陕西省高中数学 名师工作室-高中数学课本必修四知识点概括
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝3sin
2x＋cos 2x的最小正周期为( )
π
A.
2
2π
B.
3
C．π D．2π
解析：因为y＝3sin 2x＋cos 2x
?
3
?
1
?
＝2
sin 2x＋cos
2x
?
2
?
2
?
?
π
?
＝2sin
?
2x＋
6
?
，
??
2π2π
所以最小正周期为T＝＝＝π.
ω
2
答案：C
1
2．若函数f(x)＝－sin
x＋(x∈R)，则f(x)是( )
2
2
π
A．最小正周期为的奇函数
2
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
1－cos
2x
11
解析：f(x)＝－＋＝cos 2x.
222
答案：D
?
π
??
π
?
3
????
x－x－
3．
已知cos
6
?
＝－
3
，则cos
x＋cos
?
3
?
的值是( )
?
A．－
23
3
23
B．±
3
C．－1 D．±1
?
π
?
1333
??
解析：cos
x＋cos
x－
3
＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin
2222
??
1
?
3
?
π
1
x＝3
?
cos x＋sin
x
?
＝3cos(x－)＝－1.
6
2
?
2
?
答案：C
1
4．函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin
2
x(x∈R)是(
)
2
A．最小正周期为π的奇函数
π
B．最小正周期为的奇函数
2
C．最小正周期为π的偶函数
π
D．最小正周期为的偶函数
2
11
解析：注意到sinx＝(1－cos 2x)，因此f(x)＝(1＋cos
2x)·(1－
24
2
1111
cos
2x)＝(1－cos
2
2x)＝sin
2
2x＝(1－cos
4x)，即f(x)＝(1－cos 4x)，
4488
所以f(x)的最小正周期为
2ππ
1
＝，又f(－x)＝(1－cos
4x)＝f(x)，因此
428
π
函数f(x)是最小正周期为的偶函数．
2
答案：D
π
5．若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos
x，0≤x＜，则f(x)的最大值
2
是( )
A．1 B．2
C.3＋1 D.3＋2
解析：f(x)＝(1＋3tan x)cos x
?
sin x
?
??
1＋3
＝
cos
x
?
cos x
?
＝3sin x＋cos x
?
π
?
＝2sin
?
x＋
6
?
.
??
2
π
ππ
2
因为0≤x＜，所以≤x＋＜
π，
2663
ππ
所以当x＋＝时，f(x)取到最大值2.
62
答案：B
二、填空题
3
6．已知α为第二象限角，sin
α＝，则tan 2α＝________．
5
3
解析：由sin
α
＝，且α为第二象限角得，
5
4
cos
α＝－1－sin
2
α＝－
，
5
所以tan
α＝
24
答案：－
7
7．若3sin x－3cos
x＝23sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝
________．
解析：因为3sin x－3cos x＝23(
?
π
?
sin?
x－
6
?
，
??
sin α32tan
α24
＝－，tan 2α＝＝－.
cos
α47
1－tan
2
α
31
sin x－cos
x)＝23
22
π
因为φ∈(－π，π)，所以
φ
＝－.
6
π
答案：－
6
13
8.－＝________．
ππ
sin cos
1818
3
ππ
cos －3sin
1818
解析：原式＝
ππ
sin cos
1818
?
1
π
3
π
?
2
?
cos －sin
?
18218
??
2
＝
1
π
sin
29
π
4sin
9
＝＝4.
π
sin
9
答案：4
三、解答题
9．已知cos
θ＝－
7
θθ
，θ∈(π，2π)，求sin ＋cos 的值．
2522
?
θ
?
π
解：因为θ∈(π，2π)，所以∈
?
2
，π
?
，
2
??
θ
所以sin
＝
2
θθ
1
sin ＋cos ＝.
225
1－cos
θ
4
θ
＝，cos ＝－
252
1＋cos
θ
3
＝－，所以
25
10．在△ABC中，cos A＋cos B＝sin
C，求证：△ABC是直角
三角形．
证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以sin C＝sin(A＋B)＝cos A＋cos B，
利用和差化积公式，得
A＋BA－B
cos A＋cos B＝2coscos，
22
A＋BA＋B
又因为sin(A＋B)＝2sincos，
22
4
A＋BA＋BA＋BA－B
所以2sincos＝2coscos，
2222
A＋BA＋BA－B
显然cos≠0，故sin＝cos，
222
A＋BA－B
2
两边平方，得sin＝cos，
22
2
1－cos（A＋B）1＋cos（A－B）
即＝，
22
所以cos(A＋B)＋cos(A－B)＝0，所以2cos Acos B＝0，
即cos A＝0或cos B＝0.
因为A，B是三角形的内角，所以A，B中必有一个为直角，
所以△ABC是直角三角形．
B级 能力提升
1．(2016·山东卷)函数f(x)＝(3sin x＋cos
x)(3cos x－sin x)的最
小正周期是( )
π
A.
2
B．π
3π
C.
2
D．2π
解析：法一 因为f(x)＝(3sin x＋cos x)(3cos x－sin x)
＝4(
3131
sin x＋cos x)(cos x－sin x)
2
222
????
?
π
??
π
?
＝4sin
?
x＋
6
?
cos
?
x＋
6
?
?
π
?
＝2sin
?
2x＋
3
?
，
??
2π
所以T＝＝π.
2
法二 因为f(x)＝(3sin
x＋cos x)(3cos x－sin x)
＝3sin xcos
x＋3cos
2
x－3sin
2
x－sin xcos x
＝sin 2x＋3cos 2x
5
?
π<
br>?
＝2sin
?
2x＋
3
?
，
??
2π
所以T＝＝π.
2
答案：B
2．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区
间(－ω，ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则
ω的值为_______
_．
?
π
?
??
ωx＋
解析：由已知得f(x)＝2si
n
4
?
，
?
πππ
令2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，
242
3π
2kπ－
π
2kπ＋
44
由ω>0，得≤x≤，k∈Z， <
br>ωω
?
3ππ
?
?
－，
当k＝0时，得f(x)的一
个单调递增区间为
4ω4ω
?
，
??
3π
?
－≤
－ω，
?
4ω
?
3ππ
?
所以(－ω，ω)?
?<
br>－
4ω
，
4ω
?
，所以
?
??
π
?
?
4ω
≥ω，
π
解得0<ω≤，
2
又函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，
πππ
2
所以ω＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝kπ＋，k∈Z，
424
2
ππ
又0<ω≤，所以ω＝.
22
答案：
π
2
3．已知函数f(x)＝(sin
x＋cos x)
2
＋cos 2x.
6
(1)求f(x)的最小正周期；
?
π
?
(2)求f(x)在区间
?
0，
2
?
上的最大值和最小值．
??
解：(1
)因为f(x)＝sin
2
x＋cos
2
x＋2sin xcos
x＋cos 2x＝1＋sin 2x
?
π
?
＋cos
2x＝2sin
?
2x＋
4
?
＋1，
??
2π
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
2
?
π
?
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝2sin
?
2x＋
4
?
＋1.
??
?
π
?
π
?
π
5π
?
??
当x∈
0，
2
时，2x＋∈
?
4
，
4
?
，
4
????
?
π
5π
?
由正弦函数y＝sin
x在
?
4
，
4
?
上的图象知，
??
πππ
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2＋1；
428
π5ππ
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0.
442<
br>?
π
?
综上，f(x)在
?
0，
2
?
上的最大值为2＋1，最小值为0.
??
7