
e?2.71828
… ）．
（4）对数的运算性质 如果
a?0,a?1,M?0,N?0
，那么 < br>①加法：
log
a
M?log
a
N?log
a
(MN)
②减法：
log
a
M?log
a
N?log
a
logN
n
③数乘：
nlog
a
M? log
a
M(n?R)
④
a
a
?N

M

N
⑤
log
a
b
M
n
?
log
b
N
n
(b?0,且b?1)

log
a
M(b?0,n?R)
⑥换底公式：
log
a
N?
log
b
a
b
⑦倒数关系：
log
a
b?

1
?
a?0,a?1,b?0,b?1
?
.
log
b
a
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
函数
名称
对数函数
第 - 7 - 页 共 20 页

定义
函数
y?log
a
x(a?0且
a?1)
叫做对数函数
a?1

y
图象
0?a?1

y?log
a
x
x?

1
y

1x?
O
(1,0)
x
O

y?log
a
x



(1,0)

x



定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
在
(0,??)
上是增函数
(0,??)

R

图象过定点
(1,0)
，即当
x?1
时，
y?0
．
非奇非偶
在
(0,??)
上是减函数
log
a
x?0(x?1)
函数值的
变化情况
log
a
x?0(x?1)

log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)
log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)

图象的影响
a
变化对
(6)反函数的概念
在第一象限内，
a
越大图 象越靠低；在第四象限内，
a
越大图象越靠高．
设函数
y?f(x)
的定义域为
A
，值域为
C
，从式子
y?f(x)
中解出< br>x
，得式子
x?
?
(y)
．如果对于
y
在< br>C
中的任何一个值，通过式子
x?
?
(y)
，
x在
A
中都有唯一确定的值和它对应，那么式子
x?
?
(y)表示
x
是
y
?1?1
的函数，函数
x?
?(y)
叫做函数
y?f(x)
的反函数，记作
x?f(y)
，习 惯上改写成
y?f(x)
．
（7）反函数的求法
?1
①确定反函 数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式
y?f(x)
中反解出
x?f(y)；
?1?1
③将
x?f(y)
改写成
y?f(x)
， 并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
?1
①原函数
y ?f(x)
与反函数
y?f(x)
的图象关于直线
y?x
对称． < br>?1
②函数
y?f(x)
的定义域、值域分别是其反函数
y?f(x)
的值域、定义域．
'?1
③若
P(a,b)
在原函数
y? f(x)
的图象上，则
P(b,a)
在反函数
y?f(x)
的图象上 ．
第 - 8 - 页 共 20 页

④一般地，函数
y?f(x)
要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
?
一般地，函数
y ?x
叫做幂函数，其中
x
为自变量，
?
是常数
（2）幂函数的图象


（3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、 二
象限(图象关于
y
轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点 对称)；是非奇非偶函数时，图
象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在(0,??)
都有定义，并且图象都通过点
(1,1)
．
③单调性： 如果
?
?0
，则幂函数的图象过原点，并且在
[0,??)
上为增函 数．如果
?
?0
，则幂函数的图象在
(0,??)
上为减函数，在第 一象限内，图象无限接近
x
轴与
y
轴．
④奇偶性：当
?< br>为奇数时，幂函数为奇函数，当
?
为偶数时，幂函数为偶函数．当
?
?
q
p
q
（其中
p,q
互质，
p
p
q
p
和
q?Z
），若
p
为奇数
q
为奇数时 ，则
y?x
是奇函数，若
p
为奇数
q
为偶数时，则
y?x
是偶函数，若
p
为
偶数
q
为奇数时，则
y? x
是非奇非偶函数．
?
⑤图象特征：幂函数
y?x,x?(0,??)，当
?
?1
时，若
0?x?1
，其图象在直线
y?x< br>下方，若
x?1
，其图
q
p
象在直线
y?x
上方，当
?
?1
时，若
0?x?1
，其图象在直线
y?x< br>上方，若
x?1
，其图象在直线
y?x
下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
f(x)?ax?bx?c(a?0)
②顶点式：
f(x)?a(x?h)?k(a?0)

③两根式：
f(x)? a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)

（2）二次函数图象的性质
22
b4ac?b
2
b
)
．
,
顶点坐标 是
(?,
①对称轴方程为
x??
2a4a
2a
②当
a?0
时，抛物线开口向上，函数在
(??,?
bbb
]
上递减，在
[?,??)
上递增，当
x??
时，
2a2a2a
第 - 9 - 页 共 20 页

4ac?b
2
bbb
f
min
(x)?
；当
a?0
时，抛物线开口向下，函数在
(??,?
在
[?
当
x??]
上递增，
,??)
上 递减，
4a
2a2a2a
4ac?b
2
时，
f
ma x
(x)?
．
4a
③二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0 )
当
??b
2
?4ac?0
时，图象与
x
轴有两个 交点
2
（3）一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
根的分布
2
22
设一元二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
的 两实根为
x
1
,x
2
，且
x
1
?x
2
．令
f(x)?ax?bx?c
，从以下四个
方面来分析此类问题：①开 口方向：
a
②对称轴位置：
x??
2
b
③判别式：
?
④端点函数值符号．
2a
（4）二次函数
f(x )?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
[p,q]
上的最值
设
f(x)
在区间
[p,q]
上的最大值为
M
，最小值为m
，令
x
0
?
1
(p?q)
．
2
（Ⅰ）当
a?0
时（开口向上）
①若
?





①若
?






bbbb
?p
，则
m?f(p)
②若
p???q
，则
m?f(?)
③若
??q
，则
m?f(q)

2a2a2a2a
?
O
b
f(?)
2a
??
f
f
?
f
O
f(?
??
?
f
x
f
f
f(?
??
b
)
2a
b
)
2a
bb
?x
0
，则
M?f(q)
②
??x
0
，则
M?f(p)

2a2a
?
x
0
??
?
f
f
x
f
x
0g
??
O
O
f(?
g
b
)
2a
f
b
f(?)
2a
x
(Ⅱ)当
a?0
时(开口向 下)
①若
?
bbbb
?p
，则
M?f(p)
②若
p???q
，则
M?f(?)
③若
??q
，则
M?f(q)

2a2a2a2a

?
f(?
b
)
2a
?
f(?




①若
?


O
f
f
x
f
b
)
2a
?
f(?
f
b
)< br>2a
??
??
f
O
x
??
f
bb< br>?x
0
，则
m?f(q)
②
??x
0
，则
m?f(p)
．
2a2a
f(?
f
b
)
2a
f(?
b
)
f
2a< br>x
0
g
g
第 - 10 - 页 共 20 页
x
0
f
f

高中数学 必修4知识点
第一章 三角函数
?
正 角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成 的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?为第几象限角．
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?9 0?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第 四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?36 0,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

oooo
ooo
oooo
oooo
o
oo
o
o
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做
1
弧度．
5、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对 弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
l< br>．
r
?
180
?
o
o
6、弧度制与角度制 的换算公式：
2
?
?360
，
1?
，
1?
?
?57.3
o
．
?
180
?
?
?7、若扇形的圆心角为
?
?
o
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l
，周长为
C
，面积为
S
，则
l?r
?
，
C?2r?l
，
y
P
T
OM
A
x
11
S?lr?
?
r
2
．
22
8、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终 边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点的距
yxy
离是
rr?x?y?0
，则
sin
?
?
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x? 0
?
．
rrx
22
?
?
第 - 11 - 页 共 20 页

9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
10、三角函数线：
sin
????
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
11、角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1 ?sin
2
?
?
；
?
2
?
sin
?
?tan
?
cos
?
sin
?
??
s in
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??

tan
?
??
（3） 倒数关系：
tan
?
cot
?
?1

12、函数的诱导公式：
?
1
?
sin
?
2k< br>?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?< br>2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?< br>k??
?
．
?
2
?
sin
?
?< br>?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
．
?
3
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan?
?
?
?
??tan
?
．
?
4?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?< br>，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?
?
??
???
?
??
?
?
5sin?
?
?cos
?
cos?
?
?sin
?
6sin?
?
?cos
?
cos
，．，
??
?
??
??????
?
?
?
??sin
?
．
?
2
??
2
??
2
??
2
?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
13、①的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵 坐标不变），得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的 图象；再将
?
函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到函数y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
②数< br>y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
倍（纵坐标不变 ），得到函数
?
?
y?sin
?
x
的图象；再将函数y?sin
?
x
的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数
?
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（ 缩短）到原来的
?
倍（横
坐标不变），得到函数
y??sin
??
x?
?
?
的图象．
14、函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,
?
?0
?的性质：
①振幅：
?
； ②周期：
??
2
?
?
； ③频率：
f?
1
?
?
； ④相位：
?
x?
?
； ⑤初相：
?
．
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当
x?x
2
时，取得最大值为
y
max
，则
第 - 12 - 页 共 20 页

??
11?
?
y
max
?y
min
?
，
??
?
y
max
?y
min
?
，
?x
2
?x
1< br>?
x
1
?x
2
?
．
222



15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
数
性
质
y?sinx


y?cosx


y?tanx

y=cotx
y
y=cotx
图象
-
?
-
?
2
o
?
2
?
3
?
2
2
?
x

定义
域
值域
R

R

?
?
?

?
xx?k
?
?,k??
?
2
??
?
?
?

?
xx?k
?
?,k??
?
2
??
?
?1,1
?
< br>当
x?2k
?
?
?
2
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时
R R
?
k??
?
时，
y
max
?1
；
最值
当
x?2k
?
?
?
2
y
m ax
?1
；
当
x?2k
?
?
?
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
?
k??
?
既无最大值也无最
小值
既无最大值也无最小
值
时，
y
min
??1
．
周期
性
2
?

奇函数
在
?
2 k
?
?
?
,2k
?
?
?
?

?
22
?
??
2
?

偶函数
?

奇函数

?

奇函数
奇偶
性

单调
性
在
?
k??
?
上是增函数；
3
?
?

?
2k
?
?,2k
?
?
?
22
?
??
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上
是增函数；在
在
?
k?
?
?
,k
?
?
?
?

?
?
2
?
2
?
?

k??
?
上是增函
?
?
2k
?
,2k
?
??
?
?
k??
?
上
数．
?
k??
?
上是减函数．
对
对称
性
称中心
是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对
x?k
?
?
称轴
?
??

?< br>k
?
?,0
?
?
k??
?
2
??< br>对称中心对称中心
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??
?
2
?
k??
?

对称轴
x?k
?
?
k??
?



无对称轴 无对称轴
第 - 13 - 页 共 20 页

第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
r
r
r
r
r
r
a?b?a?b?a?b
．⑶三角形不等式：
r
rr
r
⑷运算性质：①交换律：
a?b?b?a
； r
r
r
rr
rr
r
r
rr
②结合律：
a?b?c?a?b?c
；③
a?0?0?a?a
．
????
C

r
r
r
r
⑸坐标运算 ：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
r
a

r
b

?
r
r
r
r
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2,y
1
?y
2
?
．
uuur
设
?< br>、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则
?? ?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2< br>?
．
19、向量数乘运算：
r
r
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?

ruuuruuur
r
r
uuu
a?b??C?????C

?
a?
?
a
；
rr
r
r
rr
r
r
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；当
?
?0
时，
?
a?0
．
r
r
r
r
rrrrr
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?< br>a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
??
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
r
r
r
r
r
rr
r
20、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且 仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．
??r
r
r
r
r
rr
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
??
uruur
r
21、 平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不 共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
a
，有
uruur
uruurr
且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a ?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一 组基底）
uuuruuur
22、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2< br>的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，当
?
1
???
??
2
时，
第 - 14 - 页 共 20 页

点
?
的坐标是
?
?
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
（当
?
?1

时，就为中点公式。）
?
．
1?
?
??
1?
?
23、平面向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
r
r
oo
⑴
a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．
??
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b? 0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；当
a
与
b
反向时，
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab
．
r
r
rr
r
r
r
rrr
r
r
r
r
r
r
r
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?< br>b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
????
??
r
r
r
r
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y< br>1
y
2
．
r
r
r
2
rr
r
r
22
22
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x?y
，或
a?x?y
． 设
a?
?
x< br>1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y1
y
2
?0
．
r
r
r
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?br
r
r
设
a
、
b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与b
的夹角，则
cos
?
?
r
r
?
．
2222
ab
x
1
?y
1
x
2
? y
2
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
r
②设平面
?
的法向量为
n?(x,y,z)
．
rur
③求出平面内两个不共线向量的坐标
a?(a
1
,a
2
,a
3
),b?(b
1
,b
2
,b
3
)
．
rr
?
?
n?a?0
④根据法向量定义建立方程组?
rr
.
?
?
n?b?0
⑤解方程组，取其中一组解 ，即得平面
?
的法向量.

（如图）



1、 用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行
rr
rr
rr
设直线
l
1
,l
2的方向向量分别是
a、b
，则要证明
l
1
∥
l
2
，只需证明
a
∥
b
，即
a?kb(k?R)
.
第 - 15 - 页 共 20 页

即：两直线平行或重合
⑵线面平行
两直线的方向向量共线。
rrrr
rr
①（法一）设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?
的法 向量是
u
，则要证明
l
∥
?
，只需证明
a?u，即
a?u?0
.
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且
直线在平面外
②（法二 ）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即
可.
⑶面面平行
rrrrrr
若平面
?
的法向量为
u
，平面
?
的法向量为
v
，要证
?
∥
?
，只 需证
u
∥
v
，即证
u?
?
v
.
第 - 16 - 页 共 20 页

即：两平面平行或重合
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
两平面的法向量共线。
rr
rr
rr
设直线
l
1
,l
2
的方向向量分别是
a、b
，则要证明
l
1< br>?l
2
，只需证明
a?b
，即
a?b?0
.
即：两直线垂直
⑵线面垂直
两直线的方向向量垂直。
rrrrrr
①（法一）设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?
的法向量是
u
，则要证明
l?
?
，只需证明
a
∥
u< br>，即
a?
?
u
.
rur
r
uruur?
?
a?m?0
,则l?
?
.
②（法二）设直线l
的方向向量是
a
，平面
?
内的两个相交向量分别为
m 、n
，若
?
rr
?
?
a?n?0
第 - 17 - 页 共 20 页

即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线
直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
rrrr
rr
若平面
?
的法向量为
u
，平面< br>?
的法向量为
v
，要证
?
?
?
，只需证u?v
，即证
u?v?0
.
第 - 18 - 页 共 20 页

即：两平面垂直两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知
a,b
为两异 面直线，A，C与B，D分别是
a,b
上的任意两点，
a,b
所成的角为?
，
uuuruuu
则
cos
?
?
AC
u
?BD
r
AC
uuru
BD
uur
.< br>
⑵求直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
②求法：设 直线
l
的方向向量为
r
a
，平面
?
的法向量为u
r
，直线与平面所成的角为
?
，
r
a
与u
r
的夹角为
?
，
?
为
?
的余角或< br>?
的补角
的余角.即有：
r
sin
?
?cos< br>?
?
a
r
?u
r
au
.


uru
◆如果
?
是锐角，则
cos
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第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
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sin
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⑵
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sin
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；
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则

⑶
sin
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cos
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?cos
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sin
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⑷sin
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⑸
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tan
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25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
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?sin
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⑵
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2
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2
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升幂公式
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2
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22
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2
，
sin
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．
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降幂公式
cos
2
?
?
22
26、
万能公式:
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2tan1?tan
2
2
;cosα?
2
sinα?

αα
1?tan
2
1?tan
2

22

tan2
?
?

2tan
?
．
1?tan
2
?
27、
半角公式:

α1?cosαα1?cosα
cos??;sin??

2222

α1?cosαsinα1?cosα
tan????

21?cosα1?cosαsinα


①
2
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的二倍；
4
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是2
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的二倍；
?
是
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?
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的二倍；是 的二倍；
224
30
o
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；
cos?
； ②
15?45?30?60?45?
； 问：
sin
2
1212
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③
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；④
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⑤
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4
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