高中数学：高中数学人教A版必修四(二十)

ruize
课下能力提升(二十)
[学业水平达标练]
题组1 平面向量数量积的坐标运算
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝( )
1
A．－1 B．－
2
1
C. D．1
2
2．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为( )
A.3B．3
C．－3 D．－3
3．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b＝( )
A.
?
31
??
13
?

，
B.
，
?
22
??
22
?
133
?
C .
?
，
D．(1，0)
?
44
?
题组2 向量模的问题
4．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．42B．25C．8 D．82
5．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y )，若a∥b，则|3a＋b|等于________．
6．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC ，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC
上的动点，则||的最小值为________ ．
题组3 向量的夹角与垂直问题
11
?
7．设向量a＝(1，0)，b ＝
?
?
2
，
2
?
，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b < br>8．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c 等于( )
77
?
77
，
B.
?
－，－
?
A.
?
9
??
93??
3
77
??
77
，
D.
－，－
?
C.
?
3
??
39
??
9
9．以原点O 和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B＝90°，求点B和向
量的坐标．
10．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．
(1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；
2

2

ruize
(2)若|b|＝
5
，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
2
[能力提升综合练]

33
A.B．－
22
C．4 D．－4
2．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上 有一点P，使有最小值，
则点P的坐标是( )
A．(－3，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
3．a，b为平面向量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
88
A.B．－
6565
1616
C.D．－
65 65
4．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
5．如图，已知点A(1，1)和单位圆上半部分上的动点B，若
坐标为________．
⊥，则向量的

6．已知a＝(λ，2
λ
)，b＝(3λ，2)，若 a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
7．已知O为坐标原点，
是否存在点M，使得



答 案
[学业水平达标练]
1. 解析：选D a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1?x＝1.
a·b
－6
2. 解析：选D 向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
|b|2
3. 解析：选B 法一：设b＝(x，y)，其中y≠0，
则a·b＝3x＋y＝3.
＝(2，5)，＝(3 ，1)，＝(6，3)，则在线段OC上
？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

ruize
?
x
2
＋y
2
＝1，
?
由
?
3x＋y＝3
，
?
?
y≠0，< br>?
13
解得
?
即b＝
?
，
?
.故选 B.
?
22
?
3
?
y＝
2
，
法 二：利用排除法．D中，y＝0，
133
?
∴D不符合题意；C中，向量
?
，
不是单位向量，
?
44
?
∴C不符合题意；A中，向量
?
∴A不符合题意． 故选B.
4. 解析：选D 易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，
所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，
所以|c|＝8
2
＋（－8）
2
＝82.
5. 解析：a∥b，则2×(－2)－1·y＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝5.
★答案★：5
6. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝h，则A(2，0)，B(1，h)．设P(0 ，
y)(0≤y≤h)，则＝(2，－y)，＝(1，h－y)，
31
?
使得a·b＝2，
?
2
，
2
?
1
x＝，
2

∴|
故|
★答案★：5
7. 解析：选C 由题意知|a|＝1＋0＝1， |b|＝
22
|＝25＋（3h－4y）
2
≥25＝5.
|的最小值为5.
1
?
1
?
＋
?
1?
＝
2
，a·b＝1×＋0×
?
2
??
2?
22
22
1111
＝，(a－b)·b＝a·b－|b|
2< br>＝－＝0，故a－b与b垂直．
2222
8. 解析：选D 设c＝(m，n)，
则a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)，
由(c＋a)∥b，
得－3(1＋m)＝2(2＋n)，
又c⊥(a＋b)，得3m－n＝0，

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77
故m＝－，n＝－.
93
9. 解：设点B坐标为(x，y)，
则
∵
＝(x，y)，
⊥，
＝(x－5，y－2)．
∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，
即x
2
＋y
2
－5x－2y＝0.
又∵||＝||， < br>∴x
2
＋y
2
＝(x－5)
2
＋(y－2)
2
，
即10x＋4y＝29.
22
?
?
x＋y－5x－2y＝0，
由
?

?
10x＋4y＝29，
?
??
解得
?
或
?37
y＝－，y＝
?
2
?
2
.
7
x＝ ，
2
3
x＝，
2

7337
，－
?
或
?
，
?
. ∴点B的坐 标为
?
2
??
22
??
2
3773
－，－
?
或
?
－，
?
. ＝
?
2
??
22
??
2
10. 解：(1)设c＝(x，y)，
∵|c|＝25，∴x
2
＋y
2
＝25，
∴x
2
＋y
2
＝20.
由c∥a和|c|＝25，
?
y－2·x＝0，
?
1·
可得
?
22

?
x＋y＝20，
?
?
x＝2，
?
?
x＝ －2，
?
解得
?
或
?

??
y＝4，y＝－4.
??
故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，
∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a
2
＋3a·b－2b
2
＝0，
5
∴2×5＋3a·b－2×＝0，
4
5
整理得a·b＝－，
2
a·b
∴cos
θ
＝＝－1.
|a||b|

ruize
又θ∈[0，π]，∴
θ
＝π.
[能力提升综合练]
1.

解得m＝4.
2. 解析：选C 设P(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝( x－4，－1)，∴＝
(x－2)(x－4)＋2＝x
2
－6x＋10＝(x－3)< br>2
＋1，故当x＝3时，AP―→·BP―→最小，此时点P的
坐标为(3，0)．
3. 解析：选C 设b＝(x，y)，
则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，
?
?
8＋x＝3，
所以
?

?
6＋y＝1 8，
?
?
x＝－5，
?
解得
?

?
y＝12，
?
故b＝(－5，12)，
a·b16
所以cos〈a，b〉＝＝.
|a||b|65
4. 解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，
∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，
∴|a－b|＝5.
★答案★：5
5. 解析：依题意设B(cos
θ
，sin
θ
)，0≤
θ
≤π，

即cos
θ
＋sin
θ
＝0，
3π
解得θ＝，
4
所以＝
?
－
?
22
?
.
，
22
?
22
?

，
22
?★答案★：
?
－
?

ruize
6. 解析：因为a与b的夹角为锐角，
a·b
所以0<<1，
|a||b|
即 0<
3λ
2
＋4λ
5λ
2
×9
λ
2
＋4
<1，
411
解得λ<－或0<λ<或
λ
>.
3 33
411
－∞，－
?
∪
?
0，
?
∪?
，＋∞
?
★答案★：
?
?
3
??
3
??
3
7. 解：假设存在点M，

∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，
即45λ
2
－48λ＋11＝0，
解得λ＝
1
3
或λ＝
11
15
.
∴存在M(2，1)或M
?
2211
?
5
，
5
?
?
满足题意．

?