高中数学必修四向量试题(附解析)

高中数学必修四向量试题(附解
析)

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2

向量专项练习参考答案
一、选择题
1．( 文)(2014·郑州月考)设向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a与b共线且方向相反，则
m的值为( )
A．－1
C．－2
[答案] A
[解析] 设a＝λb(λ<0)，即m＝λ且1＝λm.解得m＝±1，由于λ<0，∴m＝－1.
[点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
1
，y
2
)，
则a∥b?x
1< br>y
2
－x
2
y
1
＝0，当a，b都是非零向量时，a ⊥b?x
1
x
2
＋y
1
y
2
＝0，同时还 要注意a∥b
x
1
y
1
与＝不等价．
x
2
y
2
2．证明共线(或平行)问题的主要依据：
(1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a与b共线(平行)．
(2) a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，若x
1
y
2
－x
2
y
1
＝0，则向量 a∥b.
(3)对于向量a，b，若|a·b|＝|a|·|b|，则a与b共线．
要注意向量平行与直线平行是有区别的．
m
(理)(2013·荆州质检)已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝
n
( )
A．－2
1
C．－
2
[答案] C
[解析] 由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－ 2b＝(4，－1)，
m1
因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－( 3m＋2n)×4＝0，整理得＝－
.
n2
ab
2．(2014·山东青岛 期中)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0
|a||b|
成立的是( )
1
A．a＝－b
3
C．a＝2b
B．a∥b
D．a⊥b
B．2
1
D．
2
B．1
D．2

3

[答案] A
abab
[解析] 由题意得
＝－，而表示与a同向的单位向量，－表示与b反向的单位
|a||b||a||b|
1
向量，则a与b反向．而当a＝－
b时，a与b反向，可推出题中条件．易知B，C，D都< br>3
不正确，故选A.
[警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不 到位从而导致错误，特
a
别对于这些概念：(1)单位向量，要知道它的模长为1，方向同a的 方向；(2)对于任意非零
|a|
向量a来说，都有两个单位向量，一个与a同向，另一个与a 反向；(3)平面内的所有单位
向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相 等向量的大小不仅相
等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反 向量都是
共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量．
→→
3． (2015·广州执信中学期中)在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的
→→→
中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝( )
A．(－2,7)
C．(2，－7)
[答案] B
→→→
[解析] 由条件知，PC
＝2PQ－PA＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)，
→→
∵BP＝2PC＝(－4,14)，
→→→
∴BC＝BP＋PC＝(－6,21)．
→→→
4．在四边形ABC D中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a，b不共线，
则四边形ABC D为( )
A．平行四边形
C．梯形
[答案] C
→→→→→
[解析] ∵AD
＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2BC，
∴四边形ABCD为梯形．
→→→
5．(文)(2014·德州模拟)设OB＝xO A＋yOC，x，y∈R且A，B，C三点共线(该直线不过
点O)，则x＋y＝( )
A．－1 B．1
B．矩形
D．菱形
B．(－6,21)
D．(6，－21)

4

C．0
[答案] B
→→
[解析] 如图，设AB
＝λAC，
D．2

→→→→→→→→
则OB＝OA＋AB＝OA＋λAC＝OA＋λ(OC－OA
)
→→→→→
＝OA＋λOC－λOA＝(1－λ)OA＋λOC

∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
[点评] 用已知向量来表示另外一些向量是用向量 解题的基本功．在进行向量运算时，
要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算 法则进行求解．充分利
用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．
→→
(理)(2013·安庆二模)已知a，b是不共线的两个向量，AB＝xa＋b，AC＝a＋yb(x，y∈R )，
若A，B，C三点共线，则点P(x，y)的轨迹是( )
A．直线
C．圆
[答案] B
[解析] ∵A，B，C三点共线，
→→
∴存在实数λ，使AB＝λAC
.
B．双曲线
D．椭圆 < br>?
?
x＝λ，
则xa＋b＝λ(a＋yb)?
?
?xy＝1， 故选B.
?
1＝λy
?
→
6．(2014·湖北武汉调研)如图所 示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋
→
OQ＝( )



5

→

→

[答案] D
→
B．OG
→
D．FO
[解析] 由平行四边形法则和图示可知，选D.

二、填空题
ππ
－，
?
，若a∥b，则tanα＝________. 7．已知a＝( 2，－3)，b＝(sinα，cos
2
α)，α∈
?
?
22
?
[答案] －
3

3
sinαcos
2
α
[解析] ∵a∥b，∴
＝，∴2cos
2
α＝－3sinα，
2
－3
∴2sin
2
α－3sinα－2＝0，
1
∵|sinα|≤1，∴sinα＝－，
2
ππ
33
－ ，
?
，∴cosα＝，∴tanα＝－
.
∵α∈
?
?22
?
23
8．(文)(2014·宜春质检)如图所示，在△ABC中，H为B C上异于B，C的任一点，M为
→→→
AH的中点，若AM＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝__ ______.

1
[答案]
2
→→→
[分析] 由B，H，C三点共线可用向量AB，AC来表示AH.
→→→→
[解析] 由B，H，C三 点共线，可令AH
＝xAB＋(1－x)AC，又M是AH的中点，所以AM
1
→1
→
1111
→→→→
＝
AH
＝
xAB
＋
(1－x)·AC
，又AM＝λAB＋μAC
.所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.
222222

6

[点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四 边形法则或三角形法则
进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底 确定后，
任一向量的表示都是唯一的．
2π
(理)(2014·河北二调)在△AB C中，AC＝1，AB＝2，A＝，过点A作AP⊥BC于点P，
3
→→→
且AP＝λ AB＋μAC，则λμ＝________.
[答案]
10

49
2π
→→→→→
[解析] 由题意知AB·AC
＝2×1×co s＝－1，∵AP⊥BC，∴AP
·BC
＝0，即(λAB＋
3
→→→
μAC
)·(AC
－AB
)＝0，
5
→→→→
∴(λ－ μ)AB
·AC
－λAB
2
＋μAC
2
＝0，即μ－λ－4 λ＋μ＝0，∴μ＝
λ，①
2
∵P，B，C三点共线，∴λ＋μ＝1，②
?
λ＝
7
由①②联立解得
?
5
μ＝
?
7< br>2

2510
，即λμ＝
×
＝
.
7749
→
9．(文)已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F， AE
11
→→→
＝αAB，AF＝βAC，则＋＝______.
αβ
[答案] 3
→
2
→
1
→→
[解析] 连结AG并延长交BC于D，∵G 是△ABC的重心，∴AG
＝
AD
＝
(AB
＋AC
)，33
→→
设EG＝λGF，
1
→
λ
→→→→→→∴AG－AE＝λ(AF－AG
)，∴AG
＝
AE
＋
AF
，
1＋λ1＋λ
1
→
1
→
α
→
λβ< br>→
∴
AB
＋
AC
＝
AB
＋
AC，
33
1＋λ1＋λ
?
?
1＋λ
＝
3
，
∴
?
λβ
1
＝，
?
?
1＋λ
3

α
1

?
?
α
＝
1＋λ< br>，
∴
?
13λ
＝，
?
?
β
1＋λ< br>13
11
∴＋＝3.
αβ

7

三、解答题
→→→
10．(文)已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、OP＝OA＋tOB，求
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？
(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．
→→→
[解析] (1)OP
＝OA＋tOB＝(t＋2,3t－1)．
1
若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝；
3
若点P在y轴上，则t＋2＝0，∴t＝－2；
?
?
t＋2>0
1
若点P在第四象限，则
?
，∴－2.
3
?
3t－1<0
?
→→
(2)OA
＝(2，－1)，PB＝(－t－ 1，－3t＋4)．
→→
若四边形OABP为平行四边形，则OA＝PB
.

?
?
－t－1＝2
∴
?
无解．
?
?
－3t＋4＝－1
∴ 四边形OABP不可能为平行四边形．
同理可知，当t＝1时，四边形OAPB为平行四边形，当t＝－1时，四边形OPAB为平
行四边形．
(理)已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)，设m＝a＋tb(t为实数)．
π
(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；
4


8

π
(2)若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a －b和向量m的夹角为，若存在，请求
4
出t；若不存在，请说明理由．
π
2232
[解析] (1)∵α＝
，∴b＝(，
)，a·b＝
，
4222
∴|m|＝< br>＝
?a＋tb?
2
＝5＋t
2
＋2ta·b
?t＋
32
2
1
?
＋，
22
t
2
＋32t＋5＝
322
∴当t＝－时，|m|取到最小值，最小值为
.
22


9