最新人教版高中数学必修四单元测试题及答案全套

在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x
0,
2)和(x
0
＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
1
(2)将y＝f(x) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再将所得的图象沿x轴向
3
π右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式，并用“五点法”作出y ＝g(x)
3
在长度为一个周期的闭区间上的图象．
1
解：(1)∵f(x )＝Asin(ωx＋φ)在y轴上的截距为1，最大值为2，∴A＝2,1＝2sin φ，∴sin φ＝.
2
ππ
又∵|φ|<，∴φ＝.
26
∵两相邻的最大值点和最小值 点分别为(x
0,
2)和(x
0
＋3π，－2)，
∴T＝2[(
x
0
＋3π)－
x
0
]＝6π，
2π2π
1
∴ω＝＝＝.
T
6π
3
x
π
?
∴函数的解析式为f(x)＝2sin
?
?
3
＋
6
?
.
π
1
x＋
?
，(2)将y＝f(x)的图 象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得函数的解析式为y＝2sin
?
?
6
?
3
πππ
π
x－＋
?
＝2sin
?< br>x－
?
. 再向右平移个单位后，得g(x)＝2sin
?
?
36
??
6
?
3
列表如下：
π
x－
6
x
g(x)

描点并连线，得g(x)在一个周期的闭区间上的图象如下图．
0
π

6
0
π

2
2π

3
2
π
7π

6
0
3π

2
5π

3
－2
2π
13π

6
0

18.(本小题满分14分)如图，函数y＝2cos(ωx＋θ) x∈R，
π
ω>0,0≤θ≤
的图象与y轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期 为π.
2
(1)求θ和ω的值；
π
?
(2)已知点A
?
?
2
，0
?
，点P是该函数图象上一点，点Q(x
0
，y
0
)是PA
y
0
＝
π
3
?
，x
0
∈
?
?
2
，π
?
时，求x
0
的值．
2
的中点，当

解：(1)把(0，3)代入y＝2 cos(ωx＋θ)中，
得cos θ＝
3
.
2
ππ
∵0≤θ≤，∴θ＝.
26
∵T＝π，且ω>0，
2π2π
∴ω＝
T
＝＝2.
π
π
?
3< br>，0
，Q(x
0
，y
0
)是PA的中点，y
0
＝， (2)∵点A
?
?
2
?
2
π
2x
0
－，3
?
. ∴点P的坐标为
?
2
??
π
2x＋
?
的图象上， ∵点P在y＝2cos
?
6
??
π
且≤x
0
≤π，
2
5π
3
7π5π19π
4x
0
－
?＝，且≤4x
0
－≤∴cos
?
.
6
?
2< br>?
666
5π11π5π13π
∴4x
0
－＝或4x
0
－＝.
6666
2π3π
∴x
0
＝或x
0
＝.
34

(B卷 能力素养提升)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知cos θ tan θ<0，那么角θ是( )
A．第一或第二象限象
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
解析：选C 若cos θtan θ<0，
则cos θ>0，tan θ<0，或cos θ<0，tan θ>0.
当cos θ>0，tan θ<0时，角θ是第四象限角；
当cos θ<0，tan θ>0时，角θ是第三象限角．
x＋φ
2．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
3
π
A.
2
3π
C.
2

2π
B.
3
5π
D.
3

x＋φ
φ
π3π
解析：选C 由f(x)＝sin 是偶函数，可得＝kπ＋，k∈Z，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，
3322
3π
所以φ＝
2
3．函数y＝cos x·tan x的值域是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．[－1,1]
C．(－1,1)
D．[－1,0]∪(0,1)
解析：选C 化简得y＝sin x，由cos x≠0，得sin x≠±1.故得函数的值域(－1,1)．
4．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
解析：选B 根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B.
5π
5．已知α＝，则点P(sin α，tan α)所在的象限是( )
8
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
π5π
解析：选D ∵<
<π，∴sin α>0，tan α<0，∴点P在第四象限．
28
π
2x－
?
的图象( ) 6．函数y＝2sin
?
6
??
A．关于原点成中心对称
B．关于y轴成轴对称
π
，0
?
成中心对称 C．关于点
?
?
12
?
D．关于直线x＝
π
成轴对称
12
解析：选C 由形如y＝Asin(ωx＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别 将各选项代入检验即
π
??
π
，0
?
成中心对称． 可，由 于f
?
＝0，故函数的图象关于点
?
12
??
12
?
π3π
?
7．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间
?
?
2
，
2
?
内的图象是( )

π3π
解析：选D 当sin x，
22
y＝2sin x．故选D.
ππ
8．已知角α的终边上一点的坐标为sin，cos，则角α的最小正值为( )
66
11π
A.
6
π
C.
3
cos
5π
B.
6
π
D.
6
π
6
解析：选C 由题意知，tan α＝＝3.
π
sin
6
π
所以α的最小正值为.
3
π
－2x
?
的单调递增区间是( ) 9．函数y＝cos?
?
4
?
π5π
kπ＋，kπ＋
?
A.
?
88
??
3ππ
kπ－，kπ＋
?
B.
?
88
??
π5π
2kπ＋，2kπ＋
?
C .
?
88
??
3ππ
2kπ－，2kπ＋
?
(以上 k∈Z) D.
?
88
??
ππ
解析：选B 函数y＝cos－2x ＝cos2x－，根据余弦函数的增区间是[2
k
π－π，2
k
π]，k∈Z ，得2kπ
44
π3ππ
－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋， k∈Z.故选B.
488
π2π
?
10．函数y＝3cos
2
x－4cos x＋1，x∈
?
?
3
，
3
?
的最大值是( )
1
A.
4
1
C.
5
3
B.
4
15
D.
4

2
π2π
11
1
cos x－
?
2
－.∵x∈
?
，
?
，∴cos x∈
?
－，
?
，∴当cos x解析：选D y＝3cos
2
x－4cos x＋1＝3
?
3
?
3
??
33
??
22
?
1
2π
15
＝－， 即x＝时，y
max
＝.
234
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．sin
2
1°＋sin
2
2°＋sin
2
3°＋?＋sin
2< br>88°＋sin
2
89°＋sin
2
90°的值为________．
解析：∵sin
2
1°＋sin
2
89°＝sin
2
1°＋cos
2
1°＝1，
sin
2
2°＋sin
2< br>88°＝sin
2
2°＋cos
2
2°＝1，
sin
2
x°＋sin
2
(90°－x°)＝sin
2
x°＋cos2
x°＝1，(1≤x≤44，x∈N)，
∴原式＝(sin
2
1°＋ sin
2
89°)＋(sin
2
2°＋sin
2
88°)＋ ?＋(sin
2
44°＋sin
2
46°)＋sin
2
90 °＋sin
2
45°＝45＋
＝
91
.
2
91
答案：
2
π
12．函数y＝sin 2x的图象向 右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是
6
________ ．
解析：y＝sin 2x向右平移φ个单位得
f(x)＝sin[2(
x
－φ)]＝sin(2x－2φ)．
π
??
π
－2φ
?
＝±由f
?
＝sin
?
6
??
3
?
1，
ππ
∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
32
π5π
∴2φ＝－kπ－，令k＝－1，得2φ＝，
66
π
5π5ππ
－
?
＝. ∴φ＝或作出y＝sin 2 x的图象观察易知φ＝－
?
126
?
4
?
12
5π
答案：
12
3
5π
π－α
?
·sin(π－α) 的值为________．
13．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos＋α＋ sin
?
?
2
?
2
解析：∵tan(π－α)＝2，∴ta n α＝－2，
∴原式＝－2sin α·(－sin α)＋(－cos α)·sin α
2sin
2
α－sin αcos α
2tan
2
α－tan α
＝2sin
α－sin αcos α＝
＝
sin
2
α＋cos
2
α
1＋tan2
α
2
?
2
?
2
?
2
?2×?－2?
2
－?－2?
10
＝＝＝2.
5
1＋?－2?
2
答案：2
14．已知函数y＝2sin(ωx＋ θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x
1
，x
2，若|x
1
－x
2
|的最小值为π，则ω＝________，θ＝__ ______.

π
解析：由已知T＝π，∴ω＝2，θ＝kπ＋(k∈Z)．
2
答案：2
π

2
三、解答题(本题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1
15．(本小题满分12分)已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
5
(1)求sin Acos A；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
1
解：(1)∵sin A＋cos A＝①，
5
∴①式两边平方得1＋2sin Acos A＝
12
∴sin Acos A＝－.
25
12
(2)由(1)sin Acos A＝－，且A∈(0，π)，可得sin A>0，cos A<0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三
25
角形．
(3)∵(sin A－cos A)
2
＝1－2sin Acos A＝1＋
2449
＝，又sin A>0，cos A<0，
2525
1
，
25
7434
∴sin A－cos A>0，∴sin A－cos A＝②，∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，∴tan A＝－.
5553
π
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1＋2·sin2x－.
4
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
ππ
－，
?
上的图象． (2)画出函数y＝f(x)在区间
??
22
?
解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝
2π
＝π ，
2
π
2x－
?
＝1时，f(x)取得最大值1＋2. 当sin
?
4
??
(2)由(1)知：
x
y
π
－
2
2
－
3π

8
π
－
8
1－2
π

8
1
3π

8
1＋2
π

2
2 1
ππ
－，
?
上的图象如图所示． 故函数y＝f(x)在区间
?
?
22
?

π
π
17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝3sinωx＋，ω＞0，x∈(－∞，＋∞ )，且以为最小正周期．
62
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
α
π
?
9
(3)已知f
?
?
4
＋
12
?
＝
5
，求sinα的值．
π
3
解：(1)由题设可知f(0)＝3sin＝.
62
π
(2)∵f(x)的最小正周期为，
2
2π
∴ω＝＝4.
π
2
π
4x＋
?
. ∴f(x)＝3sin
?6
??
απ
?
ππ
9
＋
＝3sin
?
α＋
＋
?
＝3cos α＝， (3)由f
?
?
4 12
??
36
?
5
3
∴cos α＝.
5
4
∴sin α＝±1－cos
2
α＝±
.
5
π
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，且ω>0, 0<φ<的部分图象如图所示．
2

(1)求A，ω，φ的值；
5π
0，
?
上有两个不同的实根，试求a的取值范围． (2)若方程f(x )＝a在
?
3
??
解：(1)由图象易知A＝1，函数f(x)的周期为 < br>7π2π
?
T＝4×
?
?
6
－
3
?
＝2π，∴ω＝1.
2ππ
∵π－＝，
33
ππ
∴此函数的图象是由y＝sin x的图象沿x轴向左平移个单位长度得到的，故φ＝.
33
π
x＋
?
. (2)由(1)知函数解析式为f(x)＝sin
?
?
3
?
5π
5
0，
?
上有两个 不同的实根等价于y＝f(x)，x∈
?
0，
π
?
与y＝a有两个交 点．
∴方程f(x)＝a在
?
3
???
3
?
当x ＝0时，f(x)＝
3
，
2

∴a∈
?
3< br>，1
?
时，y＝a与y＝f(x)有两个交点；
?
2
?
5
当x＝
π时，f(x)＝0，
3
∴a∈(－1,0)时，y＝a与y＝f(x)也有两个交点，
故所求a∈

?
3
，1
?
∪(－1,0)．
?
2
?
阶段质量检测(二)

(A卷 学业水平达标)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(全国卷Ⅰ)设D为△ABC 所在平面内一点，
???
BC
?
＝3
???
CD
?
，则( )

A．
???
A D
?
＝－
1
????
4
????
3
AB< br>＋
3
AC

B．
???
AD
?
＝< br>1
????
4
????
3
AB
－
3
AC

C．
???
AD
?
＝
4
????
3
AB
?
＋
1
???
3
AC

D．
???
AD
?
＝
4
????
?< br>3
AB
－
1
???
3
AC

答案：A
2．(全国甲卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b ，则m＝(
A．－8 B．－6
C．6 D．8
答案：D
3．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是( )
A.
π
6
B.
π
4

C.
π
3
D.
π
2

答案：B
4．在△ABC中，D为BC边的中点，已知
???
AB
?
＝a，
???
AC
?
＝b，则下列向量中与
???
AD
?
同向的是( )
A.
a＋b
B.
ab
|a＋b|

|a|
＋
|b|

C.
a－b
|a－b|
D.
a
|a|
－
a
|b|

)

答案：A
????????????
???
?
?? ???
???
5．已知边长为1的正三角形ABC中，
BC
·
CA< br>＋
CA
·
AB
＋
AB
·
BC
的值为 ( )
1
A.
2
3
C.
2
答案：D
1
B．－
2
3
D．－
2
????1
????
2
????????
????
6．已知平面内不共线 的四点O，A，B，C满足
OB
＝
OA
＋
OC
，则|
AB
|∶|
BC
|＝( )
33
A．1∶3
C．1∶2
答案：D
B．3∶1
D．2∶1
??? ??
???????????????
???
?
7．P是△ABC所在平面上 一点，若
PA
·
PB
＝
PB
·
PC
＝PC
·
PA
，则P是△ABC的( )
A．内心
C．垂心
答案：C
8．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b －c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1
C.2
答案：C
B．2
D.
2

2
B．外心
D．重心
????????
MD
9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝ 45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则
MA
·
＝( )
A．1
C．3
答案：B
10.如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，
B．2
D．4
?
????????
???
若P为半径 OC上的动点，则(
PA
＋
PB
)·
PC
的最小值是( )
99
A. B．9 C．－ D．－9
22
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
????
????
11．在直角坐标系xOy中，
AB
＝(2,1)，
AC
＝(3，k)，若三 角形ABC是直角三角形，则k的值为
________．
答案：－6或－1
????????
BD
＝________. 12．在边长为2的菱形ABCD中， ∠BAD＝60°，E为CD的中点，则
AE
·
答案：1

1 3．如图，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域(不含边界)内运动，
????????????
1
且
OP
＝x
OA
＋y
OB
，则x的取值范围是______．当x＝－时，y的取值范围是________．
2

13
?
答案：(－∞，0)
?
?
2
，
2
?

14．在平面直角坐标系 中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一
???????????? ????????????
实数λ，使得
OC
＝λ
OA
＋(1－λ)
OB
成立，此时称实数λ为“向量
OC
关于
OA
和
OB
的终点共线分解
????????????????
系数”．若已知P
1
(3,1)，P
2
(－1,3)，且向量
OP
3
与向量a＝ (1,1)垂直，则“向量
OP
3
关于
OP
1
和
O P
2
的终
点共线分解系数”为________．
答案：－1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.
整理得x
2
－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，
解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2；
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴a－b＝(2，－4)，
∴|a－b|＝4＋16＝25.
综上所述，|a－b|为2或25.
????? ???
16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，
AB
＝a，
AD
＝b，H，M分别是AD，DC的
1
中点，BF＝BC.
3

?????????
(1)以a，b为基底表示向量
AM
与< br>HF
；
?????????
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角 为120°，求
AM
·
HF
.
解：(1)∵M为DC的中点， < br>????
????????
1
????
?
∴
DM＝
DC
，又
DC
＝
AB
，
2
??? ???????????????
1
????
1
∴
AM
＝< br>AD
＋
DM
＝
AD
＋
AB
＝a＋b， 22
????
????
1
∵H为AD的中点，BF＝BC，
BC
＝
AD
，
3
????
1
????????
1
????
∴
AH
＝
AD
，
BF
＝AD
，
23
????????????????
∴
HF
＝
HA
＋
AB
＋
BF

?????
1< br>????
1
???
＝－
AD
＋
AB
＋
AD

23
????
1
????
1
＝
A B
－
AD
＝a－b.
66
(2)由已知得a·b＝3×4×cos 120°＝－6，
?????????
1
?
a－
1
b
?
< br>a＋b
?
·
AM
·
HF
＝
?
?2
??
6
?
1
11
2
1－
?
a·＝a
2
＋
?
b－b
?
12
?
26< br>1111
＝×3
2
＋×(－6)－×4
2

2126
11
＝－.
3
17．(本小题满分12分)在平面直角坐 标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
????????
????
(2)设实数t满足(
AB
－t
OC
)·
OC< br>＝0，求t的值．
????
????
解：(1)由题设知
AB
＝(3,5)，
AC
＝(－1,1)，
??
????
???????
???
则
AB
＋
AC
＝(2,6)，
AB
－
AC
＝(4,4)．
??
????
???
????
???
所以|
AB
＋
AC
|＝210，|
AB
－
AC
|＝42.
故所求的两条对角线长分别为42，210.
????
(2)由题设知
OC
＝(－2，－1)，
????
????
AB
－t
OC
＝(3＋2t,5＋t)．
????????
????
OC
＝0， 由(
AB
－tOC
)·
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，
即(3＋2t)×(－2)＋(5＋t)×(－1)＝0，
11
从而5t＝－11，所以t＝－.
5

????????
18．(本小题满分14分)已知e
1
，e
2
是平面内两个不共线的 非零向量，
AB
＝2e
1
＋e
2
，
BE
＝ －e
1
＋λe
2
，
????
EC
＝－2e
1
＋e
2
，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
?? ??
(2)若e
1
＝(2,1)，e
2
＝(2，－2)，求
BC
的坐标；
(3)已知D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针 顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
解：(1)
???
AE
?
＝
???
AB
?
＋
???
BE
?
＝(2e< br>1
＋e
2
)＋(－e
1
＋λe
2
)＝e1
＋(1＋λ)e
2
.
∵A，E，C三点共线，
∴存在实数 k，使得
???
AE
?
＝k
???
EC
?
，
即e
1
＋(1＋λ)e
2
＝k(－2e
1
＋e
2
)，得(1＋2k)e
1
＝(k－1－λ)e
2
.
∵e
1
，e
2
是平面内两个不共线的非零向量，
∴
?
?
?
1＋2k＝0，
1
?
?
λ＝k－1，
解得k＝－
2
，λ＝－
3
2
.
(2)???
BC
?
＝
???
BE
?
＋
?? ?
EC
?
＝－3e
1
1
－
2
e
2
＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)∵A，B，C，D四点按逆时针顺 序构成平行四边形，
∴
???
AD
?
＝
???
B C
?
.
设A(x，y)，则
???
AD
?
＝(3－x,5－y)，
∵
???
BC
?
＝(－7，－2)，
∴
?
?
?
3－x＝－7，
?
?
x＝10，
?
?
5－y＝－2，

解得
?
?
?
y＝7，


即点A的坐标为(10,7)．
(B卷 能力素养提升)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．化简
???
AC
?
－
???
BD
?
＋
???
CD?
－
???
AB
?
得( )
A．
???
AB
?
B．
???
DA
?

C．
???
BC
?
D．0
解析：选D
? ??
AC
?
－
???
BD
?
＋
???CD
?
－
???
AB
?

＝
???< br>AC
?
＋
???
CD
?
－(
???
AB
?
＋
???
BD
?
)＝
???
AD< br>?
－
???
AD
?
＝0.
2．已知向量a与b的夹角为
π
3
，|a|＝2，则a在b方向上的投影为(
A.3 B.2
C.
2
2
D.
3
2

)

π
2
解析：选C a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝2cos ＝.选C.
32
????????
3．向量
BA
＝(4，－3)，
BC
＝(2，－4)， 则△ABC的形状为( )
A．等腰非直角三角形
B．等边三角形
C．直角非等腰三角形
D．等腰直角三角形
????????
???
????????
?
解析：选C
AC
＝
BC
－
BA
＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1) ，而
AC
·(2，－
BC
＝(－2，－1)·
?????????? ??????
4)＝0，所以
AC
⊥
BC
，又|
AC
|≠|
BC
|，所以△ABC是直角非等腰三角形．故选C.
????????< br>4．若
OF
1
＝(2,2)，
OF
2
＝(－2,3) 分别表示F
1
，F
2
，则|F
1
＋F
2
| 为( )
A．(0,5)
C．22
B．25
D．5
解析：选D ∵F
1
＋F
2
＝(0,5)，∴|F
1
＋F
2
|＝0
2
＋5
2
＝5.
5．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4
C．2
B．3
D．0
解析：选D 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
6．设向量a＝(－1 ,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )
7
A．－
2
3
C.
2



1
B．－
2
5
D.
2
1
解析：选C 可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.
2
7．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A.3
C．4
解析：选B 因为|a|＝2，|b|＝1，
∴a·b＝2×1×cos 60°＝1.
∴|a＋2b|＝a
2
＋4×a·b＋4b
2
＝23.
B．23
D．12
????????????????????
8．如图，非 零向量
OA
＝a，|a|＝2，
OB
＝b，a·b＝1，且
BC⊥
OA
，C为垂足，若
OC
＝λa，则λ
为( )

1
A.
2

1
B.
3

1
C.
4
D．2
????????????????
a·b
解析：选C 设a与b的夹角为θ.∵|< br>OC
|就是
OB
在
OA
上的投影|b|cos θ，∴|
OC
|＝|b| cos θ＝＝
|a|
a·b
1
λ|a|，即λ＝
2
＝，故选C.
|a|4
9．若e
1
，e
2
是平面内夹角为60°的两个单 位向量，则向量a＝2e
1
＋e
2
与b＝－3e
1
＋2e< br>2
的夹角为( )
A．30°
C．90°
B．60°
D．120°
17
解析：选D e
1
·e
2
＝|e
1
||e
2
|cos 60°＝，a·b＝(2e
1
＋e
2
)·(－3e
1
＋2e
2
)＝－，|a|＝?2e
1
＋e
2
?
2
＝
22
4＋4e
1
·e
2
＋1＝7，|b|＝?－3e1
＋2e
2
?
2
＝9－12e
1
·e
2
＋4＝7，所以a，b的夹角的余弦值为cos〈a，b〉
7
－
2
a·b
1
＝＝＝－，所以〈a，b〉＝120°.故选D.
|a||b|2
7×7
?????
????????
???
?????
???????
ACAC
1
ABAB
?
＋
???
?·
????
·
?
＝，则△ABC为10．在△ABC中，已知向量
AB
与
AC
满足
???
BC
＝0且
???
|
AB
|
|
AC
|
|
AB
|
|
AC
|
2
( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
????
????
??
????
???
?
AB
AC
????
?
＋
????
?
·解析：选D 非零向量
AB< br>与
AC
满足
?
???
BC
＝0，即∠A的平分线垂直 于BC，∴AB
?
|
AB
|
|
AC
|
?< br>＝AC.
?
????
???
AC
1
AB
?
·
????
＝，∴∠A＝
π
， 又cos A＝
???3
|
AB
|
|
AC
|
2
所以△ABC 为等边三角形，选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
????? ???
????
11．若向量
AB
＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·
AC
＝7，那么n·
BC
＝________.
????????
???
????
?????
解析：n·(
AC
－
A B
)＝n·
BC
＝n·
AC
－n·
AB
＝7－5＝ 2.
答案：2
12．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝1，则a·b的取值范围为________．
解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝2cos θ，
又∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[－1,1]，即a·b∈[－2,2]．
答案：[－2,2]
?
????< br>???
13．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则
AP
·
AC
＝________.

??????
? ??
?
????
???
????
???
?????
???
????????
解析：设AC∩BD＝O，则
AC
＝2(
A B
＋
BO
)，
AP
·
AC
＝
AP
·2(
AB
＋
BO
)＝2
AP
·
AB
＋2
?
????
???
????????????????????????2
(
AP
＋
PB
)＝2|
AP
|＝18. < br>AP
·
BO
＝2
AP
·
AB
＝2
A P
·
答案：18
14．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；
③非零向量a和b满足|a |＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写
出所有真命题的序号)
解析：①a·b＝a·c?a·(b－c)＝0，表明a与b－c向量垂直，不 一定有b＝c，所以①不正确；对于②，
当a∥b时，1×6＋2k＝0，则k＝－3，所以②正确；结 合平行四边形法则知，若|a|＝|b|＝|a－b|，则|a|，|b|，
|a－b|可构成一正三角 形，那么a＋b与a的夹角为30°，而非60°，所以③错误．
答案：②
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

????????
15．(本小题满分12分)已知
OA
＝a，
OB
＝b，对于任意点M关于A点的对称点为S，S点关于B
点的对称点为N.
?????
(1)用a，b表示向量
MN
；
?????
( 2)设|a|＝1，|b|＝2，|
MN
|∈[23，27]，求a与b的夹角θ的取值范围．
解：(1)依题意，知A为MS的中点，B为NS的中点．
???????????????
∴
SN
＝2
SB
，
SM
＝2
SA
.
????????????????????
?????
???
????
∴
MN
＝
SN
－
SM
＝2(
SB
－
SA
)＝2
AB
＝2(
OB
－
OA
)＝ 2(b－a)．
?????
(2)∵|
MN
|∈[23，27]，
?????
2
∴
MN
∈[12,28]，∴12≤4(b－a)
2
≤28.
∴3≤4＋1－2a·b≤7，∴－1≤a·b≤1.
∵cos θ＝
a·ba·b
11
＝，∴－≤cos θ≤.
|a||b|222π2π
?
π2π
∵0≤θ≤π，∴≤θ≤，即θ的取值范围为
?
?
3
，
3
?
.
33
1
16．(本小题满 分12分)已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB.
2
求证：AC⊥BC.
证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系， 如
设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
图，

????????
∴
BC
＝(－1,1)，
AC
＝(1,1)，
????????????????
BC
·
AC
＝ －1×1＋1×1＝0，∴
BC
⊥
AC
，
∴BC⊥AC.
17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cos 2x)，b＝(1＋sin 2x，1)，x∈R，且y
π
?
＝f(x)的图象经过点
?
?
4
，2
?
.求实数m的值．
解：f(x)＝a·b＝m(1＋sin 2x)＋cos 2x，
π
??
1＋sin
π
?
＋cos
π
＝2， 由已知得f
?
＝m
2
??
4
??
2
解得m ＝1.
18．(本小题满分14分)(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋ b)＝61，求a与b的夹角；
????????????????
????????
(2)设
OA
＝(2,5)，
OB
＝(3,1)，
OC
＝ (6,3)，在
OC
上是否存在点M，使
MA
⊥
MB
？若存 在，求出
点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝ 4a
2
－4a·b－3b
2
＝61.
∵|a|＝4，|b|＝3，
∴a·b＝－6，
∴cos θ＝
－6
a·b
1
＝＝－，
|a||b|
4×3
2
∴θ＝120°.
?????????(2)假设存在点M，且
OM
＝λ
OC
＝(6λ，3λ)(0<λ≤1) ，
????????
∴
MA
＝(2－6λ，5－3λ)，
MB＝(3－6λ，1－3λ)，
∴(2－6λ)×(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
111
∴45λ
2
－48λ＋11＝0，得λ＝或λ＝.
315< br>??????????
2211
?
∴
OM
＝(2,1)或OM
＝
?
?
5
，
5
?
.
2 211
?
∴存在M(2,1)或M
?
?
5
，
5?
满足题意.

阶段质量检测(三)


(A卷 学业水平达标)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
cos 2x＋sin 2x
1．函数y＝的最小正周期为( )
cos 2x－sin 2x
A．2π B．π

π
C.
2
答案：C
π
D.
4
3
2．已知α是第二象限角，且cos α＝－，则
5
π
?
cos
?
?
4
－α
?
的值是( )
A.
2

10
B．－
2

10
72
C.
10
答案：A
72
D．－
10
β
4
3．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β是第三象限角，则cos的值等于( )
52
5
A．±
5
C．－
5

5
25
B．±
5
25
D．－
5
答案：A
34
4．设sin θ＝，cos θ＝－，则2θ的终边所在的象限是( )
55
A．第一象限
C．第三象限
答案：D
5．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)的值为( )
1
A.
4
C．4
答案：C
1
6．若函数g(x)＝asin xcos x(a>0)的最大值为，则函数f(x)＝sin x＋acos x的图象的一条对称轴方程为
2
( )
A．x＝0







B．x＝－
3π

4


1
B.
2
D．12
B．第二象限
D．第四象限
π
C．x＝－
4
答案：B
5π
D．x＝－
4
A＋B
7．在△ABC中，已知tan＝sin C，则△ABC的形状为( )
2
A．正三角形
C．直角三角形
B．等腰三角形
D．等腰直角三角形

答案：C
cos 2α
2
8．若＝－，则sin α＋cos α的值为( )
π
2
α－
?
sin
?
?
4
?
A．－
1
C.
2
答案：C
9．已知sin α－cos α＝－
A．－5
C．－7
答案：D
x
2sin
2
－1
2
π
?
10．若f(x)＝2tan x－，则f
?
?
12
?
的值为( )
xx
sincos
22
43
A．－
3
C．43
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是________．
答案：
15

7
B．8
D．－43
51
，则tan α＋的值为( )
2tan α
B．－6
D．－8
7

2


1
B．－
2
D.
7

2
12．tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________.
答案：3
π
11
，π
?
，13．已知θ∈
?
＋
?
2
?sin θcos θ
＝22，则
π
2θ＋
?
的值为________． sin
?
3
??
1
答案：
2
sin 2x＋2cos
2
x
14．已知(sin x－2cos x)(3＋2sin x＋2cos x)＝0，则的值为________．
1＋tan x
2
答案：
5
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
π
?
15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a＋2cos
2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且f
?
?
4
?
＝0，其中 a∈R，θ

∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
α
?< br>2
?
π
，π
?
，求sinα＋
π
的值． ( 2)若f
?
＝－，α∈
?
4
??
2
?
53
解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos
2
x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y
1
＝a＋2cos
2
x为偶函数，
所以y
2
＝cos(2x＋θ)为奇函数，
π
又θ∈(0，π)，则θ＝，
2
所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos
2
x)．
π
?
由f
?
?< br>4
?
＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.
1
(2)由(1)得， f(x)＝－sin2x·(2cos
2
x－1)＝－sin 4x，
2
α
?
124
因为f
?
＝－sin α＝－，即sin α＝，
?
4
?
255
π
3
， π
?
，从而cos α＝－， 又α∈
?
?
2
?
5
π
ππ
4－33
α＋
?
＝sin αcos＋cos αsin＝所以sin
?
.
?
3
?
3310
π
3x＋
?
. 16．( 本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin
?
4
??
(1)求f(x)的 单调递增区间；
α
?
4
π
(2)若α是第二象限角，f
?
＝cosα＋·cos 2α，求cos α－sin α的值．
?
3
?< br>54
ππ
－＋2kπ，＋2kπ
?
，k∈Z. 解：(1)因为函数y＝sin x 的单调递增区间为
?
2
?
2
?
πππ
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
242
π
2kπ
π
2kπ
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
43123
所以函数f(x)的单调递增区间为
?
－
π
＋
2kπ
，
π
＋
2kπ
?
，k∈Z.
?< br>43123
?
π
4
π
α＋
?
＝cos
?
α＋
?
(cos
2
α－sin
2
α)， (2)由已知sin
?
?
4
?
5
?
4
?
ππ
得sin αcos＋cos αsin
44
ππ
4
cos αcos－sin α sin
?
(cos
2
α－sin
2
α)，
＝
?
44
?
5
?
4
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)
2
(sin α＋cos α)．
5
当sin α＋cos α＝0时，

由α是第二象限角，知α＝
3π
＋2kπ，k∈Z.
4
此时，cos α－sin α＝－2.
5
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)
2
＝.
4
由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，
此时cos α－sin α＝－
5
.
2
5
.
2
综上所述，cos α－sin α＝－2或－
x
π
?
π
＋
，x∈R，且f??
＝2. 17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Acos
?
?46
??
3
?
(1)求A的值；
π
42
30 8
0，
?
，f
?
4α＋
π
?
＝－
，f
?
4β－
π
?
＝
，求cos(α＋β)的值． (2) 设α，β∈
?
3
?
3
?
5
?
2
? ?
17
?
π
??
1
×
π
＋
π?
＝Acos
π
＝
2
A＝2，所以A＝2. 解：(1)因为 f
?
＝2，所以Acos
?
3
??
436
?
42
x
π
?
(2)由(1)知f(x)＝2cos
?
?< br>4
＋
6
?
，
4π
ππ
4α＋
?< br>＝2cos
?
α＋
＋
?
f
?
3
???
36
?
3015
＝－2sin α＝－，所以sin α＝，
1717
π
8
0，
?
，所以cos α＝； 因为α∈?
?
2
?
17
2π
ππ
4β－
?＝2cos
?
β－
＋
?
又因为f
?
3
???
66
?
84
＝2cos β＝，所以cos β＝，
55
π
3
0，
?
，所以sin β＝. 因为β∈
?
?
2
?
5
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝
8415313
×－×＝－.
17517585
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝23sin xcos x＋2cos
2
x－1(x∈R)．
π
0，
?
上的最大值和最小值； (1)求函数f(x)的最小正周期及在区 间
?
?
2
?
ππ
?
6
(2)若f(x0
)＝，x
0
∈
?
?
4
，
2
?
，求cos 2x
0
的值．
5
解：(1)由f(x)＝23sin xcos x＋2cos
2
x－1，得
f(x)＝3(2sin xcos x)＋(2cos
2
x－1)
＝3sin 2x＋cos 2x

π
2x＋
?
. ＝2sin
?
6
??
∴函数f(x)的最小正周期为π.
ππππ π
2x＋
?
在区间
?
0，
?
上为增函数，在区间< br>?
，
?
上为减函数，又f(0)＝1，f
??
＝2， ∵f( x)＝2sin
?
6
???
6
??
62
??
6
?
π
??
0，
π
?
上的最大值为2，最小值为 －1. f
?
＝－1，∴函数f(x)在区间
?
2
??
2< br>?
π
2x
0
＋
?
. (2)由(1)可知f(x0
)＝2sin
?
6
??
6
又∵f(x
0)＝，
5
π
3
2x
0
＋
?
＝. ∴ sin
?
6
?
5
?
ππ
?
π
2π 7π
，
，得2x
0
＋∈
?
，
?
. 由x< br>0
∈
?
6
??
42
?
6
?
3
π
2x
0
＋
?
＝－从而cos
?
6??
4
＝－.
5
π
2x
0
＋
?
1－sin
2
?
6
??
?
2x
0
＋
π
?
－π
?
∴cos 2x
0
＝cos
?
6
?6
??
?
ππ
ππ
2x
0
＋
?
cos＋sin
?
2x
0
＋
?
sin ＝cos
?
6
?
6
6
?
6
??
＝
3－43
.
10
(B卷 能力素养提升)
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°的值为( )
A．0
C.
3

2


1
B.
2
1
D．－
2
解析：选B 因为cos 24°sin 54°－cos 66°sin 36°＝cos 24°sin 54°－sin 24°cos 54°＝sin(54°－24°)＝sin
1
30°＝，故选B.
2
2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( )
A．0
C．±1
B．1
D．－1
解析：选B 由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.

3．下列各式中，值为－
A．2sin 15°cos 15°
C．2sin
2
15°－1
3
的是( )
4


B．cos
2
15°－sin
2
15°
1
D.－cos
2
15°
2
3
.
4
解析：选D 用二倍角公式求解可知，只有D的结果为－
ππ
3
0，
?
，若sin α＝，则2cos
?
α＋
?
等于( ) 4．设α∈
?
?
2
??
4
?
5
7
A.
5
7
C．－
5
1
B.
5
1
D．－
5
4
πππ
43
解析：选B 依题意可得cos α＝，∴2cosα＋＝2·cos αcos－2sin αsin＝cos α－sin α＝－＝
544455
1
.
5
π
π
β－
?
＝4，那么tanα＋的值等于( ) 5 ．设tan(α＋β)＝5，tan
?
?
4
?
4
9
A．－
19
1
C.
19
1
B.
21
9
D.
21
π
β－
?
tan?α＋ β?－tan
?
?
4
?
5－4
ππ
1
α＋
?
＝tan
?
?α＋β?－
?
β－
??
＝ 解析：选B tan
?
＝＝.
?
4
???
4
??
π
?
1＋5×4
21
?
1＋tan?α＋β?·tan?
β－
4
?
6．在△ABC中，若tan Atan B＋tan A＋tan B＝1，则cos C的值是( )
A．－
1
C.
2
2

2


B.
2

2
1
D．－
2
解析：选A 由tan Atan B＋tan A＋tan B＝1，得
tan A＋tan B＝1－tan Atan B，
所以tan(A＋B)＝
tan A＋tan B
＝1.
1－tan Atan B
又tan(A＋B)＝－tan C，所以tan C＝－1，
所以C＝
3π3π2
，cos C＝cos＝－.
442
π
0，
?
的最小值为( ) 7．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈
?
?
2
?
A．－2
C．－2
B．－3
D．－1

ππ
x－
?
，x∈
?
0，
?
. 解析：选D f(x)＝2sin
?
?
4
??
2
?
π
πππ
－
?
＝－1 . ∵－≤x－≤.∴f(x)
min
＝2sin
?
?
4
?
444
8．已知α、β为锐角，且cos α＝
3π
A.
4
π3π
C.或
44
11
，cos β＝，则α＋β的值是( )
105
π
B.
3
π2π
D.或
33
11
，cos β＝，
105
解析：选A ∵α、β为锐角，且cos α＝
∴sin α＝1－cos
2
α＝
32
，sin β＝1－cos
2
β＝
.
105
11322
×－×＝－.
2
105105
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝
∵0<α＋β<π，∴α＋β＝
3π
.
4
A
9．在△ABC中，若sin Bsin C＝cos
2
，则此三角形为( )
2
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
A
解析：选B ∵sin Bsin C＝cos
2
，
2
∴sin Bsin C＝
1＋cos A
，
2
可得2sin Bsin C＝1＋cos[π－(
B
＋
C
)]，
即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)．
∴cos(B－C)＝1.又角B、角C为△ABC的内角，
∴B－C＝0，即B＝C.故选B.
2
π
?
2
10．已知 函数f(x)＝sinx＋cos
?
?
3
x－
6
?
，对任意实数α，β，当f(α)－f(β)取最大值时，|α－β|的最小值
3
是( )
A．3π
4π
C.
3
3π
B.
2
2π
D.
3
2
π
?
2
π2
π
22
x－
＝sinx＋sin
?
x＋
?< br>＝3sin
?
x＋
?
. 解析：选B f(x)＝sinx＋cos< br>?
?
36
??
33
??
36
?
33
又当f(α)－f(β)取最大值时，|α－β|的最小值是函数f(x)的最小正周期的一半，而函数 的最小正周期T

＝
2π
＝3π，从而选B.
2
3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
x
11．函数f(x)＝2cos
2
＋sin x的最小正周期是________．
2
π
x＋
?
， 解析：化简 得f(x)＝1＋2sin
?
?
4
?
2π
∴T＝＝2π.
1
答案：2π
π3π
23
，π
?
，cos β＝－，β∈
?
π，
?
，则cos(α＋β)＝________. 12．已知sin α＝，α∈
?
2
??
2
??
34
π
2
，π
?
， 解析：因为sin α＝，α∈
?
2
??
3
所以cos α＝－1－sin
2
α＝－
5
.
3
3π
3
π，
?
， 因为cos β＝－，β∈
?
2
??
4
所以sin β＝－1－cos
2
β＝－
7
.
4
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝
－
35＋27
答案：
12
?
?
5
?
?
3
?
2
?
7
?
35＋27
×< br>?
－
4
?
－×
－
＝.
3
?
4
?
12
3
?
π
33
0，
?
， 则α＋β＝________. 13．sin α＝，cos β＝，其中α，β∈
?
?2
?
55
π
33
0，
?
，sin α＝，cos β＝， 解析：∵α，β∈
?
?
2
?
55
44
∴cos α＝，sin β＝.
55
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.
π
π
0，
?
，∴0<α＋β<π，故α＋β＝. ∵α，β∈
?
?
2
?
2
π
答案：
2
14．cos 6·tan 6的符号为________(填“正”“负”或“不确定”)．
3π
解析：∵
<6<2π，∴6是第四象限角．
2
∴cos 6>0，tan 6<0，则cos 6·tan 6<0.
答案：负
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

π
π
－θ
?
＋sin
3
－θ的值． 15．(本小题满分12分)已知sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－2，求cos
3
?
?
2
?
2
ππ
－θ
?
＋si n
3
?
－θ
?
解：cos
3
?
?
2
??
2
?
＝sin
3
θ＋cos
3
θ
＝(sin θ＋cos θ)(sin
2
θ－sin θcos θ＋cos
2
θ)
＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3sin 2x－2sin
2
x.
(1)若点P(1，－3)在角α的终边上，求f(α)的值；
ππ
－，
?
，求f(x)的值域． (2)若x∈
?
?63
?
解：(1)因为点P(1，－3)在角α的终边上，
所以sin α＝－
31
，cos α＝，
22
所以f(α)＝3sin 2α－2sin
2
α＝23sin αcos α－2sin
2
α
＝23×
－
?
?
3
?
1
?
3
?< br>2
＝－3. ×－2×
－
2
?
2
?
2
?
π
2x＋
?
－1， (2)f(x)＝3sin 2x－2sin
2
x＝3sin 2x＋cos 2x－1＝2sin
?
6< br>??
ππ
ππ5π
－，
?
，所以－≤2x＋≤， 因为x∈< br>?
?
63
?
666
π
1
2x＋
?< br>≤1， 所以－≤sin
?
6
??
2
所以f(x)的值域是[－2,1]．
x
π
?
π
＋
，x∈R，且f
??
＝2. 17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Acos
?
?
46
??3
?
(1)求A的值；
π
42
308
0，
?
，f
?
4α＋
π
?
＝－
，f
?
4 β－
π
?
＝
，求cos(α＋β)的值． (2)设α，β∈
?3
?
3
?
5
?
2
??
17
?
π
??
1
×
π
＋
π
?
＝Acos
π
＝
2
A＝2，所以A＝2. 解：(1)因为f
?
＝2， 所以Acos
?
3
??
436
?
42
x
π
?
(2)由(1)知f(x)＝2cos
?
?
4
＋
6
?
，
4π
ππ
4α＋
?
＝2cos
?
α＋
＋
?
f
?
3
???
36
?
3015
＝－2sin α＝－，所以sin α＝，
1717
π
8
0，
?
，所以cos α＝； 因为α∈?
?
2
?
17
2π
ππ
4β－
?＝2cos
?
β－
＋
?
又因为f
?
3
???
66
?

84
＝2cos β＝，所以cos β＝，
55
π
3
0，
?
，所以sin β＝. 因为β∈
?
?
2
?
5
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝

π5π
|φ|<
?
，且f
??
＝－1. 18．(本小题满 分14分)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)
?
?
2
??
6< br>?
(1)求φ的值；
ππ
35
πππ
β＋
?
＝，且<α<，0<β<，求cos
?
2α＋2β－
?
的值． (2)若f (α)＝，f
?
6
??
5
?
12
?
136 34
5π
?
解：(1)∵f(x)＝sin(2x＋φ)，且f
?
?
6
?
＝－1，
5π3π
∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
62
ππ
∵|φ|<，∴φ＝－.
26
π
2x－
?
. (2)由(1)得f(x)＝sin
?
6
??
πππ
∵<α<，0<β<，
634
π
π
ππ
?
，
，2β∈
?
0，
?
. ∴2α－ ∈
?
?
2
?
6
?
62
?
π
35
β＋
?
＝， ∵f(α)＝，f
?
5
?
12
?
13
π
35
2α－
?
＝，sin 2β＝， ∴ sin
?
6
?
5
?
13
π
412
2α－
?
＝，cos 2β＝， ∴cos
?
6
?
5
?
13
πππ
?
2α－
π
?
sin 2β＝
33
.
2α＋2β－
?
＝cos
?
2α－ ＋2β
?
＝cos
?
2α－
?
·∴cos
?
cos 2β－sin
6
?
66
?
6
??????
65

8415313
×－×＝－.
17517585