调动高中数学课走神现象-高中数学学不太好
第3课时 三角函数
一、知识要点：
1.按___
_______方向旋转的角叫正角；按_______________方向旋转的角叫负角；
________________叫零角.
2.终边相同角的表示：
或者 .
即：任一与角
?
终边相同的角，都可以表示成角
?
与整数个周角的和
说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
3.象限角：顶点在原点，始边与
x轴非负半轴重合，则终边落在________，就称这个角是
第几象限的角。
轴线角：顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，则终边落在坐标轴上，
就称这个角是轴线角。
第一象限角的集合表示为 第二象限角的集合表示为
第三象限角的集合表示为 第四象限角的集合表示为
4.弧度定义：
，其中：正角的弧度数是一
个正数，负角的弧度数是一个_____数，零角的弧度数是______.
?
180
弧度与角度换算：1rad＝()°≈(
)°=57°18ˊ；1°＝≈0.01745（rad）
180
?
度 30°
45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度
5.在扇形中：
?
?
.S
扇形
=
。
2
|n|
?
r|n|
2
在角度制中：（1）
扇形面积为
S?
?
r??
360360
|n||n|
?r
（2）圆的半径为
r
，圆心角为
n
所对弧长为
l?2
?
r?
；
?
360180
?
r
l
二、知识要点：
1.任意角三角函数定义为：（P是角
?
终边
上一点，如下图，且
op?r?
正弦：sin
?
=
余弦：cos
?
=
O x
正切：tan
?
=
单位圆三角函数线：正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
y
P
·
(
x,y)
x
2
?y
2
?0
）
y
P
T
O
M
A
x
1
2．任意角三角函数的符号规则：
3．熟记特殊角的三角函数值：
角α 0° 30° 45°
正弦
余弦
正切
cos
?
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
150° 180°
sin
?
cos
?
tan
?
60°
90°
120°
135°
4、同角三角函数关系：
sin
?
?tan
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
注意：必须是“同角”，至于角的形式无关重要，如
sin
2
4
?
?
cos
2
4
?
?1
等
对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
cos
?
??1?sin
2
?
，
sin
2
?
?1?cos
2
?
，
cos
?
?
三、
知识要点：
诱导公式：（其中
?
?R
，
k?Z
）
?
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
正弦
余弦
正切
sin
?
等。
tan
?
2
?
?
?
?
?
?
2
?
?
?
2
?
?
可概括为：奇变偶不变，符号看象限；化简规则：“负化正，大化小、化到锐角再求值
四、知识要点：
1、三角函数的图像与性质
正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：
定
义
域
值
域
周
期
性
奇
偶
性
y?sinx
y?cosx
R
y?tanx
1
?
?
?
x|x?R且x?k?
?
?
,k?Z
?
2
??
y?Asin
?
?
x?
?
?
（A、
?
＞0）
R R
[?1,?1]
[?1,?1]
R
?
?
?A,A
?
2
?
2
?
2
?
?
奇函数 偶函数 奇函数
当
?
?0,
非奇非偶
当
?
?0,
奇函数
2
单
调
性
[?
?
2
?2k
?
,
?
2
上
[<
br>?
2k?1
?
?
,
；
2k
?
]?
?
?
?
?
??k
?
,?k
?
?
2
?
2
?
?2k
?
]
为增函数；[?2k
?
,
2
3
?
?2k
?
]2
上为增函数
[2k
?
,
?
2k?1
?
?
]
上为减函数
（
k?Z
）
上为增函数
（
k?Z
）
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A),
?
?
?
?
1
?
?
?
?
?
2
(
?A)
?
?
?
??
?
?
上
上为增函数；
?
?
2k
?
??
?
?
为减函数
（
k?Z
）
?
?
2
(A),
??
?
??
??
3
?
2k
?
?
2
?
?
?
?
(?A)
??
?
??
上为减函数（
k
?Z
）
注意：1、函数y=sinx的对称轴是____________；对称
中心是________________
函数y=cosx的对称轴是____________；
对称中心是________________
函数y=tanx的对称中心是________________
2、函数
y?A
sin(?x??)
的周期T=
2
?
?
，函数
y?Acos
(
?
x?
?
)
的周期T=______，
函数
y
?Atan(
?
x?
?
)
的周期T=________。
（注意：求函数的最小正周期时，一定要
把函数表达式转化为上述形式，然后利用公式处理）
3、利用图象变换作三角函数图象：
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的
振幅|A|，周期
T?
2
?
，频率
f?
1
?
|
?
|
，相位
?
x?
?
;
初
|
?
|
T2
?
相
?
（即当x＝0时的相位）．（当A
＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐
标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜
|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，
叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用
yA替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐
标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|
＞1）到原来的
|
1|
倍，得到y＝sinω
x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用
?
ωx替换x)
由y＝si
nx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单
位，得到y＝sin（
x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换
x)
由y＝sin
x的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单
位，得到y＝sinx＋
b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函
数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的
图象，要特别注意：当周期变换和相位变
换的顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。
3
4、辅助角公式：
asin
?
?bcos
?
?
五、要点知识：
两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：
1、sin（α+β）= sin（α—β）=
2、cos（α+β）= cos（α－β）=
3、tan(α+β)= tan(α-β)=
六、要点知识
：二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α=
cos2
?
= = =
tan2α=
要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次
，降角—升次）．特别注意公式的三角
2
表达形式，要善于变形，
cos??
1?cos2?
,
2
sin
2
??
1?cos2?
这两个形式常用。
2
七、
要点知识
：
1．寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；
2．三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、
1
的变换、和积的变换、幂的变换等方面；
3．掌握基本技巧：切化弦，异名化同名，异角化同角等；
4.
应注意的几点:
1熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.
○
2注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等.
○
3注意倍角的相对性，如3α是
○
3
?
的倍角.
2
4要时时注意角的范围的讨论.
○
第4课时 平面向量、解三角形
一、要点知识：
1）平面向量的基本概念：既有 又有
的量叫做向量。向量可以用有向线
段表示，向量
AB
的 ，也就是向量
A
B
的长度（或称模），记作／
AB
／，向量的
基本概念有：向量的模，零向量
，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量等．
2）平面向量的线性运算：
①平面向量加法，减法运算，适用 ．
②平面向量减法是加法的逆运算，平面向量加法满足 律和 律．
③λa表示与
a共线的向量，且λa的方向由λ决定．向量b与非零向量a共线等价
于有且只有一个实数λ,使
。
二、要点知识：
1）平面向量的基本定理：如果e
1
,e
2
是一个平面内的两个
，那么对于这
个平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ
１
,λ
２
，使 。
2）平面向量的坐标运算：两个平面向量和
与差的坐标分别等于这两个平面向量相应坐
标的和与差．若A(x
１
,y
１<
br>),B(x
２
,y
２
),则
AB
＝
OB－
OA
= ；实数与向量的积
4
的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
3)向量共线的两种判定方法:
a
b
,
a
=(x
1
,y
1
),
b
=(x
2
,y
2
),且
a
???
?
0
?
?
三、要点知识：
1）平面向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量
叫a与b的数量积，记作a
．
b，即有a
．
b＝ ．
2）平面向量的数量积的几何意义：数量积a
．
b等于a的长度与b在a的方向上的投
影
的乘积．
3）两个平面向量的数量积的性质：设a与b为
两个非零向量,e是单位向量,且a与e
的夹角为θ.
1
0
,a.e=e.a=
2
0
,a
?
b
?
3
0
,当a与b同向时, a
．
b＝ a
．
b,
当a与b反向时, a
．
b＝- a
．
b, 特别地,
a
．
a＝ .
4)平面向量的应用：能用
平面向量知识处理平面几何或物理中的一些简单问题,如长度,
角,距离,平行,垂直等问题.
3.向量的运算
运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
a?b?b?a
向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则
a?b?(x
1
?x
2
,y
1<
br>?y
2
)
(a?b)?c?a?(b?c)
AB?BC?AC
向量的
减法
a?b?a?(?b)
三角形法则
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
AB??BA
,
OB?OA?AB
1.
?
a
是一个向量,满足:
?
(
?
a)
?(
??
)a
数
乘
向
量
|
?
a|?|
?
||a|
(
?
?
?
)a?
?
a?
?
a
2.
?
>0时,
?
a与a
同向;
?
a?(
?
x,
?
y)
?
(a?b)?
?
a?
?
b
?
<0时,
?
a与a
异向;
ab?a?
?
b
?
=0时,
?
a?0
.
5
a?b
是一个数
向
量
的
数
量
积
1.
a?0或b?0
时，
a?b?b?a
(
?
a)?b?a?(
?
b)?
?
(a?b)
a?b?0
.
2.
a?b?x
1
x
2
?
y
1
y
2
(a?b)?c?a?c?b?c
a?|a|
2
即|a|=x
2
?y
2
2
a?0且b?0时，
ab?|a||b|cos(a,b)
|a?b|?|a||b|
四、要点知识：
1、正弦定理及其变式
（1）正弦定理：___________________________
（2）变式：
sinA:sinB:sinC?
_____________________
2、余弦定理及其推论：
（1）余弦定理：
a
2
?b
2
?c
2
?2abcosC
；
b
2
?
___
________________；
c
2
?
______________
________
b
2
?c
2
?a
2
cosB?
_____________;
cosC?
___________________
_
cosA?
（2）推论：；
2bc
3、三角形的面积公式：
1
absinC?________?____________
2
五、要点知识：
S?
1、仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线
在水平线__________的角叫仰角，在水
平线_______的角叫俯角
2、方位角：从正北方向_____________旋转的水平角叫方位角
3、方向角：相对于某一正方向的水平角。
4、解三角形应用的基本思路：实际问题 作图
数学问题 解三角形数学问题的解 检验
实际问题的解。
6