高中数学黑白题答案-一起学习高中数学
解三角形中的取值范围问题
1、已知a,b,c分别为
?ABC
的三
个内角
A,B,C
的对边，且
2bcosC?2a?c
。
（1）求角
B
的大小；
（2）若
?ABC
的面积为
3
，求
b
的长度的取值范围。
解析：（1）由正弦定理得
2si
nBcosC?2sinA?sinC
，在
?ABC
中，
sinA?sin(
B?C)?sinBcosC?cosBsinC
，所以
sinC(2cosB?1)?0。
又因为
0?C?
?
,sinC?0
，所以
cosB
?
（2）因为
S
?ABC
?
1
?
，而
0?
B?
?
，所以
B?
23
1
acsinB?3,
所以
ac?4
2
22222
2
由余弦定理得
b?a?c?2acscosB?a?c?ac?
ac
，即
b?4
，所以
b?2
2、在△ABC中,角A,
B,C所对的边分别
为
a,b,c,已知
cosC?(cosA?3sinA)cos
B?0
.
(1) 求角B的大小;（2）若a+c=1,求b的取值范围
【答案】
解:(1)由已知得
?cos(A?B)?cosAcosB?3sinAcosB?0
即有
sinAsinB?3sinAcosB?0
因为
sinA
?0
,所以
sinB?3cosB?0
,又
cosB?0
,所以tanB?3
, 又
0?B?
?
,所以
B?
(2)由余
弦定理,有
b?a?c?2accosB
. 因为
a?c?1,cosB?
又
0?a?1
,于是有
222
?
3
.
111
,有
b
2
?3(a?)
2
?
.
224
11
?b
2
?1
,即有
?b?1
.
42
3、已知
m?(2cosx?23sinx,1),n?(cosx,?y)，满足
m?n?0
．
（
I
）将
y
表示为
x
的函数
f(x)
，并求
f(x)
的最小正周期；<
br>
（
II
）已知
a,b,c
分别为
?ABC
的三个内角
A,B,C
对应的边长，若
f(
A
)?3
，且<
br>a?2
，求
b?c
的取值范围．
2
1
4、已知向量
m?(3sin
xxx
,1)
，
n?(cos,cos
2
)
，
f(x)?mn
444
(1)若
f(x)?1
，求
cos(x?
?
3)
的值；
1
c?b
，求函数
f(B)
的取值范围.
2
(2)在
?ABC
中，角
A、B、C
的对边分别是
a、b、c
，且满足
acosC?
【解析】
解：（1）
xxx
3x1x1
?
x
?
?
1
f
?
x
?
?m?n?3sincos?cos
2
?sin?cos??sin
?
?
?
?,
44422222
?
26
?
2
?
x
?
?
1
而
f
?
x
?
?1,?sin
?
?
?
?.
?
26<
br>?
2
?
???
x
?
??
x
?
?
1
?cos
?
x?
?
?cos2
?
?
?
?1?2sin
2
?
?
?
?.
3
???
26
??
26
?
2
1a
2?b
2
?c
2
1
1
（2）
acosC?c?b
,?a??c?b,
即
b
2
?c
2
?a
2
?bc,?cosA?.
22ab2
2
又
A?
?
0,
?
?
,?A?
?
3
又
0?B?
2??
B
??
?
3
?
,????,
?f
?
B
?
?
?
1,
?
.
3626
2
?
2
?
5、已知锐角
?ABC
中内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，
a
2
?b
2
?6abcosC
，且
s
in
2
C?2sinAsinB
.
（Ⅰ）求角
C
的值；
（Ⅱ）设函数
f(x)?sin(
?
x?
值范围.
?6
)?cos
?
x(
?
?0)
，
且f(x)<
br>图象上相邻两最高点间的距离为
?
，求
f(A)
的取
c
2
解：（Ⅰ）因为
a?b?6abcosC
,由余弦定理知
a?b?c?2
abcosC
所以
cosC?
.
4ab
22222
22<
br>又因为
sinC?2sinAsinB
,则由正弦定理得:
c?2ab
,
c
2
2ab1
?
??
,所以
C?
.
所以
cosC?
4ab4ab2
3
（Ⅱ）
f(x)?sin(
?
x?
由已知
?
6
)?cos
?
x?
33
?
sin
?
x?cos
?
x?3sin(
?<
br>x?)
223
?
?
,
?
?2
,则
f(A)?3sin(2A?),
?
3
?
2
?
??
?A
,由于
0?A?,0?B?
, 因为
C?
,
B?
3322
??
?
2
?
所以
?A?<
br>,
0?2A??
.
6233
根据正弦函数图象,所以
0?f(A)?3
.
2
2
?
?
6、在
?ABC
中，内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，
?
3
?C?
?
2
,
且
bsin2C
。
?
a?bsinA?sin2C
（1）判断
的形状；（2）若
|BA?BC|?2
，求
BA?BC
的取值范围。
sinBsin2C
?,?sinB?sin2C,?B?2C或B?2C?
?
，若
B?2C
，因为
sinA?sinBsinA?sin2C
??
2<
br>?
?C?,??B?
?
,?B?C?
?
(舍)
?B?
2C?
?
,?A?C,??ABC
为等腰三角形。
323
2?a<
br>（2）
|BA?BC|?2,?a?c?2accosB?4,?cosB?
，
答案：（1）
2
22
2
而
cosB??cos2C,
1
2
?cosB?1,
a
1?a
2
?<
br>4
3
,?BA?BC?
?
?
2
?
?
3
,1
?
?
，
3
??