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高中数学必修4练习题第一章 1.1.1

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 03:20
tags:高中数学必修四

学科网 人教版高中数学必修一-高中数学教材全解电子版



§1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
学习目标
1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的
概念,理解任意角的意义 .3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合符号表示这些


角.

知识点一 角的相关概念
1.角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置 OA旋转到另一个位置OB
所成的图形.点O是角的顶点,射线OA,OB分别是角α的始边和终边.

2.按照角的旋转方向,分为如下三类:
类型
正角
负角
零角

思考 始边与终边重合的角是零角,这句话正确吗?
答案 不正确,当射线旋转整数圈时,始边与终边也重合,但此时形成的角不是零角.
定义
按逆时针方向旋转形成的角
按顺时针方向旋转形成的角
一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角


知识点二 象限角、轴线角
在平面直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
象限角:终边在第几象限就是第几象限角;
轴线角:终边落在坐标轴上的角.
知识点三 终边相同的角
终边相同角的表示:
所有与角α终边相同的角,连同角α 在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.

1.经过1小时,时针转过30°.( × )
提示 因为是顺时针旋转,所以时针转过-30°.
2.小于90°的角是锐角.( × )
提示 锐角是指大于0°且小于90°的角.
3.钝角是第二象限角.( √ )
4.第一象限角都是锐角.( × )



题型一 任意角概念的理解
例1 (1)给出下列说法:
①锐角都是第一象限角;
②第一象限角一定不是负角;
③小于180°的角是钝角或直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)
(2)将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是________.
考点 任意角的概念
题点 对任意角概念的理解
答案 (1)① (2)-120°
解析 (1)锐角 指大于0°小于90°的角,都是第一象限角,所以①对;由任意角的概念知,第
一象限角也可为负角, 小于180°的角还有负角、零角,所以②③错误.
(2)分针每分钟转6°,由于顺时针旋转,所以20分钟转了-120°.
反思感悟 解决 此类问题要正确理解锐角、钝角、0°~90°角、象限角等概念.角的概念推广
后,确定角的关键是确 定旋转的方向和旋转量的大小.
跟踪训练1 (1)若角的顶点在原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,给出下列四个命题:
①0°角是第一象限角;
②相等的角的终边一定相同;
③终边相同的角有无限多个;
④与-30°角终边相同的角都是第四象限角.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个


(2)时针走过2小时40分,则分针转过的角度是________.
考点 任意角的概念
题点 对任意角概念的理解
答案 (1)C (2)-960°
解析 (1)①错误,0°角是轴线角;②③④正确.
(2)分针按顺时针方向转动,则转过的角度是负角为
2
-360°×2=-960°.
3
题型二 象限角的判定
例2 (1)已知下列各角:①-120°;②-240°;③180°;④495°.其中是第二象限角的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
考点 象限角
题点 对象限角的判断
答案 D
解析 -120°为第三象限角,①错;-240°=-360° +120°,∵120°为第二象限角,∴-240°
也为第二象限角,故②对;180°为轴线角;4 95°=360°+135°,∵135°为第二象限角,∴495°
为第二象限角,故④对.故选D.
α
(2)若角α是第三象限角,则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)( )
2

A.③⑦
C.②⑤⑧
考点 象限角
B.④⑧
D.①③⑤⑦


题点 判断角所在象限
答案 A
解析 ∵α是第三象限角,
∴k·360°+180°<αα
∴k·180°+90°<2
α
当k=2n(n∈Z)时,n·360°+90°<
2
α
当k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+270°<2
α
∴角
的终边所在的区域为③⑦.
2
反思感悟 (1)判断象限角的步骤
①当0°≤α<360°时,直接写出结果.
②当α<0°或α≥ 360°时,将α化为k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°),转化为判断角β所属的象
限 .
α
(2)一般地,要确定
所在的象限,可以作出各个象限的从原点出发的n等分射 线,它们与坐
n
标轴把周角分成4n个区域,从x轴的非负半轴起,按逆时针方向把这4n个区 域依次标上
α
1,2,3,4,…,1,2,3,4,标号为几的区域,就是根据α所在第几象 限时,
的终边所落在的区域,
n
α
如此,所在的象限就可以由标号区域所在的 象限直观的看出.
n
跟踪训练2 若α=k·180°+45°,k∈Z,则α终边所在的象限是( )
A.第一、三象限
C.第二、四象限
考点 对角所在象限的判断
题点 象限角判断
答案 A
解析 由题意知α=k·180°+45°,k∈Z,
当k=2n+1,n∈Z时,
α=2n·180°+180°+45°=n·360°+225°,n∈Z,其终边在第三象限;
当k=2n,n∈Z时,
B.第一、二象限
D.第三、四象限


α=2n·180°+45°=n·360°+45°,n∈Z,其终边在第一象限.
综上,α终边所在的象限是第一或第三象限.
题型三 终边相同的角
例3 在与角10 030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;
(3)范围360°~720°内的角.
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角表示方法
解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β=k·360°+10 030°(k∈Z),
(1)由-360°最大负角为β=-50°.
(2)由0°正角为β=310°.
(3)由360°≤k·360°+10 030°<720°,得-9 670°≤k·360°<-9 310°,解得k=-26,故所求的
角为β=670°.
反思感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的
角的 一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.
跟踪训练3 已知α=-315°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且-1 080°<θ<-360°.
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角、象限角
解 (1)因为-315°=-360°+45°.
又0°<45°<360°,
所以把α写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360° )的形式为α=-360°+45°(β=45°),它是第一象限
角.
(2)与-315°终边相同的角为θ=k·360°+45°(k∈Z),
所以当k=-3,-2时,θ=-1 035°,-675°,满足-1 080°<θ<-360°.


即得所求角θ为-1 035°和-675°.

求终边在给定直线上的角的集合
典例 写出终边在直线y=-3x上的角的集合.
考点 终边相同的角
题点 任意角的综合应用
解 终边在y=-3x(x<0)上 的角的集合是S
1
={α|α=120°+k·360°,k∈Z};
终边在y=- 3x(x≥0)上的角的集合是S
2
={α|α=300°+k·360°,k∈Z}. 因此,终边在直线y=-3x上的角的集合是S=S
1
∪S
2
={α|α =120°+k·360°,k∈Z}∪{α|α
=300°+k·360°,k∈Z},
即 S={α|α=120°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=120°+(2k+1)·180°,k∈Z }={α|α=120°+n·180°,
n∈Z}.
故终边在直线y=-3x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.
[素养评析] (1)可以先画出直线y=-3x,借助几何直观理解问题、建立形与数的联系,通过学习提升直观想象的数学核心素养.
(2)在具体操作时,要注意把直线y=-3x分成两部分 y=-3x(x≥0)和y=-3x(x<0)进行
讨论.


1.下列说法正确的是(
A.第一象限的角一定是正角
B.三角形的内角不是锐角就是钝角
C.锐角小于90°
D.终边相同的角相等
考点 任意角的概念
题点 任意角的概念的理解
答案 C
解析 -355°是第一象限的角,但不是正角,所以A错误;
三角形的内角可能是90°,所以B错误;
锐角小于90°,C正确;
45°与405°角的终边相同,但不相等,所以D错误.故选C.
2.2 018°是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
考点 象限角、轴线角
题点 象限角
答案 C
解析 2 018°=5×360°+218°,故2 018°是第三象限角.
3.与-457°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
)


C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
答案 C
解析 -457°=-2×360°+263°,故选C.
4.已知角β的终边在直线3x-y=0上.则角β的集合S为__________.
考点 终边相同的角
题点 任意角的综合应用
答案 {β|β=60°+n·180°,n∈Z}
解析 如图,

直线3x-y=0过原点,倾斜角为60°,在0°~360°范围 内,终边落在射线OA上的角是60°,
终边落在射线OB上的角是240°,所以以射线OA,OB为 终边的角的集合分别为
S
1
={β|β=60°+k·360°,k∈Z},
S
2
={β|β=240°+k·360°,k∈Z},
所以,角β的集合 S=S
1
∪S
2
={β|β=60°+k·360°,k∈Z}∪{β|β= 60°+180°+k·360°,k∈Z}
={β|β=60°+2k·180°,k∈Z}∪{β |β=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=60°+n·180°,n∈Z}.
5.已知角的集合M={α|α=30°+k·90°,k∈Z},回答下列问题:
(1)集合M中大于-360°且小于360°的角是哪几个?
(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式.


考点 终边相同的角
题点 象限角、终边相同的角
1311
解 (1)令-360°<30°+k·90°<360°,得-
33
又∵k∈Z,∴k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,
∴集合M中大 于-360°且小于360°的角共有8个,分别是-330°,-240°,-150°,-60°,
30°,120°,210°,300°.
(2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同,
∴β=120°+k·360°,k∈Z.

1.对角的理解,初中阶段是以“静止 ”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理
解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正 负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大
小”.
2.关于终边相同的角的认识
一般 地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,
k∈ Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
注意:(1)α为任意角;
(2)k·360°与α之间是“+”号,k·360°-α可理解为k·360°+(-α); (3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差
36 0°的整数倍;


(4)k∈Z这一条件不能少.
一、选择题
1.下列命题正确的是( )
A.终边在x轴非正半轴上的角是零角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β终边相同
考点 任意角的概念
题点 任意角的概念
答案 D
解析 终边在x轴非正半轴上的角为k·360°+ 180°,k∈Z,零角为0°,所以A错误;480°角
为第二象限角,但不是钝角,所以B错误;2 85°角为第四象限角,但不是负角,所以C错误,
故选D.
2.在-720°~0°范围内所有与30°角终边相同的角为( )
A.-330°
C.-690°或-330°
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
答案 C
解析 所有与30°角终边相同的角可表示为β=30°+k·360°(k∈Z),
则令-720°≤30°+k·360°<0°(k∈Z),
得-750°≤k·360°<-30°(k∈Z),
B.-690°
D.-300°或-330°


-750°-30°
解得
≤k<(k∈Z),
360°36 0°
从而k=-2或k=-1,代入得β=-690°或β=-330°.故选C.
3.钟表的分针在一个半小时转了( )
A.180° B.-180° C.540° D.-540°
考点 任意角的概念
题点 任意角的概念
答案 D
解析 分针旋转的角为负角,
其值为-(360°+180°)=-540°.
4.下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是( )
A.-37° B.143° C.379° D.-143°
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
答案 D
5.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则A,B,C关系正确的是( )
A.B=A∩C
C.AC
考点 任意角的概念
题点 任意角的概念掌握
答案 B
解析 由题意得B(A∩C),故A错误;BC,所以B∪C= C,故B正确;A与C互不包
含,故C错误;由以上分析可知D错误.
6.若α与β终边相同,则α-β的终边落在( )
A.x轴的非负半轴上
C.y轴的非负半轴上
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角、轴线角
答案 A
7.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为( )
A.α+β=k·360°,k∈Z
B.α+β=k·360°+180°,k∈Z
B.x轴的非正半轴上
D.y轴的非正半轴上
B.B∪C=C
D.A=B=C


C.α-β=k·360°+180°,k∈Z
D.α-β=k·360°,k∈Z
考点 任意角的概念
题点 任意角的综合运用
答案 B
解析 方法一 (特殊值法)令α=30°,β=150°,
则α+β=180°.
方法二 (直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以β=1 80°-α+k·360°,k∈Z,
即α+β=k·360°+180°,k∈Z.
8.已知角2α的终边在x轴的上方,那么角α是( )
A.第一象限角
C.第一或第三象限角
考点 象限角、终边相同的角
题点 象限角
答案 C
解析 因为角2α的终边在x轴的上方,
所以k·360°<2α则有k·180°<α故当k=2n,n∈Z时,n·360°<α当k=2n+1,n∈Z时,n·360°+180°<α二、填空题
9.已知角α=-3 000°,则与α终边相同的最小正角是________.
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
答案 240°
解析 与α=-3 000°终边相同的角的集合为
{θ|θ=-3 000°+k·360°,k∈Z},
25
令-3 000°+k·360°>0°,解得k>,
3
故当k=9时,θ=240°满足条件.
B.第一或第二象限角
D.第一或第四象限角


10.下列结论:
①三角形的内角必是第一、二象限角;
②始边相同而终边不同的角一定不相等;
③小于90°的角为锐角;
④钝角比第三象限角小;
⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确的结论为________(填序号).
考点 任意角的概念
题点 任意角的概念掌握
答案 ②
解析 ①90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故①不正确;
②始边相同而终边不同的角一定不相等,故②正确;
③小于90°的角可以是0°角,也可以是负角,故③不正确;
④钝角大于-100°的角,而-100°的角是第三象限角,故④不正确;
⑤0°角小于180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,故⑤不正确.
11.如图,终 边落在OA的位置上的角的集合是________________;终边落在OB的位置上,
且在- 360°~360°内的角的集合是________;终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是
__ __________________.

考点 终边相同的角、象限角
题点 终边相同的角
答案 {α|α=120°+k·360°,k∈Z} {315°,-45°}
{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}


解析 终边落在OA的位置上的角的集合是
{α|α=120°+k·360°,k∈Z}.
终边落在OB的位置上的角的集合是
{α|α=315°+k·360°,k∈Z},
取k=0,-1得α=315°,-45°.
故终边落在OB的位置上,
且在-360°~360°内的角的集合是{315°,-45°}.
终边落在阴影部分的角的集合是
{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.
12.若角α满 足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边与终边,则角α=________.
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角、象限角
答案 270°
解析 ∵角5α与α具有相同的始边与终边,
∴5α=k·360°+α,k∈Z,得4α=k·360°,k∈Z,
∴α=k·90°,k∈Z,
又180°<α<360°,∴当k=3时,α=270°.
三、解答题
13.(1)判断下列角所在的象限,并指出其在0°~360°范围内终边相同的角.
①549°;②-60°;③-503°36′.
α
(2)若α是第二象限角,试确定2α,是第几象限角.
2
解 (1)①∵549°=189°+360°,∴549°角为第三象限的角,与189°角终边相同.
②∵-60°=300°-360°,∴-60°角为第四象限的角,与300°角终边相同.
③∵-503°36′=216°24′-2×360°,∴-503°36′角为第三象限的角,与216° 24′角终边
相同.
(2)由题意得90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),①
所以180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z).


故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上的角.
α
由①得45°+k·180°<
<90°+k·180°(k∈Z),
2
当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),
α
得45°+n·360°<
<90°+n·360°(n∈Z),
2
α
故是第一象限角.
2
α
当k为奇数时,令k=2n+ 1(n∈Z),得45°+180°+n·360°<
<90°+180°+n·360°(n∈Z),
2
α
即225°+n·360°<
<270°+n·360°(n∈Z),
2
α
故为第三象限角.
2
α
综上可知,为第一或第三象限角.
2

14.已知集 合A={α|k·180°+30°≤α+45°,k∈Z},求A∩B.
考点 终边相同的角
题点 任意角的综合应用
解 如图所示,



集合A中角的 终边是30°~90°角的终边或210°~270°角的终边,集合B中角的终边是-45°~
45° 角的终边,
所以A∩B的角的终边是30°~45°角的终边,
所以A∩B={α|k·360°+30°≤α15. 如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向等速
沿单位圆 周旋转,已知P点在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°),经过2 s达到第三象限,经
过14 s后又回到了出发点A处,求θ.

解 ∵0°<θ<180°,
且k·360°+180°<2θ


则一定有k=0,于是90°<θ<135°.
又∵14θ=n·360°(n∈N
*
),
n·180°
∴θ=

7
n·180°
∴90°<<135°,
7
721

24
∴n=4或5.
720°
当n=4时,θ=;
7
900°
当n=5时,θ=
.
7

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