高中数学必修4平面向量复习训练题

精品 试卷
平 面 向 量
A 组
（1）如果
a
，
b
是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）
22
(A)
a
?
b
(B)
a?b=1
(C)
a?b
(D)
a?b

uuuruuuruuur
（2）在四边形
ABC D
中，若
AC?AB?AD
，则四边形
ABCD
的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形
（3）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（
?
3，4），则第4个顶点的坐标
不可能是（ ）
(A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1）
uuuruuur
uuur
（4）已知正方形
ABCD
的边长为1，
AB?
a
，
BC?
b
，
AC?
c
， 则
a?b?c
等于 ( )
(A) 0 (B) 3 (C)
2
(D)
22

（5）已知
a?3
，
b?4
，且向量
a
，
b
不共线，若向量
a?
kb
与向量
a ?
kb
互相垂直，
则实数
k
的值为 ．
uuur
uuur
（6）在平行四边形ABCD中，
AB?
a< br>，
CB?
b
，O为AC与BD的交点，点M在BD上，
uuuur1
uuur
BM?OD
，
3
uuuuruuuur
则 向量
BM
用
a
，
b
表示为 ；
AM
用
a
，
b
表示
为 ．
（7）在长江南岸渡口处，江水以12.5kmh的速度向东流，渡船的速度为25 kmh．渡船要垂直
地渡过长江，则航向为 ．
（8）三个力
F
1
，
F
2
，
F
3
的大小相等，且它们的合力为0，则力
F
2
与
F
3
的夹角为 ．
（9）用向量方法证明：三角形的中位线定理．


uuuruuu r
（10）已知平面内三点
A
、
B
、
C
三点在一条 直线上，
OA?(?2,m)
，
OB?(n,1)
，
uuuruuu r
uuur
OC?(5,?1)
，且
OA?OB
，求实数
m
，
n
的值．

精品 试卷



B 组
uuuruuur
uuur
3OA?OB< br>（11）已知点
O
、
A
、
B
不在同一条直线上，点< br>P
为该平面上一点，且
OP?
，则
2
( )

(A) 点P在线段AB上 (B) 点P在线段AB的反向延长线上
(C) 点P在线段AB的延长线上 (D) 点P不在直线AB上
uuuruuur
（12）已知D
、
E
、F分别是三角形ABC的边长的边BC
、
CA
、
AB的中点，且
BC?
a
，
CA?
b
，
uuuruuuruuuruuur
uuuruuur
1
uuur
1111
则①
EF?
c?b
，②
BE?
a?b
，③
CF?
?a?b
，④
AD?BE?CF?0
AB?
c
，
22222
中正确的等式 的个数为 ( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（13）已知向量
a
?(1, 5)
，
b
?(?3,2)
，则向量
a
在
b
方向上的投影为 ．
uuuruuur
（14）已知
OA?
a
，
OB?
b
，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点 为N
，
则
uuuur
向量
MN
用
a
、b
表示为 ．
（15）已知向 量
a
?(m?2,m?3)
，
b
?(2m?1,m?2)
， 若向量
a
与
b
的夹角为直角，则实
数
m
的值为 ；若向量
a
与
b
的夹角为钝角，则实数
m
的取值范围
为 ．

uuuruuuruuur
（16）已知< br>OP?(2,1)
，
OA?(1,7)
，
OB?(5,1)
， 点
O
为坐标原点，点
C
是直线
OP
上一
点， uuuruuur
求
CA?CB
的最小值及取得最小值时
cos?ACB
的值．

精品 试卷






uuuruuuuruuur uuur
AA
（17）如图，点
1
、
2
是线段
AB
的三等分点，求证：
OA
1
?OA
2
?OA?OB
（1）
一般地，如果点
A
1
，
A
2
，…
A
n?1
是
AB
的
n
(n?3)
等分点，请写出一 个结论，使（1）为
所写结论的一个特例．并证明你写的结论．









（18）已知等边三角形
A BC
的边长为2，⊙
A
的半径为1，
PQ
为⊙
A
的 任意一条直径，
A
A
1
A
2
B
O
uuu ruuuruuuruuur
（Ⅰ）判断
BP?CQ?AP?CB
的值是否会随点P
的变化而变化，请说明理由；
uuuruuur
（Ⅱ）求
BP?CQ
的最大值．














P
A
Q
B
C

精品 试卷









参考答案或提示：
（三）
平 面 向 量

3
-a-b
5a-b
（6）； （7）北偏西
4
6
6
A组
（1）D （2）A （3）C （4）D （5）
?
30
0

?
m?3
m?6
?
?
0
（8）
120
（9）略 （10）
?
或
?
3

n?
n?3
?
?
?2
略解或提示：
（1） 由单位向量的定义即得
a?b?1
，故选（D）．
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
（2） 由于
AC?AB?AD
，∴
AC?AB?AD
，即
BC?AD
，∴线段< br>BC
与线段
AD
平行
且相等，∴
ABCD
为平行四边 形，选（A）．
（3） 估算：画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的
三点．由
于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（B）、（D），而符合条
件的点 第一象限只有一个点，且位于点（5，7）的右侧，则该点的横坐标要大于5，∴排除（A），
选（C） ．
（4） 由于
a?b?c?2c
∴
a?b?c?2c?22
，∴选（D）．
（5） 向量
a?
kb
与向量
a?
kb
互相垂直， 则（
a?
k
b)?
(
a?
k
b)?0
,∴
a?
k
2
b
,
而
a?a?9
,
b?b?16
,∴
k??
2
2
2
2
22
uuuur
1
uuuruuur
1
uuur
BM?ODOD?BD< br>（6） ∵，而
32
uuuur
1
uuur
1
uuu ruuurruuur
1
uuu
-a-b
BM?BD?(AD?AB)?(B C?AB)?
；
666
6
uuuuruuuruuuur
5a-b
∴
AM?AB?BM?
．
6
3
．
4
，∴

精品 试卷
uuuruuuruuur
（7） 如图，渡船速度OB
，水流速度
OA
，船实际垂直过江的速度
OD
，
uuuruuuruuuruuur
依题意，
OA?12.5
，
OB?25< br>，由于
OADB
为平行四边形，则
BD?OA
，又
OD?BD
，
∴在直角三角形
OBD
中，∠
BOD
=
30，∴航向为北偏西
30
．

oo
uuuruuuruuur
（8） 过点
O
作向量
OA
、
OB
、
OC
，使之分别与力
F
1
，F
2
，
F
3
相等，由于
F
1
，
F
2
，
F
3
的合力为
0
，则以
OC< br>、
OB
为邻边的平行四边形的对角线
OD
与
OA
的长 度相等，又由于
力
F
1
，
F
2
，
F
3
的大小相等，∴
OA?OB?OC
，则三角形
OCD
和三角形< br>OBD
均为正三角形，∴
?COB?120
，即任意两个力的夹角均为
120
．
oo
A
O
B
D
C
C
u uuruuuruuur
uuur
1
uuuruuur
1
uuur< br>（9） 解：由于
DE?CE?CD
，而
CE?CB
，
CD?CA

E
D
22
uuur
1
uuur
1
uuur
1
uuuruuurr
1
uuu
∴
DE?CB?CA?(C B?CA)?AB
，
2222
A
1
则
DE
∥AB
，且
DE?AB
，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半．
2
uuur
uuu
uuuruuuruuur
r
（10）由 于O
、
A
、
B三点在一条直线上，则
AC
∥
AB< br>，而
AC?OC?OA?(7,?1?m)
，
uuuruuur
uu uruuuruuur
AB?OB?OA?(n?2,1?m)
∴
7(1?m) ?(?1?m)(n?2)?0
，又
OA?OB
，∴
B
?2n?m? 0

?
m?3
m?6
?
?
联立方程组解得
?
或
?
3
．
?
n?3
?
n?
?2
B组
（11）B （12）C （13）
7
4
13
（14）2
b
?2a
（15）
?
或2；
13
3
455?1155?11
(?,)U(,2)

32 2
uuuruuuuuruuuuruuuuuuruuuruuur
?417
（16 ）
?8,
（17）答案不唯一，如
OA
1
?OA
n? 1
?OA
2
?OA
n?2
?
L
?OA?OB
或
17
uuuruuuruuuruuur
uuuruuuuruuuuur
n?1
uuuruuur
OA
1
?OA
2
?
L< br>?OA
n?1
?(OA?OB)
（18）（Ⅰ）
BP?CQ?AP?CB?1
（Ⅱ）
3
．
2
略解或提示：
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
1
uuur
uuuruuur
（11）由于
2OP?3 OA?OB
，∴
2OP?2OA?OA?OB
，即
2AP?BA
，∴
AP?BA
，
2

精品 试卷
uuu r
1
uuur
uuur
a11
a
（12）∵
EF? CB?
?
，又
a?b?c?0
，∴
EF
???c?b
，即①是错误的；
2222
2
uuur
uuuruuuruuuruuu r
1
uuur
11
由于
BE?BC?CE?BC?CA?a?b，即②是正确的；同理
CF?
b?c
，而
222
uuur
uuur
111
a?b?c?0
，则
c??a?b
，∴
C F?
?a?b
,即③是正确的；同理
AD?
c?a
，∴
22 2
uuuruuuruuur
3
AD?BE?CF
?(a?b?c)?0；即④是正确的．选（C）．
2
（13）设
a
与
b
的 夹角为
?
，则向量
a
在
b
方向上的投影为
a
?cos
?
?
则点P在线段AB的反向延长线上，选（B）．
a?b
7
?
13
．
b
13
uuur1
uuuruuuur
（14）由于
A
为
SM
中点，< br>B
为
SN
中点，∴
OA?(OS?OM)
，
S
2
uuur
1
uuuruuuruuuruuur
1
uuuruu uur
A
OB?(OS?ON)
，两式相减得
OB?OA?(ON?OM)< br>，
22
uuuur
uuuuruuuruuur
M
∴
MN?2(OB?OA)
，∴
MN?
2
b
?2a
． O
B
uuuuruuur
也可直接根据中位线定理
MN?2AB?
2
b
?2a
．
（15）若
a
与
b
的夹 角为直角，则
a?b?0
，即
(m?2)(2m?1)?(m?3)(m?2)?0< br>,∴
m?
?
4
3
N
或2；
若向量
a
与
b
的夹角为钝角，则
a?b?0
，且
a
与b
不共线，则
(m?2)(2m?1)?(m?3)(m?2)?0
，且
(m?2)(m?2)?(m?3)(2m?1)?0
，解得
?
455?1155?1 1
?m??m?2
． 或
322
是直线
OP
上一点，设点C
(2m,m)
，∴（16）由于点
C
uuuruuur
CA?(1? 2m,7?m)
,
CB?(5?2m,1?m)
,
uuuruuuruuu ruuur
uuur
2
CA?CB?
5(m?2)?8
，∴
m?2
时，
CA?CB
的最小值为
?8
；而
m?2
时，
CA?(?3,5)
，
uuuruuur
uuur
CA?CB< br>?417
CB?(1,?1)
，
cos?ACB?
uuu
．
ruuur
?
17
CACB
uuuruuur
uuuruu uruuuruuur
1
uuuruuur
1
uuuruuur
uu ur
1
uuur
OB?2OA
（17）解：∵
AA
1
?AB
，∴
OA
1
?OA?AA
1
?OA?AB?OA? (OB?OA)?

333
3
uuuuruuuruuuuruuuruuu ruuur
uuuuruuuruuuurruuur
2OB?OA2OB?OAOB?2OA
uuu
??OA?OB
； 同理
OA
2
??
，则< br>OA
1
?OA
2
?
333

精品 试卷
uuuruuuuuruuuuruuuuuuruuuruuur
一般结论为
OA
1
?OA
n?1
?OA
2
?OA
n?2
?
L
?OA?OB

uuuuruuuruuuuruuur
k< br>uuur
uuuur
k
uuur
证明：∵
AA
k?AB
，∴
OA
k
?OA?AA
k
?OA?AB
，
nn
uuuuuuruuuruuuuuuruuur
n?k
uuur uuuruuur
k
uuuruuur
k
uuur
而
OA< br>n?k
?OA?AA
n?k
?OA?AB?OA?AB?AB?OB?AB
nnn
uuuuruuuuuuruuur
k
uuuruuur
k
uuuruuuruuur
∴
OA
k
?OA
n?k?OA?AB?OB?AB?OA?OB

nn
uuuruuuuruuuuur
n?1
uuuruuur
注：也可以将结论推广为
OA
1
?OA
2
?
L
?OA
n?1
?(OA?OB)
证明类似，从略．
2
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur uuuruuuruuur
BP?CQ?AP?CB?(AP?AB)?(AQ?AC)?AP?(AB ?AC)
，而（18）（Ⅰ）由于
uuuruuur
AQ??AP
，
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur< br>2
uuuruuur
则
BP?CQ?AP?CB?(AP?AB)?(?AP? AC)?AP?(AB?AC)??AP?AB?AC

uuur
2
uuur
2
uuuruuuruuuruuur
∵
AB?AC?ABACcos?AB C?2
，
AP?AP?1

uuuruuuruuuruuur
u uuruuuruuuruuuruuur
2
uuuruuur
∴
BP?CQ ?AP?CB??AP?AB?AC?1
，即
BP?CQ?AP?CB
的值不会随点< br>P
的变化而
变化；
（Ⅱ）由于
uuuruuuruuuruuur< br>BP?CQ?AP?CB?1
，∴
uuuruuuruuuruuur
BP?C Q?1?AP?CB
，∵
r
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruu uruuuruuuruuur
uuur
uuu
AP?CB?APCBcos?AP, CB?
∴
AP?CB?APCB?2
（等号当且仅当
AP
与CB
同
uuuruuur
向时成立），∴
BP?CQ
的最大值为 3．