高中数学几本书苏-高中数学教师三严三实
高中数学人教A版必修4测试题
一、选择题
1.已知△ABC中,tan A=-
12
A.
13
5
,则cos A等于
12
55
B. C.-
1313
( )
12
D.-
13
( )
2.已知向量a=(2,1),a+b=(1,k),若a⊥b,则实数k等于
1
A.
B.-2 C.-7 D.3
2
→→
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则AB·AC等于
A.-16
( )
B.-8 C.8
D.16
π
4.已知sin(π-α)=-2sin(+α),则sin αcos α等于
( )
2
22
A. B.-
55
221
C.或- D.-
555
π
5.函数y=Asin(ωx+φ)
(ω>0,|φ|<,x∈R)的部分图象如图所示,则函数表达式为( )
2
ππ
?
A.y=-4sin
?
?
8
x+
4
?
ππ
?
B.y=4sin
?
?
8
x-
4<
br>?
ππ
?
C.y=-4sin
?
?
8x-
4
?
ππ
?
D.y=4sin
?
?
8
x+
4
?
6.若|a|=2cos
15°,|b|=4sin 15°,a,b的夹角为30°,则a·b等于 ( )
31
A. B.3 C.23 D.
22
ππ<
br>π
-2x+
?
的图象向右平移个单位可以得到函数g(x)的图象,则g
??
等于
7.把函数f(x)=sin
?
3
???
4
?
3
(
)
A.-
3
2
B.
3
2
C.-1 D.1
→→→
1
→→
8.在△A
BC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=CA+λCB,则λ等于( )
3
2112
A. B. C.- D.-
3333
9.若2α+β=π,则y=cos β-6sin α的最大值和最小值分别是
11
A.7,5 B.7,-
2
11
C.5,-
D.7,-5
2
( )
1
π4π
10.已知向量a=(sin(α+),1),b=(4,4cos
α-3),若a⊥b,则sin(α+)等于( )
63
3131
A.-
B.- C. D.
4444
π
11.将函数f(x)=sin(ω
x+φ)的图象向左平移个单位,若所得图象与原图象重合,则ω的值不
2
可能等于
A.4
( )
B.6 C.8
D.12
→→→→→
12.已知向量OB=(2,0),OC=(2,2),CA=(2cos
α,2sin α),则OA与OB夹角的范围是( )
π
?
π
,
5π
?
0,
?
A.
?
B.
?
4
?
?
412
?
π
5π
??
5π
,
π
?
,
C.
?
D.
?
1212
??
122
?
二、填空题
2
010°=________.
1
,1+sin
θ
?
(θ为锐角),且a∥b,则tan θ=________.
14.已知向量a=(1-sin θ,1),b=
?
?
2
?
→→<
br>15.已知A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量AB在CD上的投影
为________.
ππ
16.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ
≤)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离
22
1
为22,且过点(2,-),
则函数f(x)=________.
2
三、解答题
3
17.已知向量a=(sin x,),b=(cos x,-1).
2
(1)当a∥b时,求2cos
2
x-sin 2x的值;
π
(2)求f(x)=(a+b)·b在[-,0]上的最大值.
2
18.设向量a=(4cos α,sin
α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).
(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求|b+c|的最大值;
(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.
π
19.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos
θ)互相垂直,其中θ∈(0,).
2
(1)求sin θ和cos θ的值;
2
π
(2)若5cos(θ-φ)=35cos φ,0<φ<,求cos φ的值.
2
20.已知函数f(x)=sin(π-ωx)cos
ωx+cos
2
ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
1
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的
2
π
图象,求函数g(x)在区间[0,]上的最小值.
16
4cos
4
x-2cos
2x-1
21.已知函数f(x)=.
ππ
sin?+x?sin?-x?
44
11
(1)求f(-
π)的值;
12
π
1
(2)当x∈[0,)时,求g(x)=f(x)+sin
2x的最大值和最小值.
42
25
22.已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin
β),|a-b|=.
5
(1)求cos(α-β)的值;
ππ
5
(2)若0<α<,-<β<0,且sin β=-,求sin α.
2213
高中数学人教A版必修4测试题答案
1.D 2.D 3.D 4.B 5.A 6.B 7.D 8.A 9.D 10.B
11.B 12.C
3
1
13.-
2
14.1
210
15.
5
πxπ
(+)
26
3
17.解
(1)∵a∥b,∴cos x+sin x=0,
2
3
∴tan x=-,
2
2cos
2
x-2sin xcos
x
2
2cosx-sin 2x=
sin
2
x+cos
2
x
2-2tan
x
20
==.
1+tan
2
x
13
2
π
(2)f(x)=(a+b)·b=sin(2x+).
24
π3πππ
∵-≤x≤0,∴-≤2x+≤,
2444
π
2
∴-1≤sin(2x+)≤,
42
211
∴-≤f(x)≤,∴f(x)
max
=.
222
18.(1)解 因为a与b-2c垂直,
所以a·(b-2c)=4cos
αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin
β=4sin(α+β)-8cos(α+
β)=0,
因此tan(α+β)=2.
(2)解 由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得
|b+c|=
?sin β+cos β?
2
+?4cos β-4sin
β?
2
=17-15sin 2β≤42.
π
又当β=-+kπ(k∈Z)时,等号成立,
4
所以|b+c|的最大值为42.
(3)证明 由tan αtan
β=16得
19.解 (1)∵a·b=0,
∴a·b=sin θ-2cos θ=0,
即sin θ=2cos θ.又∵sin
2
θ+cos
2
θ=1,
1
∴4cos
2
θ+cos
2
θ=1,即cos
2
θ=
,
5
4
∴sin
2
θ=
.
5
π
255
又θ∈(0,),∴sin θ=,cos θ=.
255
(2)∵5cos(θ-φ)=5(cos θcos φ+sin θ·sin
φ)=5cos φ+25sin φ=35cos φ,
∴cos φ=sin φ.
1
∴cos
2
φ=sin
2
φ=1-cos
2
φ,即
cos
2
φ=
.
2
4
4cos αsin
α
=,所以a∥b.
sin β4cos β
π
2
又∵0<φ<,∴cos φ=.
22
20.解
(1)因为f(x)=sin(π-ωx)cos ωx+cos
2
ωx,
1+cos 2ωx
所以f(x)=sin ωxcos ωx+
2
111
=sin 2ωx+cos 2ωx+
222
π
12
2ωx+
?
+. =sin
?
4
?
2
?
2
2π
由于ω>0,依题意得=π,所以ω=1
.
2ω
π
12
2x+
?
+, (2)由(1)知f(x)
=sin
?
4
?
2
?
2
π
12
4
x+
?
+. 所以g(x)=f(2x)=sin
?
4
?
2
?
2
ππππ
当0≤x≤时,≤4x+≤,
16442
π
2
4x+
?
≤1.
所以≤sin
?
4
??
2
1+2
因此1≤g(x)≤.
2
π
0,
?
上的最小值为1.
故g(x)在区间
?
?
16
?
?1+cos
2x?
2
-2cos 2x-1
21.解 (1)f(x)=
ππ
sin?+x?sin?-x?
44
2
cos2x2cos
2
2x<
br>==
πππ
sin?+x?cos?+x?sin?+2x?
442
2
2cos2x
==2cos 2x,
cos
2x
11π11ππ
∴f(-)=2cos(-)=2cos =3.
1266
π
(2)g(x)=cos 2x+sin 2x=2sin(2x+).
4
πππ3π
∵x∈[0,),∴2x+∈[,).
4444
π<
br>∴当x=时,g(x)
max
=2,当x=0时,g(x)
min
=1
.
8
22.解 (1)∵|a|=1,|b|=1,
|a-b|
2
=|a|
2
-2a·b+|b|
2
=|a|
2
+|b|
2
-2(cos αcos β+sin
αsin β)
=1+1-2cos(α-β)=2-2cos(α-β),
25
2
4
|a-b|
2
=()=,
55
43
∴2-2cos(α-β)=,∴cos(α-β)=.
55
ππ
(2)∵-<β<0<α<,
22
∴0<α-β<π.
5
34
由cos(α-β)=得sin(α-β)=,
55
512
由sin β=-得cos β=.
1313
∴sin
α=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
4123533
=×+×(-)=.
51351365
6