人教A版高中数学必修4《任意角的三角函数》教案

课题：任 意 角 的 三 角 函 数（第一课时）
（教 材：人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修4·§1.2.1
一、教学目标
知识与技能：
1．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；
2．根据定义认识其定义、函数值的符号，理解公式一；
3．能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题；
过程与方法：
通过主动探究、自主合作、相互交流经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角
函数定义的推广过程，体 验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工
具功能，丰富数形结合的经验.
情感态度与价值观：
通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的
能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。
二、教学重点、难点
重点：任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）定义
难点：任意角三角函数 概念的建构过程
三、教学方法与手段
教学中注意用新课程理念处理传统教材，学生的数学学习活动不仅要接 受、记忆、
模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流，师生互动，教师发挥组织者、
引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.
根据本节课内容、高二学生认知 特点和我本人的教学风格，本节课采用“启发探索、
讲练结合”的方法组织教学.
四、教学过程
整体思路：
回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形 边角关系及特殊化）
?
问题情境：能推广出第一象限
角的三角函数定义
?探索发展：对任意角研究角与单位圆上的点的坐标或坐标的比值（与角之间的关系：确定性、
依赖性 ，满足函数定义吗？）
?
自主定义：任意角三角函数定义
?
登高望远：三角函 数的要素分析（对应法则、定
义域、值域与正负符号判定）
?
公式推导（公式一）
?
例题与练习
?
回顾小结
?
布置作业]
（一）复习引入、回想再认
（情景1）什么叫函数？
设计意图：

函数和三角函数是一般和特殊的关系，是共性和个性的关系，学生已经学习了函数的概念，因此对三角函数的学 习就
是一个从一般到特殊的演绎的过程,也是以具体函数丰富函数概念的过程.，此处让学生对函数概念 进行回想再认，目的
在于明确函数概念的本质，为演绎学习任意角三角函数概念作好知识和认知准备.
（情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三
个三角 函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？



α
邻边
对
边
sinα=
对边
斜边
，cosα=
邻边
斜边
，tanα=
对边
邻边


（图1）
提问回答：锐角的正弦、余弦、正切值不受斜边的影响。

引导学生用函数的思想分析：
对于确定的锐角
?
，这三个比 值是个定值。锐角
?
变，这三个比值变化。这是一
种特殊的函数。锐角
?是自变量，比值是应变量。
设计意图：
温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过 程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函
数的进行有针对性的复习，为定义的讲 解做好铺垫。
（二）引伸铺垫、自主定义
对于确定的锐角
?
，这个比值不 会随“斜边”的变化而变化，利用相似三角形知
识，可对斜边进行特殊化处理。
特别的取“斜边=1，对边=
a
，邻边=
b
则



α
a

sinα=
a
，cosα=
b
，tanα=
b

b

a
（图2）

（情景3）在学习任意角概念时，我们 知道在直角坐标系中研究角，可以给学习带来许
多方便，比如我们可以根据角终边的位置把它们进行归类 ，现在大家考虑：若在直角
坐标系中来研究锐角，则锐角三角函数又可怎样定义呢？
学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.
达成共识：
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合. （学生自主探究出此种情况有
利于我们的讨论）
设计意图：
从学生 现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上
自主探索、合作交流的“再创造”征程.
在直角坐标系中，我们称以原点
O
为圆心 ，以单位长为半径的圆为单位圆，这样，
锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示。
P
为
?
的终边与单位圆的交点
OP?1
。
根据锐 角三角函数定义用x、y列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，
y



O
P(x,y)
sinα=




M
x
邻边
x
对边
y
=
?x
， tanα=
?y
，cosα=
斜边
1
斜边
1
邻边< br>对边
==
y
x

（图3）
设计意图：
锐角三角函数由初中的边角关系转化为象限角与单位圆交点的坐标关系，达到承上启下的作用

（情景4）由图3，锐角三角形的终边在第一象限，那么终边在第一象限的角的三角
函数如何定 义？
y

sinα=
y
，cosα=
x
，tanα=
x
追问：任意角的三角函数值该如何定义呢？
对于一个任意角α，它的终边所在位置 包括下列两类共八种情形（学生回答，投影

展示并作分析）：

终边分别在四个象限的情形： 终边分别在四个半轴上的情形：

y
α终边
y
y
y


角

·

P(x,y)

P(x,y)
P(x,y)

x

·
O x
O
P(x,y)
x
x O

O


y
y
y
y

；
x
·

O
x
x
O
O
x
P(x,y)
O

P(x,y)
P(x,y)
·
P(x,y)



设计意图：
（图 4）
（图5）
用坐标表示锐角三角形的三角函数值
?
用坐标表示第一象限角的三 角函数值
?
用坐标表示任意角的三角
函数值。这种由特殊到一般的思想重要. 为了顺 利实现推广，可以构建中间桥梁，使之既与前面所学知识结合，
又能自然地迁移到任意角的情形.这是理 解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法,能
够形成迁移能力,为学生在以后 学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础（譬如从平面向量到空间向量的扩展，
从实数到复数的扩展等 ）.
（情景5）任意角α大小发生变化时，单位圆上的点的坐标或坐标的比值会改变吗？
得出结论(强调)：单位圆上的点的坐标或坐标的比值随α的变化而变化；但对于α的
每一个确定值，单 位圆上的点的坐标或坐标的比值都是确定的
所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的 点的坐标或坐标的比值为
函数值的函数. 我们统称为三角函数。
设计意图：
扣准 函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是
准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键. 这样做能够使学生有效地增
强函数观念.
教师强调：sinα表示sin与α的乘积吗？不 是，sinα是函数记号，是一个整体,相当于
函数记号
f(x)
. 其它几个三角函数也如此
（三）探索分析 函数要素
（四）（情景6）任意角的三角函数作为一种特殊的函数，则其三要素是什么？
1.正弦函数sinα的对应法则是什么？
正弦函数sinα的对应法则，实质上就是sin α的定义：对α的每一个确定的值，有唯
一确定的比值yr与之对应，即α→ yr= sinα.

2.请求三角函数的定义域，填写右表：

三角函数 定义域


sin
α


cos
α



tan
α


3.关于值域，到后面再学习
设计意图：
定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自主探 索确定三角函数定义域，有利于
在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握.
（四）符号判断、形象识记

（情景7）能判断三角函数值在各象限的正、负吗？试试看！
引导学生紧紧抓住三角函数定义 来分析，三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根
据终边所在位置总结出形象的识记口诀：

y
y
y

＋

－
＋
＋
－
＋

x
x
x
＋
－
－
－
＋
－


口诀：一全（部），二正（弦），三（正）切，四（余）弦，其余为负不为正
设计意图：
判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结 合判断
和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键.
（五）利用定义、推出公式

（情景8）终边相同的角，其三角函数值有什么关系？
sin(
?
?k?2
?
)?sin
?

c os(
?
?k?2
?
)?cos
?
tan(
??k?2
?
)?tan
?
k?z

设计意图：
发现和证明公式一，从中体会三角函数值具有“周而复始”的变化规律。
（六）练习巩固、理解记忆
5
?
1．求的三角函数值。

3
5
?
7
?
5
?
课堂练习：将变为
（练习1）、
（终边在坐标轴上）
呢
362
紧扣定义，探索如何求终边与单 位圆的交点坐标。对于角不在坐标轴上的利用解直角三角形
定值，点所在象限定号来求与单位圆交点；< br>对于
终边在坐标轴上角利用数形结合求出与单位
圆的交点。

2．已知角
?
终边上的一点P（－3，－4），求各三角函数值。
课堂练习：练习2

利用三角形相似，把利用终边与单位圆的交点坐标 或其比值来定义三角函数拓
展到利用终边上任意一点坐标求三角函数值。
3.求证：当下列不等式组成立时，角
?
为第三象限，反之也对。
?
sin
?
?0

?
?
tan
?
?0
巩固练习：练习6
巩固三角函数的概念，在处理过程中紧抓把三角函数转化为坐标。例如：
也有可能与
sin
?
?0?y?0?
?
终边落在
y
轴下方即可能位于第 三或第四象限，
y
轴的非正半轴重合。
4.确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：
?
?
?
?
?672?
?
;

(4)tan(1)cos250?;

(2)sin
3
?
;

?
?
?
;

(3)tan
?
4
?
课堂练习：练习3、4、5
巩固对公式一的理解，对于终边在坐标轴上的角，回归定义，用定义求做。
5.求下列三角函数值
9
?
?
11
?
(1)sin1480?10';

(2)cos;

(3)tan
?
?
4
?
6
课堂练习:练习7
?
?
;

?
熟练运用公式一，把任意角的三角函数转化到求
0?~360?
角的三角函数值。
设计意图：
及时安排例题、自做教材练 习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函
数概念的理解，通过课堂积 极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一
节课的课堂教学始终.
（七）回顾小结、建构网络
要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：
1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎
样定义的？
2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？
3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？
设计意图：
遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策. 此处以 问题
形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结 构，培养认

知能力.
（八）布置课外作业
1．书面作业：习题1.2第1、2、6、7、8题.
2．认真阅读p17“阅读材料：三角 函数与欧拉”，了解欧拉的生平和贡献，特别学习
他对科学的挚着精神和坚忍不拔的顽强毅力！有兴趣的 同学可以上网查阅欧拉的
相关情况.
设计意图：
使学生能巩固本节所学的知识和 所获得的解题方法,培养学生自觉学习的习惯,同时也是课堂教学的一个延伸,阅
读材料的设置有助于提 高学生的学习兴趣帮助学生学习数学史,接受辩证唯物主义教育.