高中数学必修竞赛题-高中数学卡方系数
《数学》必会基础题型——《平面向量》
【基本概念与公式】
【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量：既有大小又有方向的量。记作：
AB
或
a
。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：
|AB|
或
|a|
。
3.单位向量：长度为1的向量。若
e
是单位向量，则
|e|?1
。
4.零向量：长度为0的向量。记作：
0
。【
0
方向是任意的，且与
任意向量平行】
5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB??BA
。
8.三角形法则：
AB?BC?AC
；
AB?BC?CD?DE?AE；
AB?AC?CB
（指向被减数）
9.平行四边形法则：
以a,b
为临边的平行四边形的两条对角线分别为
a?b
，
a?b
。
10.共线定理：
a?
?
b?ab
。当
?
?0
时，
a与b
同向；当
?
?0
时，
a与b
反
向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若
a?(
x,y)
，则
|a|?x
2
?y
2
，
a
2
?|a|
2
，
|a?b|?(a?b)
2
13.数量积与夹角公式：
a?b?|a|?|b|cos
?
；
cos
?
?
a?b
|a|?|b|
14.平行与
垂直：
ab?a?
?
b?x
1
y
2
?x
2
y
1
；
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?
y
1
y
2
?0
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是
AB?CD
。
（5）若
AB?CD
，则A、B、C、D四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若
a
与
b
共线，
b
与
c
共线，则
a
与
c
共线。
（8）若
ma?mb
，则
a?b
。
1
（9）若
ma?na
，则
m?n
。
（10）若
a
与
b
不共线，则
a
与
b
都不是零向量。
（11）若
a?b?|a|?|b|
，则
ab
。
（12）若
|a?b|?|a?b|
，则
a?b
。
题型2.向量的加减运算
1.设
a
表示“向东走8km”,
b
表示“向北走6km”,则
|a?b|?
。
2.化简
(AB?MB)?(BO?BC)?OM?
。 3.已知
|OA|?5
,
|OB|?3
,则
|AB|
的
最大值和最小值分别为 、 。
4.已知
AC为AB与AD
的和向
量，且
AC?a,BD?b
，则
AB?
，
AD?
。
5.已知点C在线段AB上，且
AC?
3<
br>5
AB
,则
AC?
BC
，
AB?
BC
。
题型3.向量的数乘运算
1.计算：（1）
3(a?b)?2(a?b)?
（2）
2(2a?5b?3c)?3(?2a?3b?2c)?
2.已知
a
?(1,?4),b?(?3,8)
，则
3a?
1
2
b?
。
题型4.作图法球向量的和
已知向量
a,b
，如下图，请做出向量3a?
13
2
b
和
2a?
2
b
。
a
b
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在
?ABC
中，
D
是
BC
的中点，请用向
量
AB，AC
表示
AD
。
2.在平行四边形
ABCD中，已知
AC?a,BD?b
，求
AB和AD
。
题型6.向量的坐标运算
1.已知
AB?(4,5)
，
A(2,3
)
，则点
B
的坐标是 。
2.已知
PQ?
(?3,?5)
，
P(3,7)
，则点
Q
的坐标是
。
3.若物体受三个力
F
1
?(1,2)
,
F
2
?(?2,3)
,
F
3
?(?1,?4)
,则合力的坐标为
。
2
4.已知
a?(?3,4)
，
b?(5,2)
，求
a?b
，
a?b
，
3a?2
b
。
5.已知
A(1,2),B(3,2)
,向量
a?
(x?2,x?3y?2)
与
AB
相等，求
x,y
的值。
6.已知
AB?(2,3)
，
BC?(m,n)
，
CD?(?1,4
)
，则
DA?
。
7.已知
O<
br>是坐标原点，
A(2,?1),B(?4,8)
，且
AB?3BC?0
，求
OC
的坐标。
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知
e
1
,e
2
是平面内的一组基底，判断下列每组向
量是否能构成一组基底：
A.
e
1
?e
2
和e
1
?e
2
B.
3e
1
?2e
2
和4e
2
?6e
1
C.
e
1
?3e
2和e
2
?3e
1
D.
e
2
和e
2
?e
1
2.已知
a?(3,4)
，能与
a
构成基底的是（ ）
A.
(
3443344
5
,
5
)
B.
(
5
,
5
)
C.
(?
5
,?
5
)
D.
(?1,?
3
)
题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知
O
是坐标原点，点
A
在第二象限，
|OA|?2
，
?xOA?150
，求
OA
的坐标。
2.已知
O
是
原点，点
A
在第一象限，
|OA|?43
，
?xOA?60
，求
OA
的坐标。
题型9.求数量积
1.已知|a|?3,|b|?4
，且
a
与
b
的夹角为
60，求（1）
a?b
，（2）
a?(a?b)
，
（3）
(a?
1
2
b)?b
，（4）
(2a?b)?(a?3b)
。
2.已知
a?(2,?6),b?(?8,10)
，求（1
）
|a|,|b|
，（2）
a?b
，（3）
a?(2a?b)
，
（4）
(2a?b)?(a?3b)
。
题型10.求向量的夹角
1.已知
|a|?8,|b|?3
，
a?
b?12
，求
a
与
b
的夹角。
2.已知
a?(3
,1),b?(?23,2)
，求
a
与
b
的夹角。
3
3.已知
A(1,0)
，
B(0,1)
，
C(2,5)
，求
cos?BAC
。
题型11.求向量的模
1.已知
|a|?3,|b|?4
，且
a<
br>与
b
的夹角为
60
，求（1）
|a?b|
，（2）<
br>|2a?3b|
。
2.已知
a?(2,?6),b?(
?8,10)
，求（1）
|a|,|b|
，（5）
|a?b|
，（6
）
|a?
1
2
b|
。
3.已知|a|?1，|b|?2
，
|3a?2b|?3
，求
|3a?b|
。
题型12.求单位向量
【与
a
平行的单位向量：
e??
a
|a|
】
1.与
a?(12,5)
平行的单位向量是 。
2.与
m?(?1,
1
2
)
平行的单位向量是
。
题型13.向量的平行与垂直
1.已知
a?(6,2)
，
b?
(?3,m)
，当
m
为何值时，（1）
ab
？（2）
a?b
？
2.已知
a?(1,2)
，
b?(?3,
2)
，（1）
k
为何值时，向量
ka?b
与
a?3b
垂直？
（2）
k
为何值时，向量
ka?b
与
a?3b<
br>平行？
3.已知
a
是非零向量，
a?b?a?
c
，且
b?c
，求证：
a?(b?c)
。
题型14.三点共线问题
1.已知
A(0,?2)
，
B(2,2)
，
C(3,4)
，求证：
A,B,C
三点共线。
4
2.设
AB?
2
(a?5b),BC??2a?8b,CD?3(a?b)
，求证：A、B、D
三点共线。
2
3.已知
AB?a?2b,BC??5a?6
b,CD?7a?2b
，则一定共线的三点是 。
4.已知
A(1,?
3)
，
B(8,?1)
，若点
C(2a?1,a?2)
在直线
AB
上，求
a
的值。
5.已知四个点的坐标
O(0,0)
，
A(3,4)
，
B(?1,2)
，
C(1
,1)
，是否存在常数
t
，使
OA?tOBO?C
立？
题型15.判断多边形的形状
1.若
AB?3e
，
CD
??5e
，且
|AD|?|BC|
,则四边形的形状是 。 2.已知
A(1,0)
，
B(4,3)
，
C(2,4)
，
D(0,2)
，证明四边形
ABCD
是梯形。
3.已知
A(?2,1)
，
B(6,?3)
，
C(0,5)，求证：
?ABC
是直角三角形。
4.在平面直角坐标系
内，
OA?(?1,8),OB?(?4,1),OC?(1,3)
,求证：
?ABC
是等腰直角三角形。
题型16.平面向量的综合应用
1.已
知
a?(1,0)
，
b?(2,1)
，当
k
为何值时，向量
ka?b
与
a?3b
平行？
2.已知
a?(3,5)，且
a?b
，
|b|?2
，求
b
的坐标。
3
.已知
a与b
同向，
b?(1,2)
，则
a?b?10
，求
a
的坐标。
3.已知
a?(1,2)
，
b?(3,1)<
br>，
c?(5,4)
，则
c?
a?
b
。
4.已知
a?(5,10)
，
b?(?3,?4)<
br>，
c?(5,0)
，请将用向量
a,b
表示向量
c
。
5
成
5.已知
a?(m,3)
，
b?(2,?1)
，（1）若
a
与
b<
br>的夹角为钝角，求
m
的范围；
（2）若
a
与
b
的夹角为锐角，求
m
的范围。 <
br>6.已知
a?(6,2)
，
b?(?3,m)
，当
m
为何值时，（1）
a
与
b
的夹角为钝角？（2）
a
与
b
的夹角
为锐角？
7.已知梯形
ABCD
的顶点坐标分别为
A(?1,2)
，
B(3,4)
，
D(2,1)<
br>，且
ABDC
，
AB?2CD
，
求点
C
的坐
标。
8.已知平行四边形
ABCD
的三个顶点的坐标分别为<
br>A(2,1)
，
B(?1,3)
，
C(3,4)
，求第四个顶
点
D
的坐标。
9.一航船以5kmh的速度向垂直于对岸方向
行驶，航船实际航行方向与水流方向成
30
角，求
水流速度与船的实际速度。
10.已知
?ABC
三个顶点的坐标分别为
A(3,4)
，
B(0
,0)
，
C(c,0)
，
（1）若
AB?AC?0
，求<
br>c
的值；（2）若
c?5
，求
sinA
的值。
【备用】
1.已知
|a|?3,|b|?4,|a?b|?5
，
求
|a?b|
和向量
a,b
的夹角。
2.已知
x?a?b
，
y?2a?b
，且
|a|?|b|?1
，
a?b
，求
x,y
的夹角的余弦。
1.已知
a?(1,3),b?(?2,?1)
，则
(3a?2b)?(2a?5b)?
65 。
4.已知
两向量
a?(3,4),b?(2,?1)
，求当
a?xb与a?b
垂直时的
x的值。
5.已知两向量
a?(1,3),b?(2,
?
)
，a与b
的夹角
?
为锐角，求
?
的范围。
变式：若a?(
?
,2),b?(?3,5)
，
a与b
的夹角
?
为钝角，求
?
的取值范围。
选择、填空题的特殊方法：
1.特例法
例：《全品》P27：4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以取
特殊情况，即M,N与B,C
重合时，可以得到
m?n?1
，
?m?n?2<
br>。
6
2.代入验证法
例：已知向量
a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,?2)
，则
c?
（ D ）
A.
?
1
2
a?
3
2
b
B.
?
1
2
a?
3
2
b
C.
3
2
a?
1
2
b
D.
?
3
2
a?
1
2
b
变式：
已知
a?(1,2),b?(?1,3),c?(?1,2)
，请用
a,b
表
示
c
。
解：设
c?xa?yb
，则
(?1,2)?x(1
,2)?y(?1,3)
即：
(?1,2)?(x,2x)?(?y,3y)?(x?y,2x?3y)
??1?x?y且2?2x?3y
，即：
?x?y??1且2x?3y?2
解得：
?x?
4949
5
，y?
5
，
?c?
5
a?
5
b
3.排除法
例：已知M是
?ABC
的重心，则下列向量与
AB
共线的是（ D
）
A.
AM?MB?BC
B.
3AM?AC
C.
AB?BC?AC
D.
AM?BM?CM
解：观察前三个选项都不与
AB
共线，所以选D。
7