高中数学八大思想方法-赛奥高中数学
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三角恒等变换
一、选择题
1．求值
cos20
0
cos351?sin2000
?
< ）
A．
1
B．
2
C．
2
D．
3
2．函数
y?2sin(?x)?cos(?x)(x?R)
的最小值等于<
）
36
??
A．
?3
B．
?2
C．
?1
D．
?5
3．函数
y?sinxcosx
?3cos
2
x?3
的图象的一个对称中心是< ）
A.
(
2
?
35
?
32
?
3
?
,?)<
br> B.
(,?)
C.
(?,)
D.
(,?3)
326232
3
4．△ABC中，
?C?
90
0
，则函数
y?sin
2
A?2sinB
的值的情况<
）
A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值
C．有最大值且有最小值 D．无最大值且无最小值
5．
(1?tan
21
0
)(1?tan22
0
)(1?tan23
0
)(1
?tan24
0
)
的值是( >
A.
16
B.
8
C.
4
D.
2
c
os
2
x
6．当
0?x?
时,函数
f(x)?
的最
小值是< ）
cosxsinx?sin
2
x
4
?
A．
4
B． C．
2
D．
二、填空题
1．给出下列命题：①存在实数
x
，使
sinx?cosx?
； <
br>②若
?
,
?
是第一象限角，且
?
?
?
，则
cos
?
?cos
?
；
③函数
y?sin(x?)
是偶函数；
2
2
3
3
2
1
2
1
4
?
④函数
y?sin2x的图象向左平移个单位，得到函数
y?sin(2x?)
4
?
4
?
的图象．
- 1 - 5
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其中正确命题的序号是____________．<把正确命题的序号都填
上）
1
的最小正周期是___________________。
sinx
1
1
3．已知
sin
?
?cos
?
?
，
si
n
?
?cos
?
?
，则
sin(
?
??
)
=__________。
3
2
2．函数
y?t
an?
x
2
?
?
0,
4．函数
y?sinx?3c
osx
在区间
?
??
上的最小值为 ．
?
2<
br>?
5．函数
y?(acosx?bsinx)cosx
有最大值
2，最小值
?1
，则实数
a?
____，
b?
___
三、解答题
1．已知函数
f(x)?sin(x?
?
)?cos(x?
?
)
的定义域为
R
，
<1）当
?
?0
时，求
f(x)
的单调区间；
<
2）若
?
?(0,
?
)
，且
sinx?0
，当?
为何值时，
f(x)
为偶函数．
2．已知△ABC的内角
B
满足
2cos2B?8cosB?5?0,
，若
BC?a
，
CA?b
且
a,b
满足：
ab??9
，
a?3,b?5，
?
为
a,b
的夹角.求
sin(B?
?
)<
br>。
??
44
5
,
求
13
3．已知
0?x?,sin(?x)?
cos2x
cos(?x)
4
?
的值。
4．已知函数
f(x)?asinx?cosx?3acos
2
x?
(1>写出函数的单调递减区间；
3
a?b(a?0)
2
?(2>设
x?[0，]
，
f(x)
的最小值是
?2
，最
大值是
2
3
，求实数
a,b
的
值．
参考答案
一、选择题
- 2 - 5
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cos
2
10
0
?sin
2
10
0
cos10
0
?sin10
0
2sin55
0
1.C
???2
cos35
0
(cos10
0
?sin
10
0
)cos35
0
cos35
0
2.C
y?2cos(?x)?cos(?x)?cos(?x)??1
666
???
3.B
y?sin2x?
?
1
2
3133
(1?cos2x)?3?sin2x?cos2x?
2222<
br>3
?
k
??
5
?
,令2x??k
?
,x??,当k?2,x?
23266
?sin(2x?)?
3
4.D
y?sin
2
A?2s
inB?sin
2
A?2cosA?1?cos
2
A?2cosA
??(cosA?1)
2
?2
,而
0?cos
A?1
，自变量取不到端点值
5.C
(1?tan21
0
)
(1?tan24
0
)?2,(1?tan22
0
)(1?tan23
0
)?2
，更一般的结论
?
?
?
?45
0
,(1?tan
?
)(1?tan
?
)?2
6.A
f(x)?
二、填空题
1. ③
对于①，
sinx?cosx?2sin(x?)?2?
；
4
111
?,当tanx?时,f(x)
min
?4
tanx?tan
2
x
?(tanx?
1
)
2
?
1
2
24
?
3
2
对于②，反例为
??30
0
,
?
??330
0
，虽然
?
?
?
，但是
cos
?
?cos
?
对于③，
y?sin2x?y?sin2(x?)?sin(2x?)
42
1?cosx1cosx1
?????
sinxsinxsi
nxtanx
59
1359
3.
?
(sin
?
?cos
?
)
2
?(sin
?
?cos
?
)
2
?
,
2sin(
?
?
?
)?
?
72
3636
???
5
?
5
?
4.
1
y?2sin(x?),?x??,y
min
?2sin?1
33366
baa
5．
1,?22
y?acos
2
x?bsinxcosx?sin2x?cos2x?
222
??
2.
?
y?
?
a
2
?b
2
aa
2
?b
2aa
2
?b
2
a
sin(2x?
?
)?
,
??2,????1,a?1,b??22
222222
- 3 -
5
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三、解答题 解：<1）当
?
?0
时，
f(x)?sinx?
cosx?2sin(x?)
4
3
??
?x?2k
??,
f(x)
为递增；
24244
??
3
??
5
?
2k
?
??x??2k
?
?,2k
?
??x?2k?
?,
f(x)
为递减
24244
3
??
?f(x)
为递增区间为
[2k
?
?,2k
?
?]
,k?Z
；
44
?
5
?
f
(x)
为递减区间为
[2k
?
?,2k
?
?],k?Z。
44
?
2k
?
??x?
??
?2k
?
?
?
,2k
?
?
<2）
f(x)?2cos(x??
?
)
为偶函数，则
?
?
?k
?
4
4
?
?
?
?
?k
?
?,k?Z
4
?
2
.解：
2(2cos
2
B?1)?8cosB?5?0,4cos
2
B?8cosB?5?0
得
cosB?,sinB?
1
2
3
a?b34
??,sin
?
?,
，
cos
?
?
2
55
a?b
4?33
10
sin(B?
?
)?sinBcos
?
?cosBsin
?
?
????
4424
3.解：
(?x)?(?x)?,?cos(?x)?sin(?x)?
4
?
5
，
13
而
cos2x?sin(?2x)?sin2(?x)?2sin
(?x)cos(?x)?
2444
????
120
169
4.解：
f(x)?asin2x?
?
sin2x?
?
a
2
1
2
3a3
(1?cos2x
)?a?b
22
3a
?
cos2x?b?asin(2x?)?b
23
<1）
2k
?
??2x??2k
??
?
23
5
?
11
?
?[k
?
?,k
?
?],k?Z
为所求
1212
3
?
5
?
11
?
,k
?
??x?k
?
?
21212
<2）
0?x?,??2x??
233
???
2
?
3
?
,??sin(2x?)?1
323
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f(x)
min
??
3
a?b??2,f(x)
max?a?b?3,
2
?
?
3
?
??
2
a?b??2
?
?
?
?
a?2
?
a?b?3
?
?
b??2?3
申明：
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