高中数学必修二直线与平面的位置关系-高中数学解析式的求法ppt
单位圆与周期性
【明目标、知重点】.掌握正弦、余弦函数的定义域，理解正弦函数
、余弦函数都是周期函
数.会利用正弦、余弦函数的周期性把求任意角的正弦、余弦值转化为求°～°的
正弦、余弦值．
．三角函数的定义域
正弦函数＝的定义域是；余弦函数＝的定义域是.
．正弦、余弦函数的周期性
(α＋·π)＝α，∈；
(α＋·π)＝α，∈.
由此我们可以得到如下结论：
终边相同的角的同一三角函数的值相等．
．周期函数的有关概念
()周期函数的定义
对于函数()，如果存在非零实数，对定义域内的任意一个值，都有(＋
)＝()，那么函数()就称
为周期函数，称为这个函数的周期．
()最小正周期
π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．
[情境导学]自
然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹
簧振动，圆周运动等．数学
中从正弦函数，余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与
原来的终边重合，也具有周而复始的变化
规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的
数学概念——函数周期性．
探究点一利用三角函数求函数定义域
思考任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是
使函数有意义的实数集．根据任意
角三角函数的定义可知正弦函数＝的定义域是；余弦函数＝的定义域是
；在此基础上，可以
求一些简单的三角函数的定义域．例如：
()函数＝的定义域为{π≤≤π＋π，∈}．
()函数＝的定义域为{π－<<π＋，∈}．
例求函数()＝＋的定义域．
解由题意得，自变量应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
反思与感悟求三角
函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角
函数线是解三角不等式常用的
方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式
成立的角的范围，再取公共部分．
跟踪训练求函数()＝(－)的定义域．
解∵－>，∴<，
∴－<<.
如图所示．
∴∈∪ (∈)．
即∈ (∈)．
探究点二正弦、余弦函数的周期性
思考由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的
同一三角函数值相等．由此得到
正弦函数和余弦函数的周期性．
(·°＋α)＝α，(·°＋α)＝α，∈.
或者：(π＋α)＝α，(π＋α)＝α，∈.
这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求°～°的三角函数值．
例如：°＝；(－)°＝；
(－°)＝；°＝.
例求下列角的三角函数值．
()(－°)；()π；()(－π)．
解()∵－°＝－×°＋°，
∴－°的角与°的角终边相同，
∴(－°)＝°＝；
()∵π＝×π＋，∴角π与角的终边相同，
∴π＝＝；
()∵－π＝－×π＋，
∴角－π与角的终边相同，
∴(－π)＝＝.
反思与感悟利用周期性可把负角的三
角函数化为到π间的三角函数，也可把大于π的角的三
角函数化为到π间的三角函数，即实现了“负化正
，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函
数值．
跟踪训练求下列各式的值．
()＋π＋；
()°＋°－°＋°＋(－°)．
解()原式＝＋＋
＝＋＋π
＝＋＋＝.
()原式＝(×°＋°)＋(×°＋°)－(×°＋°)＋°＋(－×°＋°)
＝°＋°－°＋°＋°
＝＋－＋(－)＋＝.
．(－°)的值为()
．－．－
答案
解析(－°)＝(－°×＋°)
＝°＝.
．函数＝的定义域是．
答案{π＋≤≤π＋π，∈}
．°＋°－°＋°＝.
答案
解析原式＝×＋×(－)－×(－)＋×°
＝－＋＋＝.
．如图所示．
()点的坐标是，点的坐标是；
()若点的坐标是，那么∠＝(弧度)，点的坐标是．
答案()π
[呈重点、现规律]
．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等．作用
是把求任意角的三
角函数值转化为求～π(或°～°)角的三角函数值．
．求函数的最小正周期的常用方法：
()定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函
数所具有的某些性质推出使(＋)＝()
成立的.
()图像法，即作出＝()的图像，观察图像可求出.如＝.
()结论法，一般地，函数＝(ω＋φ)(其中、ω、φ为常数，≠，ω>，∈)的周期＝.
一、基础过关
．°等于()
．－．－
答案
．在[π]上，满足≥的的取值范围为()
答案
．比较，，的大小关系是()
．>>
．>>
．>>
．>>
答案
解析由于均在内，画出单位圆即可判断，故>>.
．若<α<π，且α<，α>，则角α的取值范围是()
∪
答案
．集合＝[π]，＝{αα<α}，则∩＝.
答案∪
．若α是第二象限角，则点(α，α)在第象限．
答案四
解析∵α为第二象限角，α>，α<，
∴在第四象限．
．函数()＝的定义域为．
答案，∈
解析如图所示．
．解不等式组
解由即
如图所示，由三角函数定义可得：
∴
此交集恰好为图形中的阴影重叠部分，
即π≤<π＋，∈.
故不等式组的解集为{π≤<π＋，∈}．
二、能力提升
．下列命题正确的是()
．α、β都是第二象限角，若α>β，则α<β
．α、β都是第三象限角，若α>β，则α>β
．α、β都是第四象限角，若α>β，则α>β
．α、β都是第一象限角，若α>β，则α>β
答案
解析根据单位圆有关知识分别判断即可．
．已知点(α－α，)在第一象限，则在[π)内，α的取值范围是．
答案∪
解析由点在第一象限，
可得不等式组
∴或
如图所示：
∴<α<或π<α<π.
．求函数()＝
(
－
)
(＋)的定义域．
解依题意，
有
∴
如图利用单位圆，得函数的定义域是
(π＋，π＋)∪(π＋，π＋π)，∈.
.已知(＋)＝－，求证：()是周期函数，并求出它的一个周期．
解∵(＋)＝[(＋)＋]＝－＝()，
∴()是周期函数，且是它的一个周期．
三、探究与拓展
．设>α>β>，求证：α－β>α－β.
证明如图所示，设单位
圆与角α、β的终边分别交于、，作⊥轴于，
作⊥轴于，作⊥于，连接，则α＝，β＝，α－β＝，
∴α－β＝>>＝－＝－＝α－β，即α－β>α－β.
面对着学习，你就要有毅
力。因为你就如身在干旱的沙漠之中，没有水也没有食物，你有的就仅仅是最后的那一点力气和时时蒸发着的那一
点微少的汗水，你在这种地境里，不可以倒下，要坚强，要努力走出这个荒芜的沙漠，找回生存的希望，
仅此无他。在学习的赛跑线上，你就应该有着这不懈的精神，累了，渴了，你仍要坚
持下去，因为终点就
在不远的前方…行路人，用足音代替叹息吧！志士不饮盗泉之水，廉者不受嗟来之食你的作业进步很大，继续加油
！你会更出色！
望你一生平安，幸福，像燕雀般起步，像大雁般云游，早日像鹰一样翱翔,千里之行，始
于足下。学习就是如此痛快，它能放松人的心灵，但必须是在热爱的基础上。瞧！学习就能带来如此奇
妙
的享受！ 学习总是在一点一滴中积累而成的，就像砌砖，总要结结实实。踏踏实实的学吧！加油！成功属于努力
的人！聪明出于勤奋，天才在于积累。
学到的是发现昨日学到的是错的。 生活中处处都有语文，更不
缺少语文，而是缺少我们发现语文的眼睛，善于发问的心。让我们在生活中，去寻找更有趣、更广阔、更丰富
位卑未敢忘忧国，事定犹须待阖棺。 希
人天天都学到一点东西，而往往所
.