高中数学所用的三角形面积公式-高中数学试卷全国名校100所
1.2.1 任意角的三角函数（1）
一、课题：
任意角的三角函数（1）
二、教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角
?
终边上一点，会求角
?
的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
三、教学重、难点：根据定义求三角函数值。
四、教学过程：
（一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？
在
Rt?ABC
中，设<
br>A
对边为
a
，
B
对边为
b
，
C对边为
c
，锐角
A
的正弦、余弦、正
切依次为
sinA
?
aba
,cosA?,tanA?
．
ccb
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
（二）新课讲解：
1．三角函数定义
?
终边上任意一点
P
（除了原点）在直角坐标系中，设
?
是一个任意角，的坐标为
(x,y)
，
x
2
?y
2
?0)
，那么
y
y
（1）比值叫做
?
的正弦，记作
sin
?
，即
sin
?
?
；
r
r
x
x
（2）比值叫做
?<
br>的余弦，记作
cos
?
，即
cos
?
?
；
r
r
y
y
（3）比值叫做
?
的正切，记作
tan
?
，即
tan
?
?
；
x
x
x
x
（4）比值叫做
?
的余切，记作
cot
?
，
即
cot
?
?
；
y
y
r
r
（5
）比值叫做
?
的正割，记作
sec
?
，即
sec
?
?
；
x
x
r
r
（6）比值叫做
?
的余割，记作
csc
?
，即
csc
?
?
． y
y
说明：①
?
的始边与
x
轴的非负半轴重合，
?
的终边没有表明
?
一定是正角或负角，以
及
?
的大小，
只表明与
?
的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角
?
，六个比值不以点
P(x,y)
在
?
的终边上的
它与原点的距离为
r(r?|x|?|y|?
位置的改变而改变大小；
③当
?
?
22
?
2
?k
?
(k?Z)
时，?
的终边在
y
轴上，终边上任意一点的横坐标
x
都等于
0
，
x
yr
?
?
与与
sec
?
?
无意义；同理，当
?
?k
?
(k?Z)
时，
coy
y
xx
?
?
所以
tan
csc
?
?
r
无意义；
y
xr
yxyr
、、、、、分别是一个yy
rrxx
④除以上两种情况外，对于确定的值
?
，比值
确定
的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为
函数值的函数，以上六种
函数统称为三角函数。
2．三角函数的定义域、值域
函 数 定 义 域 值 域
y?sin
?
y?cos
?
R
R
{
?
|
?
?
[?1,1]
[?1,1]
y?tan
?
?
2
?k
?
,k?Z}
R
3．例题分析
例1 已知角
?
的终边经过点
P(2,?3)
，求
?
的六个函数制值。
解：因为
x?2,y??3
，所以r?2
2
?(?3)
2
?13
，于是
y?3313x2213
；
cos
?
??
；
??
??
r13r13
1313
x2
y3
tan
?
??
?
；
cot
?
???
；
y3
x2
sin
?
?
sec
?
?
r13
r1
3
?
；
csc
?
???
．
x2
y3
例2 求下列各角的六个三角函数值：（1）
0
；（2）<
br>?
；（3）
解：（1）因为当
?
?0
时，
x?r，
y?0
，所以
sin0?0
，
cos0?1
，
tan0?0
，
cot0
不存在，
sec0?1
，
csc0
不存在。
（2）因为当
?
?
?
时，x??r
，
y?0
，所以
3
?
．
2
sin
?
?0
，
cos
?
??1
，
tan
?
?0
，
cot
?
不存在，
sec
?
??1
，
csc
?
不存在。
3
?
（3）因为当
?
?
时，
x?0
，y??r
，所以
2
3
?
3
?
sin??1
，
cos?0
，
22
3
?
3
?
不存在，
cottan?0
，
22
3
?
3
?
不存在，
cscsec??1
．
22
例3 已知角
?
的终边过点
(a,2a)(a?0)
，求
?
的六个三角函数值。
解：因为过点
(a,2a)(a?0)
，所以
r?
当
a?0时，sin
?
?
co
?
s?
5|a|
，
x?a,y?2a
y2a2a25
；
???
r5
5|a|5a
15
xa5a
；
tan
?
?2;cot?
?;sec
?
?5;csc
?
?
；
??<
br>22
r5
5a
y2a2a25
当
a?0时，
；
sin
?
?????
r5
5|a|?5a
cos
?
?
xa5
a
???
r
?5a
5
15
tan
?
?2;
cot
?
?;sec
?
??5;csc
?
??
．
22
；
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
y
对于第一、二
象限为正（
y?0,r?0
），对于第三、四象限为负（
y?0,r?0
）；
r
x
②余弦值对于第一、四象限为正（
x?0,r?0
），对于第二
、三象限为负（
x?0,r?0
）；
r
y
③正切值对于第一、三象
限为正（
x,y
同号），对于第二、四象限为负（
x,y
异号）．
x
①正弦值
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。
即有
：
sin(
?
?2k
?
)?sin
?
，
cos(
?
?2k
?
)?cos
?
，其中
k?Z<
br>．
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
，
（练习）确定下列三角函数值的符号：
（1）
cos250
；（2）
sin(?
?
4
（3）
tan(?672)
；（4）
ta
n)
；
11
?
．
3
五、小结：1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式。
六、作业： 补充：已知
点
P
(3r,-4r)(r?0)
，在角
?
的终边上，求
s
in
?
、
cos
?
、
tan
?
的值。