2019-2020年高中数学人教A版必修4

2019-2020年高中数学人教A版必修4

1．下列说法中，错误的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：选D.根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A、B、C均正确，D错误．
2．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )

A．1
π
C.
3
π
B.
6
D．π

π
解析：选C.因为弦长等于圆的半径，所以弦所对的圆心角为.
3
5π
3．在半径为8 cm的圆中，的圆心角所对的弧长为( )
3
4020
A.
π cm B.π cm
33
200400
C.
π cm D.π cm
33
5π40π
解析：选A.根据弧长公式，得l＝×8＝ (cm)．
33
4．把角750°化成α＋2kπ(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，则α＝( )
ππ
A. B.
63
π2π
C. D.
123
π25πππ
解析：选A.因为750°＝750×＝＝4π＋，所以α＝.
180666
ππ
5．集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围 (阴影部分)是( )
42

解析：选C.当k＝2m，m∈Z时，
ππ
2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；
42
当k＝2m＋1，m∈Z时，
5π3π
2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，故选C.
42
6．在△ABC 中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为________．
解析：A＋B＋C＝π，

又A∶B∶C＝3∶5∶7，所以A＝
5ππ7π
B＝＝，C＝.
15
3＋5＋7
3
ππ7π
答案：，，
5315
π
＝，
3＋5＋7
5
3π
5π
7．把弧度化成角度数：(1)＝________；
6
(2)－3.16≈________(用度、分、秒表示)．
5π
5
解析：(1)＝×180°＝150°.
66
180
(2)－3.16＝－3.16×()°≈－3.16×57.30°
π
＝－181.068°≈－181°4′5″.
答案：(1)150° (2)－181°4′5″
8．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．
π
1
π
3
解析：因为60°＝ rad，则扇形的面积S＝××3
2
＝
π.
3232
3
答案：
π
2
9．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．
(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．
5π5π
解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋＝－10π＋，是第一象限角．
1212
π π
(2)－60°＋360°·k＝－×60＋2π·k＝－＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．
1803
10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解：由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
π
∴α＝∠AOB＝60°＝.
3
π10π
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
33
11
10π50π
∴S
扇形
＝lr＝××10＝， < br>2233
11503
而S
△
AOB
＝·AB·53＝×10× 53＝，
222
π
3
∴S＝S
扇形
－S
△
AOB
＝50(－)．
32
[B.能力提升]
kπ
π
kπ
π
1．集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则有( )
2442
A．M＝N
C．MN
B．MN
D．M∩N＝?
解析：选C.因为集合M是表示终边在第一、三象限或第二、四象限的角平分 线上的角
的集合．集合N是表示终边在坐标轴(四个位置)上和在第一、三象限或第二、四象限的角平< br>分线上的角的集合．所以MN.

π
2．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
3
A．1∶3 B．2∶3
C．4∶3 D．4∶9
a
解析：选B.如图，设内切圆半径为r，则r＝，
3
a
πa1
ππa
所以S
圆
＝π·()
2
＝，S
扇＝a
2
·＝，
39236
S
圆
2
所以＝.
S
扇
3
22

3．若扇形的周长是16 cm，圆心角是2 rad，则扇形的面积是________ cm
2
.
解析：设扇形的半径是r cm，弧长为l cm，
?
?
l＋2r＝16，
则
?
l

?
?
r
＝2，
解得l＝8，r＝4.
1
则扇形的面积是lr＝16 (cm
2
)．
2
答案：16
4．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用30 kmh的速度通过，
10 s内转过的弧度为________．
101
解析：10 s内列车转过的圆形弧长为×30＝(km)．
3 60012
1
12
1
转过的角α＝＝(弧度)．
224
1
答案：
24
5．已知扇形的周长为24，当扇形的圆心角为多大时，扇形的面积最大？
解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.
依题意2r＋l＝24，
1
S＝l·r
2
1
＝·r(24－2r)
2
＝ (12－r)r＝－r
2
＋12r＝－(r－6)
2
＋36，
故当r＝6时S
max
＝36.
l
此时l＝24－2r＝12，即圆心角α＝＝2.
r
即当圆心角为2弧度时，面积最大为36.
6．(选做题)如图，动点P，Q从点 A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟
ππ
转弧度，点Q按顺时针方向每秒 钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点
36

各自走过的弧长．

解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，
π
?
－
π
?
＝2π， 则t·＋t·
?
6
?
3
解得t＝4.
所以第一次相遇时所用的时间是4秒，
π
4
第一次相遇时点P已经运动到角 ·4＝
π的终边与圆的交点位置，点Q已经运动到角－
33
2π
的终边与圆的 交点位置，
3
416
所以点P走过的弧长为
π×4＝π，
33
2π
28
－
?
×4＝
π×4＝π.
点Q走过的弧长为
?
?
3
?
33