北师大版高中数学必修三四综合测试卷(含答案)

高一数学试题
一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分。每题只有一个正确答案）
1．已知点P （
tan
?
,cos
?
）在第三象限，则角
?
在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．我校高中生共有 2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，
现采取分层抽样法抽取 容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分
别为
A．45，75，15 B．45，45，45 C．30，90，15 D．45，60，30
??
??
3．已知
a
与
b
均为单位向量，它们的夹角为
60?
，那么
|a?3b|
等于
A．
7
B．
10
C．
13
D．4
甲
53
3
6
8
4
79
1
1
2
3
4图1
45
26
3
5
7
7
8
乙
4. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的
茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是
A．62 B．63 C．64 D．65
5．在
?ABC
中，有如下四个命题：①
AB?AC?BC
； < br>????????????
②
AB?BC?CA?
?
0
；③若
(AB?AC)?(AB?AC)?0
，则
?ABC
为等

腰三角形；④若
AC?AB?0
，则
?ABC
为锐角三角形．其中正确的命< br>题序号是
A．① ② B．① ③ ④ C．② ③
6. 将函数
y?sin
?
x(
?
?0)
的图象沿
x轴方向左平移
D．② ④
?
6
个单位，
平移后的图象如右图所示. 则平移后的图象所对应函数的解析式是
A．
y?sin(x?
?
)
B．
y?sin(x?)
C．
y?sin(2x?)
D．
y?sin(2x?)

663
3
?
?
?7．给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；
②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；
③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；
④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，
其中属于互斥事件的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图
频率
所示，则时速在[60，70)的汽车大约有( )
组距
0.04
A．30辆 B． 40辆C． 60辆 D．80辆
0.03
9. 函数
y?2sin(2x?
?
)cos[2(x?
?
)]
是
0.02
0.01
??
A 周期为的奇函数 B 周期为的偶函数
44
40 50 60 70 80
0.03
C 周期为
??
的奇函数 D 周期为的偶函数
22
10.如果下边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中
WHILE后面的“条件”应为
A. i>10 B. i<8
C. i<=9 D. i<9

i=11
频率
s=1
组距
DO
s=s*i
i=i －1
LOOP WHILE “条件”
PRINT S
END （第10题）

11.下列各式中，值为
1
的是
2
2
ta n22.5
?
11
?
?sin
A．
sin15cos15< br> B．
cos
C．
?cos
D．
2
?
1212
1?tan22.5
226
??
?
2
?
12.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离
不大于1的概率为
A．
题号
答案
?
?
?
?
B． C． D．
16
842
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题（每题4分，共16分）
13．已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为 弧度, 扇形面积是
14. 已知
x
与
y
之间的一组数据为
x

0 1 2 3
y

1 3 5-a 7+a
则
y与
x
的回归直线方程
y?bx?a
必过定点_____
15． 已知样本
9,10,11,x,y
的平均数是
10
，标准差是
2，则
xy?

16．已知
tan
?
?< br>2
＝2，则
tan
?
的值为
_________
；< br>6sin
?
?cos
?
的值为
____________
3sin
?
?2cos
?
三、解答题
?
?
?
?
?
17.已知
a?(1,2)
,
b?(?3, 2)
,当
k
为何值时，(1)
ka?b
与
a?3b
垂直？
????
(2)
ka?b
与
a?3b
平行？平行时它们是同向还是反向？











18.一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个.（Ⅰ）
从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出
一个球，求两 球颜色恰好不同的概率.

19.某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为 整数）分成六组[40，50），
[50，60） ．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直 方图.观察图形的信息，回答下列问
题：（Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分 布直方图；
(Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.














第19题图
??
?
?
20．已知
a ?(3sinx,m?cosx)
，
b?(cosx,?m?cosx)
, 且
f(x)?a?b

(1) 求函数
f(x)
的解析式;
(2) 当
x?
?
?
的
x
的值.























?
??
?
,
?
时,
f(x)
的最小值是－4 , 求此时函数
f(x)
的最大值, 并求出相应
?
63
?

21．已知向量
a
= （cos
?
，sin
?
），
b
=（cos
?
，sin
?
），|
a?b
｜＝
cos（
?
－?
）的值；
（Ⅱ）若０＜
?
＜
?
?
?
?
25
．（Ⅰ）求
5
??
5
，－＜
?
＜ ０，且sin
?
＝－，求sin
?
的值．
13
22

















22．（本小题满分14分）
函数f(x)=|sin2x|+|cos2x|
7
?
(Ⅰ)求f(
?
)的值；
12
?
(Ⅱ)当x∈[0，]时，求f(x)的取值范围；
4
(Ⅲ )我们知道，函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等，请你
探究函数f(x )的性质（本小题只需直接写出结论）

高一数学试题
第二学期质量检测答案
一、BDACC CBDCD DB
二、13.
34
7
，48 14.（1.5,4） 15.96 16.—，
23
6
?
?
三、17.解：ka?b?k(1,2)?(?3,2)?(k?3,2k?2)

?
?
a?3b?(1,2)?3(?3,2)?(10,?4)

?
?
?
?
（1）
(ka?b)?(a?3b)
，
?
?
?
?
得
(ka?b)
?
(a?3b) ?10(k?3)?4(2k?2)?2k?38?0,k?19

?
?
?< br>?
1
（2）
(ka?b)
(a?3b)
，得
?4(k ?3)?10(2k?2),k??

3
?
?
1041
此时
ka?b?(?,)??(10,?4)
，所以方向相反。
333
18. 【解析】（Ⅰ）摸出两球颜色恰好相同，即两个黑球或两个白球，共有
C
2
2
?C
3
2
＝4(种)
可能情况.
C
2
2
?C
3
2
42
故所求概率为
P
===.
C5
2
105
（Ⅱ）有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑 ”.故所求概率为
1111
C
2
?C
3
?C
3?C
2
6?6
12
P
===.
11
C
5
?
C
5
25
25
19． （本小题满分12分）
解（Ⅰ）成绩落在[70，80）上的频率是
0．3，频率分布直方图如下图．----------------4分
(Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以
上为及格）
为1-0．01×10-0．015×10=75﹪
平均分：45×0．1+55×0．15+65×0．15
+75×
0．3+85×0．25+95×0．05=71-----------------8分
(Ⅲ) 成绩是70分以上（包括70分）的学
生人数为（0．03+0．025+0．005）×10×60=36
频率
组距












18?17?15?14?3?229?
-------------------12分
36?3570
??
20．解: (1)
f(x)?a
?
b?(3sinx,m?cosx)
?
(cosx,?m?cosx)

所以 所求的概率为
即
f(x)?3sinxcosx?cos
2
x?m
2

(2)
f(x)?
3sin2x1?cos2x
??m
2

22

?sin(2x?
由
x?
?
?

??
?
6
)?
1
?m
2

2?
?
1
?
?
?
?
5
?
??
??
?
,
?
,
?2x??
?
?,
?
,
?sin(2x?)?
?
?,1
?
,
6
?
2
?
6
?
66
?
?
63
?
11
??m
2
??4
,
?m??2

22
15
??
?

?f(x)
max
?1??4??
, 此时
2x??
,
x?
.
22626
21．(本题满分12分)
??
解：（Ⅰ）（6分）
?
a?
?
cos
?< br>，
sin
?
?
，
b?
?
cos
?< br>，
sin
?
?
，
??
?a?b?
?
cos
?
?cos
?
，sin
?
?sin
??
． -------------------------------1分
??
25
，
?
a?b?
5
?
?< br>cos
?
?cos
?
?
?
?
sin
?
?sin
?
?
22
?
25
．--------- -----------------2分
5
即
2?2cos
?
?
?
?
?
?
4
． ---------------------------------------2分
5
3
?cos
?
?
?
?
?
?
． ------------------------------------------------1分
5
（Ⅱ）（6分）∵
0?
?
?
∵
cos?
?
?
?
?
?
?
2
,?
?< br>2
?
?
?0
， ∴
0?
?
?
?
?
?
.
--------------------1分
34
，∴
sin
?
?
?
?
?
?.
--------------------------1分
55
512
.
-----------------------------------------2分 ∵
sin
?
??
，∴
cos
?
?
1313
∴
sin
?
? sin
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?sin
?
?
?
?
?
cos?
?cos
?
?
?
?
?
sin
?
4123
?
5
?
33
????
?
?
?
?
．----------------------------------- ---------2分
5135
?
13
?
65
22．解 ：（Ⅰ）
f(?
（Ⅱ）当
x?[0,
∴
7
?
7< br>?
7
???
1?3
)?|sin(?)|?|cos(?)|?|si n|?|?cos|?
2分
1266662
?
]
时，
2x?[0,]
，则
sin2x?0,cos2x?0
……………………3分
4
2
?
f(x)?sin2x?cos2x?2sin(2x?)
…………5分
4
x?[0,]

4
?
又∵
?
∴
2x?
?
?
2
?
3
?
,1]

?[,]
∴
sin(2x?)?[
42
444
∴ 当
x?[0,
（Ⅲ）
?
4
]
时，
f(x)
的取值范围为
[1,2]
． ………7分
①
f(x)
的定义域为
R
； ………8分

②
?f(?x)?sin(?2x)|?|cos(?2x)?|sin2x|?|cos2x|?f (x)

?f(x)
为偶函数．……9分
③ ∵
f(x?)?| sin(2x?)|?|cos(2x?)|?|cos2x|?|sin2x|?f(x)
，
∴
f(x)
是周期为
?
4
?
2
?
2
?
的周期函数； ……11分
4
④ 由（Ⅱ）可知，当
x?[0,
∴ 值域为
[1,
⑤ 可作出
?
]
时，
f(x)?2sin(2x?)
，
44
?
2]
． ………12分
f(x)
图象，如下图所示：

由图象可知
减区间为
[< br>f(x)
的增区间为
[
k
??
k
?
,?]< br>?
k?Z
?
，
484
k
??
k
?
,?]
（
k?Z
） …………14分
8444
（第（ Ⅲ）评分，结论正确即可,若学生能求出函数
f(x)
的最值,对称轴等,每写出一个性质给1 分,但本小
?
题总分不超过7分）
?