2018年高中数学必修四浙江专用 教师用书 第一章 含答案

1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角

目标定位 1.认识角的扩充的必要性，了解任意角的概念；2.能用集合和数学符号
表示终边 相同的角；3.能用集合和数学符号表示象限角及终边满足一定条件的角.

自 主 预 习
1.角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置
所成的图形.
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类
类型
正角
负角
定义
按逆时针方向旋转形成的角
按顺时针方向旋转形成的角

零角
2.象限角
角的顶点与坐标 原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除
端点外)在第几象限，就说这个角是第 几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为
这个角不属于任何一个象限.
3.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，
k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个
零角

图示

4.象限角的集合表示
α终边所在
的象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
角α的集合
{α|k·360°<α{α|k·360°＋90°<α{α|k·360°＋180°<α{α|k·360°－90°<α
即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)第一象限角是锐角.(×)
(2)小于90°的角是锐角.(×)
(3)若角α与β的终边关于x轴对称，则α＋β＝0°.(×)
(4)若两个角始边相同，终边也相同，则这两个角相等.(×)
提示 (1)第一象限角仅仅是终边位置在第一象限，如α＝－330°角不一定是锐角，
故错.
(2)负角小于90°，但不是锐角，故错.
(3)α＋β＝k·180°，k∈Z，故错.
(4)两个角可能相差360°的整数倍，故错.
2.手表时针走过2小时，时针转过的角度为( )
A.60° B.－60° C.30° D.－30°
2
解析 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，
12
×360°＝60°，故
时针转过的角度为－60°.
答案 B
3.下列各角中与330°角终边相同的角是( )
A.510° B.150° C.－150° D.－390°
解析 与330°终边相同的角可表示为α＝330°＋k·3 60°(k∈Z)，令k＝－2，则
α＝－390°.
答案 D

4.－60°是第象限角_____.
解析 －60°是顺时针旋转60°(以x轴的非负半轴的为始边)所得角，故－60°为
第四象限角.
答案 四

类型一 象限角的判定
【例1】 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几
象限角.
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解 (1)因为－150° ＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终
边相同的角是210°角， 它是第三象限角.
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与65 0°角终边相同的角
是290°角，它是第四象限角.
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与
－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.
规律方法 求在0 °～360°范围内与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限
角，关键是将所给的角写成α＋k·3 60°(k∈Z)的形式，这是为以后证明恒等式、化
简及利用诱导公式求三角函数的值打基础.
【训练1】 给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限
角；③ 475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中真命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；
对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；
对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；
对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.

答案 D

类型二 终边相同的角
【例2】 写出终边落在直线y＝x上的 角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤
β<720°的元素β写出来.
解 直线y＝ x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上
的角有两个：45°，225 °.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z} < br>＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z }＝{β|β＝45°
＋n·180°，n∈Z}.
∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
规律方法 解答本题 关键是找到0°～360°范围内，终边落在直线y＝x的角：
45°，225°，再利用终边相同的角 的关系写出符合条件的所有角的集合，如果集
合能化简的还要化成最简.
【训练2】 写出终边落在x轴上的角的集合S.
解 S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
类型三 区域角的表示(互动探究)
【例3】 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.

[思路探究]
探究点一 终边落在阴影部分的角可分成哪几部分？
提示 可分为x轴上方部分和x轴下方部分.
探究点二 终边落在同一条直线上的角有怎样的关系？

提示 终边落在同一条直线上的角相差180°的整数倍.
探究点三 边界为实线与虚线有区别吗？
提示 有.实线表示边界角能取到，虚线表示边界角取不到.
解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α∪{α|k·360°＋210°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<( 2k＋
1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α规律方法 解答 此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的
角写出符合条件的所有角的集合，如 果集合能化简的还要化成最简.本题还要注意
实线边界与虚线边界的差异.
【训练3】 如图 ，若角α的终边落在函数y＝x(x≥0)与y＝－x(x≤0)的图象所夹的
区域(即图中阴影部分， 不包括边界)内，求角α的集合.

解 终边落在函数y＝x(x≥0)的图象上的角的集合是{α|α＝45°＋k·360°，k∈
Z}，
终边落在函数y＝－x(x≤0)的图象上的角的集合是{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z} .
所以所求角的集合是{α|45°＋k·360°<α<135°＋k·360°，k∈Z}.
[课堂小结]
1.本节课在介绍将角的概念推广的必要性的基础上，定义了正角、负角、零角 (按
旋转方向)；
2.按终边所在平面直角坐标系上的位置定义了象限角；

3.难点是利用集合表示终边相同的角及区域角.

1.－361°的终边落在( )
A.第一象限
C.第三象限


B.第二象限
D.第四象限
解析 ∵－361°＝－360°－1°，∴－361°角终边落在第四象限.
答案 D
2.下列命题中正确的是( )
A.三角形的内角必是第一、二象限角
B.第一象限角必是锐角
C.不相等的角终边一定不相同
D.若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同
解析 90°的角可以是三角形 的内角，但它不是第一、二象限角；390°的角是第
一象限角，但它不是锐角；390°角和30°角 不相等，但终边相同；故A、B、C
均不正确.对于D，由终边相同的角的概念可知正确.
答案 D
3.终边在直线y＝－x上的角的集合S＝_____.
解析 由于直线 y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两
个角分别是135°和315°，
从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z }＝{α|α＝
2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135° ，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋
135°，n∈Z}.
答案 {α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}
4.已知角α＝2 010°.
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
解 (1)用2 010°除以360°商为5，余数为210°.
∴k＝5.∴α＝5×360°＋210°，又β＝210°是第三象限角.
∴α为第三象限角.

(2)与2 010°终边相同的角：
θ＝k·360°＋2 010°(k∈Z)，
令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
77
解得－6
12
≤k<－3
12
(k∈Z)，
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·360°＋2 010°中得：角θ的值为－150°，210°，570°.

基 础 过 关
1.把－1 485°化成α＋k·360°(k∈Z，0°≤α<360°)的形式是( )
A.45°－4×360°
C.－45°－5×360°
答案 D
2.若α是第四象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角
C.第三象限角


B.第二象限角
D.第四象限角
B.－45°－4×360°
D.315°－5×360°
解析 可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象
限角.
答案 C
3.若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在( )
A.第一或第三象限
C.第二或第四象限
答案 A
4.已知0°<α<360°，且α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝_____.
答案 60°
5.下列说法中，正确的是(填序号).
①终边落在第一象限的角为锐角；
②锐角是第一象限的角；
③第二象限的角为钝角；
④小于90°的角一定为锐角；

B.第二或第三象限
D.第三或第四象限

⑤角α与－α的终边关于x轴对称.
解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400° 的角是第一象限的角，但不
是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说 法
也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的.
答案 ②⑤
6.在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－720°～720°内的角.
解 (1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，
∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.
(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，
∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.
(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，
∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同.
由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：
k＝－2，－1，0，1.代入k·360°＋147°依次得：
－573°，－213°，147°，507°.
7.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合.

解 (1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}.
(2){x|k· 360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°
＋240°，k∈Z}
＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或( 2k＋1)·180°＋30°≤x≤
(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}
＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}.
8.如果θ为小于360°的正角，这个角θ的4倍角的终边与这个角的终边重合，求

θ的值.
解 由题意得4θ＝θ＋k·360°，k∈Z，
∴3θ＝k·360°，θ＝k·120°，
又0°<θ<360°，∴θ＝120°或240°.
能 力 提 升
9.集合M ＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}则有( )
A.M＝N




D.M∩N＝?
解析 ∵x＝k·90°＋45°
＝2k·45°＋45°＝(2k－1)·45°＋45°，
∴x∈M?x∈N.又特别地如x＝180°＝3×45°＋45°∈N，
但x∈180°?M，∴M
答案 C
10.有小于360°的正角，这个角的5倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大
小是( )
A.90°
C.270°


B.180°
D.90°，180°或270°
N，故选C.
解析 由已知：5α＝α＋k·360°(k∈Z)，
∴
α
＝k·90°.又∵0°<
α
<360°，
∴0∴
α
＝90°、180°或270°.
答案 D
11.角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝_____.
解析 ∵30°与150°的终边关于y轴对称，
∴
β
的终边与150°角的终边相同.
∴
β
＝150°＋k·360°，k∈Z.
答案 150°＋k·360°，k∈Z
1
12.12点过
4
小时的时候，时钟分针与时针的夹角是.
1
解析 时钟上每个大刻度为30°，12点过
4
小时，分针转过－90°，时针转过

－7.5°，故时针与分针的夹角为82.5°.
答案 82.5°
13.已知角β的终边在直线3x－y＝0上.
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素.
解 (1)如图，直线3x－ y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终
边落在射线OA上的角是60°，终边落 在射线OB上的角是240°，所以以射线
OA、OB为终边的角的集合为：

S
1
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S
2
＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合 S＝S
1
∪S
2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝ 60°＋180°
＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β| β＝60°＋(2k＋1)·180°，
k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.
(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.
711
解得－
3
3
，n∈Z，所以n＝－2，－1， 0，1，2，3.
所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；
60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.
探 究 创 新
α
14.已知α是第二象限角，试确定2α，
2
的终边所在的位置.
解 因为α是第二象限角，
所以k·360°＋90°<α所以2k·360°＋180°<2α<2k·360°＋360°，k∈Z，
所以2α的终边在第三或第四象限或在y轴的负半轴上.

因为k·360°＋90°<αα
所以k·180°＋45°<
2
α
所以当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°<
2
α
即
2
的终边在第一象限；
αα
当k＝2n＋1， n∈Z时，n·360°＋225°<
2
2
的 终边在第
α
三象限.所以
2
的终边在第一或第三象限.
1.1.2 弧度制
目标定位 1.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算；2.了解扇形的弧长和面积公
式，能进行简单应用.

自 主 预 习
1.度量角的单位制
(1)角度制
1
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
360
.
(2)弧度制
①弧度制的定义
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 用符号rad表示，读作弧度.
以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
②任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零.
③角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝 对值是|α|
l
＝
r
.
2.角度制与弧度制的换算
(1)

角度化弧度
360°＝2π rad
180°＝π rad
π
1°＝
180
rad≈0.017 45 rad
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度
弧度

度
弧度
120°
2π
3

135°
3
4
π
150°
5π
6

0°
0
1°
π
180

30°
π
6

弧度化角度
2π rad＝360°
π rad＝180°
?
180
?
1 rad＝
?
π
?
°≈57.30°
??
45°
π
4

60°
π
3

90°
π
2

180°
π
270°
3π
2

360°
2π
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别
扇形的弧长
扇形的面积
α为角度制
l＝
απR

180
α为弧度制
l＝α·R
11
S＝
2
l·R＝
2
α·R
2

απR
2
S＝
360

即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)半径不同的圆中，长为l的弧所对的圆心角都相等.(×)
(2)角α＝3 rad是第一象限角.(×)
(3)弧长相等的弧所对的圆心角不一定相等.(√)
(4)第一象限角可表示为(2kπ，90°＋2kπ)，k∈Z.(×)
l
提示 (1)α＝
r
，∵r不同，故α不同.
π
(2)α＝3>
2
，故α为第二象限角.
l
(3)角有正、负，|
α
|＝
r
.
(4)角度制与弧度制不可以混用.

2.时针经过一小时，时针转过了( )
π
A.
6
rad
π
C.
12
rad
答案 B
3π
3.已知扇形的面积是
8
，半径是1，则扇形的圆心角是( )
3π
A.
16

3π
B.
8

3π
C.
4

3π
D.
2



π
B.－
6
rad
π
D.－
12
rad
3π
1
3π
3
解析 设扇形的弧长为l，则
8
＝< br>2
l×1，故l＝
4
π，所以扇形的圆心角为
4
.
答案 C
4.225°化为弧度为.
π
5
解析 225°＝225×
180
＝
4
π.
5
答案
4
π

类型一 弧度制的概念
【例1】 下列命题中，正确的命题是_____(填序号).
11
①1°的角是周角的
360
，1 rad的角是周角的；
2π
②1 rad的角等于1°的角；
③180°的角一定等于π rad的角；
④“度”和“弧度”是度量角的两种单位.

解析 各命题正误分析如下：
①
360°2π
∵1°＝
360
，1＝，∴命题①正确.
2π
② 1 rad≈57.30°，不等于1°，故命题②错误.
③ 由弧度制规定知，180°＝π rad，故命题③正确.
④ “度”和“弧度”是度量角的两种不同单位，故命题④正确.
答案 ①③④
规律方法 正确理解弧度与角度的概念
区别
(1)定义不同.
(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位.
(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半
联系 径大小无关的值.
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.
【训练1】 下列各命题中，真命题是( )
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度等于半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角
解析 根据弧度制和角度制的规定可知A、B、C均错误，D正确.
答案 D
类型二 角度与弧度的互化
【例2】 将下列角度与弧度进行互化：
7π11π
(1)20 °；(2)－15°；(3)
12
；(4)－
5
.
20ππ
解 (1)20°＝
180
＝
9
.
π
15
(2)－15°＝－
180
π＝－
12
.
7π
7
(3)
12
＝
12
×180°＝105°.
11π
11
(4)－
5
＝－
5
×180°＝－39 6°.

规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关 系：πrad＝180°.(2)熟记特殊角
的度数与弧度数的对应值.
【训练2】 (1)把112°30′化成弧度；
5π
(2)把－
12
化成度.
225
π5π
?
225
?
解 (1)112°30′＝?
2
?
°＝
2
×
180
＝
8
.
??
5π
?
5π
180
?
(2)－
1 2
＝－
?
12
×
?
°＝－75°.
π
??
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用(互动探究)
【例3】 已知扇形的周长为30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使
扇形的面积最大？最大面积是多少？
[思路探究]
探究点一 扇形的周长与扇形的弧长、半径有怎样的关系？
提示 设扇形的弧长为l，半径为r，则
l＋2r＝30.
探究点二 扇形的面积与其弧长、半径有怎样的关系？
1
提示 设扇形的面积为S，则S＝
2
lr.
解 设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，面积为S，则有l＋2r＝30，
即l＝30－2r，
11
?
15
?
2
225
∴S＝
2
lr＝
2
(30－2r)r＝－
?
r－
2
?
＋4
，
??
15225
∴当r＝
2
cm时，扇形的面积最大为
4
cm
2
，
l
此时α＝r
＝
30－2×
15
2
15
2
＝2(rad) .
规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：
11
一是S＝
2
lr＝
2
|
α
|r
2
，二是l＝|α|r，如 果已知其中两个，就可以求出另一个.
(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函
数.

【训练3】 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.
解 设扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，
1
∴l＝4－2r，根据扇形面积公式S＝
2
lr，
1l2
得1＝
2
(4－2r)·r，∴r＝1，∴l＝2，∴α＝
r
＝
1
＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
[课堂小结]
1.角的概念推广 后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关
系：每一个角都有唯一的一个实数(即这 个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个
实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它 对应.
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式.
π
?
180
?
易知：度数×
180
rad＝弧度 数，弧度数×
?
π
?
°＝度数，度数与弧度数的换算也
??
可借助计算器进行，一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住.
3.在弧度制下，扇形的弧长公式 及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角
的单位取弧度.

1.240°化成弧度是( )
π
A.
3

2π
B.
3

4π
C.
3

5π
D.
3

4π
240
解析 240°＝
180
×π＝
3
.
答案 C
9π
2.下列与
4
的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
9
B.k·360°＋
4
π(k∈Z)
5π
D.kπ＋
4
(k∈Z)
9π
9
解析 与< br>4
的终边相同的角可以写成2kπ＋
4
π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不< br>能混用，所以只有答案C正确.

答案 C
11
3.把－
4
π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是___ __.
11
?
3
?
解析 －
4
π＝－2π＋
?
－
4
π
?

??
3
?
3
?
＝2×(－1)π＋
?
－
4
π
?
.∴
θ
＝－
4
π.
??
3
答案 －
4
π
4.把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限
角？
π74π16π16π
解 －1 480°＝－1 480×
180
＝－9
＝－10π＋
9
，其中0≤
9
<2π，因为
16π< br>9
是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角.

基 础 过 关
1.－300°化为弧度是( )
4
A.－
3
π
5
C.－
4
π
答案 B
?
?
2.集 合A＝
?
α
?
?
??
??
ππ
|α＝kπ ＋
2
，k∈Z
?
与集合B＝
?
α|α＝2kπ±
2
，

k∈Z
}
的关系是
??
??


5
B.－
3
π
7
D.－
6
π
( )
A.A＝B
C.B?A
答案 A
3.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm
2
，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A.1
C.1或4


B.4
D.2或4


B.A?B
D.以上都不对
解析 设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，

?
2r?
?
r?6,
?
r?1 ,
?
r?2,
?
?
?
或
?
则由题意得?
1
2

?
?4
?
?1.
?
r?2,
??
?
?2
答案 C
4.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角为_____.
?
?
?
?
?1,
?
解析 设这两个角为α，
β
弧度，不妨设α>β，则
?
π

??
?
?,
?
180
?
1
π
1
π
解得α＝
2
＋
360
，
β
＝
2
－
360
.
1
π
1
π
答案
2
＋
360
，
2
－
360

5.已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______.
解析 ∵α是第二象限角，
π
∴
2
＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∵|
α
＋2|≤4，∴－6≤α≤2，
3
当k＝－1时，－π＜α＜－π，
2
1
当k＝0时，
2
π＜α≤2，
当k为其它整数时，满足条件的角α不存在.
31
答案 (－
2
π，－π)∪(
2
π，2]
6.直径为1.4 m的飞轮，每小时按顺时针方向旋转24 000转.
(1)求飞轮每秒转过的弧度数；
(2)求轮周上一点P每秒经过的弧长.
解 (1)∵飞轮按顺时针方向旋转，
24 000×2π
40
∴飞轮每秒转过的弧度数为－＝－
3 6003
π.
(2)轮周上一点P每秒经过的弧长为
401.428
l＝ |α|r＝
3
π×
2
＝
3
π(m).
7.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，依逆时

针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过
2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.

3π
解 因为0<θ<π，且2kπ＋π<2θ<2kπ＋
2
(k∈Z)，
π3π
则必有k＝0，于是
2
<θ<
4
，
nπ
又14θ＝2nπ(n∈Z)，所以θ＝
7
，
πnπ3π
从而
2
<
7
<
4
，
721
即
2
4
，
4π5π
所以n＝4或5，故θ＝
7
或
7
.
8. (2016·泉州高二检测)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，
那么扇形的圆 心角是多少弧度？是多少度？扇形面积是多少？
解 设弧长为l，所对圆心角为α，
则l＋2r＝πr，即l＝(π－2)r.
?
180°
?
l
??
≈65.41°. ∵|α|＝
r
＝π－2＝(π－2)·
?
π
?
∴α的弧度数是π－2，度数为 65.41°.
11
从而S
扇形
＝
2
lr＝
2< br>(π－2)r
2
.
能 力 提 升
3π
9.已知扇形面积为
8
，半径是1，则扇形的圆心角是( )
3π
A.
16

3π
B.
8

3π
C.
4

3π
D.
2

3π3π
11
解析 S
扇
＝
2
α
r
2
＝
2
×
α
×1
2
＝
8
，∴< br>α
＝
4
.
答案 C

?
?
10.(2016·杭州高一检测)集合
?
α
?
?
?
?
ππ
?
?
kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z
?
42
?
?
?
中的角所表示的范围(阴影部分)是( )

ππ
解析 不妨令k＝0，则
4
≤
α
≤
2
，
53
令k＝1，则π≤
α
≤π，故选C.
42
答案 C
11.已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝
{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝_____.
解析 如图所示，

∴A∩B＝[－4，－π]∪[0，π].
答案 [－4，－π]∪[0，π]
3
12.如果一扇形的弧长变为原来的
2
倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原
扇形面积的.
13111313
解析 由于S＝
2
lR，若l′＝
2
l，R′＝
2
R，则S′＝
2
l′R′＝
2×
2
l×
2
R＝
4
S.
3
答案
4

2π
13.在如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB＝
3
，半径OC与弦AB垂直，垂足为
︵
点D，若CD＝a，求ACB的长及其与弦AB所围成的 弓形ACB的面积.

︵
解 设圆的半径为r，ACB的长为l，

2π
则l＝
3
r.连接AC，因为OA＝OB，OC与弦AB垂直，
π
所以∠AOC＝
3
，
所以△AOC为等边三角形.
因为AD⊥OC，所以OD＝CD，
所以r＝2CD＝2a，
2π4aπ
所以l＝
3
·2a＝
3
，
4a
2
π
1
S
扇形
OACB
＝
2
lr＝3
，
11
S
△
AOB
＝
2
AB·O D＝
2
·23a·a＝3a
2
，
?
4π
?
2
?
a. 所以S
弓形
ACB< br>＝S
扇形
OACB
－S
△
AOB
＝
?
－3
?
3
?
探 究 创 新
14.如图所示，动点P，Q从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒
ππ
钟转
3
，点Q按顺 时针方向每秒钟转
6
，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，
Q两点各自走过的弧长 .

π
?
π
?
?
－
?
＝2π，解 设P，Q第 一次相遇时所用的时间是t秒，则t·
3
＋t·解得t＝4，
?
6
?
π
16
所以第一次相遇所用的时间为4秒，所以P点走过的弧长为
3
×4×4＝
3
π，Q
8
?
π
?
点走过的弧长为?
－
?
×4×4＝
3
π.
?
6
?
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数(一)
目标定位 1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2.能判断各象限角

的正弦、余弦、正切函数值的符号；3.理解终边相同的角的同一三角函数的值相等.

自 主 预 习
1.单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
2.任意角三角函数的定义
(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，
它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；
②x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；
yy
③
x
叫做α的正切，记作tanα，即tan α＝
x
(x≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自
变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.

y
(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α＝
r
，cos
xy
α＝
r
，tan α＝
x
.
3.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

4.诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：
sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，
tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z.

即 时 自 测

1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角函数值是一个比值，只与角的终边位置有关.(√)
(2)只有第一、二象限角的正弦是正的.(×)
(3)若sin α·cos α>0，则α是第一象限角.(×)
4
(4)已知P(3a，4a)是角α终边上一点，故sin α＝
5
.(×)
提示 (1)由三角函数定义可知，一个角的三角函数值，仅与终边位置有关.
π
(2)sin
2
＝1>0，故错.
(3)α是第三象限角时，sin
α
·cos
α
>0，故错.
4
(4)当α<0时，sin
α
＝－
5
.
2.若角α的终边上有一点是A(2，0)，则tan α的值是( )
A.－2 B.2 C.1 D.0
解析 因为角α的终边上有一点是A(2，0)，所以α的终边落在x轴的非负半轴上，
从而tan
α
＝0.
答案 D

13π
6
的值是( )
1
B.
2

3
C.－
2

3
D.
2

1
A.－
2

解析 sin
答案 B
13ππ
1
π
??
?
2π＋
?
＝sin ＝. ＝sin
662
6
??
4.已知①sin 1，②cos 2，③tan 3，其中函数值为负的是_____(填序号).
解析 ∵1是第一象限角，∴sin 1>0；∵2是第二象限角，
∴cos 2<0；∵3是第二象限角，∴tan 3<0.
答案 ②③

类型一 三角函数定义的应用(互动探究)
10
【例1】 已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝
10
x，求sin θ，tan θ.
[思路探究]
探究点一 利用三角函数定义结合已知条件能求出x吗？
提示 由余弦定义可知cos
θ
＝
x
，故可建立关于x的方程.
x
2
＋3
探究点二 角的终边所在象限唯一确定吗？如何求其余两个函数值.
提示 不确定，求其余两个函数值应分类讨论.
解 由题意知r＝|OP|＝x
2
＋9，
xx
由三角函数定义得cos θ＝
r
＝
2
.
x＋9
10x10
又∵cos θ＝
10
x，∴
2
＝
10
x.
x＋9
∵x≠0，∴x＝±1.
33103
当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝
2
＝
10
，tan θ＝
1
＝3.
1＋3
2
当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝
3.
规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，
所以应分两种情 况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a，b)，则对应角的正
弦值为sin
α
＝
bab
，cos
α
＝，tan
α
＝
a
.
a
2
＋b
2
a
2
＋b
2
33103
＝，tan θ＝＝－
22
10
－1
（－1）＋3
2
【训练1】 已知角θ的终边上有一点P(－3，m)，且sin θ＝
4
m，求cos θ与tan
θ的值.
2m
解 由已知有
4
m＝，
3＋m
2
得m＝0，或m＝±5，
(1)当m＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；

615
(2)当m＝5时，cos θ＝－
4
，tan θ＝－
3
；
615
(3)当m＝－5时，cos θ＝－
4
，tna θ＝
3
.
类型二 三角函数值符号的判断
【例2】 判断下列三角函数值的符号：
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角).
解 (1)∵
π3π
<3<π<4<<5<2π，
22
∴3，4，5分别为第二、三、四象限角，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.
(2)∵θ是第二象限角，∴－1∴sin(cos θ)<0.
规律方法 三角函数值的符号仅仅由角的终边所在位置确定， 口诀：“一全正、
二正弦、三正切、四余弦”，应透彻理解，熟练应用.
cos α
【训练2】 若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
tan α
A.第一象限角
C.第三象限角


B.第二象限角
D.第四象限角
cos
α
解析 由sin
α
tan
α
<0可知α应在二、三象限，由<0可知α应在三、四
tan
α
象限，故α应在第三象限.
答案 C
类型三 诱导公式一的应用
【例3】 计算下列各式的值：
25π
?
15π
(1)cos3
＋tan
?
－
4
?
?
?
；
?
(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
π
?
π
???
解 (1)原式＝cos
?
8π＋< br>?
＋tan
?
－4π＋
?

3
?
4
???

ππ
13
＝cos
3
＋tan
4
＝
2
＋1＝
2
.
(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋
tan 45°－1＝1＋1－1＝1.
规律方法 利用诱导 公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可
把大于2π的角的三角函数化为0到2π间 的三角函数，即实现了“负化正，大化
小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
【训练3】 (1)sin(－1 380°)的值为( )
1
A.－
2

1
B.
2

3
C.－
2

3
D.
2

17π
?
23π
?
?
＋tan(2)cos
?
－
4
＝_____.
3
??
3
解析 (1)原式＝sin(－360°×4＋60°)＝sin 60°＝
2
.
ππ
3
π
??
24ππ
? ?
????
(2)原式＝cos
－
＋tan
4π＋
＝cos
3
＋tan
4
＝
2
.
3
＋
3
?
4
???
3
答案 (1)D (2)
2

[课堂小结]
1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的 大小和点P(x，y)在终边上的位置
无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关 .
2.要善于利用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题，并且注意掌握解题时
必要的 分类讨论及三角函数值符号的正确选取.
3.诱导公式一可以把大角或负角的三角函数求值化为(0， 2π)之间的角的求值，另
外要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.

1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于( )
4
A.
5

3
B.
5

3
C.－
5

4
D.－
5

解析 因为角α的终边经过点(－4，3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5，
x4
所以cos
α
＝
r
＝－
5
.

答案 D
2.如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( )
1
A.
2

1
B.－
2

3
C.－
2

3
D.
2

解析 2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，
1
∴r＝2，∴cos
α
＝
2
.
答案 A
405°－sin 450°＋cos 750°＝______.
解析 tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－si n(360°＋90°)＋
33
cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋
2
＝
2
.
3
答案
2

4. 已知角α的终边过点P(m，－3m)(m≠0)，求α的正弦、余弦、正切值.
解 由题意知x＝m ，y＝－3m，r＝m
2
＋（－3m）
2
＝10|m|，当m>0时，r＝1 0
－3m
m10310
m，由三角函数的定义得cos α＝＝
10
，sin α＝＝－
10
，tan α
10m10m－3m
m
＝
m
＝－3.当m<0时，r＝－10m，由三角函数的定义得 cos α＝＝－
－10m
－3m－3m
10310
10
，sin α＝
－10m
＝
10
，tan α＝
m
＝－3.

基 础 过 关
1 860°等于( )
1
A.
2

1
B.－
2

3
C.
2

3
D.－
2

3
解析 sin 1 860°＝sin(60°＋5×360°)＝sin 60°＝
2
.
答案 C
2.当α为第二象限角时，
|sin α|cos α
－的值是( )
sin α|cos α|

A.1 B.0 C.2 D.－2
解析 ∵α为第二象限角，∴sin
α
>0，cos
α
<0.
∴
|sin
α
|cos
α
sin
α
cos
α
－＝－＝2.
sin
α
|cos
α
|sin
α
－cos
α
答案 C
3
3.角α的终边经过点P(－b，4)且cos α＝－
5
，则b的值为( )
A.3 B.－3 C.±3
－b－b
3
＝
2
＝－.∴b＝3.
r5
b＋16
D.5
解析 r＝b
2
＋16，cos
α
＝
答案 A
?
1
?
4.已知
?
2
?
??
sin 2
θ
<1，则角θ的终边在第象限_____.
sin 2
θ
?
1
?
解析 ∵
?
2
?
??
?
1
?
0
<1＝
?
2
?
，∴sin 2
θ
>0，∴2kπ<2
θ
<2kπ＋π，k∈Z，
??
π
∴kπ<
θ
2
，k∈Z，∴角θ的 终边在第一或三象限.
答案 一或第三
5.给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象
限的角，其中正确命题的序号是.
解析 由于第一象限角370 °不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角
π
为90°时，其既不是第一象限角， 也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin
6
5ππ5π
＝sin
6< br>，但
6
与
6
的终边不相同，故④错；当cos
θ
＝ －1，
θ
＝π时既不是第
二象限角，又不是第三象限角，故⑤错.综上可知只有③正确 .
答案 ③
6.化简下列各式：
π
75
(1)sin
2
π＋cos
2
π＋cos(－5π)＋tan
4
；

(2)a
2
sin 810°－b
2
cos 900°＋2abtan 1 125°.
π
3
解 (1)原式＝sin
2
π＋cos
2
＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a
2
sin 90°－b
2
cos 180°＋2abtan(3×360°＋45°)
＝a
2
＋b
2
＋2abtan 45°＝a
2
＋b
2
＋2ab＝(a＋b)
2
.
7.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，
求cos
2
θ－sin
2
θ的值.
解 在角θ终边上任选一点，依据三角函数的定义求出cos θ，sin θ即可求解.
2
由已 知可在角θ的终边上取点P(x
0
，y
0
)，则y
0
＝2x
0
，∴r＝x
2
0
＋y
0
＝5|x
0|，从而
3
?
x
0
?
2
?
y
0
?
2
cosθ－sinθ＝
?
r
?
－
?
r
?
＝－
5
.
????
22
8.已知角α的终边上有一点P(－3，a＋1)，a∈R.
(1)若α＝120°，求实数a的值.
(2)若cos α<0且tan α>0，求实数a的取值范围.
a＋1
解 (1)依题意得，tan α＝＝tan 120°＝－3，所以a＝2.
－3
(2)由cos α<0且tan α>0得，α为第三象限角，故a＋1<0，所以a<－1，故实
数a的取值范围是(－∞，－1).
能 力 提 升
9.已知tan x>0，且sin x＋cos x>0，那么角x是____第象限角( )
A.一 B.二 C.三 D.四
解析 ∵tan x>0，∴x是第一或第三象限角.
又∵sin x＋cos x>0，∴x是第一象限角.
答案 A
2π 2π
??
?
，则 角α的最小正值为10.已知角α的终边上一点的坐标为
?
sin ，cos
33
??
( )
5π
A.
6

2π
B.
3

13π
C.
6

11π
D.
6

2321
解析 ∵sin
3
π＝
2
，cos
3
π＝－
2
.

3
∴角α的终边在第四象限，且tan
α
＝－
3
.
π11π
∴角α的最小正角为2π－
6
＝
6
.
答案 D
11.已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为.
解析 ∵sin
α
>0，cos
α
≤0，∴
α
的终边位于第二象限或y轴正半轴上，
∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－2答案 (－2，3]
απ
12.若点(α，9)在函数y＝3的图象上，则tan
6
的值为.
x
2ππ
解析 将点(α，9)代入y＝3
x
中，得9＝3
α
，解得α＝2，所以tan
6
＝tan
3
＝3.
答案 3
sin xcos xtan x
13.求函数f(x)＝
|sin x|
＋
|cos x|
＋
|tan x|
的值域.
解 f(x)有意义且x终边不在坐标轴上.
∴当x是第一象限角时，f(x)＝1＋1＋1＝3.
当x是第二象限角时，f(x)＝1－1－1＝－1.
当x是第三象限角时，f(x)＝－1－1＋1＝－1.
当x是第四象限角时，f(x)＝－1＋1－1＝－1.
∴f(x)的值域为{－1，3}.
探 究 创 新
14.已知
11
＝－，且lg cos α有意义.
|sin α|sin α
(1)试判断角α所在的象限；
?
3
?
(2)若角α的终边上一点是M
?
5
，m
?
，且|OM|＝ 1(O为坐标原点)，求m的值及sin α
??
的值.
解 (1)由
11
＝－可知sin α<0，
|sin α|sin α
∴α是第三或四象限或终边在y轴的负半轴上的角.
由lg cos α有意义可知cos α>0，

∴α是第一或四象限或终边在x轴的正半轴上的角.
综上可知角α是第四象限的角.
4
?
3
?
2
2
??
(2)∵|OM|＝1，∴< br>5
＋m＝1，解得m＝±
5
.
??
又α是第四象限角，故m<0，
4ym4
从而m＝－
5
.由正弦函数的定义可知sin α＝
r
＝
|OM|
＝
1
＝－
5
.
4
－
5
1.2.1 任意角的三角函数(二)
目标定位 1.认识 单位圆中任意角的正弦线、余弦线和正切线；2.利用单位圆中的
三角函数线解决简单的三角函数问题.

自 主 预 习
1.三角函数的定义域
正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝
π
tan x的定义域是{x|x∈R，且x≠kπ＋
2
，k∈Z}.
2.三角函数线
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点.过点P作x轴
的垂线PM，垂足为 M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T
点.单位圆中的有向线段MP、OM、A T分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
记作：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.

即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于正弦线平行于y轴，余弦线在x轴上、它们没法比较大小.(×)
π
(2)
2
角的余弦线不存在.(×)
(3)根据单位圆中正弦线，余弦线的变化规律可知|sin α|≤1，|cos α|≤1.(√)
π
(4)
2
角的正切线不存在.(√)
提示 (1)可以比较大小.
π
(2)
2
角的余弦线变成了一个点而已.
(3)对.
π
(4)
2
角的终边与x＝1平行，故其正切线不存在.
2.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )
π
A.
4

3π
B.
4

7π
C.
4

3π7π
D.
4
或
4

解析 ∵正、余弦符号相异 ，故α在第二、四象限，又正、余弦线的长度相等，
37
故α＝
4
π或α＝< br>4
π.
答案 D
3.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )

A.正弦线PM，正切线A′T′
B.正弦线MP，正切线A′T′
C.正弦线MP，正切线AT
D.正弦线PM，正切线AT
解析 由正弦、余弦、正切线定义可知A、B、D都错，故选C.
答案 C
4.比较大小：sin 1_____cos 1.

ππ
解析 ∵
4
<1<
2
，故1 rad的正弦线大于余弦线，sin 1>cos 1.
答案 >

类型一 任意角的三角函数线
1
【例1】 在单位圆中画出满足sin α＝
2
的角α的终边，并求角α的取值集合.
11
解 作直线y＝
2
交单位圆于P
1
，P
2，则∠xOP
1
＝∠xOP
2
＝
2
，在[0，2π]内 ，
π5ππ
∠xOP
1
＝
6
，∠xOP
2
＝
6
，所以满足条件的角α的集合为{α|α＝2kπ＋
6
或α＝
5π
2kπ＋
6
，k∈Z}.

规律方法 作已知角的正弦线、余 弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画
线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有 用处.
262
【训练1】 sin
5
π，cos
5
π，tan
5
π从小到大的顺序是.
解析 分别在单位圆中作出它们的三角函数线，由图可知：

622
cos
5
π<0，tan
5
π>0，sin
5
π>0.
22
∵|MP|<|AT|，∴sin
5
π5
π.
622
故cos
5
π5
π5
π.
622
答案 cos
5
π5
π5
π

类型二 利用三角函数线比较大小
2π4π2π4π
【例2】 分别作出
3
和
5
的正弦线、余 弦线和正切线，并比较sin
3
和sin
5
，
2π4π2π4πcos
3
和cos
5
，tan
3
和tan
5< br>的大小.
2π2π2π4π4π
解 如图，sin
3
＝MP，cos
3
＝OM，tan
3
＝AT，sin
5
＝M′P′，cos
5
＝
4π
OM′，tan
5
＝AT′.

显然|MP|>|M′P′|，符号皆正，
2π4π
∴sin
3
> sin
5
；|OM|<|OM′|，符号皆负，
2π4π
∴cos
3
>cos
5
；|AT|>|AT′|，符号皆负，
2π4π
∴tan
3
5
.
规律方法 利 用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置
要“对号入座”；②比较三角函数线的 长度；③确定有向线段的正负.
【训练2】 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小.
解 先把两角化成0°～360°间的角的三角函数.
sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，
sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.
在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M
2
P
2
，M
1
P
1
(如图).

∵|M
1P
1
|<|M
2
P
2
|，符号为正，
∴sin 1 155°>sin(－1 654°).

类型三 利用三角函数线解不等式(互动探究)
【例3】 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围.
313
(1)sin θ≥
2
；(2)－
2
≤cos θ<
2
.
[思路探究]
3
探究点一 如何找正弦线为
2
的角？
33
提示 直线y＝
2
交单位圆于A、B两点，则OA、OB即为正弦线为
2
的角.
1
探究点二 如何找余弦线为－
2
的角？

11
提示 作直线x＝－
2
交单位圆于C、D两点，则OC、OD即为余弦线 为－
2
的角.
解 (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即
?
?
?
θ
?
?
?
?
π2π
??
.
?
2kπ＋≤θ≤2kπ＋
33
，k∈Z
??
?
(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即
?
?
?
θ
?
?
?
?
ππ
22
?
?< br>2kπ－π≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋π，k∈Z
?
.
3663
?
?
?

规律方法 三角函数线的应用实质是数形结合思想的应用，作三角函数线的前提
是作单位圆.
解形如f( α)≤m或f(α)≥m(|m|<1)的三角不等式时，在直角坐标系及单位圆中，标
出满足f(α) ＝m的两个角的终边(若f为sin，则角的终边是直线y＝m与单位圆的两
个交点与原点的连线；若f 为cos，则角的终边是直线x＝m与单位圆的两个交点
与原点的连线；若f为tan，则角的终边与角 的终边的反向延长线表示的正切值相
同)，根据三角函数值的大小，找出α在0～2π内的取值，再加上 2kπ(k∈Z).

?
2
?
【训练3】 求函数f(x)＝1－2cos x＋ln
?
sin x－
?
的定义域.
2
??
1
?
?
1?2cosx?0,
?
cosx?,
2
??
解 由题意，自变量x应满足不等式组
?

即
?
2
2
?0.
??
sinx?
sinx?.
?2
?
?2
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，

?
?
∴函数定义 域为
?
x|2kπ
?
?
?
?
π
3
＋
3
≤x<2kπ＋
4
π，k∈Z
?
.
?
?
[课堂小结]
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方 向表示三角函数的值，
三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地
说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方
向同横坐标轴一 致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示
出来了，使得问题更形象直观，为从几 何途径解决问题提供了方便.

π6π
1.角
5
和角
5
有相同的( )
A.正弦线
C.正切线


B.余弦线
D.不能确定
π
6
解析 ∵
5
π＝π＋
5
，故它们有相同的正切线，故选C.
答案 C < br>7
2.如果MP和OM分别是角α＝
8
π的正弦线和余弦线，那么下列结论中正 确的是
( )


>0>MP
>0>OM
π
7
解析 作α＝
8
π＝π－
8
的正弦线和余弦线可知MP>0，OM<0，故选D.
答案 D
2
3.若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝
3
，则这个三角形是_______(填三角形
的形状).
解析 若α是锐角或直角，作出α的正弦线和余弦线，则sin
α
＋cos
α
≥1，故
α是钝角.
答案 钝角三角形
4.已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0，2π)，求α的取值范
围.
?sin
?
?cos
?
?0,
?
sin
?
?cos
?
,
解 ∵点P在第一象限内，
?
?

?
?
?
tan
?
?0,
?
tan
?
?0.
ππ5π
结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π.可知
4<α<
2
或π<α<
4
.

基 础 过 关
π
1.如果OM，MP分别是角α＝
5
余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( )
＜OM＜0
＞OM＞0


＜0＜OM
＞MP＞0
ππππ
解析 由于0＜
5
＜
4
，所以cos
5
＞sin
5
＞0，即OM＞MP＞0.
答案 D
2.若角α的正弦线和余弦线相等，则角α的终边在( )
A.直线y＝－x上
C.x轴上
B.直线y＝x上
D.y轴上
解析 结合三角函数线的定义可知，当一个角的正弦线和余弦线相等时，此角的
终边必在直线y＝x上.
答案 B
3.下列四个命题中：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.
不正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
π
解析 由正弦线定义可知①正确， ②错误；对③，当α＝
2
时，
α
和α＋π的正切
线均不存在；④正确 .
答案 C
4.已知α是锐角，若sin α＜cos α，则角α的范围是_____.
π
解析 结合单位圆中的正弦线和余弦线可知，若sin
α
＜cos
α
，则0＜α＜
4
.
π
??
答案
?
0，
?

4
??

1
5.不等式cos x＞
2
在区间[－π，π]上的解集为.
π5π
11
解析 如图所示，由于cos
3
＝cos
3
＝
2
，所以满足cos x＞
2
的x的解集为
?
ππ
?
?
－，
?
.
3
??
3

?
ππ
?
答案
?
－，
?

3
??
3
6.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
5π2π
(1)
6
；(2)－
3
.
5π
?
π
5π
?
解 (1)因为
6
∈?
，π
?
，所以作出
6
角的终边如图(1)所示，交单位圆于点 P，
?
2
?
5π5π
过点P作x轴垂线交于点M，则有向线段MP＝ sin
6
，有向线段OM＝cos
6
，
5π
设过A(1， 0)垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段AT＝tan
6
.
5π
综上所述，图(1)中的有向线段MP，OM，AT分别为
6
角的正弦线、余弦线、正
切线.

图(1)

2π
?
2π
π
?
(2)因为－
3
∈?
－π，－
?
，所以在第三象限内作出－
3
角的终边如图(2) 所
2
??
示，

图(2)
交单位圆于点P′，用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M′P′ 、OM′、
2π
A′T′分别为－
3
角的正弦线、余弦线、正切线.
7.求不等式3－4sin
2
x>0的解集.
333
解 因为3－4sinx>0，所以sinα<
4
，所以－
2
2
，如图所示，
22

ππ
??
2π4π
??
?
(k∈Z)， 所以x∈
?
2kπ－，2kπ＋
?
∪
?
2kπ＋
33
??< br>3
，2kπ＋
3
??
ππ
??
即x∈
?kπ－，kπ＋
?
(k∈Z).
33
??
8.求下列函数的定义域：
(1)y＝2sin x－3；
(2)y＝lg(1－2cos x)＋1＋2cos x.

解 (1)如图所示，

3
∵2sin x－3≥0，∴sin x≥
2
，
π2π
?
?
∴x∈
2kπ＋，2kπ＋
33
?
(2)如图所示，

?
?
(k∈Z).
?

?
22
?
1? 2cosx?0,
∵
?
∴－
2
≤cos x<
2
，
?
?
1?2cosx?0,
π3π
??
5π7π
? ?
?
∪
?
2kπ＋
?
(k∈Z)， ∴x∈
?2kπ＋，2kπ＋，2kπ＋
44
??
44
??
π3π
??
?
(k∈Z). 即x∈
?
kπ＋，kπ＋
44
??
能 力 提 升
9.设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A.aC.c

B.bD.a解析 作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b＝OM>0，a＝MP<0，
c＝AT<0，且MP>AT.∴c
答案 C
ππ
10.如果
4
<α<
2
，那么下列不等式成立的是( )
α α α α解析 如图所示，在单位圆 中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，
很容易地观察出OMα
α
α
.

答案 A

3
11.不等式tan α＋
3
>0的解集是_____.
解析 不等式的解集如图阴影部分(不含边界与y轴)所示，

??
??
ππ?
∴
α
|kπ－<
α
?
.
62
??
??
答案
?
?
?
α
?
?
?
?
ππ
|kπ－
6
<α2< br>，k∈Z
?

?
?
12.求函数f(x)＝cos
2
x－sin
2
x的定义域为.
解析 函数有意义，则cos
2
x－sin
2
x≥0，∴|cos x|≥|sin x|.如图所示.

ππ
??
答案
?
kπ－，kπ＋
?
，k∈Z
44
??
θθθ
13.设θ是第二象限角，试比较sin
2
，cos
2
，tan
2
的大小.
解 θ是第二象限角，
π
即2kπ＋
2
<θ<2kπ＋π (k∈Z)，
πθπ
故kπ＋
4
<
2
2
(k∈Z).
θ
作出
2
所在范围如图(1)所示.

图(1)

πθπ
当2kπ＋
4
<
2
<2kπ＋
2
(k∈Z)时，作出如图(2)的三角函数线，

图(2)
θθθ
易知OM2
2
2
；
θ
53
当2kπ＋
4
π<
2
<2kπ＋
2
π(k∈Z)时，作出如图(3)的三角函数线 ，

图(3)
θθθ
易知MP2
2
2
.
探 究 创 新
π
??
14.当α∈
?
0，
?
时，求证：sin α<α2
??
证明 如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终 边与单位圆交于P，α的正
弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.

11
因为S
△
AOP
＝
2
OA· MP＝
2
sin α，
11
2
S
扇形
AOP＝
2
αOA＝
2
α，
11
S
△
AO T
＝
2
OA·AT＝
2
tan α，

又S
△
AOP
扇形
AOP
△
AOT
，
111
所以
2
sin α<
2
α<
2
tan α，
即sin α<α1.2.2 同角三角函数的基本关系
sin x
目标定位 1.理解同角三角函数 的两个基本关系：sin
2
x＋cos
2
x＝1，
cos x
＝tan x，
能进行简单应用；2.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和进行求值、化简.

自 主 预 习
1.任意角三角函数的定义
如图所示，以任意角α的顶点O为坐标 原点，以角α的始边的方向作为x轴的正
方向，建立直角坐标系.设P(x，y)是任意角α终边上不同 于坐标原点的任意一点.
其中，r＝|OP|＝x
2
＋y
2
>0.

yxy
则sin α＝
r
，cos α＝
r
，tan α＝
x
.
2.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin
2
α＋cos
2
α＝1.
(2)商数关系：tanα＝
sin απ
(α≠kπ＋
2
，k∈Z).
cos α
3.同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin
2
α＋cos
2
α＝1的变形公式：
sin
2
α＝1－cos
2
α；cos
2
α＝1－sin
2
α；
(2)tan α＝
sin α
的变形公式：
cos α
sin α
.
tan α
sin α＝cosαtanα；cos α＝

即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
13
(1)若已知sin α＝
2
，则cos α＝
2
.(×)
(2)1－2sin 10°cos 10°＝sin 10°－cos 10°.(×)
(3)对任意角α都有sin α＝tan α·cos α.(×)
(4)对任意角α都有sin
2
α＋cos
2
α＝1.(√)
513
提示 (1)sin
6
π＝
2
，但cos
α
＝－
2
.
(2)∵sin 10°π
(3)当α≠
2
＋kπ，k∈Z时，才成立.
(4)由三角函数 定义知α∈R，都有sin
2
α
＋cos
2
α
＝1.
2.下列等式中恒成立的个数为( )
①sin
2
1＝1－cos
2
1；②sin
2
α＋cos
2
α＝sin
2
3 ＋cos
2
3；③(sin 2x＋cos 2x)
2
＝1＋2sin
π
??
2xcos 2x；④sin α＝tan αcos α
?
α≠kπ＋，k∈Z
?
.
2
??
A.1
答案 D
3.若角α是第三象限的角，则
A.
1

sin α
B.
1

cos α
1
的化简结果为( )
1－sin
2
α
C.－
1

sin α
1
＝
1－sin
2
α
D.－
1

cos α
B.2 C.3 D.4
解析 α是第三象限角，故cos
α
<0，则
1
－.
cos
α
答案 D
4.化简1－2sin 40°cos 40°＝_______.
11
＝＝
cos
2
α
|cos
α
|
解析 原式＝sin
2
40°＋cos
2
40°－2sin 40°cos 40°
＝（sin 40°－cos 40°）
2
＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.
答案 cos 40°－sin 40°

类型一 利用同角基本关系式求值
8
【例1】 已知cos α＝－
17
，求sin α，tan α的值.
8
解 ∵cos α＝－
17
<0，∴α是第二或第三象限的角，如果α是第二象限角，那么
sin α＝1－cosα＝
2
?
8
?
2
15
1－
?
－
17
?
＝
17
，
??
15
17
sin α
15
tan α＝＝
8
＝－
8
.
cos α
－
17
如果α是第三象限角，同理可得
1515
sin α＝－1－cos
2
α＝－
17
，tan α＝
8
.
规律方法 已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意
公式的合理选择 ，一般是先选用平方关系，再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，
如“1＝sin
2α＋cos
2
α
”.本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cos
α
的值推
断出α所在的象限，再分类求解.
4
【训练1】 已知tan α＝
3
，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
sin α
44
解 由tan α＝＝
3
，得sin α＝
3
cos α，①
cos α
又sin
2
α＋cos
2
α＝1，②
169
由①②得
9
cos
2
α＋cos
2
α＝1，即cos
2
α＝
25
.
3
又α是第三象限角，∴cos α＝－
5
，
44
sin α＝
3
cos α＝－
5
.
类型二 三角函数恒等式的化简证明
【例2】 求证：
tan αsin αtan α＋sin α
＝.
tan α－sin αtan αsin α
tan
2
α－sin
2
α
证明 ∵右边＝
（tan α－sin α）tan αsin α

tan
2
α－tan
2
αcos
2
αtan
2α（1－cos
2
α）
＝＝
（tan α－sin α）tan αsin α（tan α－sin α）tan αsin α
tan
2
αsin
2
αtan αsin α
＝＝＝左边，
（tan α－sin α）tan αsin αtan α－sin α
∴原等式成立.
规律方法 (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异，有目的的化简.
(2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.
(3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证.
【训练2】 求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)
2
.
证明 右边＝[(1－sin α)＋cos α]
2

＝(1－sin α)
2
＋cos
2
α＋2cos α(1－sin α)
＝1－2sin α＋sin
2
α＋cos
2
α＋2cos α(1－sin α)
＝2－2sin α＋2cos α(1－sin α)
＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边，
∴原等式成立.
类型三 齐次三角式的化简求值(互动探究)
【例3】 已知3sin α＋4cos α＝0，求下列各式的值：
(1)
2cos α＋3sin α
；
3cos α＋sin α
(2)2sin
2
α＋sin αcos α－3cos
2
α.
[思路探究]
探究点一 已知条件含有两种函数，能否化简？
4
提示 由已知显然cos
α
≠0，故已知条件可化为：tan
α
＝－
3
.
探究点二 待求值的式子能否统一成切函数？
提示 可以.(1)式分子分母同除以cos
α
.
(2)式补加分母sin
2
α
＋cos
2< br>α
，再同除以cos
2
α
.
4
解 ∵3sin α＋4cos α＝0，∴tan α＝－
3
.
?
4
?
?
－
3
?
2＋3·
2＋3tan α
??
6
(1)原式＝＝＝－
5
.
3＋tan α
?
4
?
3＋
?
－
3
?
??

2sin
2
α＋sin αcos α－3cos
2
α2tan
2
α＋tan α－3
(2)原式＝＝
sin
2
α＋cos
2
αtan
2
α＋1
?
4
?
2
?
4
?
2×
?
－
3
?
＋
?
－
3
?
－3
????
7
＝＝－.
225
?
4
?
?
－
3
?
＋1
??
规律方法 求关于sin
α
、cos
α
的齐次分式(sin
α
，cos
α
的次数相同)的值，可
将求值式变为关于tan
α
的代数式，此 方法亦称为“弦化切”.解决这类问题时，
要注意式子1＝sin
2
α
＋co s
2
α
及tan
α
＝
sin
α
的使用.
cos
α
1
【训练3】 已知：sin α＋cos α＝
5
，α∈(0，π)，求上述例3两式的值.
11
解 ∵sin α＋cos α＝
5
，∴1＋2sin αcos α＝
25
，
24
∴2sin αcos α＝－
25
<0，∴sin α与cos α异号.
?
π
?
又∵α∈(0，π)，∴α∈
?
，π?
，
?
2
?
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.
2449
又∵(sin α－cos α)
2
＝1－2sin αcos α＝1＋
25
＝
25
，
1
?
sin
?
?cos
?
?,
7
?
?
5
∴sin α－cos α＝
5
.由
?
< br>?
sin
?
?cos
?
?
7
,
?< br>5
?
434
∴sin α＝
5
，cos α＝－
5
，∴tan α＝－
3
，
6
∴(1)原式＝－
5
，
7
(2)原式＝－
25
.
[课堂小结]
1.同角三角函 数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精
髓在“同角”二字上，如sin2
2α＋cos
2
2α＝1，
是式子中的角为“同角”.

sin 8α
＝tan 8α等都成立，理由
cos 8α

2.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理
选择.一般 是先选用平方关系，再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时，
其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式.
3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α
中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.
4.在进行三角函数式的 化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公
式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数 关系式变形的出发点.利用同角三角
函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的 方法.
5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；
②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因
式分解、整体思想等 )；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角
函数关系来求解.

π
?
3
?
1.已知α∈
?
0，
?
，sin α＝
5
，则cos α＝( )
2
??
4
A.
5
1
C.－
7

2


2
4
B.－
5
3
D.
5

π
?
4
?
解析 由sin
α
＋cos
α< br>＝1，且α∈
?
0，
?
知：cos
α
＝1－sin
2
α
＝
5
.
2
??
答案 A
cos α2sin α
2.若α是第三象限角，则＋的值为( )
1－sin
2
α1－cos
2
α
A.3
C.1
解析 原式＝
答案 B
3
?
3
?
3.已知tan α＝
4
，α∈
?
π，
2
π
?
，则cos α的值是____.
??


B.－3
D.－1
cos
α
2sin
α
＋＝－1－2＝－3.
|cos
α
||sin
α
|

?< br>sin
2
?
?cos
2
?
?1,
?
解析 由
?
sin
?
4

?cos
?
?? .
?
tan
?
?
cos
?
5
?
4
答案 －
5

4.化简：
解 原式＝
αα
1－2s in
2
cos
2
＋
αα
?
π
?
1 ＋2sin
2
cos
2
?
0<α<
?
.
2
??
α
?
2
?
α
?
cos＋sin?

22
??
α
?
2
?
α
?
cos－sin
?
＋
22
??
α
??
αα
??
α
???
＝
cos－sin
＋
cos＋sin
?
.
22
??
22
??
α
?
π
?
π
??
∵α∈
?
0，
?
，∴
2
∈
?
0，
?
.
2
?
4
???< br>αααα
∴cos
2
－sin
2
>0，sin
2＋cos
2
>0，
αααα
α
∴原式＝cos
2－sin
2
＋cos
2
＋sin
2
＝2cos
2
.

基 础 过 关
4
1.若sin α＝
5
，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
4
A.－
3

3
B.
4

3
C.±
4

4
D.±
3

434
解析 α为第二象限角，sin
α
＝
5
，cos
α
＝－
5
，tan
α
＝－
3
.
答案 A
5
2.已知sin α＝
5
，则sin
4
α－cos
4
α的值为( )
1
A.－
5

3
B.－
5

1
C.
5

3
D.
5

13
解析 sin
4
α
－cos
4
α
＝s in
2
α
－cos
2
α
＝2sin
2
α< br>－1＝2×
5
－1＝－
5
.
答案 B
sin θ＋cos θ
3.已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
sin θ－cos θ

3
A.
4

3
B.±
10

3
C.
10

3
D.－
10

解析 由题意得sin
θ
＋cos
θ
＝2(sin
θ
－cos
θ
)，
∴(sin
θ
＋cos
θ
)
2
＝4(sin
θ
－cos
θ
)
2
，
3
解得sin
θ
cos
θ
＝
10
.
答案 C
4.化简：sin
2
α＋sin
2
β－sin
2
αsin
2
β＋cos
2
αcos
2
β＝______.
解析 原式＝sin
2

α
＋sin
2

β
(1－sin
2

α
)＋cos
2

α
cos
2

β

＝sin
2

α
＋sin
2

β
cos
2

α
＋cos
2

α
cos
2

β

＝sin
2

α
＋cos
2

α
(sin
2

β
＋cos
2

β
)
＝sin
2

α
＋cos
2

α
＝1.
答案 1
5.若化简
解析 ∵
1－cos αcos α－1
后的结果为，则角α的范围为______.
1＋cos αsin α
1－cos
α
＝
1＋cos
α
（1－cos
α
）
2
1－cos
α
cos
α
－1
＝＝，
1－cos
2
α
|sin
α
|sin
α
∴sin
α
<0.∴－π＋2kπ<
α
<2kπ，k∈Z.
答案 (－π＋2kπ，2kπ)，k∈Z
6.已知tan α＝－2，求下列各式的值：
(1)
4sin α－2cos α
；
5cos α＋3sin α
12
(2)
4
sin
2
α＋
5
cos
2
α.
解 法一 由tan α＝－2，得sin α＝－2cos α.
(1)
4sin α－2cos α－8cos α－2cos α
＝＝10.
5cos α＋3sin α5cos α－6cos α
1
2
2
2
4
sinα＋
5
cosα
1
2
2
2
(2)
4
sinα＋
5
cosα＝
sin
2
α ＋cos
2
α
2
cos
2
α＋
5
cos< br>2
α
7
＝＝.
4cos
2
α＋cos
2
α
25
法二 ∵tan α＝－2，∴cos α≠0.

(1)
4sin α－2cos α4tan α－24·（－2）－2
＝＝＝10.
5cos α＋3sin α5＋3tan α5＋3·（－2）
1
2
2
2
1
2
2
4
sinα＋
5
cosα
4
tanα＋
51
2
2
2
(2)
4
sinα＋
5
co sα＝＝
2

sin
2
α＋cos
2
αtanα＋ 1
7
＝
25
.
7.已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝
解 将sin θ＋cos θ＝
3－1
2
，求tan θ的值.
3－1
的两边分别平方，
2
3
得1＋2sin θcos θ＝1－
2
，
3
即sin θcos θ＝－
4
.
所以sin θcos θ＝
sin θcos θtan θ
3
＝＝－
4
，
sin
2
θ＋cos
2
θ1＋tan
2
θ
3
解得tan θ＝－3或tan θ＝－
3
.
∵θ∈(0，π)，03－1
2
<1，
?
π
?
∴θ∈
?
，π
?
，且|sin θ|>|cos θ|，
?
2
?
∴|tan θ|>1，
?
π3π
?
即θ∈
?
，
?
，∴tan θ<－1.
4
??
2
∴tan θ＝－3.
cos αsin α2（cos α－sin α）
8.求证：－＝.
1＋sin α1＋cos α1＋sin α＋cos α
证明 法一
cos α（1＋cos α）－sin α（1＋sin α）
左边＝
（1＋sin α）（1＋cos α）
cos
2
α－sin
2
α＋cos α－sin α
＝
1＋sin α＋cos α＋sin αcos α

（cos α－sin α）（cos α＋sin α＋1）
＝
11

2
2
（cos α＋sin α）＋sin α＋cos α＋
2
＝
＝
2（cos α－sin α）（cos α＋sin α＋1）

（sin α＋cos α＋1）
2
2（cos α－sin α）
＝右边.
1＋sin α＋cos α
∴原式成立.
法二 ∵
cos α1－sin αcos α＋1－sin α
＝＝，
1＋sin αcos α1＋sin α＋cos α
sin α1－cos αsin α＋1－cos α
＝＝，
1＋cos αsin α1＋cos α＋sin α
cos αsin α2（cos α－sin α）
∴－＝.
1＋sin α1＋cos α1＋cos α＋sin α
∴原等式成立.
能 力 提 升
9.已知tan θ＝2，则sin
2
θ＋sin θcos θ－2cos
2
θ等于( )
4
A.－
3

5
B.
4

3
C.－
4

4
D.
5

解析 sin
2
θ
＋sin
θ
cos
θ
－2cos
2
θ

sin
2
θ
＋sin
θ
cos
θ
－2cos
2
θ
tan
2
θ
＋tan
θ
－2
＝＝，
sin
2
θ
＋cos
2< br>θ
tan
2
θ
＋1
又tan
θ
＝2，故原式＝
答案 D
51
10.已知sin α－cos α＝－
2
，则tan α＋的值为( )
tan α
A.－4
解析 tan
α
＋
B.4 C.－8 D.8
4＋2－2
4
＝
5
.
4＋1
sin
α
cos
α
11
＝＋＝.
tan
α
cos
α
sin
α
sin
α
cos
α
1－（sin
α
－cos
α
）
2
1
∵sin
α
cos
α
＝＝－
28
，
∴tan
α
＋
1
＝－8.
tan
α

答案 C
11.在△ABC中，2sin A＝3cos A，则角A＝______.
解析 由题意知cos A>0，即A为锐角.
将2sin A＝3cos A两边平方得2sin
2
A＝3cos A.
∴2cos
2
A＋3cos A－2＝0，
π
1
解得cos A＝
2
或cos A＝－2(舍去)，∴A＝
3
.
π
答案
3

1
12.如果sin α＋cos α＝
5
，那么α所在的象限是______.
12
解析 由(sin
α
＋cos
α
)＝1＋2sin
α
cos
α
，得sin
α
cos
α
＝－
25
<0，
2
即sin
α
，cos
α
异号，因此α在第二或第四象限.
答案 第二或第四象限
211
13.已知sin α＋cos α＝
2
，求
2
＋
2
的值.
sinαcosα
2
解 由sin α＋cos α＝
2
平方可得
1
sin
2
α＋2sin αcos α＋cos
2
α＝1＋2sin αcos α＝
2
.
1
∴sin αcos α＝－
4
，
sin
2
α ＋cos
2
α
11
∴
2
＋
2
＝＝16.
sinαcosαsin
2
αcos
2
α
探 究 创 新
14.已知关于x的方程2x
2
－(3＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，
θ∈(0，2π)，求：
(1)
sin θ
cos θ
＋的值；(2)m的值；
1
1－tan θ
1－
tan θ
(3)方程的两根及θ的值.
解 因为已知方程有两根，

?
3?1
sin
?
+cos
?
=,①
?
2
?
m
?
所以
?
sin
?
cos
?
=,②

2
?
?
?=4+23-8m?0.③
?
?
sin θcos θsin
2
θcos
2
θ
(1)
1
＋< br>1－tan θ
＝
sin θ－cos θ
＋
cos θ－sin θ

1－
tan θ
sin
2
θ－cos
2
θ3＋1
＝＝sin θ＋cos θ＝
2
.
sin θ－cos θ
2＋3
(2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝
2
，
3
所以sin θcos θ＝
4
.
m3
由②，得
2
＝
4
，
2＋3
33即m＝
2
.由③，得m≤
4
，所以m＝
2
.
33
(3)因为m＝
2
，所以原方程为2x
2
－(3＋1)x＋2
＝0.
??
33
sin
?
?,cos
?< br>?,
??
31
??
22
解得x
1
＝
2
，x
2
＝
2
，所以
?

或
?< br>?
cos
?
?
1
?
sin
?
?1
.
??
?2?2
ππ
又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝3
或θ＝
6
.

1.3 三角函数的诱导公式(一)
目标定位 1.能借助单位圆中的三角函数线推导π±
α
，－α的正弦、余弦、正切
的诱导公式，能进行简单的应用；2.掌握用单位圆中三角函数线研究三角函 数问题
的方法.

自 主 预 习
1.设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系如表
相关角
π＋α与α
－α与α
π－α与α
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，
tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，
tan(π＋α)＝tanα.
(3)公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，
tan(－α)＝－tanα.
(4)公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，
tan(π－α)＝－tanα.
3.诱导公式的整合与记忆
2kπ＋α(k∈Z )，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加
上一个把α看成锐角时原函数值 的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.
即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)角α与β终边方向相反，则有β＝α＋π.(×)
(2)角α与－α终边一定关于x轴对称.(√)
73
(3)cos
6
π＝
2
.(×)
终边之间的对称关系
关于原点对称
关于x轴对称
关于y轴对称

(4)tan 945°＝－1.(×)
提示 (1)
β
＝
α
＋kπ，k∈Z.
(2)由正，负角的定义可知：α与－α终边关于x轴对称.
π
π
?
73
?
(3)cos
6
π＝cos
?
π＋
?＝－cos
6
＝－
2

6
??
(4)tan 945°＝tan(5×180°＋45°)＝tan 45°＝1.
2.对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( )
A.α一定是锐角
B.0≤α<2π
C.α一定是正角
D.α是使公式有意义的任意角
解析 由诱导公式的概念可知，角α可以取使公式有意义的任意角.
答案 D
3.下列各式不正确的是( )
(α＋180°)＝－sin α
(－α＋β)＝－cos(α－β)
(－α－360°)＝－sin α
(－α－β)＝cos(α＋β)
解析 对于B，cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，而不是－cos(α－β).
答案 B
4.化简sin(－2)＋cos(－2－π)tan(2－4π)所得的结果是______.
解析 sin(－2)＋cos(－2－π)·tan(2－4π)＝－sin 2＋cos(2＋π)·tan 2＝－sin 2－
cos 2tan 2＝－2sin 2.
答案 －2sin 2

类型一 给角求值问题
【例1】 求下列各式的值：
?
4π
?
(1)si n
?
－
?
；(2)cos(－60°)－sin(－210°).
3
??
π
π
?
3
?
4π
??
解 (1)sin
?
－
?
＝－sin
?
π＋
?
＝sin
3
＝
2
.
3
?
3
???
11
(2)原式＝cos 60°＋sin(180°＋30°)＝cos 60°－sin 30°＝
2
－
2
＝0.
规律方法 利用诱导公式求任意角三角函数的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
特别提醒：牢记0°，30°，45°， 60°，90°角的正弦、余弦和正切值对给角求
值问题很重要！
【训练1】 求下式的值：
2sin(－1 110°)－sin 960°＋2cos(－225°)＋cos(－210°).
解 原式＝2sin(－3×360°－30°)－sin(2×360°＋240°)＋2cos(180°
＋45°)＋cos(180°＋30°)
＝2sin(－30°)－sin(180°＋60°)－2cos 45°－cos 30°
1323
＝－2×
2
＋
2
－2×
2
－
2
＝－2.
类型二 给值(式)求值问题
1
【例2】 已知sin(π＋α)＝－
3
，求cos(5π＋α)的值.
11
解 因为sin(π＋α)＝－
3
，所以sin α＝
3
.
当α是第一象限角时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin
2
α＝
22
－
3
.
当α是第二象限角时，

22
cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝1－sin
2
α＝
3
.
22
综上，cos(5π＋α)的值为±
3
.
规律方法 解答这类 给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求
值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式 内在联系，特别是角之间的关系，
恰当地选择诱导公式.
1
【训练2】 已知cos(α－75°)＝－
3
，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值.
1
解 ∵cos(α－75°)＝－
3
<0，且α为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角.
∴sin(α－75°)＝－1－cos
2
（α－75°）
＝－
22
?
1
?
2
1－
?
－
3
?＝－
3
.
??
22
∴sin(105°＋α)＝sin [
180°＋（α－75°）
]
＝－sin(α－75°)＝
3
.
类型三 利用诱导公式进行三角式的化简(互动探究)
【例3】 设k∈Z，化简：
[思路探究]
探究点一 sin(kπ－α)＝sin
α
吗？应该如何化简？
提示 给合式子特征，应以对“角”的处理为切入点，且需对k分奇偶数讨论，
正确选用诱导公式.
探究点二 除将k分奇数、偶数分类讨论外，还有其他化简方法吗？
提示 寻找角之间的联系，整体处理.
解 法一 当k为偶数时，不妨设k＝2m(m∈Z)，
sin（2mπ－α）cos[（2m－1）π－α]
则原式＝
sin[（2m＋1 ）π＋α]cos（2mπ＋α）
＝
sin（－α）cos（π＋α）－sin α（－cos α）
＝＝－1；
sin（π＋α）cos α－sin αcos α
sin（kπ－α）cos[（k－1）π－α]
.
sin[（k＋1）π＋α] cos（kπ＋α）
当k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
综上，k为整数时，原式＝－1.

法二 由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，
[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，
得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，
cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，
sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
所以原式＝－1.
规律方法 化简三角函数式时，若遇到kπ±
α
的形式，需分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论，然后再运用诱导公式进行化简.
[课堂小结]
1.明确各诱导公式的作用
诱导公式
公式一
公式二
公式三
公式四
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象 限”.其含义是诱导公式两
边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符 号.α
看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.

3
1.已知cos(π＋θ)＝
6
，则cos θ＝( )
3
A.
6

33
C.
6



3
B.－
6

33
D.－
6

作用
将角转化为0～2π之间的角求值
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
将负角转化为正角求值
π
将角转化为0～
2
之间的角求值
33
解析 ∵cos(π＋θ)＝－cos
θ
＝
6
，∴cos
θ
＝－
6
.
答案 B

4
2.已知sin(π－α)＝
5
，α为第二象限角，则cos(－α)＝( )
3
A.－
5

3
B.
5

3
C.±
5

4
D.
5

433
解析 由已知：sin
α
＝
5
，cos
α
＝－
5
，cos(－α)＝cos
α
＝－
5
.
答案 A
3.设tan α＝a(a≠－1)，则
解析 原式＝
答案
1－a

1＋a
sin（3π－α）＋cos（π＋α）
＝____.
sin（－α）＋cos（π－α）
sin
α
－cos
α
tan
α
－11－a
＝＝.
－sin
α
－cos
α
－tan
α
－11＋a
tan（ 2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）
4.化简：.
cos（α－π）sin （5π－α）
sin（2π－α）
·sin（－α）·cos（－α）
cos（2π－ α）
解 原式＝
cos（π－α）·sin（π－α）
＝
－sin α（－sin α）cos αsin α
＝－＝－tan α.
cos α（－cos α）sin αcos α

基 础 过 关
585°的值为( )
2
A.－
2

3
C.－
2



2
B.
2

3
D.
2

2
解析 sin 585°＝sin(180°×3＋45°)＝－sin 45°＝－
2
.
答案 A
2.若n为整数，则代数式
A.±tan α
α

sin（nπ＋α）
的化简结果是( )
cos（nπ＋α）
B.－tan α
1
D.
2
tan α

解析 当n是偶数时，原式＝
tan
α
.
答案 C
sin
α
－sin
α
＝tan
α
，当n是奇数时，原式＝＝
cos
α
－cos
α13
3.若cos(π＋α)＝－
2
，
2
π<α<2π，则si n(2π＋α)等于( )
1
A.
2

3
C.
2



3
B.±
2

3
D.－
2

11
解析 由cos(π＋α)＝－
2
，得cos
α
＝
2
，故sin(2π＋α)＝sin
α
＝－1－cos
2

α
3
＝－
2
(α为第四象限角).
答案 D
3
?
π
??
5π
?
?
＝_______. 4.已知cos
?
＋θ
?
＝
3
，则cos
?
－θ
?
6
??
6
?
?
5π
???
π
??
?
＝cos
?
π－
?
＋θ
??< br> 解析 cos
?
－θ
?
6
???
6
??< br>3
?
π
?
＝－cos
?
＋θ
?
＝－
3
.
?
6
?
3
答案 －
3
< br>4
5.已知cos(π－α)＝－
5
，且α为第一象限角，则tan(5π＋α )＝_______.
433
解析 cos
α
＝
5
，
α
为第一象限角，有sin
α
＝
5
，tan
α
＝
4
，
3
tan(5π＋α)＝tan
α
＝
4
.
3
答案
4

6.求下列三角函数的值：
?
20
?
(1)sin 690°；(2)cos
?
－
3
π
?
；(3)tan(－1 845°).
??
解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°
＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)

＝－sin 30°＝－
1
2
.
(2 )cos
?
?
?
－
20
3
π
?
?
?
＝cos
202
3
π＝cos(6π＋
3
π)
＝cos
2
?
π
?
π
1
3
π＝ cos
?
?
π－
3
?
?
＝－cos
3
＝－
2
.
(3)tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)
＝－tan 45°＝－1.
7.化简
sin（4π－α）·tan（π＋α）·tan（－α－π）
tan（α－ 5π）·cos（3π－α）
.
解 原式＝
sin（－α）·tan α·（－tan α）
tan α·cos（π－α）

＝
sin α·tan α·tan α
－tan α·cos α

＝－tan
2
α.
8.已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.
证明 ∵sin(α＋β)＝1，
∴α＋β＝2kπ＋
π
2
(k∈Z)，
∴α＝2kπ＋
π
2
－β (k∈Z).
tan(2α＋β)＋tan β＝tan
?
?
?
π
??< br>?
2
?
?
2kπ＋
2
－β
?
?＋β
?
?
＋tan β
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β
＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β
＝tan(π－β)＋tan β
＝－tan β＋tan β＝0，
∴原式成立.
能 力 提 升
9.若sin(π－α)＝log
1
8

?
π
?< br>4
，且α∈
?
?
－
2
，0
?
?，则cos(π＋α)的值为(
A.
555
3
B.－
3
C.±
3
D.以上都不对


)

2
解析 ∵sin(π－α)＝sin
α
＝log
23
2＝－
3
，
－
2
?
π
?
又α∈
?
－，0
?
.
?
2
?
∴cos(π＋α)＝－cos
α
＝－1－sin
2

α

＝－
45
1－
9
＝－
3
.
答案 B
10.记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
1－k
2
A.
k

C.
k

1－k
2


1－k
2
B.－
k

D.－
k

1－k
2
解析 ∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
1－k
2
∴sin 80°＝1－k.∴tan 80°＝
k
.
2
1－k
2
∴tan 100°＝－tan 80°＝－
k
.
答案 B
11.化简：sin(－α)cos(π＋α)tan(2π＋α)＝.
解析 原式＝(－sin
α
)(－cos
α
)tan
α

＝sin
α
cos
α
答案 sin
2
α < br>12.设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数 .若f(2 015)
＝1，则f(2 016)＝____.
解析 f(2 015)＝asin(2 015π＋α)＋bcos(2 015π＋β)＋2
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝2－(asin
α
＋bcos
β
)＝1，
∴asin
α
＋bcos
β
＝1，
f(2 016)＝asin(2 016π＋α)＋bcos(2 016π＋β)＋2
＝asin
α
＋bcos
β
＋2＝3.
sin
α
＝sin
2

α
.
cos
α

答案 3
13.在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求
△ABC的三个内角.
解 由条件得sin A＝2sin B，3cos A＝2cos B，
2
平方相加得2cos
2
A＝1，cos A＝±
2
，
π
3
又∵A∈(0，π)，∴A＝
4
或
4
π.
33
?
π
?
当A＝π时，cos B＝－<0，∴B∈
?
，π
?
，
42
?
2
?
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去.
π
3
∴A＝，cos B＝，
42
π
7
∴B＝
6
，∴C＝
12
π.
探 究 创 新

14.如果△A
1
B
1
C1
的三个内角的余弦值分别等于△A
2
B
2
C
2
对应的三个内角的正弦
值，则能否判断△A
1
B
1
C
1< br>与△A
2
B
2
C
2
的类型？
解 由条件可 知，△A
1
B
1
C
1
的三个内角的余弦值均大于0，故△A
1
B
1
C
1
是锐角三角
形.
假设△A
2
B
2
C
2
也是锐角三角形，则
?
?
π
?
π
?
sinA?cosA?sin?A
211
?
,
A?
?
?
?
2
2
?A
1
,
2
??
?
?
?
π
?
?
π
?
由
?
sinB
2
?cosB
1?sin
?
?B
1
?
,
得
?
B
2
??B
1
,

2
?
2
?
?< br>?
π
?
?
?
π
?
C?
?
s inC
2
?cosC
1
?sin
?
?C
1
?
,
?
2
2
?C
1
.
?
?
2
?
?
3ππ
则A
2
＋B
2
＋C
2
＝
2
－(A
1
＋B
1
＋C
1
)＝
2
，这与三角形内角和为π矛盾，故△A
2
B
2
C2
不可能是锐角三角形；
ππ
假设△A
2
B
2
C
2
是直角三角形，则必存在一个角为
2
，而sin
2
＝ 1，由已知条件，

△A
1
B
1C
1
中必有一个角的余弦值为1，角为0，矛盾.故△A
2
B
2
C
2
也不可能是直角三
角形.
综上，可知△A
2
B
2
C
2
为钝角三角形.
1.3 三角函数的诱导公式(二)
π
目标定位 1.能借助单位圆中的三角函数线 推导
2
±
α
的正弦、余弦的诱导公式，
能进行简单的应用；2.掌握 用单位圆中三角函数线研究三角函数问题的方法.

自 主 预 习
1.诱导公式五～六
?
π
??
π
?
(1)公式五 ：sin
?
－α
?
＝cosα；cos
?
－α
?< br>＝sinα.
?
2
??
2
?
以－α替代公式五中的α，可得公式六. < br>?
π
??
π
?
??
(2)公式六：sin
＋ α
＝cosα；cos
?
＋α
?
＝－sinα.
?
2
??
2
?
2.诱导公式五～六的记忆
ππ< br>2
－α，
2
＋α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看 成
锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.
即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
π
(1)对任意角α，α与
2
－α终边关于直线y＝x对称.(√)
B＋C
A
(2)在△ABC中，总有sin
2
＝cos
2
.(√)
?
π
?
(3)只有当α是锐角时，cos
?
－α
?
＝sin α才成立.(×)
?
2
?
?
π??
3π
?
?
＝cos α.(×) (4)当α∈
?
，π
?
时，sin
?
－α
?
2
??
2?
ππ
提示 (1)∵α＋
2
－α＝
2
，故它们终边关于直线y＝x对称.
B＋ Cπ－A
A
?
π
A
?
(2)sin
2
＝s in
2
＝sin
?
－
?
＝cos
2
.
?
22
?

(3)α为任意角时，都成立.
?
3
?
(4)sin
?< br>2
π－α
?
＝－cos
α
.
??
2.若cos 65°＝a，则sin 25°的值是( )
A.－a B.a C.1－a
2
D.－1－a
2

解析 sin 25°＝sin(90°－65°)＝cos 65°＝a.
答案 B
?
π
??
π
?
3.若sin
?
＋θ
?
<0，且cos
?
－θ
?
>0，则θ是( )
?
2
??
2
?
A.第一象限角
C.第三象限角


B.第二象限角
D.第四象限角
?
π
??
π
?
解析 sin
?
＋θ
?
＝cos
θ
<0，cos
?
－θ
?
＝sin
θ
>0，∴
θ
是第二象限角.
?
2
??
2
?
答案 B
4.若sin(180° ＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是
________.
解析 由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－sin
α
－sin
α
＝－2sin
α
得sin
α< br>＝
a3
，又cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin
α
－2sin
α
＝－3sin
α
＝－
22
a.
3
答案 －
2
a

类型一 利用诱导公式求值(互动探究)
7
?
π
?
3
?
?
α＋
【例1】 (1)已知sin
?
α＋
?
＝
3
，则cos
?的值为；
12
π
?
12
?
??
?
?
π
?
1
?
5π
??
2π
?
?·sin
??
＝. (2)已知cos
?
－α
?
＝3
，则cos
?
＋α－α
?
6
??
6
??
3
?
[思路探究]
探究点一 (1)中已知角与要求值角之间有怎样的关系？
π
?
π
?
7
提示 α＋
12
π＝
2
＋
?
α＋
?
.
12
??
探究点二 (2)中怎样将要求值的角转化为已知值的角？

5
?
π
?
2
?
π
?
提示
6
π＋α＝π－
?
－α
?
，
3
π－α＝π－?
＋α
?
，
?
6
??
3
?
ππ
?
π
?
而
3
＋α＝
2
－
?< br>－α
?
.
?
6
?
π
?
3
?
解析 (1)∵sin
?
α
＋
?
＝
3
，
12< br>??
7π
?
π
?
??
π
?
?
∴cos
?
α
＋
?
＝cos
?
＋
?α＋
?
?

12
?
12
?
?
?
?
2
?
π
?
3
?
＝－sin
?
α
＋
?
＝－
3
.
12
??
?< br>5π
??
2π
???
π
??
?
·sin??
＝cos
?
π－
?
－α
??
· (2)c os
?
＋α－α
?
6
??
3
???
6??
??
π
???
π
??
π
?
sin
?
π－
?
＋α
??
＝－cos
?
－α?
·sin
?
＋α
?

??
3
???
6
??
3
?
1
?
π
?
π
?
?
＝－
3
sin
?
－
?
－α
?
?

?
??
2
?
6
1
?
π
1
?
＝－
3
cos
?
－α
?
＝ －
9
.
?
6
?
答案 (1)－
31
(2)－
39
规律方法 这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要
ππππππ
能发现它们的互余、互补关系：如
3
－α与
6
＋α，
3
＋α与
6
－α，
4
－α与
4
＋α
π2ππ3π
等互余，
3
＋
θ
与
3
－θ，
4
＋θ与
4
－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两
个角的和，要善 于利用角的变换来解决问题.
3
?
π
??
π
?
【训练1】 已知sin
?
＋α
?
＝
3
，求cos
?
－α
?
的值.
?
6
??
3
?
πππ
解 ∵
6
＋α＋
3
－α＝
2
，
ππ
?
π
?
∴
3
－α＝
2
－
?
＋α
?
.
?
6
?
?
π
?
π
?
π
?
?
?
∴cos
?
－α
?
＝cos?
－
?
＋α
?
?

?
3
?< br>?
??
2
?
6
3
?
π
?
＝ sin
?
＋α
?
＝
3
.
?
6
?

类型二 利用诱导公式证明恒等式
?
3π
?
?
cos （6π－α）tan （2π－α）cos
?
－α
?
2
?
【例2】 求证：＝－tan α.
3π
?
3π
???
?
sin
?
α＋
?
cos
?
α＋
2
?
2
???
证明 左边＝
tan （－α）·（－sin α）·cos （－α）

??
π
????
π
??
sin
?
2π－
?
－α
??
·co s
?
2π－
?
－α
??
??
2
????< br>2
??
（－tan α）·（－sin α）·cos α
＝
??< br>π
????
π
??
sin
?
－
?
－ α
??
cos
?
－
?
－α
??
??
2
????
2
??
sin
2
α
＝
?
π
??
π
?
－sin
?
－α
?
c os
?
－α
?
?
2
??
2
?
si n
2
α
＝
－cos α·sin α
sin α
＝－＝－tan α＝右边.
cos α
∴原等式成立.
规律方法 利 用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常
用方法有：(1)从一边开始，使得它 等于另一边，一般由较繁的一边到较简的一边.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子 .(3)凑合法：即针对题设与结论
间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为 同.
3π
??
π
??
????
－12sin
θ－
cos
2
??
θ＋
2
??
【训练2】 求证：
1－2sin
2
（π＋θ）
＝
tan（9π＋θ）＋1
.
tan（π＋θ）－1
?
3π
?
－2sin
?
－θ
?
·（－sin θ）－1
?
2
?
证明 左边＝
1－2sin
2
θ
??
π
??
2sin
?
π＋
?
－θ
??
sin θ－1
??
2
??
＝
1－2sin
2
θ

?
π
?
－2sin
?
－θ
?
sin θ－1
?
2
?
＝
1－2sin
2
θ
＝
－2cos θsin θ－1

cos
2
θ＋sin
2
θ－2sin
2
θ
（sin θ＋cos θ）
2
sin θ＋cos θ
＝＝.
sin
2
θ－cos
2
θsin θ－cos θ
tan（9π＋θ）＋1tan θ＋1sin θ＋cos θ
右边＝＝＝.
tan（π＋θ）－1tan θ－1sin θ－cos θ
∴左边＝右边，故原等式成立.
类型三 诱导公式的综合应用
3π
??
?
sin （α－3π）cos （2π－α）sin
?
－α＋
2
??
【例3】 已知f(α)＝.
cos （－π－α）sin （－π－α）
(1)化简f(α)；
3π
?
1
?
(2)若α是第三象限的角，且cos
?
α－
?
＝
5
，求f(α)的值；
2
??
31π
(3)若α＝－
3
，求f(α)的值.
解 (1)f(α)＝
（－sin α）·cos α·（－cos α）
＝－cos α.
（－cos α）sin α
3π
?
1
?
(2)∵cos
?
α－
?
＝－sin α，∴sin α＝－
5
，
2
??
又α是第三象限的角，
∴cos α＝－
2626
?
1
?
2
1－
?
－
5
?
＝－5
，∴f(α)＝
5
.
??
5π
??
31π
??
31π
??
?
＝－cos
?
－
?
＝－cos
?
－6×2π＋
?
( 3)f
?
－
3
?
3
?
3
????
5ππ
1
＝－cos
3
＝－cos
3
＝－
2
.
规律方法 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问 题时，可先用诱导公式化
简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交
错使用而导致的混乱.
【训练3】 已知sin α是方程5x
2
－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求

3
??
3
??
－α－ππ－α
???
sin
?
cos
2
??
2
??
·t an
2
(π－α)的值.
?
π
??
π
?
cos
?
－α
?
sin
?
＋α
?
?
2
??
2
?
3
解 方程5x
2
－7x－6＝0的 两根为x
1
＝－
5
，x
2
＝2，
34
由α是第三象限角，得sin α＝－
5
，则cos α＝－
5
，
3
??
3
??
sin
?－α－
2
π
?
cos
?
2
π－α
?< br>????
∴·tan
2
(π－α)
?
π
??
π
?
cos
?
－α
?
sin
?
＋α?
?
2
??
2
?
?
π
??
π
?
sin
?
－α
?
·cos
?
＋α
?
?
2
??
2
?
＝·tan
2
α
sin α·cos α
＝
cos α·（－sin α）
·tan
2
α
sin α·cos α
2
sin
2
α
9
＝－tanα＝－＝－
16
.
cos
2
α
[课堂小结]
π
1.学习了本节知识后，连同 前面的诱导公式可以统一概括为“k·
2
±α(k∈Z)”
的诱导公式.当k为偶数时 ，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数
值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符 号.
2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规
律性 ，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.
3.诱导公式是三角变换的基本公式， 其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，
应用时要注意整体把握、灵活变通.

1
?
π
?
1.如果cos
(
π＋A
)
＝ －
2
，那么sin
?
＋A
?
＝( )
?
2
?
1
A.－
2

1
B.
2

3
C.－
2

3
D.
2

11
解析 ∵cos(π＋A)＝－cos A＝－
2
；cos A＝
2
，

< br>1
?
π
?
∴sin
?
＋A
?
＝co s A＝
2
.
?
2
?
答案 B
π
?< br>1
??
π
?
2.已知sin
?
α－
?
＝，则cos
?
＋α
?
的值为( )
4
?
3
??
4
?
1
A.－
3

1
B.
3

22
C.－
3

22
D.
3

π
?
1
?
π
?
π
?
π
??
π
??
?
?
解析 cos
?< br>＋α
?
＝cos
?
－
?
－α
?
?< br>＝sin
?
－α
?
＝－sin
?
α
－
?
＝－
3
.
4
??
4
??
4
??
?
??
2
?
4
答案 A
π
3
?
π
?
3.已知sin
?
＋α
?
＝
2< br>且|α|<
2
，则tan α＝______.
?
2
?
π
31
?
π
?
解析 sin
?
＋α
?
＝cos
α
＝
2
，当0≤α<
2
时，sin
α
＝1－cos
2
α
＝
2
，
?
2
?
π
313
tan
α
＝
3
，当－
2
<
α
<0时，sin
α
＝－1－cos
2
α
＝－
2
，tan
α
＝－
3
，
3
综上tan
α
＝±
3
.
3
答案 ±
3

π
?
π
???
4.化简sin
2
?
A＋
?< br>＋sin
2
?
A－
?
.
4
?
4< br>???
π
?
π
?
π
???
π
???
解 原式＝sin
2
?
A＋
?
＋sin
2
?
－A
?
＝sin
2
?
A＋
?
＋cos< br>2
?
A＋
?
＝1.
4
?
4
?
4
???
4
???

基 础 过 关
1.已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )
1
A.－
2

1
B.
2

3
C.－
2

3
D.
2

解析 f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°
1
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－
2
.
答案 A

1
?
7π
?
?
等于( ) 2.若sin(3π＋α)＝ －
2
，则cos
?
－α
?
2
?
1
A.－
2

1
B.
2

3
C.
2

3
D.－
2

11
解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin
α
＝－
2
，∴sin
α
＝
2
.
1
?
7π
??
3π< br>??
π
?
?
＝cos
??
＝－cos
?－α
?
＝－sin
α
＝－. ∴cos
?
－α－α< br>2
?
2
??
2
??
2
?
答案 A
sin θ＋cos θ
?
3
?
3.已知＝2，则sin(θ－5π )·sin
?
2
π－θ
?
等于( )
??
sin θ－cos θ
1
A.
10

解析 ∵
1
B.
5

sin θ＋cos
θ
＝2，
sin
θ
－cos
θ
3
C.
10

2
D.
5

∴sin
θ
＝3cos
θ
，∴tan
θ
＝3.
?
3
?
sin (θ－5π)·sin
?
2
π－θ
?

??
＝－sin
θ
·(－cos
θ
)＝sin
θ
cos
θ

＝
sin
θ
cos
θ
tan
θ
3
＝＝.
sin
2
θ＋cos
2
θ
1＋tan
2
θ
10
答案 C
?
π
?
4.在△ABC中，3sin
?
－A
?＝3sin(π－A)，且cos A＝－3cos(π－B)，则C＝
?
2
?
_____.
?
π
?
解析 由3sin
?
－A
?
＝3sin(π－A)可得：
?
2
?
3
3cos A＝3sin A，∴tan A＝
3
.
π
又06
.
由cos A＝－3cos(π－B)可得
cos A＝3cos B，
ππ
1
∴cos B＝
2
.∴B＝
3
，∴C＝
2
.

π
答案
2

5.计算sin
2
1°＋sin
2
2°＋…＋sin
2
88°＋sin
2
89°＝______.
解析 原式＝(sin
2
1°＋sin
2
89°)＋(sin
2
2°＋sin
2
88°)＋…＋(sin
2
44°＋
189
sin
2
46°)＋sin
2
45°＝44＋
2
＝
2
.
89
答案
2

π
6.已知
2
<α<π，tan α－
(1)求tan α的值.
?
3π
?
?
－cos（π－α）cos
?
＋α?
2
?
(2)求的值.
?
π
?
sin
?
－α
?
?
2
?
13
解 (1)令tan α＝x，则x－
x
＝－
2
，
1
2x＋3x－2＝0，解得x＝
2
或x＝－2，
2
13
＝－
2
.
tan α
π
因为
2
<α<π，所以tan α<0，
故tan α＝－2.
?
3π
?
?
－cos（π－α）cos
?＋α
sin α＋cos α
?
2
?
(2)＝＝tan α＋1
cos α
?
π
?
sin
?
－α
?
?
2
?
＝－2＋1＝－1.
?
15
?
?
. 7.已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点 P
?
m，
4
??
(1)求m的值；
π
??
sin
?
α－
?
2
??
(2)求的值.
?3π
?
sin（π＋α）－sin
?
－α
?
＋1
?
2
?
解 (1)因为角α的终边在第二象限，

1
??
15
?
2
15
?
2
?
，所以m<0，m＋
??
＝1，解得m＝－. 且与单位圆交 于点P
?
m，
4
4
???
4
?
151(2)由(1)可知sin α＝
4
，cos α＝－
4
，
π
??
sin
?
α－
?
2
??
所以
?
3π
?
sin（π－α）－sin
?
－α
?
＋ 1
?
2
?
＝
－cos α

sin α＋cos α＋1
1
4
151
4
－
4
＋1
15－3< br>6
. ＝＝
1
8.已知sin(π＋α)＝－
3
.
3π
??
计算：(1)cos
?
α－
?
；
2
??
?
π
?
(2)sin
?
＋α
?< br>；
?
2
?
(3)tan(5π－α).
11
解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－
3
，∴sin α＝
3
.
3π
?
1
??
3π
?
????
(1)cos
α－
＝cos
－α
＝－sin α＝－
3
.
2
???
2
?
18
?
π
?
(2)sin
?< br>＋α
?
＝cos α，cos
2
α＝1－sin
2
α＝1－
9
＝
9
.
?
2
?
1
∵sin α＝
3
，∴α为第一或第二象限角.
22
?
π
?
①当α为第一象限角时，sin
?
＋α
?
＝cos α＝
3
.
?
2
?
22
?
π
?< br>②当α为第二象限角时，sin
?
＋α
?
＝cos α＝－
3
.
?
2
?
(3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，
1
∵sin α＝
3
，∴α为第一或第二象限角.

22
①当α为第一象限角时，cos α＝
3
，
22
∴tan α＝
4
，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－
4
.
222
②当α为第二象限角时，cos α＝－
3
，tan α＝－
4
，
2
∴tan(5π－α)＝－tan α＝
4
.
能 力 提 升
1
9.已知cos(75°＋α)＝
3
，则sin(α－15°)＋cos( 105°－α)的值是( )
1
A.
3

2
B.
3

1
C.－
3

2
D.－
3

解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
2
＝－2cos(75°＋α)＝－
3
.
答案 D
?< br>π
?
?
3
?
??
10.若sin(π＋α)＋cos
＋α
＝－m，则cos
?
2
π－α
?
＋2sin( 2π－α)的值为( )
??
?
2
?
2m
A.－
3

2m
B.
3

3m
C.－
2

3m
D.
2

?
π
?
解析 ∵sin(π＋α)＋cos
?
＋α
?
＝－sin
α
－sin
α
＝－m，
?
2
?
m3
?
3
?
∴sin
α
＝
2
.故cos
?
2
π－α
?
＋2sin (2π－α)＝－sin
α
－2sin
α
＝－3sin
α
＝－
2
??
m.
答案 C
?
π??
π
?
11.式子cos
2
?
－α
?
＋cos
2
?
＋α
?
＝________.
?
4
??
4
?
?
π
?
π
?
?
?
2
?
π
解析 原式＝sin
?
－
?
－α
?
?
＋cos
?
＋α
?

?
4
?
?
??
2
?
4
2