高中数学必修四 弧度制教案

1.1.1 弧度制
【课题】：弧度制
【学情分析】：教学对象是高一的学 生，在前面已经系统学习了任意角的概念，学生对用角度来表示角已
经相当熟练，在此基础上引进角的另 一种度量方式——弧度制。由于这种度量方式的定义较抽象，是以比
值来定义角的大小，不像角度制那样 可以看得见，能体会得到，而高一学生的抽象思维水平发展有限，因
此应多结合具体实例来说明弧度制的 合理性和必要性，从具体实例出发，慢慢抽象概括，最后得角的弧度
制定义，这符合学生的认知规律。
【教学三维目标】：
一、知识与技能
1、1弧度的角的定义；
2、弧度制的定义；
3、角度与弧度的换算；
4、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式；
5、角的集合与实数集
R
之间建立的一一对应关系；
二、过程与方法
1、理解1弧度的角、弧度制的定义；
2、掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；
3、熟记特殊角的弧度数；
4、理解角的集合与实数集
R
之间建立的一一对应关系；
5、掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会运用弧长公式、扇形面积公式解决一类问题；
三、情感态度与价值观
使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但 是互相联系、辩证统一的，进
一步加强对辩证统一思想的理解，使学生通过总结引入弧度制的好处，学会 归纳、整理并认识到任何新知
识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、 求知欲望，培养良好的学习品
质.
【教学重点】：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.
【教学难点】：理解弧度制定义，弧度制的运用.
【课前准备】：计算器、投影机、三角板
【教学过程设计】：
教学环节
一、复习引
入


教学活动 设计意图
【创设情境】 为探索新知识做准
有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答备.
约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）
显然，两种回答都是 正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为
所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他 们的长度单位是
不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.
在角度的度量里面 ，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再
陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种 度量制---弧度制.
【探究新知】
1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份 叫做1度，故一周
等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.
弧度制是什么呢 ？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？
直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请 看课本
P
6
?P
7
，
自行解决上述问题.





鼓励学生自己看
书，积极用自己的
二、探究新
知

2.弧度制的定义
[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度角，记作
1
rad
，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
3.探究: 如图,半径为
r
的圆的圆心与原点重合,角
?
的终边与
x
轴 的
正半轴重合,交圆于点
A
,终边与圆交于点
B
.请完成表格.

语言概括，引导学
生对弧度制的探索




y


B

?
A
x

O



弧
AB
的长
OB
旋转的方向
?AOB
的弧度数
?AOB
的度数

?
r

逆时针方向

逆时针方向
2
?
r


r


1



2r

?2


?
?





0


180
?



180
?


我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如

-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一


个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
4.思考:如果一个半径 为
r
的圆的圆心角
?
所对的弧长是
l
,那么
a

的弧度数是多少?

l
角
?
的弧度数的 绝对值是：
?
?
，其中，l是圆心角所对的弧长，

r

r
是半径.

?
5.根据探究中
180?
?
rad
填空:


?
1?___rad
,
1rad?___
度


显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.

?'
教师出示例题：例1.按照下列要求,把
6730
化成弧度:


(1) 精确值；
例1、例2都是角度
(2) 精确到0.001的近似值.
与弧度的换算，在
0
?
135
?教学时，“度”的单
解：（1）因为
67
?
30
'
?< br>??
，
?
2
?
位“°，′，″”
不能省略。刚开始
?
1353
?'
rad??
?

rad
所以
6730?
“弧度”的单位
18024
“
rad
”暂不 要省
（2）略
教师出示例题：例2.将3.14
rad
换算成角度(用度数 表示,精确到0.001).
略，并且不要用

注意:角度制与弧度制的换算主 要抓住
180?
?
rad
,另外注意计算
器计算非特殊角的方法.
教师出示练习：填写特殊角的度数与弧度数的对应表:

度
弧度
?
0
?


30
?

45
?



120
?

120
?

120
?


?

3
?

2
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集
R
之间建立了一
一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对< br>应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的
角）与它对应.
教师出示例题：例3.利用计算器比较
sin1.5
和
sin85
的大小.
注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.
解：略.
教师出示例题：例4. 计算
sin
?
?
4
和
tan1.5

解：∵
?
4
?45
?
∴
sin
?
4
?sin45
?
?
2

2
1.5rad?57.30
?
?1.5?85.95
?
?85< br>?
57'

∴
tan1.5?tan8557'?14.12

教师出示例题：例5. 将下列各 角化成0到
2
?
的角加上
2k
?
(k?Z)
的形式
?
19
?
⑵
?315
?

3
19
?
解：
?
??6
?

33
⑴
?315
??45
?
?360
?
?
?
4
?2
?< br>
教师出示例题：例6. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1)
l?
?
R
; (2)
S?
11
?
R
2
; (3)
S?lR
.
22
其中
R
是半径,
l
是弧长,
?
(0?
?
?2
?
)
为圆心角,
S
是扇形的面
积.
解：（1）由公式
?
?
l
立即可得
l?
?
R

r
0
下面证明（2） 、（3）.由于半径为
R
，圆心角为
n
的扇形的弧长公式和面
“rad
”的中文名
称“弧度”作单位
写在数据的后面。




120
?


3
?
?


2



























由例6看出,采用弧
度制时，弧长公式
和扇形面积公 式简
单了.这正是引入
弧度制的原因之
一.

n
?
R
n
?
R

积公式分别是：
l?
，
S?
，
360
180

n
?

0
将
n
转换为弧度，得
?
?
，

180
1

2
于是
S?
?
R
.

2
1

将
l?
?
R
代入上式，即得
S?lR
.
熟悉弧长公式
2
教师出示例题：例7．求图中公路弯道处弧AB的长

l
（精确到1m）图中长度单位为：m
?

?
解： ∵
60?


3
∴
?

l?
?
?R??45?3.14?15?47(m)

3
A B
加深弧长公式的使
教师出示例题：例8．已知扇形
AOB
的周长是6cm，
该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积 用。
o

解：设扇形的半径为r，弧长为
l
，则有

r?l?6
?
r?2
?
?
2

?
l

?
?

?1
?
l?2
?
?
r

1

2
∴ 扇形的面积
S?rl?2(cm)

2
教师出示例题：例9. 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴
4
?

?
⑵
165


3
4
?
40
?

解：
r?10cm
⑴
l?
?
?r??10?(cm)


33
?
11
?

?
(2)
165??165(rad)?rad


18012
11
?
55
?

∴
l??10?(cm)


126
教师出示例题：例10. 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中
心角的弧度数．
解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l，半径为r，

?2r?10
?
?
l
1
2
由题意：?

?
r?5r?6?0


l?r?6
?
?
2


?
r?2
?
r?3
4
l
∴
?
或
?
∴
?
?
=3 或

3
r
?
l?6
?
l?4

教师出示例题：例11.一扇形周长为20cm，问扇形的半径和圆心角各取什
么值时，才能使扇形面积最大？
分析：最值问题途径有二：一是利用几何意义，从图中直接找到（本例不
好找）；二是利用函数求解，即设出未知量，建立函数关系式，然后用函
2

数的方法解决。
解：设扇形中心角为
?
，半径为
r
，则
2r?
?
r?20
，
?
?
S
扇形
20?2r
r
1120?2r
2
?
?
r
2
???r??
10?r
?
r?10r?r
2

22r
10
?5
时，
S
扇形最大
?25
，此时
?
?2
.
2?
?
?1
?
当
r? ?
小结：研究实际应用问题的最值问题，往往是将其转化为二次函数的最值
问题，这是经常运用 的数学思想方法。
教师出示例题：例12.一条弦的长度等于半径
r
，求（1）这条 弦所对的
劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积。
分析：由已知可知圆心角的大小为
?
，
3
然后用公式求解
解：（1）如图1-2-6所示，半径为
r
的
则
?ABC
为等边三角
eO
中弦
AB?r
，
形，所以
?AOB?
劣弧长为
?
3
，则弦
AB
所对的
?
。
3
13
2
?OA?OB?sin?AOB?r

24
（2）
QS
?AOB
?
S
扇形AOB
?
11??
?
r
2
???r
2
?r
2
2236
3
2
?
?
3
?
2
?r?r?
?
?
6
?
4
?
?
r

64
??
熟悉面积公式











加深面积公式的使
用。













?S
弓形
?S
扇形AOB
?S?AOB
?
2
小结：图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例把弓 形看
成是扇形与三角形的差组成的，即可运用已知知识解决所要求解的问题。
三、练习巩
固
1． 把下列角度化成弧度：
（1）
2230；（2）
?210
；（3）
1200
.
2. 把下列弧度化成度：
（1）
0'
0
0
巩固知识，培养技
能.
?
3
?
4
?
；（2）
?
；（3）. 1210
3
00
3.利用计算机比较下列各对值的大小(精确到0.001):
(1)
cos0.75
和
cos0.75
; (2)
tan1.2
和
tan1.2
;
4．分别利用角度制弧度制 下的弧长公式,计算半径为1
m
的圆中,
60
的
圆心角所对的弧的长 度(可用计数器).
5.已知半径为120
mm
的圆上,有一条弧长144
mm
,求该弧所对的圆心角
的弧度数.
0

答案: 1．（1 ）
0
?
7
?
20
?
；（2）
?
； （3）.
863
0
0
2. （1）
15
；（2）
?240
；（3）
54
.
3.(1)
cos0.75
>
cos0.75
; (2)
tan1.2
<
tan1.2
;
4．
00
?
3
5.
1.2
.
四、拓展与
提高
m
.
加深弧度制概念的
理解.进一步巩固
知识，培养技能.


1．已知集合
Ａ
＝｛
α
｜2
ｋπ
≤
α
≤
π
＋2
ｋπ
，
ｋ
∈Ｚ｝，
B
＝｛
α
｜－4
≤
α
≤4｝，求
A
∩
B
.
2．圆的半径变为原来的
1
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来
2
的 倍.
答案:
1. A∩B＝｛
α
｜－4≤
α
≤－
π
或0≤
α
≤
π
｝
2. 2
五、小结 1．你知道角弧度制是怎样规定的吗?
2．弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?
3．弧长公式的灵活应用。
课本P11 7,8,9,10
反思归纳，培养学
生反思数学思想方
法的习惯。
巩固新知。 六、作业