人教版高中数学必修4课时作业25.doc

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课时作业25 两角差的余弦公式
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．化简cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ的结果为( )
A．cos(α＋2β)
C．cosα
B．cos(2α＋β)
D．cosβ
解析：cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ
＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.
答案：C
π
?
π???
3
???
2．已知cos
x－
6
＝－
3
，则cosx＋cos
x－
3
?
的值是( )
????
23
A．－
3

C．－1
23
B．±
3

D．±1
π
??
133 3
解析：cosx＋cos
?
x－
3
?
＝cosx＋
2
cosx＋
2
sinx＝
2
cosx＋
2
si nx＝
??
?
3
?
π
??
1
3
?
cosx＋sinx
?
＝3cos
?
x－
6
?＝－1.
2
??
?
2
?
答案：C
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3．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，c osα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)
的值是( )
A．1
1
C.
2

解析：由sin
2
γ＋cos
2
γ＝1，
得(sinα＋sinβ)
2
＋(cosα＋cosβ)
2
＝1，
化简，得2＋2cos(α－β)＝1，
1
即cos(α－β)＝－
2
.
答案：D
3
π
12
4．已知cosα＝－
5
，α∈(
2
，π)，sinβ ＝－
13
，β是第三象限角，
则cos(β－α)的值是( )
33
A．－
65

56
C.
65

63
B.
65

16
D．－
65

B．－1
1
D．－
2

3
π
4
解析：∵cosα＝－
5
，α∈(
2
，π)，∴sinα＝
5
.
125
又sinβ＝－
13
，β是第三象限角，∴cosβ＝－
13
.
∴cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα
53124
＝－
13
×(－
5
)＋(－
13
)×
5< br>
33
＝－
65
.
答案：A
π6π
5． 函数f(x)＝cos2xcos
5
－sin2xsin
5
的单调递增区间是 ( )
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π3π
A．[kπ＋
10
，kπ＋
5
](k∈Z)
3π7π
B．[kπ－
20
，kπ＋
20
](k∈Z)
π3π
C．[2kπ＋
10
，2kπ＋
5
](k∈Z)
2ππ
D．[kπ－
5
，kπ＋
10
](k∈Z)
ππππ
解析：f(x)＝cos2xcos
5
－sin2xsin(π＋
5
)＝cos2xcos
5
＋sin2xsin
5
＝
πcos(2x－
5
)．
π2π
由2kπ－π≤2x－
5
≤2kπ，得该函数的单调增区间为[kπ－
5
，kπ
π
＋
10< br>](k∈Z)．
答案：D
6．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝( cosA，sinA)，
b＝(cosB，sinB)且a·b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形
C．等边三角形
B．等腰三角形
D．等腰直角三角形
解析：因为a·b＝cosAcosB＋sinAsinB＝cos(A －B)＝1，又∵A，B，
C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形，故选
B.
答案：B
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．cos(30°＋α)cosα＋sin(30°＋α)sinα的值是________．
3
解析：原式＝cos[(30°＋α)－α]＝cos30°＝
2
.
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3
答案：
2

2cos10°－sin20°
8．化简：＝________.
cos20°
2cos?30°－20°?－sin20°
解析：原式＝
c os20°
2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°
＝
cos20°
3cos20°＋sin20°－sin20°
＝
cos20°
3cos20°
＝
cos20°
＝3.
答案：3
1
9．若cos(α－β)＝
3
，则(sinα＋sin β)
2
＋(cosα＋cosβ)
2
＝________.
解析： 原式＝sin
2
α＋2sinαsinβ＋sin
2
β＋cos
2< br>α＋2cosαcosβ＋cos
2
β
＝1＋1＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)
18
＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×
3
＝
3
.
8
答案：
3

三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)
416
10 ．若α，β为锐角，且cosα＝
5
，cos(α＋β)＝－
65
，求cos β的
值．
π
解：∵0<α，β<
2
，∴0<α＋β<π.
1663
由cos(α＋β)＝－
65
，得sin(α＋β)＝
65
.
43
又∵cosα＝
5
，∴sinα＝
5
.
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∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
1646335
＝(－< br>65
)×
5
＋
65
×
5
＝
13.
β
1
α
2
π
11．设cos(α－
2)＝－
9
，sin(
2
－β)＝
3
，其中α∈(
2
，π)，β∈(0，
α＋β
π
2
)，求cos
2
.
ππ
解：因为α∈(
2
，π)，β∈(0，
2
)，
βπ
所以α－
2
∈(
4
，π)，
αππ
所以
2
－β∈(－
4
，
2
)， < br>β
1
α
2
又cos(α－
2
)＝－
9
，sin(
2
－β)＝
3
，
β
45
α
5
所以sin(α－
2
)＝
9
，cos(
2
－β) ＝
3
，
α＋β
所以cos
2

βα
＝cos[(α－
2
)－(
2
－β)]
βα βα
＝cos(α－
2
)cos(
2
－β)＋sin(α－
2
)sin(
2
－β)
1545275
＝－
9
×
3
＋
9
×
3
＝
27
.
π
12．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋
6
)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
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π 5π
6
(2)设α，β∈[0，
2
]，f(5α＋
3
)＝－
5
，
5π
16
f(5β－
6
)＝
17< br>，求cos(α－β)的值．
2π
解：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π ，所以10π＝
ω
，所以ω
1
＝
5
.
5π
6
(2)因为f(5α＋
3
)＝－
5
， 1
5ππ
所以2cos[
5
(5α＋
3
)＋
6
]
π
6
＝2cos(α＋
2
)＝－
5
，
3
5π
16
所以sinα＝
5
，又因为f(5β－
6
)＝
17
，
1
5ππ
16
所以2cos[5
(5β－
6
)＋
6
]＝2cosβ＝
17
，
8
π
所以cosβ＝
17
，因为α，β∈[0，
2
]，
415
所以cosα＝
5
，sinβ＝
17
，
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
4831577
＝
5
×
17
＋
5
×
17
＝
85
.

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