司龄的公式高中生物增长率和增长速率的区分

增长速率＝（现有个体数－原有个体数）／增长时间

增长率＝（现有个体数－原有个体数）／原有个体数＝出生率－死亡率

生长速率就像速度公式，跟时间有关系

“S”型曲线中的种群增长率和增长速率

仍以某种动物为例，在自然界中，由于环境条件是有限的，种群不可能按“J”型曲线增长，
而是在有限的环境中，随种群密度的上升，生存斗争加剧，出生率下降，死亡率上升，从而
使种 群数量的增长率下降，当种群数量达到环境所允许的最大值（K）时，种群数量停止增
长，有时会在K值 左右保持相对稳定，则这个种群在0~t年间的种群增长曲线，呈“S”型
增长。

若把“S”型增长曲线转换成相对应的种群增长率曲线，即纵坐标改成种群增长率，则按照
种群增长率的 概念分析，增长率＝（末数－初数）初数×100％，开始虽然单位时间种群增
长绝对数量不多，但由于 起先初数较小，两者的比值还是较大的，故种群增长率较高，而后
来尽管单位时间内种群增加绝对数增加 了，但由于前一年的基数即初数也大了，故两者的比
值反而比上一年有所下降，到种群数量接近环境容纳 量时，种群数量基本不增加，即末数-
初数接近于0，种群增长率也就逐渐接近于0，到达环境容纳量时 为0

若把“S”型增长曲线转换成相对应的种群增长速率曲线，即纵坐标改成种群增长速率 ，则
按种群增长速率=（末数－初数）单位时间分析，由于开始时单位时间内种群数量增加的绝
对数（即末数-初数）较小，故种群增长速率也较小。根据逻辑斯蒂曲线（“S”型曲线）分
析，当种群 数量达到K2时，单位时间内种群数量增加的绝对数最多，故此时种群增长速率
最大（相当于曲线的斜率 最大）。随后，当种群数量超过K2时，种群数量增加趋缓，种群
增长速率又有所下降，到种群数量为K 时，单位时间内种群数量不再增加，故种群增长速率
为0

“S”型增长曲线模型的特点：
种群增长速率:由于“S”型增长曲线变化规律没有固定的公 式，只能从理论上分析。由于种
群增长速率与曲线的斜率是等价的，通过观察可判断出是先增加后减少。
种群增长率:
由于环境条件对种群数量的影响，随着种群密度的增加而逐渐的按比例增加，种 群增加的难
度在增加，所以种群增长率在逐渐的减少。
那时的捕鱼条件最优越...不会因为 捕获而影响其种族延续........因为增长最快时捕捞，
捕捞后能在最短的时间内恢复到原来的数 量。

增长率与增长速率区别
2011-01-14 22:30:53| 分类： 学科知识 | 标签： |字号大中小 订阅
摘 要：高中生物教材（人教版（必修3 ））中的种群数量变化规律是本节的重难点。教材中提及的种群
增长结合笔者教学，发现很多学生很容将 两者混为一谈，甚至在部分参考资料中出现类似的问题。
关键词：增长率 增长速率 区别
1 概念
(1)λ：表或生物的繁殖代数。λ＝N1／N0；
(2)种群增长 率是指单位数量的个体在单位时间内新增加的个体数，计算公式：种群增长率=
（Nt- Nt-1)Nt-1。
(3)种群增长速率是指单位时间内新增加的个体数，计算公式：种群增长速率==
（Nt- Nt-1)t-(t-1)。
2 对“Ｊ” 字型曲线的分析
模型假设
在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二
年是第 一年的λ倍。
建立模型：t年后种群数量为：Nt=N0λt
模型中各参数的意义：
N0 为种群起始量
t 表示时间
Nt 表示t年后该种群的数量
Λ 表示该种群数量是一年前种群 数量的倍数
对模型假设的分析
从模型假设不难得出λ=现有个体数／原有个体数。 结合增长率的概念和定义式不难看出，此时增
长率等于（λ-1），λ不变，增长率（λ-1）也就不变 。所以“J”字类型增长率不变。而增长速率，若
以年为时间单位，则t年的增长速率为Vt=N0λt -N0λt-1=N0λt-1(λ-1),因为λ>1，t越大，则种群的
增长速率越快，即随时间的 延长种群的增长速率是持续加快的。
结论
Ｊ型曲线增长率保持不变；增长速率一直增大。曲线的斜率表示增长速率。
例1：在什么条件下种群数量才会呈指数增长（ ）
A.当只有食物受到限制时
B.在物种适宜的环境中食物开始出现不足，但不至于影响到该物种在这里生存
C.只是没有捕食者
D.只有在实验室内的实验条件下
例题解析：因为种群的指数 增长只有在空间无限、资源无限和不存在任何天敌的条件下才有可能，
而这样理想的条件只有在实验室内 才能存在。A不对，因为食物有限影响种群数量增长，在食物不能充分
供应的情况下，种群不可能呈指数 增长。B不对，因为在一个适宜的环境中食物已开始出现不足，这虽然
并未影响到物种在这里生存，但不 可能会使种群的数量出现指数增长，因为指数增长的先决条件是资源无
限。C也不对，因为仅仅失去捕食 者的控制作用，种群仍不能实现指数增长，限制种群数量的种种其他因
素都还在起作用，如食物不足、空 间狭小等。
答案：D
点评：本题主要考查种群的增长曲线，属于理解层次。“J”型曲线的 条件和特点是比较重要的知识
点，在考试中出现的频率较高，应该引起重视。
3 对Ｓ型曲线的分析
模型假设

自然界的资源和空间总是有限的，当种群密度增大 时，种内斗争就会加剧，以该种群为食的动物的
数量也会增加，这就会使种群的出生率降低，死亡率增高 。当死亡率增加到与出生率相等时，种群的增长
就会停止，有时会稳定在一定的水平。
对模型假设的分析
自然条件下,种群呈“S”型增长,随时间的延长,环境条件的制 约作用越大,增长率持续下降,
达到最大值K值时增长率为0。而增长速率则由于种群的起始个体数较少 ,环境条件的
制约作用较小,开始的一段时间内种群接近“J”型增长,随时间的延长种群的增长速率 持续加快,从
坐标曲线上看曲线的斜率逐渐加大。当种群数量N接近于K2时种群的增长速率最
快。后来随环境阻力的加大,种群的增长速率逐渐减慢,即曲线的斜率逐渐减小,到达K值时曲线斜率
降为0。
结论：S型曲线的增长率与种群数量成反比，不断减小；增长速率先增大后减小。曲线的斜率 表示增
长速率。
例2 2002年(广东、河南、广西卷生物试题)在一个玻璃容器内,装入一定量
的 符合小球藻生活的营养液,接种少量的小球藻,每隔一定时间测
定小球藻的个体数量,绘制成曲线,如图 1所示:下列图2中A、B、C、D能正确表示小球藻种群数量增长率
随时间变化趋势的曲线是（）



例题分析:
例题中小球藻的生长是在受环境条件制约 下的“S”型增长,题目中的增长曲线已经明确画出。开始
时环境条件充裕,小球藻的增长率较大,随时 间的延长,环境阻力加大,增长率是逐渐下降的,若按一定比例
下降,则答案为C。小球藻的增长速率可 用小球藻增长曲线的斜率来表示,先增大后减小可用D曲线表示。
故笔者以为若此题答案为D,应将本题 中的种群的增长率改为种群的增长速率,否则,与教材中的增长率混淆
使用,易产生歧义。
反馈练习
1．如图表示种群数量动态变化过程，图中c点所表示的含义的叙述中，不正确的是（ ）
A．c点时种群增长速率最快
B．c点为种群理想环境与悠闲生活环境的分界点
C．c点时微生物的次级代谢产物最多
D．c点时进行捕捞有利于该种群的持续生存
2．右图表示了鲸的生殖数量变化速率、死亡数量变化速率与种群大小的关系。图中表示生殖数量变化速率的曲线和Ｋ点代表的含义分别是（ ）
A．曲线1，种群的最大数量
B．曲线2，种群的最大数量
C．曲线1，某一环境条件下的种群的最大数量
D．曲线2，某一环境条件下的种群的最大数量
3．图中种群在理想环境中呈“J”型曲线增 长（如甲）；在有环境阻力条件下呈“S”型曲线增长（如乙），
下列有关种群增长曲线的叙述正确的是 （ ）
A．环境阻力对种群增长的影响出现在d点之后
B．若此图表示蝗虫种群增长曲线，则虫害的防
治应在c点开始
C．若此图表示酵母菌生长曲线，则次级代谢产
物在ab时期大量积累
D．若此图表示草履虫种群增长曲线，当种群数
量达到e点后，增长速率为0
答案：
1．C（微生物产生次级代谢产物最多的时期是稳定期，不在对数期。）
2．C（大海的食物和空间是有限的，所以鲸种群增长呈S型曲线，可转化为生殖数量变化曲线。）
3．D（环境阻力始终都存在。）
参考文献：
[1]朱正威.稳态与环境[M].人民教育出版社,2004
[2]许丽萍 增长率与增长速率辨析.中学生物教学，
种群的增长速率曲线和增长率曲线再探讨
浙江省绍兴县柯桥中学 叶建伟
摘 要 到目前为止，种群增长率曲线和增长速率曲线在 中学生物教材和相应的教学
辅导资料中还没有一个较为统一的说法，本文就种群增长率曲线和增长速率曲 线进行了探
讨。

关键词 种群 增长速率曲线 增长率曲线 探讨

种群的增长方式包括指数增长（“J”型增长）和逻辑斯谛增长（“S”型增长），前者< br>是在理想状态下，即资源无限、空间无限和不受其他生物制约的条件下产生的，后者是在现
实状态 下，即资源有限、空间有限和受其他生物制约的条件下产生的。若以时间为横坐标，
种群中个体数量为纵 坐标，那么两种增长曲线如图1所示。

对于上述两种增长方式，需要区别种群增长率和增 长速率的变化，但是到目前为止，对
于种群增长率和增长速率曲线在中学生物教材和相应的教学辅导资料 中还没有一个较为统
一的说法，对此，笔者查阅相关资料，同时结合自己多年的教学实践，谈谈自己的看 法。

1 种群增长速率和增长率的定义

种群增长速率是指种群在单位时间内增加的个体数量，其计算公式为：增长速率 =（现
有个体 数－原有个体数）／增长时间，单位可以用“个年”表示。种群增长率指种群在单
位时间内净增加的个体 数占原个体总数的比率，其计算公式为：增长率 =（现有个体数－原
有个体数）／（原有个体数·增长 时间），单位可以用“个个·年”表示。种群的出生率
减去死亡率就是种群的自然增长率。

2 指数增长的增长速率和增长率

种群在理想条件下呈指数增长，其增长曲线符 合指数函数N
t
=N
0
λ或N
t+1
=N
t
λ（N为种
群个体数，N
0
为起始种群个体数，t为时间，λ为种群周限增长率， 下同），其中λ具有
开始和结束时间，它表示种群大小在开始和结束时的比率。

若以年为时间单位，指数增长种群的增长速率为：（N
0
λ－N
0
λ）个年= N
0
λ（λ－
1）个年，所以指数增长种群的增长速率随时间变化呈等比数列，公比为 λ，其通项公式为：
= N
0
（λ－1）λ（表示种群增长速率）。此通项公式是（相 当于因变量）关于t（相当于
自变量）的指数函数，其变化过程如图2所示。











同样以年为时间单位，指数增长种群的增长率为：（N
t+1
－N
t
）个 N
t
个·年=（N
0
λ－N
0
λ）个 N
0
λ个·年= N
0
λ（λ－1）个 N
0
λ个·年=（λ－1）个个·年，
即该种群在一年时间内平均每个个体增加的个体数 为λ－1个。因为λ－1为常数，所以指
数增长种群的增长率曲线与x轴平行，且在y轴上的截距为λ－ 1，如图3所示。

3 逻辑斯谛增长的增长速率和增长率
种群在自然条件下 呈逻辑斯谛增长，逻辑斯谛增长曲线（“S”型曲线）是根据逻辑斯
谛方程构建的曲线模型。逻辑斯谛方 程的数学表达式为：（r是瞬时增长率，K是环境容
纳量，特定种群的r和K都为定值）。此方程是（相 当于因变量）关于N（相当于自变量）
[2]
t+1tttt
t
t+1tt< br>t
[1]
的二次函数，坐标曲线为抛物线，其特征：①开口方向：二次项系数为，曲线开 口向下；②
存在最大值：当时，为种群的最大增长速率；③与横坐标的交点：当N=0或N=K时，=0 ，故
曲线与横坐标的交点为N=0和N=K；④对称性：以为对称轴两侧对称（见图4）。此图常被各种教辅资料引用，但在引用时，常将横坐标名称个体数量改为时间，使曲线的科学性出现
偏差。那 么种群增长速率随时间的变化情况到底是如何的呢？

探讨逻辑斯谛增长种群的增长速率和 增长率随时间变化的情况，需对逻辑斯谛方程进行
积分，得N
t
关于t的函数式： （ 特定种群的N
0
为定值）。对于逻辑斯谛方程的变化规律，
常选择特殊值代入法进行演 算（见表1）。

表1 逻辑斯谛增长中各项数值随时间的变化（设K=800，r=0 ．8，N
0
=3；小数点保留
4位）

t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N
t

3
6．6461
14．6420
31．8716
67．6295
增长速率
N
t+1
-N
t


3．6461
7．9960
17．2295
35．7579
增长率
t
(N
t+1
-N
t
)N
t


1．2154
1．2031
1．1767
1．1219
1．0166
0．8409
0．6073
0．3753
0．2028
0．1003
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
N
t

增长速率
N
t+1
-N
t

增长率
(N
t+1
-N
t
)N
t

0．0472
0．0217
0．0098
0．0044
0．0020
0．0009
0．0004
0．0002
0．0001
0．0000
0．0000
769．1977 34．6605
785．8598 16．6621
793．5840 7．7241
797．1043 3．5203
798．6963 1．5920
799．4137 0．7174
799．7364 0．3228
799．8816 0．1451
799．9468 0．0652
799．9761 0．0293
799．9893 0．0132
136．3825 68．7530
251．0694 114．6869
403．5514 152．4820
555．0081 151．4567
667．5885 112．5804
734．5371 66．9486

（注：由于N
t
到N
t+1
的增长时间刚好为1个单位时间，因此省略了公式中分母的单位
时间。）

分别对表1种群增长速率数据和种群增长率数据作图，得到图5和图6。
< br>分析图5，推知逻辑斯谛增长种群的增长速率曲线为钟形曲线（或称正态曲线）。存在
以下特征： ①存在一个最大值（此假设条件下，约在t=7时出现，此时对应的N=403≈K2）；
②在最大值之 前，种群增长速率逐渐增大，增大的过程遵循“慢→快→慢”的“S”型变化
规律；③在最大值之后，种 群增长速率逐渐减小，减小的过程遵循“慢→快→慢”的反“S”
型变化规律。

分析图6，推知逻辑斯谛增长种群的增长率曲线为“反S”型曲线。其特征为：种群增
长率一直减小， 减小的过程遵循“慢→快→慢”的变化规律。


4 结束语
< br>随着新课程标准的实施，曲线模型在中学生物教学中的应用越来越广泛。在曲线模型构
建中，不能 主观随意作图，而需要运用数学形式来描述生物学系统的变化趋势，并进行模型
的检验，最终形成一个相 对较为准确而又能预测生物学系统变化趋势的曲线模型。

参考文献

[1] 吴相钰, 刘恩山． 2005． 稳态与环境． 浙江杭州: 浙江科学技术出版社, 64

[2] 孙儒泳, 李博, 诸葛阳, 等． 1993 ．普通生态学． 北京: 高等教育出版社, 68