湘教版高中数学必修四知识点总结

湘教版高中数学必修四知识点总结
解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系：180°；180°—()；
2、三角形三边关系：>c; 3、三角形中的基本关系：
sin(A?B)?sinC,
cos(A?B)??co sC,
tan(A?B)??tanC,

A?BCA?BCA?BC
?cos,cos?sin,tan?cot

2 22222
4、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外
abc
接圆的半径，则有
???2R< br>．
sin?sin?sinC

sin
5、正弦定理的变形公式：
①化角为边：
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
abc
，
sin??
，
sinC?
；
2R2R2R
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
a?b?cabc
④．
???
sin??sin??sinCsin?si n?sinC
②化边为角：
sin??
6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角 和任意一边，求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已
知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况 （一解、两解、三解）)
7、三角形面积公式：
S
???C
?
11 1
bcsin??absinC?acsin?
．
222
222
2 22
8、余弦定理：在
???C
中，有
a?b?c?2bccos?
，
b?a?c?2accos?
，
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
9、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ab
2ac
10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用 正余弦定理实现边角转化，统一
成边的形式或角的形式
设
a
、
b< br>、
c
是
???C
的角
?
、
?
、C
的对边，则：
①若
a?b?c
，则
C?90
；②若
a?b?c
，则
C?90
；
③若
a?b?c
，则
C?90
．
222
222222




1 15

湘教版高中数学必修四知识点总结
题型之一
：求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其 它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高
线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
1. 在
?ABC
中，3，2，
10
，则
AB?AC?
( )
A．
?
3223
B．
?
C． D．
2332
【答案】D
4(2005年全国高考江苏卷)
?ABC
中，
A?
A．
43sin
?
B?
?
3，＝3，则
?ABC
的周长为（ ）
?
?
?
?
?
??
?
?3
B．
43sin
?
B?
?
?3

3
?6
??
C．
6sin
?
B?
?
?
?< br>?
?
??
?
?3
D．
6sin
?
B?
?
?3

3
?
6
??
分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果 ．选(D)．
5 （2005年全国高考湖北卷) 在Δ中，已知
AB?
466,cosB?
，边上的中线
5
，
36
求的值．
分析：本题关键是利用余弦定理，求出及，再由正弦定理，即得．
解：设E为的中点，连接， 则，且
DE?
2
126
AB?
，设＝x
23
在Δ 中利用余弦定理可得：
BD?BE?ED?2BE?EDcosBED
，
22
5?x
2
?
8266
7
?2??x
，解得
x?1
，
x??
（舍去）
336
3
故2，从而
AC2
?AB
2
?BC
2
?2AB?BCcosB?
221 30
28
，即
AC?
又
sinB?
，
36
3
221
70
2
故
?
3
，
sinA?
14
sinA
30
6
在△中，已知a＝2，b＝
22
，C＝15°，求A。



答案：
∴B?A，且0?A?180，∴A?30

2 15
000

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题型之二
：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
1. (2005年北京春季高考题)在
?ABC
中，已知
2sinAcos B?sinC
，那么
?ABC
一定是
（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
解法1：由
2sinAcosB?sinC
＝(A＋B)＝＋，
即－＝0，得(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．
a
2
?c
2
?b
2
sinCc
解法2：由题意，得＝，再由余弦定理，得＝．
?
2ac
2sinA2a
a
2
?c
2
?b
2
c
∴ ＝，即a
2
＝b
2
，得a＝b，故选(B)．
2ac
2a
评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如 解法1)，⑵统一
化为边，再判断(如解法2)．
2．在△中，若2＝，则△的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
答案：C
解析：2＝（A＋B）＋（A－B）又∵2＝，
∴（A－B）＝0，∴A＝B
a
2
tanA
3.在△中，若
2
?
，试判断△的形状。
tanB
b
答案：故△为等腰三角形或直角三角形。
4. 在△中，
?
cosA?bcos
?
，判断△的形状。
答案：△为等腰三角形或直角三角形。
题型之三
：解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
1. (2005年全国高考上海卷) 在
?ABC
中，若
?A?120
，
AB?5
，
BC?7
，
则
?ABC
的面积S＝
2．在
?ABC
中，
sinA?cosA?
积。
答案：
S
?ABC
?



2
，
AC?2
，
AB?3
，求
tanA
的值和
?ABC
的面
2
112?63
AC?ABsinA??2?3??(2?6)

2244
3. （07浙江理18）已知
△ABC
的周长为
2?1< br>，且
sinA?sinB?2sinC
．
3 15

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（I）求边
AB
的长；
（）若
△ABC
的面积为
sinC
，求角
C
的度数 ．
解：（I）由题意及正弦定理，得
AB?BC?AC?
两式相减，得
AB ?1
．
（）由
△ABC
的面积
1
6
2?1
，
BC?AC?2AB
，
111
BCACsinC?sinC
，得
BCAC?
，
3
26
AC
2
?BC
2
?AB
2
(AC?B C)
2
?2ACBC?AB
2
1
??
， 由余弦定理，得
cosC?
2ACBC2ACBC2
所以
C?60
．
题型之四
：三角形中求值问题
1. (2005年全国高考天津卷) 在
? ABC
中，
?A、?B、?C
所对的边长分别为
a、b、c
， c1
222
设
a、b、c
满足条件
b?c?bc?a
和
??3
，求
?A
和
tanB
的值．
b2
分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．
b
2
?c
2
?a
2
1
?
，因此，
?A?6 0?
解：由余弦定理
cosA?
2bc2
在
1csinCsin (120??B)
△
由已知条件，应用正弦定理
?3??

?中
2bsinBsinB
，
sin120?cosB?cos120?sinB3 1
1
∠
??cotB?,
解得
cotB?2,
从而
tanB?.

sinB22
2
1
－
B?C
∠< br>2．
?ABC
的三个内角为
A
取得最大值，
、B、C
，求当A为何值时，
cosA?2cos
A
2
－并求出这个最大值。
∠解析：由π，得=－，所以有 。
1
2 2 =1－2
2
+ 2=－2( － )
2
+ ；
－∠B.
当 = ，即时, 2取得最大值为。



，B，C
所对的边分别为
a，b ，c
，已知
sinA?
3．在锐角
△ABC
中，角
A
tan
2
B?CA
?sin
2
的值；（2）若
a?2，
S
△ABC
?2
，求
b
的值。
22
22
，（1）求
3
4 15

湘教版高中数学必修四知识点总结
解析：（1）因为锐角△中，A＋B＋C＝?，
sinA?
则
22
1
，所以＝，
3
3
B＋C
B＋CA
2
＋sin
2
A
tan
2
＋sin
2
＝< br>22
cos
2
B＋C
2

2
1－cos（B ＋C）11＋cosA17
＝＋（1－cosA）＝＋＝
1＋cos（B＋C）21－cosA 33
sin
2
（2）
因为S
将a＝2，＝
ABC
＝ 2，又S
1122
＝bcsinA＝bc?
，则＝3。
ABC
22 3
1
3
222
，c＝代入余弦定理：
a＝b＋c－2bccosA< br>中，
3
b
42
得
b－6b＋9＝0
解得b＝
3
。
点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。
< br>4．在
△ABC
中，内角
A，B，C
对边的边长分别是
a，b ，c
，已知
c?2
，
C?
（Ⅰ）若
△ABC
的面积 等于
3
，求
a，b
；

（Ⅱ）若
sinC?sin (B?A)?2sin2A
，求
△ABC
的面积．
本小题主要考查三角形的 边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关
知识的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，
a?b?ab?4
，
又因为
△ABC
的面积等于
3
，所以
22
?
．
3
1
absinC?3
，得
ab?4
． ························ 4分
2
?
a
2?b
2
?ab?4，
联立方程组
?
解得
a?2
，
b?2
． ·············································· 6分
ab?4，
?
（Ⅱ）由题意得
sin(B?A)?sin(B?A)?4si nAcosA
，



即
sinBcosA?2sinAcosA
， ················· ·················································· ······ 8分
当
cosA?0
时，
A?
4323
? ?
，
B?
，
a?
，
b?
，
33
26
当
cosA?0
时，得
sinB?2sinA
，由正弦定理得< br>b?2a
，
5 15

湘教版高中数学必修四知识点总结
?
a
2
?b
2
?ab?4，
2343
联立 方程组
?
解得
a?
，
b?
．
33
?b?2a，
所以
△ABC
的面积
S?
123
absin C?
． ················· 12分
23
题型之五
：正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形 ，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等
方面都要用到解三角形的知识，例析如下：
（一.）测量问题
1. 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边
C
选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠30°，
∠75°，120，求河的宽度。
分析：求河的宽度，就是求△在边上的高，
而在河的一边，已测出长、∠、∠，这个三角
形可 确定。
A
D
B
解析：由正弦定理得
图1
ACAB
，∴120m，又
?
sin?CBAsin?ACB
11
∵
S
ABC
?AB?ACsin?CAB?AB?CD
，解得60m。
22
点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。
（二.）遇险问题
2 某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里小时的 速度向正东前进，30
分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇 继续向东航
行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S
在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到
北
达B点，测得S在东30°北的方向上。 在
△中，可知30×0.5=15，∠150°，∠15°，由
东
30
°

西
15
°

A C
B
正弦定理得15，过点S作⊥直线，垂足为
南
C，则1530°=7.5。
图2




这 表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触
礁的危险。 点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知
与所求，尤 其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中
标出；（3）分析与所 研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理
求解。

6 15

湘教版高中数学必修四知识点总结



数列复习基本知识点及经典结论总结

1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列 数。数列中的每一个数都叫做
这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1, 2，3，…，n｝）的
特殊函数，如果数列
?
a
n
?
的第n 项
a
n
与n之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式
就叫做这个数列的 通项公式。
递推关系式：已知数列
?
a
n
?
的第一项（或 前几项），且任何一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（前n< br>项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的前n项和：
s
n
?
a
?
a
?
a
?
. ..
?
a
n
.
123
?
s
,(n?1)
?
1
已知
s
n
求
a
n
的方法（只 有一种）：即利用公式
a
n
=
?
注意：
?
s?
s
,(n?2)
n?1
?
n
一定不要忘记对n取值的 讨论！最后，还应检验当1的情况
是否符合当n
?
2的关系式，从而决定能否将其合并 。
2.等差数列的有关概念：
1、 等差数列的定义：如果数列
a
n从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差 数列的公差。即
??
a
n
?
a
n?1
?d(n?< br>N
*
,且n?2)
.(或
a
n?1
?
an
?d(n?
N
*
)
).
（1） 等差数列的判断方 法：①定义法：
a
n?1
?
a
n
?d(常数)
?< br>?
a
n
?
为等差数列。
② 中项法：
2a
n?1
?
a
n
?
a
n?2
?
?
a
n
?
为等差数列。③通项公式法：
a
n
?an?b
（为常
数）
?
?
a
n
?
为等差数列。④前n项和 公式法：
s
n
?An
2
?Bn
（为常数）
?
?
a
n
?
为等差
数列。


（2）等差数列的通项：
公式变形为:
a
n
?an?b
.
a
n
?a
1
?(n?1)d
或
a
n
?a
m
?(n?m)d
。
其中,
a
1
－
d.

7 15

湘教版高中数学必修四知识点总结
（3）等差数列的前
n
和 ：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n( n?1)
，
S
n
?na
1
?d
。
公式变形 为：
2
2
s
n
?An
2
?Bn
，其中d
2
，
a
1
?
d
.
注意：已知,
a
1
,
a
n
,
s
n
中
2
的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。

如（1）数列
{a
n
}
中，
a
n
?a< br>n?1
?
1
315
(n?2,n?N
*
)
，
a
n
?
，前n项和
S
n
??
，
2 2
2
2
则
a
1
＝＿，
n
＝＿（答：
a
1
??3
，
n?10
）；（2）已知数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
?12n?n
，
2*
?
?
12n?n(n?6,n?N)
求数列
{|a
n
|}
的前
n
项和
T
n
（答：
T
n
?< br>?
）.
2*
?
?
n?12n?72(n?6,n?N)（4）等差中项：若
a,A,b
成等差数列，则A叫做
a
与
b< br>的等差中项，且
A?
a?b
。
2
提醒：（1）等差数列的通 项公式及前
n
和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a< br>1
、
d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个 ，
即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a? 2d,a?d,a,a?d,a?2d
…（公差为
d
）；偶数个数成等差，可设为…，
a?3d,a?d,a?d,a?3d
,…（公差为2
d
）
3.等差数列的性质：
（1）当公差
d?0
时，等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d
是 关于
n
的一
次函数，且斜率为公差
d
；前
n
和S
n
?na
1
?
n(n?1)dd
d?n
2< br>?(a
1
?)n
是关于
n
的二次
222
函数 且常数项为0.
（2）若公差
d?0
，则为递增等差数列，若公差
d?0< br>，则为递减等差数列，若公差
d?0
，则为常数列。
（3）对称性：若
?
a
n
?
是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之< br>和.当
m?n?p?q
时,则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，特别地，当
m?n?2p
时，则有
a
m
?a
n
?2a
p
.如（1）等差数列
{an
}
中，
S
n
?18,a
n
?a
n? 1
?a
n?2
?3,S
3
?1
，则
n
＝（ 答：
27）；
（4）单调性：设d为等差数列
?
a
n
?
的公差，则
d>0
?
?
a
n
?
是递增数列；d<0?
?
a
n
?
是递减数列；0
?
?
a< br>n
?
是常数数列
8 15

湘教版高中数学必修四知识点总结
(5)若等差数列
{a
n
}
、
{b
n
}
的前
n
和分别为
A
n
、
B
n
，且
A
n
?f(n)
， 则
B
n
a
n
(2n?1)a
n
A
2n?1
它们的前
n
项和分
???f(2n?1)
.如设{
a
n
}与{
b
n
}是两个等差数列，
b
n
(2n? 1)b
n
B
2n?1
别为
S
n
和
T
n
，若
a
S
n
6n?2
3n?1
，那么
n
?
（答：）
?
T
n
4n?3
8n?7
b
n
(8) 8 、已知
?
a
n
?
成等差数列，求
s
n
的最 值问题：
法一：利用邻项变号法
a
n
① 若
a
1
?0
<0且满足
?
?
?
?0,
?
?
a< br>n?1
?0
,则
s
n
最大；
a
n
?0,
,则
s
最小. ②若
a
1?0
>0且满足
?
n
?
?
?
?
an?1
?0
法二：因等差数列前
n
项是关于
n
的二次 函数，故可转化为求二次函数的最值，但要
注意数列的特殊性
n?N
。上述两种方法是 运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能
求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{a
n
}
中，
a
1
?25
，
S
9
?S
17
，问此数列
前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和 最大，最大值为169）；（2）若
{a
n
}
是等
差数列，首项a
1
?0,a
2003
?a
2004
?0
，
*
a
2003
?a
2004
?0
，则使前n项和< br>S
n
?0
成立的最大正整数n是 （答：4006）
4.等比数列的有关概念：如果数列
a
n
从第二项起每一项与它的前一项的比 等于同一个
常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即
a
n< br>?q(n?
*
,n?2)
（或
N
a
n?1
??
a
n?1
a
n

?q(n?
N
*
)

（1）等比数列的判断方法：定义法< br>a
n?1
aa
，其中
q?0,a
n
?0
或< br>n?1
?
n

?q(q
为常数
）
a
n
a
n
a
n?1
(n?2)
。如（1）一个等比数列{a
n
}共有
2n?1
项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，< br>则
a
n?1
为（答：）；（2）数列
{a
n
}
中，
S
n
=4
a
n?1
+1 (
n?2
)且
a
1
=1，若
b
n
?a
n?1
?2a
n
，
5
6
9 15

湘教版高中数学必修四知识点总结
求证：数列｛
b
n
｝是等比数列。
（2）等比数列的通项：
a
n
?a
1
q
n?1
或
a
n
? a
m
q
n?m
。如设等比数列
{a
n
}
中 ，
a
1
?a
n
?66
，
a
2
a< br>n?1
?128
，前
n
项和
S
n
＝126， 求
n
和公比
q
. （答：
n?6
，
q?
1
或2）
2
a
1< br>(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
?（3）等比数列的前
n
和：当
q?1
时，
S
n
?na
1
；当
q?1
时，
S
n
?
。
1?q
1?q
如（1）等比数列中，
q
＝2，S
99
=7 7，求
a
3
?a
6
???a
99
（答：44） < br>特别提醒：等比数列前
n
项和公式有两种形式，为此在求等比数列前
n
项和时，首先要
判断公比
q
是否为1，再由
q
的情况选择求和公式的 形式，当不能判断公比
q
是否为1时，
要对
q
分
q?1和
q?1
两种情形讨论求解。
（4）等比中项：如果a、G、b三个数成等比数 列，那么G叫做a与b的等比中项，即
?ab
.
提醒：不是任何两数都有等比中项，只 有同号两数才存在等比中项，且有两个
?ab
。如已
知两个正数
a,b(a? b)
的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为（答：A
＞B）
提醒： （1）等比数列的通项公式及前
n
项和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
q
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
q
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3 个，便可求出其余2
个，即知3求2；
5.等比数列的性质：
（1）对称性：若< br>?
a
n
?
是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项 之积.
即当
m?n?p?q
时，则有
a
m
.a
n< br>?a
p
.a
q
，特别地，当
m?n?2p
时，则有< br>a
m
.a
n
?a
p
.
如（1）在等比数列< br>{a
n
}
中，
a
3
?a
8
?124 ,a
4
a
7
??512
，公比q是整数，则
a
10
（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列
{a
n
}
中，若
a
5
?a
6
?9
，则
log< br>3
a
1
?log
3
a
2
?
（答：1 0）。
6.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知
S
n
（即
a
1
?a
2
?< br>2
?log
3
a
10
?

?a< br>n
?f(n)
）求
a
n
，用作差法：
a
n< br>?
?
S
1
,(n?1)
。
S
n
?S
n?1
,(n?2)
10 15

湘教版高中数学必修四知识点总结
a
n
?
如①已知
{a
n
}
的前
n
项和满足
log
2
(S
n
?1)?n?1
，求
a
n
（答：
?
3,n?1
）；②数列
{a
n
}
2
n
,n?2< br>满足
11
a
1
?
2
a
2
?
22
?
1
14,n?1
）
a?2n?5
，求
a< br>n
（答：
a
n
?
n?1
n
n
2,n ?2
2
?(a
2
?a
1
)

?
（ 3）若
a
n?1
?a
n
?f(n)
求
a
n
用累加法：
a
n
?(a
n
?a
n?1
)? (a
n?1
?a
n?2
)?
?a
1
(n?2)。如已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，
a
n
?a
n?1
?
1
n?1?n
(n? 2)
，则
a
n
（答：
a
n
?n?1?2?1
）
（4）已知
a
n?1
aa
?f(n)
求
a< br>n
，用累乘法：
a
n
?
n
?
n?1
?
a
n
a
n?1
a
n?2
?
a
2
?a
1
(n?2)
。如已知
a
1
2
数列< br>{a
n
}
中，
a
1
?2
，前
n项和
S
n
，若
S
n
?na
n
，求a
n
（答：
a
n
?
4
）
n(n?1 )
（5）已知递推关系求
a
n
，用构造法（构造等比数列）。特别地，（1） 形如
a
n
?ka
n?1
?b
、
（
k,b< br>为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为
k
的等比数列后，再求
a
n
。
n?1
如①已知
a
1
?1,a
n?3a
n?1
?2
，求
a
n
（答：
a
n
?23?1
）；
注意：（1）用
a
n
?S
n< br>?S
n?1
求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？
（
n?2
，当
n?1
时，
a
1
?S
1
）；（ 2）一般地当已知条件中含有
a
n
与
S
n
的混合关系时，常
需运用关系式
a
n
?S
n
?S
n?1
，先 将已知条件转化为只含
a
n
或
S
n
的关系式，然后再求解。
如数列
{a
n
}
满足
a
1
?4,S
n
?S
n?1
?
5
4,n?1
）
a
n ?1
，求
a
n
（答：
a
n
?
34
n?1
,n?2
3
?


7.数列求和的常用方法： （1）公式法：直接利用或可通过转化为等差、等比数列的求和公式求解。特别声明：
运用等比数列 求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：
1?2?3??n?
1
n(n?1)
2
，
1
2
?2
2
??n
2
?
1
n(n?1)(2n?1)
6
，
1
3
?2
3
?3
3
??n
3
?[
n(n?1 )
2
]
.如（1）等比数列
{a
n
}
的前
n
项和S
ｎ
＝2
ｎ
－１，则
2
11 15

湘教版高中数学必修四知识点总结
4
n
?1
a?a ?a???a
＝（答：）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理
3
2
1
2
2
2
3
2
n
的。二进制即“逢2进1”，如
(1101)
2
表示二进制数，将它转换成十进制形式是
那么将二进制
(111
?
11)
2
转换成十进制数是（答：
1?2
3
?1?2
2
?0?2
1
?1?2
0
?13
，
2
2005
?1
）
?????
2005个1
（2 ）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常把数列的各项分成多个项或把数
列的项重新组合，使 其转化成等差或等比数列，然后利用公式求和。如求：
S
n
??1?3?5?7??( ?1)
n
(2n?1)
（答：
(?1)
n
?n
）
（3）倒序相加法：倒序相加法：数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之
和，则采 用此法。（联系：等差数列的前n项和推导过程以及高斯小时后巧解算术题））. 如
x
2
1117
已知
f(x)?
，则＝（答：）
f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()
1?x
2
234 2
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构
成 ，即数列是一个“差·比”数列，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前
n
和公式的
推导方法）. 如设
{a
n
}
为等比数列，
T
n
?na
1
?(n?1)a
2
?
已知
T
1
? 1
，
?2a
n?1
?a
n
，
T
2
?4
，
①求数列
{a
n
}
的首项和公比；②求数列
{T
n
}
的通项公式.（答：①
a
1
?1
，
q?2
；②
T
n
?2
n?1
?n?2
）； < br>（5）裂项相消法：裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负抵消，
从而前n 项化成首尾若干少数项之和。如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻
项分裂后相关联，那么 常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①



③
11
?
1
?
1
； ②
?
1
(
1
?
1
)
；
n(n? 1)nn?1n(n?k)knn?k
1111111
11111
??????
，；
??(?)
2
22
kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1k< br>kk?12k?1k?1
④
1111
1111
?[?]
；
?(?)
⑤
(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
n(n?1)(n ?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)
1
n?k?n
?
n11
1
??
(n?k?n)
⑦；
k
(n?1)!n!(n?1)!
⑥
12 15

湘教版高中数学必修四知识点总结
如（1）求和：
11
??
1?44?7
?
n
1
）；（2）在数
?
（答：
(3n?2)?(3n?1)
3n?1
列
{a
n
}< br>中，
a
n
?





1
n?n?1
，且S
ｎ
＝９，则n＝（答：99）；
不等式总结
一、不等式的主要性质：
(1)对称性：
a?b?b?a
(2)传递性：
a?b,b?c?a?c

(3)加法法则：
a?b?a?c?b?c
；
a?b,c?d?a?c?b?d

(4)乘法法则：
a?b,c?0?ac?bc
；
a?b,c?0?ac?bc

a?b?0,c?d?0?ac?bd

(5)倒数法则：
a?b,ab?0?
11
?

ab
(6)乘方法则：
a?b?0?a
n
?b
n
(n?N*且n?1)

(7)开方法则：
a?b?0?
n
a?
n
b(n ?N*且n?1)





二、一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0
和
ax
2
?bx?c?0(a?0)
及其解法


??0

??0

??0

13 15

湘教版高中数学必修四知识点总结
y?ax
2
?bx?c
二次函数
y?ax
2
?bx?c
?a(x?x
1
)(x?x
2
)
?a(x?x
1
)(x?x
2
)

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象

有两相等实根


一元二次方程
有两相异实根

ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
? bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

b

x
1
?x
2
??
2a
无实根

?
x
?
x
x?x
1
或x?x
2
?

x
1
?x?x
2
?

?
b
?
?
xx??
?

2a
??

?

R


?

注意：一般常用因式分解法、图像法求解一元二次不等式
顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间

三、均值不等式
1.均值不等式：如果是正数，那么
a?b
?ab(当且仅 当a?b时取?号).

2
2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等
3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a
、
b为正数），
即
a
2
?b
2
a?b2
??ab?
11
22
?
ab
（当a = b时取等）



四、其他常见不等式形式总结：
①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f( x)
?0?f(x)g(x)?0;
g(x)
?
f(x)g(x)?0

f(x)
?0?
?
g(x)
?
g(x)?0
14 15

湘教版高中数学必修四知识点总结
五、线性规划问题
直线定边界，特殊点定域
主要的问题有：1求目标函数的最值2求可行域的面积3目标函数为 分式的形式
时转化为斜率问题处理3目标函数有平方出现时转化为距离问题处理。

15 15