全品作业本-高中-数学-必修4-RJA(1-64)

全品作业本
高中数学
必修4
新课标（RJA）

目录
课时作业
第一章 三角函数
1．1 任意角和弧度制
1．1．1 任意角
1．1．2 弧度制
1．2 任意角的三角函数
1．2．1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数
第2课时 三角函数线及其应用
1．2．2 同角三角函数的基本关系
1．3 三角函数的诱导公式
?滚动习题（一）[范围1．1?1．3]
1．4 三角函数的图像与性质
1．4．1 正弦函数、余弦函数的图像
1．4．2 正弦函数、余弦函数的性质
1．4．3 正切函数的性质与图像
1．5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像
第1课时 函数y=Asin（ωx+φ）的图像
第2课时 函数y=Asin（ωx+φ）的性质
1．6 三角函数模型的简单应用
?滚动习题（二）[范围1．1~1．6]
第二章 平面向量
2．1 平面向量的实际背景及基本概念
2．1．1 向量的物理背景与概念
2．1．2 向量的几何表示
2．1．3 相等向量与共线向量
2．2 平面向量的线性运算
2．2．1 向量加法运算及其几何意义
2．2．2 向量减法运算及其几何意义
2．2．3 向量数乘运算及其几何意义
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3．1 平面向量基本定理
2．3．2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3．3 平面向量的坐标运算
2．3．4 平面向量共线的坐标表示
2．4 平面向屋的数量积
2．4．1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2．4．2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2．5 平面向量应用举例
2．5．1 平面几何中的向量方法
2．5．2 向量在物理中的应用举例
?滚动习题（三）[范围2.1~2.5]
第三章 三角恒等变换
3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1．1 两角差的余弦公式
3．1．2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3．1．3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
?滚动习题（四）[范围3．1]
3．2 简单的三角恒等变换
第1课时 三角函数式的化简与求值
第2课时 三角函数公式的应用
?滚动习题（五）[范围3．1?3．2]
参考答案
综合测评
单元知识测评（一）[第一章]卷1
单元知识测评（二）[第二章] 卷3
单元知识测评（三）[第三章]卷5
模块结业测评（一）卷7
模块结业测评（二）卷9
参考答案卷
提分攻略
（本部分另附单本）
第一章 三角函数
1．1 任意角和弧度制
1．1．1 任意角
攻略1 判定角的终边所在象限的方法
1．1．2 弧度制
攻略2 弧度制下的扇形问题
1．2 任意角的三角函数
1．2．1 任意角的三角函数
攻略3 三角函数线的巧用
1．2．2 同角三角函数的基本关系
攻略4 “平方关系”的应用方法
1．3 三角函数的诱导公式
攻略5 “诱导公式”的应用方法
攻略6 三角函数的诱导公式面面观
1．4 三角函数的图像与性质
1．4．1 正弦函数、余弦函数的图像
攻略7 含绝对值的三角函数的图像画法及应用
1．4．2 正弦函数、余弦函数的性质
攻略8 三角函数性质的综合应用题型
1．4．3 正切函数的性质与图像

攻略9 正切函数的图像应用剖析
1．5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像
攻略10 求函数y=Asin（ωx+φ）+k解析式中ω，φ的方法
攻略11 三角函数图像的平移和伸缩
1．6 三角函数模型的简单应用
攻略12 三角函数的应用类型剖析
第二章 平面向量
2．1 平面向量的实际背景及基本概念
2．1．1 向量的物理背景与概念
2．1．2 向量的几何表示
2．1．3 相等向量与共线向量
攻略13 平面向量入门易错点导析
2．2 平面向量的线性运算
2．2．1 向量加法运算及其几何意义
攻略14 向量加法的多边形法则及应用
2．2．2 向量减法运算及其几何意义
攻略15 向量加减法法则的应用
2．2．3 向量数乘运算及其几何意义
攻略16 平面向量中三角形面积比问题的求解技巧
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3．1 平面向量基本定理
2．3．2 平面向量的正交分解及坐标表示
攻略17 定理也玩“升级”
2．3．3 平面向量的坐标运算
攻略18 向量计算坐标化 解题能力能升华
2．3．4 平面向量共线的坐标表示
攻略19 善用“x
1
y
2
－x
2
y
1
=0”巧解题
2．4 平面向量的数量积
2．4．1 平面向量数量积的物理背景及其含义
2．4．2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
攻略20 “盘点”向量数量积应用类型
攻略21 数量积应用易错“点击
2．5 平面向量应用举例
2．5．1 平面几何中的向量方法
2．5．2 向量在物理中的应用举例
攻略22 直线的方向向量和法向量的应用
攻略23 向量在平面几何和物理中的应用
第三章 三角恒等变换
3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1．1 两角差的余弦公式
攻略24 已知三角函数值求角
3．1．2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
攻略25 三角函数问题中怎样“缩角”
3．1．3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

攻略26 二倍角公式的“8种变化”
3．2 简单的三角恒等变换
攻略27 —道三角求值题的解法探索
攻略28 三角变换的技巧与方法整合
参考答案
第一章 三角函数
1．1 任意角和弧度制
1．1．1 任意角
基础巩固
1．不相等的角的终边（ ）
A．—定不同
B．必定相同
C．不一定不相同
D．以上都不对
【答案】C
2．已知角α，β的终边相同，则α－β的终边在（ ）
A．x轴的非负半轴上
B．y轴的非负半轴上
C．x轴的非正半轴上
D．y轴的非正半轴上
【答案】A
3．若α=k?180°+45°，k∈Z，则角α的终边在（ ）
A．第一或第三象限
B．第一或第二象限
C．第二或第四象限
D．第三或第四象限
【答案】A
【解析】当
k?2n(n?Z)
时,
a?n360??45?,n?Z，α为第一象限角；当
k?2n?1(n?Z)
时，
a?n360??225?, n?Z
，a 为第三象限角.
4．已知α是锐角，那么2α是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．小于180°的正角
D．第一或第二象限角
【答案】C
【解析】由题意知
0??a?90?
，所以
0??2a?180?

5．若角α满足180°<α<360°，角5α与α的终边相同，则α=___270°_______．
能力提升
6．[2014·湖南五市十校期中]与1303°终边相同的角是（ ）
A．763° B．493°
C．－137° D．－47°
【答案】C
【解析】1303°= 360°+943°= 360°× 2 + 583°= 360°×3 + 223°= 360°× 4+
（-137°)

7．若A={α|α =k·360°，k∈Z}，B={α|α=k·180°，k∈Z}，C={α|α=k·90°，k∈Z}， 则
下列关系中正确的是（ ）
A．A=B=C
B．A=B∩C
C．A∪B=C
D．
A?B?C

【答案】D
【解析】∵
90??C,90??B,90??A
, ∴选项 A，C错误.∵
180??C,180??B,180??A
，
∴选项B错误.
8．[2015·深圳高级中学期中]如图1-1-1所示，终边落在阴影部分（含边界）的角 的集
合是（ ）

A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α| k·360°－45°≤α≤k·360°+120°，k∈Z}
D．{α| k·360°+120°≤α≤k·360°+315°，k∈Z}
【答案】C
9．如果角2α的终边在x轴的上方，那么α是（ ）
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角
【答案】C
【解析】 根据题意，知
k360??2a?k360??180?,k? Z
,∴
k180??a?k180??90?,k?Z
.
当
k?2n(n?Z)
时，
n360??a?n360??90?,n?Z
，则α是第 一象限角；
当
k?2n?1(n?Z)
时，
n360??180? ?a?n360??270?,n?Z
，则 α是第三象限角.故
α为第一或第三象限角.
10．若角α与角β的终边关于y轴对称，且在x轴的上方，则α与β的关系是__________．
【答案】
a?(2k?1)18

?0?
?
k,?Z
【解析】 当
a,
?
(0?,1 80?)
时，a+β=180°，即a=180°-β，所以当a，β的终边均在x轴
的上方时 ，有a=k?360°+180°-β=(2k+1)?180°-β,k∈Z.
11．[2014·济南一中月考]在平面直角坐标系中，下列说法正确的是__________．
（1）第一象限的角一定是锐角；（2）终边相同的角一定相等；（3）相等的角，终边一
定相同；（4 ）小于90°的角一定是锐角；（5）钝角的终边在第二象限；（6）终边在直线
y?3x
上的 角表示为k×360°+60°，k∈Z．
【答案】(3)(5)

【解析】 第一象限的角还可能是负角或大于90°的角，（1)错；终边相同的角相差360°
的整数倍，（2) 错；（3)正确；小于90°的角还可能是负角，（4)错；（5)正确；终边在直线
y?3x
上的角表示为k×360°+60°，k∈Z.或k×360°+240°，k∈Z，（6)错.
12．已知锐角α的10倍与它本身的终边相同，则角α=__________．
【答案】40°或80°
【解析】因为锐角α的10倍的终边与角α的终边相同，所以10a=a+ k?360°, k∈Z，解得
a= k?40°, k∈Z.又α为锐角，所以a=40°或80°.
13．若角α的终边落在直线x+y=0上，求在[－360°，360°]内的所有满足条件的角α．
【答案】解：若角α的终边落在第二象限，则a=135°+ k×360°，k∈Z；
若角α的终边落在第四象限，则a=315°+ k×360°，k∈Z.
∴终边落在直线x +y=0上的角α的集合为
?
aa?135??k?360?,k?Z
??
a a?315??k?360?,k?Z
?
?
?
aa?135??k?180? ,k?Z
?
.
令-360°≤135°+k×180°≤360°,得k?
?
?2,?1,0,1
?
，
∴满足条件的α为-225°，-45°，135°,315°.

14．[2014?沈阳 铁路实验中学期末]已知α，β为锐角，且α+β的终边与－280°的终边
相同，α－β的终边与67 0°的终边相同，求角α，β．
【答案】 解：由题意得a+β=-280°+k?360°=(k- 1)?360°+80°（k∈Z)，a-β=670°+ k?360°
=(k+2)?360°-5 0°（k∈Z).又a，β都为锐角，∴0°＜a+β＜180°, - 90°＜a-β＜90°，
∴a+β= 80°，a-β=-50°，∴a=15°，β= 65°.
难点突破
15．已知A={α|α=k·360°+45°，k∈Z}，B={β|β=k·360°+135°，k∈ Z}，则A∪B=__________．
【答案】
aa?k180??(?1)
k
45?,k?Z
??

【解 析】∵
A?
?
aa?k360??45?,k?Z
?
?
?< br>aa?2k180??45?,k?Z
?
，
B?
?
???k360??135?,k?Z
?
?
?
??
?(2k?1)1 80??45?,k?Z
?
，
∴
AB?aa?k180??(?1)
k
45?,k?Z
.

??
16．[2014?嘉兴一中期中]若α是第三象限角，则
?
是第几象限角？
3
【答案】解:α是第三象限角，∴k?360°+180°a
k120??60???k120??90k?,?Z
.
3
①当k= 3n，n∈Z时，
n360??60??
a
?n360??90?,n?Z
；
3
a
?n360??210?,n?Z
；
3
a
?n360??330?,n?Z
.
3
②当k=3n+1，n∈Z时,
n360??180??
③当k= 3n+2，n∈ Z时，
n360??300??

a
是第一或第三或第四象限角.
3
1．2．2 弧度制
基础巩固
1．将－300°化为弧度是（ ）
∴
45
A．
?
πrad
B．
?
πrad

33
77
C．
?
πrad
D．
?
πrad
46

【答案】B

2．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则（ ）
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积变为原来的2倍
D．扇形的圆心角变为原来的2倍
【答案】B
3．已知集合A={α| 2kπ≤α≤（2k +1）π，k∈Z}，B={α|－4≤α≤4}，A∩B等于（ ）
A．
?

B．{α|－4≤α≤π}
C．{α| 0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
【答案】D
4．若三角形三内角的弧度数之比为4：5：6，则三内角的弧度数分别是__________．
4
?
?
2
?
，，
1535

【解析】设三角形的三个内角的弧度数分别为4x，5x，6x，则有 4x+ 5x+6x = π，解
【答案】
得
x?
4
?
?
2
?，，.
15
1535

5．（1）若θ∈（0，π），且θ与7θ的终边相同，则θ=__________．
（2）设α=－2，则α的终边在第__________象限．
，∴三内角的弧度数分别为
【答案】 (1)
?
?
2
?
或（2)三
33
k
?
?
2
?
.
(k?Z)
.又
?
?(0,
?
),
?
?
或
333 【解析】(1)由题意得7θ=2kπ+θ(k∈Z)，∴
?
?
?
3
?
(2)-2=-2π+2π-2，∴
2
?
?2??
?
,
?
?
，故α为第三象限角.
?
2
?
能力提升
π
6．与角
?
终边相同的角是（ ）
6
A．
C．
5π
π
B．
63
2π
11π
D．
3

6
【答案】C

7．[2 015?福建清流一中模拟]半径为10cm，面积为100cm
2
的扇形中，弧所对的圆心角
为（ ）
A．2 B．2° C．2π D．10
【答案】A
1
【解析】设弧所对的圆心角为a，由题知
a?(10)
2
?100
，解得a=2.
2
?
ππ
?
8．集合< br>?
?
k
π
?≤
?
≤k
π
?
,
k?Z
?
所表示的角的范围（用阴影表示）是（ ）
42
??

【答案】C
【解析】当k=2m，m∈Z时，
2m
?
?

?
4
?a?2m
?
?
?
2
,m?Z
；当k=2m+1，m∈Z时 ，
5
?
3
?
?a?2m
?
?,m?Z
.故 选C.
42
9．[2014?西安一中期末]已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也 是2，则这个圆心角所
对的弧长是（ ）
2m
?
?
A．2 B．
2

sin1
C．2sin1 D．sin2
【答案】B
12
,所以弧长为.
sin1sin1
10．在直径 为10厘米的轮子上有一长为6厘米的弦，P为弦的中点，若轮子以每秒5
弧度的角速度旋转，则经过5 秒后P转过的弧长为__________．
【答案】100厘米
【解析】由题知半径为
【解析】P到圆心O的距离
OP?5
2
?3< br>2
?4
（厘米），所以P转过的弧长为25×4 =
100(厘米）. 11．[2014?盐城中学期末]已知扇形的周长是4cm，则当扇形的面积最大时，扇形的圆
心 角的弧度数是__________．
【答案】2
【解析】设此扇形的圆心角为a ，半径为r，弧长为l，则2r+l=4，则扇形的面积
11
S?rl?r(4?2r)??r
2
?2r??(r?1)
2
?1
,???当 r=l时，S最大，这时l= 4-2r=2，从而
22
a?

l2
??2
.
r1

12．[2014?九江外国语 学校月考]一个半径大于2的扇形，其周长C=10，面积S=6，求
这个扇形的半径r和圆心角α的弧 度数．
【答案】解：由 C=2r+ra=10，得
a?
∴r=3(r=2舍去)，∴
a?

13．若弓形的弧所对的圆心角为
10? 2r1
2
，将上式代入
S?ar
2
?6
,得 r-5r+6 =0,
r2
10?2r4
?
.
r3
π
，弓形的弦长为2cm，求弓形的面积．
3
3
?4 ?3(cm
2
)
，
4
2
?
?S
?OAB< br>??3(cm
2
)

3
【答案】解：如图所示，r= AB=2cm，∴
S
?OAB
?
1
?
2
?
S
扇形?OAB
???2
2
?(cm
2
)
，∴S
弓形
=S
扇形?OAB
233


难点突破
14．一个扇形OAB的面积是1cm
2
，它的周长是4cm，则圆心角的 弧度数为__________，
弦长AB=__________ cm．
【答案】2 2sin1
?
1
?
r?1,
?
lr?1,
【解析】设扇形的半径为r cm,弧长为 l cm,圆心角为a，则
?
2
解得
?

l?2,
?
?
?
l?2r?4,
l
?2
.
r
如图所示，过点O作OH⊥AB 于点H，则ZAOH=I, ∠AOH=1，∴AH=1·sin1=sin 1
(cm) , ∴ AB = 2sin 1 cm.
∴圆心角
a?

15．[2015．陕西 兴平秦岭中学期中]（1）已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径r=6，
求弧长l及扇形的面积 S．
（2）已知扇形的周长为20，当扇形的圆心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？
【答案】 解：（1)因为
a?120??
2
?
2
?
，所以
l?ar??6?4
?
，
3
3
11
S?lr??4
?
?6?12
?
.
22
(2)设弧长为l,半径为r，圆心角为a，由题知l+2r=20，所以l= 20-2r，所以
a?
l20?2r
，
?
rr
1120?2r
2
所以扇形的面积
S?lr ?r??r
2
?10r??(r?5)
2
?25
，
22r

故当r=5时，S取得最大值，最大值为25，这时
a ?
l20?2r
??2
.
rr

1．2 任意角的三角函数
1．2．1 任意角的三角函数
第1课时 任意角的三角函数
基础巩固
1．角α的终边经过点P（－b，4），且，则b的值为（ ）
A．3 B．－3
C．±3 D．5
【答案】 A
2．下列三角函数值的符号判断错误的是（ ）
A．sin165° >0 B．cos280°>0
C．tan170°>0 D．tan310°<0
【答案】 C
3．点A（sin 2015°，cos 2015°）在直角坐标平面上位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】 C
【解析】sin2015°=sin215°＜0，cos2015°=cos215°＜0，故选C.
4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y= 2x（x≤0）
上，则 cos θ的值为（ ）
A．
?
C．
525
B．
?

55
525
D．
55

【答案】 A
?1
5
??
5
.
5
【解析】在角θ的终边上取点P( -1, -2)，则
r?OP?5
，所以
cos< br>?
?
?
13
?
5．已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的非 负半轴重合，终边过点
?
?
?
2
,
2
?
?
，2α∈
??
[0,2π），则tanα= _ _________
【答案】
3

【解析】由题知角2a的终边在第二象限，
tan2a??3
.又2a∈[0,2π]，所以
2a?
得
a?
，所 以
tana?3
.
3
能力提升
6．[2014·浏阳一中模拟]若
?
A．第一象限 B．第二象限
2< br>?
，
3
?
π
?
?
?0
，则点（ta nα，cosα）位于（ ）
2

C．第三象限 D．第四象限
【答案】 B
【解析】α是第四象限的角，所以tan α＜0，cosα＞0，所以点（tan α, cosα）在
第二象限.

7．[2015·嘉兴一中期中]若
sin
?
?
A．（－4,3） B．（3，－4）
C．（4，－3） D．（－3,4）
【答案】 A
【解析】由a的两个三角函数值，可知a的终边在第二象限，排除B，C.又
sina?
34< br>，
cos
?
??
，则在角α终边上的点是（ ）
55
3
，
5
4
cosa??
，故选A.
5
ππ
??
8．已知角α的终边上一点的坐标为
?
sin,cos
?
，则角α的最小正值为（ ）
66
??
5π
11π
A． B．
6
6
C．
ππ
D．
36

【答案】C
cos
3
6
?
2
?3
,故角α的最小正值为
?
. 【解析】
tana?
?
1
3
sin
62
?
9．[2014·九江七校期中联考]已知角α的终边经过点P（－1,3），则2sinα+cosα=（ ）
A．
C．
?
1010
B．
210
71010
D．
?
102

【答案】A


【解析】由三角函数的定义知
sina?3
(?1)
2
?3
2
?
310?1?10
，< br>cosa?
，
?
22
1010
(?1)?3
610? 1010
.
??
10102

10．给出下列三角函数：
所以
2sina?cosa?
sin
①sin（－1000°）；② cos（－2200°）；③tan（－10）；④
7π
cosπ
10
．
17
tanπ
9
其中结果为负值的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C

【解析】sin(-10 00°)=sin80°＞0；cos（-2200°）=cos320°＞0；tan（-10）＜0；
sin
7
?
7
?
7
?
cos
?
sin
sin
1010
，易知
sin
7
?
?0，
tan
17
?
?0
，故
?
10
?0
.故选C.
??
17
?
17
?
17
?< br>10
9
tantan
tan
99
9
11．点P从（1 ,0）出发，沿单位圆x
2
+y
2
=0逆时针方向运动
标为____ ______．
π
到达Q点，则Q点的坐
3
?
13
?【答案】
?
,

?
22
?
?
??< br>?
13
?
??
??
【解析】根据题意得
Q< br>?
cos,sin
?
，即
Q
?
,
.
?
22
?
?
33
??
??

12．（1）已知角α的终边经过点P（4, －3），求2sinα+cosα的值．
（2）已知角α的终边经过点P（4a, －3a）（a≠0），求2sinα+cosα的值．
【答案】解：⑴∵
r?x
2
?y
2
?5
， ∴
sina?
y3x4
??
，
cosa??
，∴
r 5r5
642
2sina?cosa?????
.
555
（2）∵
r?x
2
?y
2
?5a
，
当a ＞0时，r=5a，∴
sina?
?3a34a4
??
，
cosa? ?
，
5a55a5
642
∴
2sina?cosa?????
.
555
当a＜0时，r=-5a，∴
sina?
∴
2sina?cosa?
?3a34a4
?
，
cosa???
，
?5a5?5a5
642
???
.
555
3
x
，求sinα，tanα的值
6
13．已知角 α的终边经过点P（x,
?2
）（x≠0），且
cos
?
?
【答案】解：∵
P(x,?2)(x?0)
，∴P到原点的距离
r?x
2?2
.
又
cosa?
3
x
，∴
co sa?
6
x
x
2
?2
?
3
x
.
6
∵
x?0
，∴
x??10
，∴
r?23
.
当
x?10
，P点的坐标为
(10,?2)
，
∴
sina??
65
，
tana??
；
65

当
x??10
，P点的坐标为
(?10,?2)
，
∴
sina??

难点突破
sin
65
，
tana?
；
65
?
2
cos
?
cos
?
2
14．[2014·巴东一中月考]若α为第三象限角，则
sin
?
2
?2
的值为（ ）
A．0 B．2
C．－2 D．2或－2
【答案】A
【解析】∵α为第三象限角，∴
当
a
为第二或第四象限角.
2
aa
为第二象限角时，y=1-1=0；当为第四象限角时，y=-1+1=0.
22
15．已知sinα<0，tanα>0．
（1）求角α的集合；
（2）求
?
终边所在的象限；
2
???
（3）试判断
tansincos
的符号．
222
【答案】解：（1)由sin α＜0，知角α的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴
的非正半轴重合；
由tan α＞0,知角α的终边可能位于第一或第三象限.
?3
?
?
,k?Z
?
. 故角α的终边只能在第三 象限，所以角α的集合为
?
a(2k?1)
?
?a?2k
?
?
2
??
(2)由
(2k?1)
?
?a?2k
?
?
二或第四象限.
(3)当
3
?
?
a3
?
a
,k? Z
，得
k
?
???k
?
?,k?Z
，故的终边在第
2
2224
a
a
aa
为第二象限角时，
tan?0
，
sin?0
，
cos?0
，
2
2
22
aaa
所以
tansincos
的符号为正.
222
当
a
a
aa
为第四象限角时，
tan?0
，
sin?0
，cos?0
，
2
2
22
aaa
所以
tansincos
的符号为正.
222
aaa
因此，
tansincos
的符号为正.
222
第2课时 三角函数线及其应用
基础巩固

1．如图1-2-1所示，在单位圆中，角α的正弦线和正切线分别为（ ）

A．PM，
A
?
T
?

B．MP，
A
?
T
?

C．MP，AT
D．PM，AT
【答案】C

1
2．在[0，2π]上，满足
sinx≥
的x的取值范围为（ ）
2
?
π
??
π5π
?
A．
?
0,
?
B．
?
,
?

?
6
??
66
?
?
π2π
??
5π
?
C．
?
,
?
D．
?
,π
?
?
63
??
6
?

【答案】B

（0<α<2π）的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则α的值为（ ） 3．已知α角
A．
C．
π
3π5π7π
或 B．或
4444
π
5π
π
7π
或 D．或
4444

【答案】C

π
4．比较大小：sin1 __________
sin
．（填“>”或“<”）
3
【答案】 ＜
【解析】由
0?1?
5．不等式
tan
?
?
?
3
?
?
2
及单位圆中的三角函数线知，
sin1?si n
?
3
.
3
?0
的解集是__________．
3
?
??
?
【答案】
?
a(k
?
??a?k
?
?,k?Z
?
[解析]不等式的解集如图所示（阴 影部分），
62
??
?
??
?
∴
?
a(k
?
??a?k
?
?,k?Z
?
.
62
??

能力提升
6．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是（ ）

A．sin1> sin1.2> sin1.5
B．sin1>> sin1.2
C．sin1.5> sin1.2> sin1
D．sin1.2> sin1> sin1.5
【答案】C
?
?
??
?
?
【解析】∵1,1.2,1.5 均 在
?
0,
?
内，正弦线在
?
0,
?
内随a 的增大而逐渐增大，∴sin
?
2
??
2
?
1.5＞sin 1.2＞sin 1，故选C.



7．[2015·深圳高级中学期中] 若
ππ
?
?
?
，则下列不等式中成立的是（ ）
42
A．sinθ>cosθ>tanθ
B．cosθ> tanθ> sinθ
C．sinθ> tanθ> cosθ
D．tanθ> sinθ> cosθ
【答案】D
【解析】 作出角θ的三角函数线（如图所示），易知 AT＞MP＞OM，即 tanθ＞sinθ＞
cosθ.
8．依据三角函数线，作出如下判断：
π
π7ππ3π
3π4π
?
π
?
①
sin?sin
；②
cos
?
?
?
?cos
；③
tan?tan
；④
sin
．
?sin
4
668555
?
4
?
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C
?
?
7
?
的终边与单位圆的交点在第一象限，
sin?0
；的终边与单位圆的交
666
7
?
??
点在第三象限，
sin?0
，故①不正确 .
?,
的终边与单位圆的交点关于x轴对称，故
6
44
3
?
?
余弦值相等，故②正确. 的正切值大于0，的正切值小于0，故③正确.易知④正确.
5
8
【解析】
故正确的有3个.
9．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是（ ）
A．sinα+cosα
B．tanα+sinα
C．sinα－cosα
D．sinα－tanα
【答案】B

【解析】 如图所示，作出a的三角函数线，sin α=MP,tan α=AT，由图易知 sin α
+tan α＜0.


10．[2015·福建清流一中测试]已知|cosθ|=－cosθ且tanθ <0，则 lg（sinθ－cosθ）
_________0．（填“>”或“<”）
【答案】＞
【解析】由
cos
?
??cos
?
，得cosθ≤0.又 tanθ ＜0，∴角θ的终边在第二象限，∴sinθ
＞0,cosθ＜0.又由三角函数线可知sinθ- cosθ＞1，∴lg(sinθ-cosθ)＞O.
11．已知|cosθ|≤|sinθ|，则θ的取值范围是_________．
3
?
?
?
?
?k
?
?
,k?Z
[解析]若
cos
?
?sin
?
，则θ角的终边落在直线y=x 【答案】
?
?k
?
,
4
?
4
?
或 y=-x上,
所以满足
cos
?
?sin
?
的θ 角的终边落在如图所示的阴影部分，所以
?
4
?k
?
?
?< br>?
3
?
?k
?
,k?Z
.
4
12．[2015?吉林普通高中期末]设θ是第二象限角，试比较
sin
【答案】.解: θ是第二象限角，即
2k
?
?
故
k
?
?
?
2
，
cos
?
2
，
ta n
?
2
的大小．
?
2
?
?
?2k
?
?
?
(k?Z)
，
?
4
?
?
2
?k
?
?
?
2
(k?Z)
.
当
2k
?
?
当
2k
?
?
?
4
?
?
2
?2k
?
?
?
2
(k ?Z)
时，
cos
?
2
?sin
?
2
?t an
?
2
；
5
??
3
?
???
??2k
?
?(k?Z)
时，
sin?cos?tan
.
422222



π
，证明：
2
（1）sinα+cosα>1；
13．若
0?
?
?

（2）sinα<α 【答案】 证明：（1)在如图所示的单位圆中，∵
0?a?
α=OM.
又在△OPM中，有
MP?OM?OP?1
，∴sin α+cosα＞1.
?
2
，
OP?1
，∴sin α=MP,cos

(2)如图所示，连接AP，设
AP
的长为l
AP
，
∵
S
?OAP
?S
扇形?OAP
?S
?OAT
，
111
∴
OAMP?l
AP
OA?OAAT
，
222
∴
MP?l
AP
?AT
，即
sina?a?tana
.
难点突破
14．[2015?天水秦安二中期末]已知α∈（0，π），且sinα +cosα=m（0cosα的符号为_________（填“正”或“负 ”）．
【答案】 正
【解析】若
0?a?
?
2，则如图所示，在单位圆中，OM=cosα，MP=sin α.
又在△OPM中，有
MP?OM?OP?1
，∴
sina?cosa?1
.
若
a?
?
2
，则
sina?cosa?1
.
?
?
?
又0＜m＜1，故
a?
?
,
?
?
，
sina?cosa?0
.
?
2
?

?
2
?
sinx?15．求函数
f
?
x
?
?1?2cosx?ln
??< br>??
的定义域．
2
??
【答案】解：由题意，自变量x应满足不等式组

?
1?2cosx?0,
?

?
2< br>sinx??0,
?
?2
即
?
2
sinx?,
?
?
2
?
?
cosx?
1
.
?
?2
因为
sxi?
2
n
2
的解集为
?
?< br>3
?
??
?
5
?
?
1
k?Z
?
,
，
cosx?
的解集为
?
x2k
?
??x?2k
?
?,k?Z
?
，
?
x2k
???x?k
?
2?
4433
2
????
?
?< br>3
?
?
,k?Z
?
. 所以所求定义域为
?
x2k
?
??x?2k
?
?
34
??
1．2．2 同角三角函数的基本关系
基础巩固
4
1．[20 14?广东中山五校联考]已知
cos
?
??
，且α为第二象限角，则tan α的值等于
5
（ ）
A．
C．
44
B．
?

33
33
D．
?
44

【答案】D
2．已知sin

α，cosα是方程3x
2
－2x+a = 0的两根，则实数a 的值为（ ）
6534
B．
?
C． D．
5643

【答案】B

θ·tanθ<0，那么角θ是（ ） 3．已知sin
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
【答案】B
A．
sin
?
sin
2
?
【解析】
sin
?
tan
?
?sin
?
??0
，即
cos
?
?0
，因此角θ是第二或第三象限
cos
?
co s
?
角.
4．若α是三角形的一个内角，且
sin
?
?cos
?
?
A．正三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【解析】由
sina?cosa?
故该三角形为钝角三角形.
5．若
2
，则这个三角形为 （ ）
3
245
，得
1?2sinacosa?
，∴
2sinacosa??
，∴α为钝角.399
2sin
?
?cos
?
?1
，则tanα的值为 __________．
3sin
?
?2cos
?
【答案】3
2sina?cosa2tana?1
??1
，解得 tan α=3.
3sina?2cosa3tana?2
【解析】由

能力提升
6．已知tanθ=2，则sin
2
θ+sinθcosθ－2c os
2
θ=（ ）
45
A．
?
B．
34
34
C．
?
D．
45

【答案】D
【解析】∵ tanθ=2，∴
sin
2
?< br>?sin
?
cos
?
?2cos
2
?
tan
2
?
?tan
?
?22
2
?2?24
si n
?
?sin
?
cos
?
?2cos
?
? ???
.
2222
sin
?
?cos
?
tan< br>?
?12?15

m?34?2m
?
π
?
7．若
sin
?
?
，
cos
?
?
，其中< br>?
?
?
,π
?
，则m的值为（ ）
m?5m?5
?
2
?
22
A．0 B． 8
C．0或8 D． 无法确定
【答案】B
222222
【解析】因为 sin
θ+cosθ=1,所以m
-6m+9+16-16m+4m=m+10 m+25，即m-8m=0,所
3
?
?
?
以m=0 或m= 8.当 m=0时，
sin
?
??
，与
?
?
?
,< br>?
?
矛盾，故m=8.
5
?
2
?
8．已知tanα=m，α是第二或第三象限角，则sinα的值等于（ ）
1?m
2
A．
1?m
2
1?m
2
B．
?

1?m
2
m1?m
2
C．
?

1 ?m
2
m1?m
2
D．
?
1?m
2

【答案】D
cos
2
a?sin
2
a1
1
2
2
【解析】∵tan α=m，∴
1?tana?
，∴.
??1 ?m
cosa=
cos
2
acos
2
a
1?m2
2
又α是第二或第三象限角，∴
cosa=?
1
1?m
2
，故
1mm1?m
2
sina?tanacosa=m(?)???.
2
2
1?m
2
1?m
1?m
9． [2015·湖南师大附中月考]若角α的终边落在直线x+y=0上，则
1?cos
2
?
?
的值为（ ）
2
cos
?
1?sin
?
sin
?

A．2 B．－2 C．－2或2 D． 0
【答案】D
【解析】∵角α的终边落在直线x+y=0上，∴角α为第二或第四象限角.
1?cos
2
asina
sina
∵，
???
2
cosacosacosa
1?sina
sina
∴当角α为第二象限角时，
原式=?
当角α为第四象限角时，
原式=
sinasina
??0
；
cosacosa
sina?sina
??0
.
cosacosa
故选D.
10．[2015·重庆青木关中学月考]已知 α为第二象限角，则
cos
?
1?tan
2
?
?sin?
1?
1
?
__________．
tan
2
?
【答案】0
【解析】∵α是第二象限角，∴
s in
2
acos
2
a1111
原式=cosa1??sina1?? cos?sina?cosa?sina?0
cos
2
asin
2
a cos
2
asin
2
a?cosasina
11．若
cos
?
?2sin
?
??5
，则tan =__________．
【答案】2
?
sina??
?
?cosa?2sina??5,
?
?
【解析】由
?
得< br>?
22
?
?
cosa??
?
sina?cosa?1 ,
?
?

12．化简下列各式：
2
5

1
,
5
,
（1）
1?sin
2
400?
；
（2）
1?2sin40 ?cos40?
cos40??1?cos40?
2
．
【答案】解 ：（1）
1?sin
2
400??1?sin
2
40??cos2
40??cos40?
.
(2)
1?2sin40?co s40?
cos40??1?cos
2
40?
?
sin
2< br>40??cos
2
40??2sin40?cos40?
cos40??sin
2
40?
?
cos40??sin40?
cos40??sin40 ?
?
cos40??sin40?
?1

cos40??sin40?
1
13．已知
sin
?
?cos
?
?
，且0<β<π．
5
（1）求sinβ－cosβ的值；
（2）求sinβ，cosβ，tanβ的值．

124
22
【答案】解：（1）由
sin
?
?cos
?
?
及sinβ+cosβ=1,知
2sin
?
cos
?
?
.
525
又由0＜β＜π，知sinβ＞0，∴cosβ＜0，
故< br>sin
?
?cos
?
?(sin
?
?cos
?
)
2
?4sin
?
cos
?
?
(2)由
sin
?
?cos
?
?
ta
?
n ?
si
?
n4
??
.
co
?
s3
1?247
?2??
.
25255< br>4
17
3
及
sin
?
?cos
?
?
，得
si
?
n?
，
cos
?
??
，∴
5
55
5

难点突破
14．[2014·西 安第一中学期末]已知关于x的方程
2x
2
?
?
3?1x?m?0< br>的两根分别为
?
sinθ和cosθ，θ∈（0,2π），则m的值为________ __，θ的值为__________．
3
??
或
2
36

?
3?1
sin
?
?cos< br>?
?①,
?
?
2
【解析】由韦达定理知
?

m
?
sin
?
cos< br>?
?②，
?
?2
【答案】
由①式可知
1+2sin
?
cos
?
?1?
当m?
33m33
，∴
sin
?
cos
?
?，∴
?
.∴
m?
.
24242
33
时，原方 程为
2x
2
?(3?1)x??0
.
22
解得< br>x
1
?
1
3
，
x
2
?
.
2
2
1
??
3
sin
?
?,
si n
?
?,
??
?
?
2
??
2
或 又∵θ∈（0,2π），∴
?
∴
?
?
或.
?
36
?
cos
?
?
1
，
?
cos
?< br>?
3
，
??
?2?2

15．[2015·重庆青木关中学月考]证明：
1?cos
2
?
sin
?
?cos
?
（1）
??sin
?
?cos
?
；
sin
??cos
?
tan
2
?
?1
（2）（2－cos
2
α）（2+tan
2
α）=（1+2 tan
2
α）（2－sin
2
α）．
【答案】证明：（1）
sin
2
asina?cosasin
2
a sina?cosa
左边=????
sin
2
a
sina?cosa sina?cosa
sin
2
a?cos
2
a
?1

cos
2
acos
2
a
sin
2
acos
2
asin
2
a?cos
2
a
???sina?c osa?右边
sina?cosasina?cosasina?cosa
∴原式成立.
22222222
(2)∵左边=4+2tana-2cosa- sina=2+2tana+2sina-sina=2+tana+sina，
2222222
右边=(1+2tana)(1+cosa)=1+2tana+co sa+2sina=2+2tana+sina,

∴左边=右边，故原式成立.

1．3 三角函数的诱导公式
基础巩固
1．[2014·衡水第十四中学期末]sin570°的值是（ ）
A．
C．
11
B．
?

22
33
D．
?
22

【答案】B
【解析】
sin570??sin(360??210?)?sin210??sin(180??30 ?)??sin30???
1
.
2
1
2．若
co s
?
π?
?
?
??
，则cos（－2π－α）的值为（ ）
2
A．
3
1
B．
?

2
2
11
C．
?
D．
?
22

【答案】A
1
1
【解析】因为
cos(
?
?a)??cosa??
，所以
cosa??
， 所以
2
2
1
.
2
3．已知f（x）= sinx，下列式中成立的是（ ）
A． f（x+π）=sinx
B． f（2π－x）= sinx
π
??
C．
f
?
x?
?
??cosx

2
??< br>cos(?2
?
?a)?cos(?a)?cosa?
D． f（π－x）=－f（x）
【答案】C
【解析】
f(x?
?
)?sin(x?
?
)??sinx
，

f(2
?
?x)?sin(2
?
?x)??sinx
，

f(x?)?sin(x?)??sin(?x)??cosx
，
222

f(
?
?x)?sin(
?
?x) ?sinx?f(x)
，故选C.
3
?
π
?
?
3π
?
4．已知sin
?
?
?
?
?
，则
sin
??
?
?
的值为（ ）
?
4
?
2
?
4
?
???
A．
C．
11
B．
?

22
33
D．
?
22

【答案】C

【解析】
sin(
3
???
3
??
.
?a)?s in
?
?
?(?a)
?
?sin(?a)?
4442
??
5．已知
cos
?
??
【答案】
5
，且α是 第二象限角，则tan（2π－α）=__________．
13
12

5
12
sina12
，所以
tana???
，所以
13< br>cosa5
【解析】由α是第二象限角，得
sina?1?cos
2< br>a?
tan(2
?
?a)??tana?
12
.
5
能力提升
6． 给出下列三角函数：
4
??
①
sin
?
nπ?π
?
；
3
??
π
??
②
cos
?
2nπ?
?
；
6
??
π
??
③
sin
?
2nπ?
?
；
3
??
π
??
④
cos
?
?
2n?1
?
π?
?
；
6
??
π
??
⑤
sin
?
?2n?1
?
π?
?
（n∈Z）
3
??
π
的值相同的是（ ）
3
A．①② B．①③④
C．②③⑤ D．①③⑤
【答案】C
其中函数值与
sin
4
?
【解析】当n为偶数时，
sin( n
?
?
?
)??sin
，∴①不对，故排除A，B，D，故选
33
C.
7． [2015 ?南昌二中月考] 已知f（cosx）=cos3x，则f（sin30°）的值为（ ）
A．0 B．1
C．－1 D．
3
2

【答案】C
【解析】∵< br>f(cosx)?cos3x
，∴
f(sin30?)?f(cos60?)?cos1 80???1
.
8．[2014 ?宁波效实中学期末]若α是第二象限角，且tan
?
π?
?
?
?
（ ）
A．
C．
33
B．
?

22
55
D．
?
55

1
?
3π
?
，则
c os
?
?
?
?
?
2
?
2
?

【答案】D
【解析】 因为
cos(
所以排除B，故选D.
9．已知n为整数，化简
A．tannα
B．－tannα
C．tanα
D．－tanα
【答案】C
【解析】 当n=2k(k∈Z)时，
原式=
原式=
sin(2k
?
?a)sina
??tana
；当n=2k+1(k∈Z)时，
cos(2k
?
?a)cosa
sin< br>?
nπ?
?
?
cos
?
nπ?
?
?
1
3
?
1
所以排除A，C.由
tan(
?
?a)?
，得
anta??
，
?a)??sina?0
，
2
22
所得的结果是（ ）
sin(2k
?
?
??a)sin(
?
?a)?sina
??tana
.故选C.
cos(2k
?
?
?
?a)cos(
?
?a)?cosa< br>25π25π
?
25π
?
?cos?tan
?
??
?
__________．
63
?
4
?
10．[2014 ?西安第一中学期末]
sin
【答案】0
【解析】
sin
25
?< br>25
?
25
????
11
?cos?tan(?)?sin? cos?tan???1?0
.
63463422
2π
??
π?
2
?
11．已知
cos
?
?
?
?< br>?
，则
sin
?
?
?
?
?
____ ______．
3
??
6
?
3
?
【答案】
?
2
3

?
?
?
?
?
?
?
?
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?sin
?
??
?
?a
?
?
??sin
?
?
?
?a
?
?
??cos
?
?a
?
??
.
3

??
?
??
?
6
?
?
2
?
6
?
2?
6
2
?
?
【解析】
sin
?
a?
3
?
12．[2015?江西新余四 中测试]（1）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重
?
π
?
合， 终边经过点P（—3，4），求
cos
?
π?
?
?
?cos
?
?
?
?
的值．
?
2
?
sin
2
?
?2sin
?
cos
?
（2）若tanβ=3 ，求的值．
2sin
2
?
?cos
2
?
【答案】 解：(1)由题意知
sina?
所以
cos(
?
?a)?cos(
3
4
，
cosa??
，
5
5
341
?a)??cosa?sina????
.
2 555
sin
2
?
?2sin
?
cos
?
tan
2
?
?2tan
?
9?615
???
(2) .
2sin
2
?
?cos
2
?
2tan
2
?
?12?9?119

13．[2014?盐城中学期 末]已知△A
1
B
1
C
1
，的三个内角A
1
，B
1
，C
1
的余弦值分别等于△
A
2
B
2
C
2
的三个内角A
2
，B
2
，C
2< br>的正弦值．
（1）试判断△A
1
B
1
C
1
，是否为锐角三角形； （2）试借助诱导公式证明△A
2
B
2
C
2
中必有一个 角为钝角．
?

【答案】解：（1)由条件知△A
1
B
1
C
1
的三个内角的余弦值均大于0,即cosA
1
＞0 , cosB
1
＞0,cosC
1
＞0,所以△A
1
B1
C
1
一定是锐角三角形.
(2)证明：由题意可知
sinA
2
?cosA
1
?sin(?A
1
)
，
2

sinB
2
?cosB
1
?sin(? B
1
)
，
sinC
2
?cosC
1
?si n(?C
1
)
.
2
2
若A
2
,B
2
,C
2
全为锐角，则
?
?
?
???
3
??

A
2
?B
2
?C
2
?(?A
1
)?(?B
1
)?(?C
1
)??(A
1
?B
1
?C
1
)?
，不合题意.
22222
又A
2
,B
2
,C
2
均不可能为直角，且满足A
2
+B
2
+ C
2
=π, 所以△A
2
B
2
C
2
中必有一个角为钝角.
难点突破
5π
??
5π
14．[2015?湖北重点中学月考]已 知角α的终边上一点的坐标为
?
sin,cos
?
，则角α
66??
的最小正值为（ ）
A．
C．
5π5π
B．
63
11π2π
D．
63

【答案】B
5
???
3
5
???
1
，所
?cos(
?
?)??cos??
?sin(
?
?)?sin?
，
co s
6662
6662
cos
【解析】 因为
sin
5
?
5
?
??
5
?
6
??3
，所 以角α的最小正值为
5
?
.
,cos
以点
?
si n
?
在第四象限.又
tana?
5
?
66
?
3
?
sin
6
3
??
π
??
cos?
?
?
?
?cos
?
2π?
?
??sin
?
?
?
?π
?
2
??
2??
15．已知
f
?
?
?
?
． 3
??
sin
?
?π?
?
?
sin
?
π?
?
?
?
2
?
（1）化简f（α）；
3
?
1
?
（2）若α是第三象限角，且
cos
?< br>?
?π
?
?
，求f（α）的值．
2
?
5
?

?
?
?
??
?sinacos(?a)
?
?sin
?
?a
??
?
2
?
?
sinacosacosa
?
【答案】 解：（1）
f(a)????cosa
.
?sinacosa
?
?
?
sin(
?
?a)sin
?
?a
?< br>?
2
?
3
?
1
11
?
（2 ）由
cos
?
a?
?
?
?
，得
?sina ?
，即
sina??
.
2
?
5
55
?
又α是第三象限角，所以
cosa??1?sin
2
a??

滚动习题（一）[范围1．1~1．3]
（时间：45分钟 分值：100分）
2626
，所以
f(a)??cosa?
.
55

一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1．给出下列说法：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小都无关；
④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 A
2．sin2cos3tan4的值（ ）
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
【答案】 A
【解析】∵sin 2＞0，cos 3＜0,tan 4＞0，∴sin 2cos 3tan 4＜0.
3．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为（ ）
A．40πcm
2
B．80πcm
2

C．40cm
2
D．80cm
2
【答案】 B
12?
2
?
，∴
S
扇形
=??20
2
=8 0
?
(cm
2
)
.
25
5
4．[2015?中山杨仙逸中学模拟]若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是
（ ）
A．sinA B．cosA
【解析】
72??
C．tanA D．
1
tanA

【答案】 A
【解析】△ABC的内角的取值范围是(0,π),故一定取正值的是sinA.
5．[20 15?山西大学附中月考]若sinαtanα<0，且
cos
?
?0
，则角 α是 （ ）
tan
?
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】 C
【解析】由sin αtan α＜0，知sin α,tan α异号，则α是第二或第三象限角；由
cosa
?0
，知cosα，tan α异号，则α是第三或第四象限角.所以α是第三象限角.
tana
6．已知
f
?
?
?
?
sin
?
π?
?
?
cos
?
2π?
?
?
cos
?
?π??
?
tan
?
?
31
?
，则
f
?
?
π
?
的值为（ ）
?
3
?
A．
1
1
B．
?

2
3

1
1
C．
?
D．
2
3

【答案】C
【解析】 因为
f(a) ?
sinacosasina
???cosa
，所以
?cosatanata na
?
?
1
?
31
??
31
??
f
?
?
?
?
??cos
?
?
?
?
??cos
?
10
?
?
?
??cos
?< br>??
.
3
?
2
?
3
??
3
??
7．[2014?嘉峪关一中期中]若α∈[0,2π]，且
1?cos
2
?
?1?sin
2
?
?sin
?
?cos
?
，则α< br>∈（ ）
?
π
??
π
?
A．
?
0,
?
B．
?
,π
?

?
2
??
2
?
?
3π
??
3π
?
C．
?
π,
?
D．
?
,2π
?
?
2
??
2
?

【答案】B
【解析】
1?cos
2
a?1?sin< br>2
a?sina?cosa?sina?cosa
，所以sin α≥0,cosα
≤0
?
?
?
，所以
a?
?
,
?
?
.
?
2
?
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） < br>8．[2014·西安第一中学期中]已知
sinx?
?
?
?
【答案】
?
xx?2k
?
?,k?Z
?
3
??3
，则x的集合为_________．
2
?2
?
?
,k?Z
?

?
x x?2k
?
?
3
??
?
?
?
【解析】 当x时第一象限角时，
x?
?
xx?2k
?
?,k?Z< br>?
；当x是第二象限角时，
3
??
?2
?
?
x?
?
xx?2k
?
?,k?Z
?
3
??
?
?
?
?
xx?2k
?
?,k?Z
?
3< br>??
.所以满足
sinx?
3
2
的x的集合为
?2< br>?
?
,k?Z
?
.
?
xx?2k
?
?
3
??
9．f（x）=asin（πx+α）+ b cos（πx+β）+4（ a，b，α，β均为非零实数），若f（2014）
=6，则f（2015）=_________．
【答案】2
【解析】
f(2014)?asin(2014
?
? a)?bcos(2014
?
?
?
)?4?asina?bcos
?
?4?6
，∴
，∴
sina?bcos
?
?2
.
f(?
?
2a?
?
0a?
?
1
?
π
?
10．[2015·盐城中学月考]若
cos
?
π?
?
?
??
，则
sin
?
?
?
?
?< br>_________．
3
?
6
?

1
【答案】
3
11
?
1
【解析】由
cos(
?
?a)??
，得
cosa?
，所以
sin(?a)?cosa?
.
3323
3
π
?
?
π
?
?
5
??
11． 已知
cos
?
?
?
?
?
，则
cos
?
π?
?
?
?sin
2
?
?
?
?
?
_________．
6
?
?
6
?
3
?
6
??
【答案】
?
2?32?3
?
3 3

?3
?
5
??
?
?
?
??
?
【解析】∵
cos
?
?
?a
?< br>?cos
?
?
?
?
?a
?
?
??c os
?
?a
?
??
，
663
?
6
?????
??
?
?
?
?
12
322?3
??
sin
2
?
a?
?
?1?cos
2
?
a?
?
?1??
，∴
原式=?
.
?=?
6
?
6
?
33
333
??

三、解答题（本大题共3小题，共45分）
π
??
12．（15分）已知角α的终边 经过点P（－3cosθ，4cosθ），其中
?
?
?
2kπ?,2kπ?π
?
（k
2
??
∈Z），求角α的正弦、余弦和正切值．
?
??
【答案】解：∵
??
?
2k??,2k?? ?
?
?
k?Z
?
，∴cosθ＜0，∴点P在第四象限.
2
??
∵x=-3cosθ，y=4cosθ，
∴
r?x
2
?y
2
?
?
?3cos?
?
2
?
?
4cos?
?
?5cos???5cos?
，
2
434
∴
sin???,cos??,tan???
.
553
?
ππ
??
π
?
13．（15分）是否存在
?
?
?
?,
?
，β∈（0，π），使等式
sin< br>?
3π?
?
?
?2cos
?
?
?
?
，
?
22
??
2
?
3cos
?
?
?
?
??2cos
?
π?
?
?
同时成立？ 若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：假设存在角
?,?
满足条件，
?
sin
?
?2sin
?
,①
则由已知条件可得
?

?
3cos
?
?2cos
?
,②
∴sin
2
?
+3cos
2
?
=2.∴
sin
2< br>??
2
1
，∴
sin???
.
2
2
?
?
??
?
∵
??
?
?,
?
，∴
???

4
?
22
?
3
?
时，由②式知
cos??
，
2
4
?
又β∈（0，π），∴
??
，此时①式成立；
6
当
??
当
???
3
?
时，由②式知
cos??
，
2
4

又β∈（0，π），∴
??
?
，此时①式不成立，故舍去.
6
??
∴存在
??,??
满足条件.
46
14．（15分）[2015·深圳高级中学期中]已知tanα和cosα是关 于x的方程5x
2
－mx+4=0
的两根，且α是第二象限角．
（1）求tanα及m的值；
2sin
2
?
?sin
?
? cos
?
?3cos
2
?
（2）求的值．
1?sin
2
?
44
【答案】解：（1）由已知，得tan
?
cos
?
=，∴sin
?
=.
55
34
又
?
是第二象限角，∴
cos???
，∴
tan???
.
53
又
tan??cos??
29
m29
??，∴
m??
.
3
515
4
（2）由（1）得
tan???
，
3
2sin
2
??si n??cos??3cos
2
?2tan
2
??tan??371
∴
??
.
1?sin
2
?2tan
2
??141

1．4 三角函数的图像与性质
1．4．1 正弦函数、余弦函数的图像
基础巩固
1．用“五点法”作y=2sin 2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，
B．0，
π
3π
，π，，2π
22
ππ
3π
，，，π
424
C．0，π，2π，3π，4π
πππ
2π
，，，
6323

【答案】B

－sin x，x∈[0,2π]的大致图像是（ ） 2．函数y=1

D．0，

【答案】B

3．在[0,2π]上，满足
sinx≥
?
π
??
π5π
?
A．
?
0,
?
B．
?
,
?

?< br>3
??
33
?
?
π2π
??
5π
?
C．
?
,
?
D．
?
,π
?
?33
??
6
?

3
的x的取值范围是（ ）
2
【答案】 B
【解析】易知直线
y?
3
与函数 y=sinx（x∈[0,2π]）的图像的两个交点分别为
2
?
?3
??< br>2?3
?
?
?2?
?
，∴x的取值范围为
?
,
?
.
,,,
????
?
32
??
32
?
?
33
?
????
4．在（0,2π）内，使sinx?
ππ
??
5π
??
π
?
A．
?
,
??
π,
?
B．
?
,π
?

?
42
??
4
? ?
4
?
?
π5π
?
?
π
??
5π
?
C．
?
,
?
D．
?
0,
? ?
,2π
?
?
44
?
?
4
??
4
?

【答案】D
【解析】在同一坐标系中画出y=sinx，y=cosx ，x∈（0,2π）的图像（图略），易知
?
?
??
5?
?
x?
?
0,
?
U
?
,2?
?
.
?
4
??
4
?
5．满足等式10sinx=x的实数x的个数是__ ________．
【答案】7
【解析】由已知得
sinx?
1
1
x
.在同一直角坐标系中作出y=sinx与
y?x
的图像（图< br>10
10
略）可知，共有7个交点.
能力提升
6．关于余弦函数y=cosx的图像有下列说法：
①在y轴两侧向左右无限伸展；
②与y=sinx的图像的形状完全一样，只是位置不同；
③与x轴有无数个交点；
④关于y轴对称．
其中说法正确的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】D
【解析】画出函数y=cosx的图像（图略），易知四种说法都正确.
7．[2014·东莞高一期末]函数f（x） = sin x+2|sinx|（x∈[0,2π]）的图像与直线y =k有
且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A．[－1,1] B．（1,3）
C．（－1,0）∪（0,3） D．[1，3]
【答案】B
?
?
3sinx,x?
?
0,?
?
【解析 】
f
?
x
?
?
?
，作出f(x)的图像，由图可知 1＜k＜3.
?sinx,x??,2?
?
?
?
?

8．与图1-4-2所示的图像相符的函数是（ ）

A．y=sinx－|sinx| B．y=|sinx|+sinx
C．y=|sinx| D．y=|sinx|－sinx
【答案】B
【解析】 对于A，当
x?

?3?
时，y=0，与图像矛盾，故排除A.对于C，当< br>x?
时，y=1，
22
?
时，y=0，与图像矛盾，故排除D.故选B .
2
与图像矛盾，故排除C.对于D，当
x?
π5π
9． [2014·江西兴国将军中学月考]已知函数y=2sinx（
≤x≤
）的图像与直线y= 2
22
围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．4π D．2π
【答案】C
?
?5?
?
【解析】 如图所示，易知S
1
+S
4
=S
2
+S
3
，所以y=2sinx，
x?
?
,
?
的图像与直线y=2
?
22
?
围成的封闭图形的面积等于由直线
x?
?
5??
?
S?
?
?
?
?2?4?
.
?< br>22
?
?5?
，
x?
，y=0和y=2围成的矩形的面积，即
22

10．关于三角函数的图像，有下列说法：
①y=sin|x|与y=sin x的图像关于y轴对称；
②y=cos(－x)与y=cos|x|的图像相同；

③y=|sinx|与y=sin(－x)的图像关于x轴对称；
④y=cosx与y = cos(－x)的图像关于y轴对称．
其中说法正确的序号是_________．（把你认为正确的说法的序号都填上）
【答案】②④
【解析】 画出题中相应三角函数的图像（图略），易知②④正确.
1?a
?
π
?
11．若方程
sinx?
在
x??
,π
?
上有两个不同的实根，则a的取值范围是_________．
2
?
3
?
【答案】-1≤a≤
1?3

?
?
?
【解析】 在同一坐标系中作出函数y=sinx，x∈?
,?
?
的图像（图略），易知，当
?
3
?
3 1?a
1?a
在
??1
，即-1≤a≤
1?3
时，两图像有 两个不同的交点，即方程
sinx?
22
2
?
?
?
x?
?
,?
?
上有两个不同的实根.

?
3
?
12．在同一坐标系中，作函数y=sinx和y= lgx的图像，根据图像判断出方程sinx=lgx
的解的个数．
【答案】解：建 立坐标系xOy，先用五点法画出函数y=sinx，x∈[0,2π]的图像，再将
其向左、向右平行 移动（每次2π个单位长度），就可得到y=sinx的图像.
?
1
?
描出点
?
,?1
?
，（1，0），（10，1），并用光滑曲线连接得到y= lgx的图像，如图所示.
?
10
?
由图像可知方程sinx=lgx的解的个数为3.

13．[2014 ?荆门期末]用五点法作出函数y=l－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列
问题：
（1）若直线y=a与y=l－2sinx的图像有两个交点，求a的取值范围；
（2）求函数y=l－2sinx的最大值、最小值及相应的自变量的值．
【答案】解：按五个关键点列表：
x
sinx
-π
0
?
?

2
-1
3
0
0
1
?

2
1
-1
π
0
1 1-2sinx 1
描点连线得简图如下.
（1）由图知，当直线y=a与y=1-2sinx的图像有两个交点时，1＜a＜3或-1＜a＜1，
∴a的取值范围是（-1,1）∪（1,3）.
（2）由图像可知，ymax
=3，此时
x??
??
，y
min
=-1，此时
x?
.
22

难点突破

?
sinx,sinx≥cosx,
14．对于函数
f
?
x
?
?
?
下列说法正确的是（ ）
?
cosx,sinx?cosx,
A．函数的值域是[－1，1]
B．当且仅当
x?2kπ?
C．当且仅当
x?2kπ?
π
，k∈Z时，函数取得最大值1
2
π
，k∈Z时，函数取得最大值－1
2
3π
，k∈Z时，f（x）<0
2
D．当且仅当
2kπ?π?x?2kπ?
【答案】D
?
2
?
【解析】画出此函数的图像（图略），由图像易知：该函数的 值域是
?
?,1
?
，故A错
2
??
误；当且仅当< br>x?2k??
小值是
?
?
或x=2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1 ，故B错误；函数f(x)的最
2
2
3?
，故C错误；当且仅当
2k ????x?2k??,k?Z
时，f(x)＜0，故D正确.
2
2
15．[2014 ?安徽淮北一中期末]设0≤x≤2π，若| cosx－sinx| =sinx－cosx，则 x的取值
范围为__________．
?
?5?
?
【答案】
?
,
?

?
44
?
【解析】 由题意知sinx-cosx≥0，即cosx ≤sinx，在同一直角坐标系中画出y=sinx，x
∈[0,2π]与y=cosx，x∈[0,2 π]的图像（图略），易知
?5?
.
?x?
44
1．4．2 正弦函数、余弦函数的性质
基础巩固
1．如图1-4-3所示的是定义在R上的四个函数的图像，其中不是周期函数的图像的是
（ ）

【答案】D
?
π
?
2．下列函数，在
?
,π
?
上是增函数的是（ ）
?
2
?
A．y=sinx
B．y=cosx
C．y=sin2x
D．y=cos2x
【答案】D
3．对于函数y=sin2x，下列说法中正确的是（ ）
A．是周期为π的奇函数
B．是周期为π的偶函数
C．是周期为2π的奇函数
D．是周期为2π的偶函数
【答案】A
4．函数y=sin
2
x+ sinx－1的值域为（ ）
?
5
?
A．[－1,1] B．
?
?,?1
?

?
4
?
?
5
??
5
?
C．
?
?,1
?
D．
?
?1,
?
?
4
??
4
?

【答案】C

?
1
?
5
【解析】 y= sinx+sinx-1，令sinx=t,，则有y=t+t-1=
?
t?
?
?
，t∈[-1,1]，所以y∈
2
?
4
?
22
2
?
5
?
?
?
4
,1
?
. ??
π
??
k
5．若函数
y?5sin
?
x?
?
的最小正周期不大于1，则自然数k的最小值为_________．
3
??
3
【答案】19
【解析】 ∵
T?2?6?
6?
?
?1
，∴∣k∣≥6π.又k为自然数，∴，且∣T∣≤ 1，∴
k
k
k
3
k
min
=19.

能力提升
6．设函数f（x）=sin3x+丨sin3x丨，则f（x）为（ ）
A．周期函数，且最小正周期为
π

3
2
B．周期函数，且最小正周期为
π

3
C．周期函数，且最小正周期为2π
D．非周期函数
【答案】B
?
0,sin3x?0
【解析】
f
?
x
?
?
?
的大致图像如图所示，由图可知f(x)为周期函数，且
2sin3x, sin3x?0
?
2
最小正周期为
?
.
3

?
π
?
7．[2015?嘉兴桐乡第一中学调研]已知函数f（x） =cosx，
x?
?
,3π
?
，若方程f（x）=m
?2
?
2
有三个不同的实数根，且三个根α，β，γ（按从小到大排列）满足β=α γ，则实数m的值可
能是（ ）
22
11
A．
?
B． C．
?
D．
22

22
【答案】A
?
?
?
【解析】作出函数f(x)=cos，
x?
?
,3?
?
的图像（图略），由图易知，若方程f(x)=m有
?
2
?
?3?5?
且α+β=2π，
?????,???3?
，
222
4?1
4?
?
4?
?
??
.
β+ γ=4π.又β
2
=αγ，所以β
2
=（2π-β）（4π-β），解得??
，所以
m?f
??
?cos
32
3
?3
?
三个不同的实数根，则m∈（-1,0）.因为α＜β＜γ，所以
8．[20 15?重庆青木关中学月考]若函数
f
?
x
?
?2?sin
?
?
x?
?
?
（ω>0）的图像的相邻两
条对称轴之间的距 离是π，则ω=__________．
【答案】1
【解析】 函数y=f(x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离是π，所以
所以
T
??
，即T=2π，< br>2
2?
?2?
，解得ω=1.
?

9．已知< br>f
?
n
?
?sin
【答案】
2?1
n
π
（n∈Z），则f（1）+f（2）+…+f（100）=__________．
4
【解析】 易知f(1)+f(2)+…+f(8)=0，所以f(1)+f(2)+…+f (8)=f(9)+f(10)+…+f(16)=0，…，
依此可得，f(1)+f(2)+…+f( 100)=
2?1
.
?
ππ
?
10．[2014?湖北长 阳一中期中]已知函数f（x）=2sinωx（ω>0）在区间
?
?,
?
上 的最
?
34
?
小值为－2，则ω的取值范围是__________． ?
3
?
【答案】
?
,??
?
?
2?

【解析】 设函数f(x)的最小正周期为T，由题意知
即ω≥T???
?
，即
?
，所以2ω≥3，
432?3
3?
3
?
，所以
??
?
,??
?
.2
?
2
?

11．已知f（x）是定义在（－3，3） 上的奇函数，当0所示，那么f（x）cosωx<0不等 式的解集是__________．

?
?
??
?
?
,U1
?
【答案】< br>?
?,?1
?
U
?
0
?
?
,322
????

【解析】∵f(x)是（-3,3）上的奇函数，∴g(x)=f (x)·cosx是（-3,3）上的奇函数，从而观

?
?
??
?
?
察图像可知所求不等式的解集为
?
?,?1
?
U?
0,1
?
U
?
,3
?
?
2
??
2
?

π
??
1
12．求函数
y?c os
?
x?
?
，x∈[－2π，2π] 的单调递增区间．
3
??
2
1?
【答案】解：令
z?x?
.
23
易知函数y=cosz的单调递增区间是[2kπ-π，2kπ]，k∈Z.
由
2k????
1?
4?2?
x??2k?
，得< br>4k???x?4k??,k?Z
.
23
33
?4?2??
?x?4k??,k?Z
?
， 设A=[-2π，2π]，B=
?
x4k??
33
??
?
4 ?2?
?
易知
AIB?
?
?,
?
， ?
33
?

?
??
1
?
4?2?
?
因此，函数
y?cos
?
x?
?
，x∈ [-2π，2π]的单调递增区间是
?
?,
?
.
3
??< br>2
?
33
?
13．[2015?内蒙古霍林郭勒第三中学期中]已知y =asinx+b的最大值为3，最小值为－1，
求a，b的值．
?
a?2
?
a?b?3
【答案】解：当a＞0时，有
?
，解得
?

?
b?1
?
?a?b??1
?
a??2
?
a?2
?
a?? 2
?
a?b??1
当a＜0时，有
?
，解得
?，所以
?
或
?
.
b?1b?1b?1
?a?b?3
???
?
难点突破
?
1
?
14．设函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为< br>?
?,1
?
，给出下列四种说法：
?
2
?
2π
①b－a的最小值为；
3
②b－a的最大值为
③a可能等于
2kπ?
④b可能等于
2kπ?
4π
；
3
π
（k∈Z）；
6
π
（k∈Z）．
6
其中说法正确的有（ ）
A．4种 B．3种
C．2种 D．1种
【答案】B
【解析】画出函数y=sinx（x∈R）的图像（图略），易知①②③正确，④不正确.
15．[2 014·九江外国语学校高一月考]是否存在实数m，使得（fx）=－cos
2
x+2mco sx+m
2
+4m
－3的最大值为3m?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由 ．
22
【答案】解：f(x)=-(cosx-m)+2m+4m-3.
假设存在满足条件的m，
2
（1）当m≥1时，f(x)
max
=m+6m-4（此时取cosx=1），
2
令m+6m-4=3m，得m=1（m=-4舍去）.
2
（2）当m≤-1时，f(x)
max
=m+2m-4（此时取cosx=-1），
1?171?17
（
m?
舍去）.
22
2
（3）当-1＜m＜1时，f(x)
max
=2m+4m-3（此时取cosx=m），
令m+2m-4=3m，得
m?
2
3
2
令2m+4m-3=3m，得
m??
（舍去）或m=1（舍去）.
2
综上，存在m使得f(x)的最大值为3m，且m=1或
m?
1?17
.
2
1．4．3 正切函数的性质与图像
基础巩固
π
???
π
?
1．已知函数
f
?
x
?
?tan
?
?
x?
?
与函数
g
?
x
?
?sin
?
?2x
?
的最小正周期相同， 则ω=
4
???
4
?

（ ）
A．±1 B．1 C．±2 D．2
【答案】A
?2?
【解析】由题可得
?
，得∣ω∣=1，即ω=±1.
??2
π
??
1
2．函数
y?3tan
?
x?
?
的图像的一个对称中心是（ ）
3
??
2
?
π
??
2π
?
?
2π
?
A．
?
,0
?
B．
?
,?33
?
C．
?
?,0
?
D．（0，0）
63
3
????
??
【答案】C
2?
1?k2
【解析】由
x???
?
k?Z
?
，得
x?k???
?
k?Z
?
.令k=0，得
x??
，故选C.
3
2323
π
??
1
3．函数
y?tan
?
x?
?
在一个周期内的图像是（ ）
3
??
2

【答案】A
【解析】易知函数的最小正周期为2π，所以选A.
4．若函数f（x）=tanω x（ω>0）的图像的相邻两支截直线
y?
?
π
?
f
??< br>的值是（ ）
?
4
?
π
π
所得线段的长为， 则
4
4
A．0 B．1 C．－1 D．
【答案】A
【解析】由题意，
T?
?
?
?
∴
f
??
?tan??0

?
4
?
π
4

??
?
，∴ω=4，∴f(x)=tan4x，
?4
?
π
??
99
?
5．已知f（x）=asinx+btanx+l，且
f
??
?7
，则
f
?
π
?
?
___ _____．
?
5
??
5
?
【答案】-5
??
??
?
?
?
【解析】
f
??
?asin?btan?1?7
，∴
asin?btan?6
，
5 5
55
?
5
?

1
??
99
???
?
?
∴
f
?
?
?
?f?
20???
?
?f
?
?
?

5??
5
???
5
?
??
?
?
???
?

?asin
?
?
?
?btan< br>?
?
?
?1??asin?btan?1

55
?
5
??
5
?
??
??

??
?
asin?btan
?
?1??5

55
??
能力提升
x
6．[2014?湖北巴东一中月考]函数
y?tan
的最小正周期是（ ）
a
A．aπ B．|a|π
π
π
C． D．
a
a

【答案】B
?
【解析】最小正周期
T??a?
.
1
a
7．下列各式中正确的是（ ）
4π3π

?tan
77
?
13
??
17π
?
B．
tan
?
?π
?
?tan
?
?
?
?
4
??
5
?
A．
tan
C．tan4>tan3
D．tan281°>tan665°
【答案】C
4?3?
?0,tan?0
，故A错误.
77
?2??
?
13
??
?
??
17
??
2
?
? ?tan
， 对于B，
tan
?
??
?
?tan?
?
?
??tan
，
tan
?
??
?
?tan
?
??
?
??tan

454
?
4
??
4
??
5
??
5
?
【解析】对于A，
tan
?
13
??
17
?
∴
tan
?
??
?
?tan
?
??
?，故B错误.
?
4
??
5
?
?
π3π
?
8．如图1-4-6所示，函数y=tanx+sinx－|tanx－sinx|在区间
?
,
?
上的图像是（ ）
?
22
?

【答案】D

?
?
?
?
?
2ta nx,x?
?
2
,?
?
???
【解析】易知y=tanx+sinx-∣tanx-sinx∣=
?
，观察图像可知，D选项 正
3?
?
2sinx,x?
?
?,
?
??
?
?
2
?
?
确.
?
ππ
?
9．[2014·衡水第十四中学期末]函数y=sinx与y=tanx的图像在
?
?,?
上的交点的个
?
22
?
数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
1
?
sinx
?
【解析】由sinx=tanx，得
sinx??0
，即
sinx
?
1?
?
?0
，
cosx
?
cosx
?
?
??
??
??< br>?
由此可知方程sinx=tanx在
?
?,
?
上只 有一解x=0，故两函数的图像在
?
?,
?
上只有
?
22< br>??
22
?
一个交点，故选B.
?
ππ
?
10．已知函数y=tanωx在
?
?,
?
上是减函数，则（ ）
?
22
?
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
【答案】B
?
?
??
?
【解析】若函数y=tanωx在
?< br>?,
?
单调递减，则ω必小于0，又
??
，所以-1≤ω
?< br>?
22
?
＜0.
?
π
?
11．[2014 ?内蒙古包头一中期末]已知函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像在区间
?
0,
?
?
2
?
上的交点为P，过点P作PP
1
丄x轴于 点P
1
，直线PP
1
与y=sinx的图像交于点P
2
，则 线段
P
1
P
2
的长为__________．
【答案】
2

3
22
【解析】由6cosx=5 tanx，得6cosx=5sinx，所以6sinx+5sinx-6=0，解得
sinx?
2
或
3
2
2
，由题知P
1
P
2
的长为.
sinx??
（舍去）
3
3
?
x
π?
12．求函数
y?tan
?
?
?
的定义域、最小正周 期、单调区间及其图像的对称中心．
?
23
?
【答案】解：①由< br>x??5?
??k??,k?Z
，得
x?2k??,k?Z
，
2323
?5??
∴函数的定义域为
?
xx?2k??,k?Z
?
.
3
??

②
T?
?
?2?
，∴函数的最小正周期为2π.
1
2
?????5?
，k∈Z，
???k??,k?Z
， 得
2k???x?2k??
223233
?5?
??
∴函数的单调递增区间为
?
2k??,2k??
?
,k?Z

33
??
③由
k??
x?k?2?
??,k?Z< br>，得
x?k??,k?Z
，
2323
2?
??
∴函数图像的对称中心是
?
k??,0
?
,k?Z

3
??
④由
?
ππ
?
13．已知 f（x）=x
2
+2x·tanθ－1，x∈[－1，
3
]，其中
?
?
?
?,
?
．
?
22
?
π
（1）当
?
??
时，求函数f（x）的最大值与最小值；
6
（2） 当y=f（x）在区间[－1，
3
]上是单调函数时，求θ的取值范围．
23
?
【答案】解：（1）当
???
时，
f
?
x
?
?x
2
?x?1
.
3
6
∵x∈[-1，
3
]，∴当
x?
当x=-1时，
f
?
x
?
max
?
3
4< br>时，
f
?
x
?
min
??
；
3
3
23
.
3
2
（2）函数f(x)=x+2x·tanθ-1的图像的对称轴方程为x=-tanθ，
∵y=f(x)在区间[-1，
3
]上是单调函数，
∴-tanθ≤-1或-tanθ≥
3
，即tanθ≥1或tanθ≤
?3
.
?
??
?
?
??
?
又
??
?
?,
?
，∴
?????
或
???
，
42
23
?
22
?
?
??
??
??
?
即θ的取值范围是
?
?,?
?
U
?
,
?
.
?
23
??
42
?
难点突破
?
3π3π
?
14．[2014·云南玉溪一中期末]在区间
?
?,
?
内，函数y=tanx与函数y=sinx的图像
?
22
?
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
1
?
sinx
?
【解析】由题意，有sinx=tanx=，即
sinx
?
1?
?
? 0
，则sinx=0或cos=1.
cosx
cosx
??

?
33
?
易知在
x?
?
??,?
?
内，当x=-π或x=0或x=π时，满足 题意，所以交点的个数为3.
?
22
?
?
ππ
?
15．确定函数f（x）=sinx+tanx，
x?
?
?,
?
的奇 偶性、单调性，并求出其值域．
?
33
?
【答案】解：显然f(x)的定义域关于原点对称.
又f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x)，
∴ f(x)为奇函数.设
?
?
3
?x
?
1
?x
2
?
3
，
∵y=sinx和y=tanx在区间
???
?
?
?
?
3
,
3
?
?< br>上都是增函数，
∴sinx
1
＜sinx
2
，且t anx
1
＜tanx
2
，∴sinx
1
+tanx
1
＜sinx
2
+tanx
2
，
即f(x
1
)＜f（x
2
），∴f(x)在区间
?
??
?
?
?
?
3
,
3
?
?
上是增函数，
∴f(x)在
?
??
?
?
?
33
?
?
3
,
3
?
?
上的值域为
?
? ,
33
?
?
22
?
.
?
1．5 函数y=Asin（ωx+φ）的图像
第1课时 函数y=Asin（ωx+φ）的图像
基础巩固
1．函数
y?3sin
?
?
x
π
?
?
2
?
8
?
?
的振幅、周期 、初相分别为（ ）
A．－3，4π，
π
8
B．3，4π，
?
πππ
8
C．3，π，
?
8
D．－3，π，
8

【答案】B
2．已知函数的一部分图像如图

1-5-1所示，则其对应的函数可为（ ）

A．
y?sin
?
?
π
?
?
x?
6
?
?

B．
y?sin
?
?< br>π
?
?
2x?
6
?
?

C ．
y?cos
?
?
?
4x?
π
?
3
?
?

D．
y?cos
?
?
?
2x?< br>π
?
6
?
?

【答案】D
3．要得到函数

y?sin
1
π
?
2
x
的图像，只需将函数
y?sin
?
?
1
?
2
x?< br>4
?
?
的图像（

）

A．向左平移
C．向左平移
【答案】D
ππ
个单位长度 B．向右平移个单位长度
44
ππ
个单位长度 D．向右平移个单位长度
22
1?1
?
?
?
??
?
??
1
【解析】因为
y?sinx?sin
?
?
x?
?
?
?
，所以只需将函数
y?sin
?
x?
?
的图像
22
?
4
?
4
??
2
?
2
?
向右平移
?x
个单位长度，即可得到函数
y?sin
的图像.
22
π
，x∈R）的最小正周期是π，且
f
?
0
?
?3
，
2
4．若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω>0，
?
?
则（ ）
A．
?
?
1
π
1
π
，
?
?
B．
?
?
，
?
?

2623
ππ
D．ω=2，
?
?
63

C．ω=2，
?
?
【答案】D
3
2?
.
??
，得ω=2.由f(0)=
3
，得
2sin??3
，∴
sin??
2
?
??
又
??
，∴
??
.
23
5．某位同学给出了以下结论：
【解析】由
T?
π
个单位，得到y=sinx的图像；
2
②将y=sinx的图像向右平移2个单位，可得到y=sin（x+2）的图像；
③将y=sin（－x）的图像向左平移2个单位，得到y=sin（－x－2）的图像；
π
?
π
?
④函数
y?sin
?
2 x?
?
的图像是由y=sin2x的图像向左平移个单位而得到的．
3
?< br>3
?
其中正确的结论是__________．（所有正确结论的序号都要填上）
【答案】①③
①将y=cosx的图像向右平移
【解析】 ①正确，②中得到的是函数y=sin(x-2)的图像，③正确，④中应是向左平移
个单位.
能力提升
π
??
6．[2014·沈阳铁路实验中学期末 ]将函数
y?cos
?
x?
?
的图像上各点的横坐标伸长到
3
??
π
原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图像的一条对称轴 的方程为
6
（ ）
?
6
A．
x?
πππ
B．
x?
C．
x?
D．x=π
982
【答案】C

?
??
1
【解析】 所得图像对应的函数解析式为< br>y?cos
?
x?
?
，所以对称轴的方程为
4
??< br>2
?
.故选C.
x?2kx?,k?Z
2
7．[2 014?四川卷]为了得到函数y=sin（2x+l）的图像，只需把函数y=sin2x的图像上所
有的点（ ）
A．向左平行移动
B．向右平行移动
1
个单位长度
2
1
个单位长度
2
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
【答案】A
1
??
【解析】 因为y=sin(2x+1)=sin2
?
x?
?
，所以为得到函数y=sin(2x+1)的图像，只 需
2
??
1
将y=sin2x的图像向左平行移动个单位长度.
2
8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，
?
?
将y=f（x）的图像向右平移
π
）的部分图像如图1-5-2所示，则
2
π
个单位后，得到的图像对应的函数解析式为
6

A．y=sin2x B．y=cos2x
2π
?
π
???
C．
y?sin
?
2x?
?
D．
y?sin
?2x?
?
3
?
6
?

??
【答案】D
2?
311??3?
【解析】 由所给图像知A=1，
T?
，所以T=π，所以
???2
.
??
T
41264
???
?
???
???
由
sin
?
2???
?
?1,??
，得
???，解得
??
，所以
f
?
x
?
?sin
?
2x?
?
.
626
?
326
???
?
?
?
?
将
f
?
x
?
?sin
?
2x?
?
的图像向右平移个单位后，得到的图像对应的函数解析式为
6
?
6
?
?
?
?
?
???
??

y?sin
?
2
?
x?
?
?
?
?sin
?
2x?
?

6
?
6
?
6
??
?
?
9．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的部分图像不可能是（ ）

【答案】D
【解析】A中，易知0＜a＜1
?T?

2?2?
?2?
， 正确；B中，易知a＞1
?T??2?
，
aa
2?
?2?
， 错误.
a
1
π
时，有最大值；
2
9
正确；C中， 易知a=0
?
f(x)=1，正确；D中，易知a＞1
?T?
10．在函数f （x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的一个周期内，当
x?
当
x?1
4π
?
π
?
时，有最小值
?
．若
?
?
?
0,
?
，则函数f（x）=__________．
2
9
?
2
?
1
?
?
?
【答案】< br>sin
?
3x?
?
2
?
6
?
2
?
1
?
?
12
?
?
4
??
??
1
【解析】易知
A?
，
T?
?
，所以
?
?
?
?
?2?
?3
.又
sin
?
3??
?
?
?
，
32
?
92T
?
99
??
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
?
，所以< br>?
?
，故
f
?
x
?
?sin
?3x?
?
.
2
?
6
?

6
?
2
?
11．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ） （x∈R，A>0，ω>0，
?
?
所示，则f（x）=__________．
π
）的部分图像如图1-5-4
2

?
??
【答案】
2sin
?
?
x?
?
6
?

?
1511
【解析】由图可知
A?2
，
T???< br>，得
T?2
，从而
?
?
?
，所以
4632< br>?
?
?
1
?
?
?
?
f
?< br>x
?
?2sin
?
?
x?
?
?
，故
?
,2
?
代入，得
sin
?
?
?
?
?1
，又
?
?
，所以
?
?
，因此
26
?
3
?
?
3
?

?
? ?
f
?
x
?
?2sin
?
?
x?
?
.
6
?

?
π
个单位，再把横坐标伸长到原来的 2倍，再
6
π
?
2
?
1
把纵坐标缩短到原来的，所 得图像的解析式是
y?2sin
?
x?
?
，求f（x）的解析式．
3
?
3
?
2
12．先把函数y= f（x）的图像向右平移
?
?
纵坐标伸长到原来的
2
?
1
?
【答案】解：
y?2sin
?
x?
?
???????
3??
2
?
?
横坐标伸长到原来的
2
?
1
nx?
?
????????

y?3si
?
23
??
1
3
?
?
向左平移
6
个单位
?
nx?
?
???????

y?3si
?
3
??
?
??
?
?
???

y? 3si
?
nx??
?
?3s
?
ixn?
?
?3
.
cxos
632
????
∴
f
?
x
?
?3cosx
.
π
）
2
的图像在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x
0，2）和
（x
0
+3π，－2）．
（1）求f（x）的解析式；
13．[2014·西安第一中学期末]已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A>0，ω>0，
?
?
1
（2）将f（x）的图像上的 所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将所
3
π
个单位，得到函数g（ x）的图像，写出函数g（x）的解析式，并用五
3
点作图的方法画出g（x）在长度为一个周 期的闭区间上的图像．
得的图像向右平移
x
【答案】 解：（1）由
f
?
?
?
Anisx
最大值为2，得
1?n2is
?
?
?
?
?
在y轴上的截距为1，
?
，
所以
sin
?
?
1
?
?
.又
?
?
，所以
?
?
.
226
2
?
1
?
x?3
?
?x?6
?
由题意易知
T?2
?
，所以
?
??
，
??
00
??
T3
?
x
?
?
所以
f
?
x
?
?2sin
?
?
?
.
?
36
?
1
（纵坐标不变），得到
3
?
?
?
?
y?2sin
?
x?
?
的图像；再把所得 图像向右平移个单位，得到
6
?
3
?
??
?
????
g
?
x
?
?2sin
?
x??
?
?2sin
?
x?
?
的图像.
36
?
6
???
列表：
（2）将
f
?
x
?
的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的

x?
x

?
6

0
?

6
0
?

2
2
?

3
2
?

7
?

6
0
3
?

2
2
?

13
?

6
0
5
?

3
-2
g
?
x
?

描点画图：

难点突破
14．[2014·九江七校联考]设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A >0，ω>0，0<φ<π）的部分
?
1
?
图像如图1-5-5所示，△KL M为直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则
f
??
的值为（ ）
?
6
?

A．
?
3
1
B．
?

4
4

3
1
C．
?
D．
4

2
【答案】 D
【解析】 因为函数
f
?
x?
是偶函数，且
0?
?
?
?
，所以
?
?
?
2
.由图可知
T?2
，所以
?
?
?< br>，又
M
的纵坐标为
?
1
?
?
?
1< br>1
，所以
f
?
x
?
?sin
?
?< br>x?
?
?cos
?
x
，所以
2
?
2
?
2
2
?
3
?
1
?
1
f
??
?cos?
.
64
?
6
?
2
15．将函数y=lgx的图像向左 平移1个单位长度，可得到函数f（x）的图像．将函数
π
?
π
?
y ?cos
?
2x?
?
的图像向左平移个单位长度，可得函数g（x）的图像．
6
?
12
?
（1）在同一直角坐标系中画出函数f（x）和g（x）的图像；
（2）判断方程f（x）=g（x）的解的个数．
【答案】 解：将函数
y?lgx
的图像向左平移1个单位长度，得到函数
f
?
x
?
?lg
?
x?1
?

?
?
?
?的图像；将函数
y?co
?
个单位长度，得到函数
sx2?
?< br>的图像向左平移
6
12
??
?
g
?
xs?
?co
?
?
?
?
?
?
?
2 x?
??
?
?
?
12
?
6
?
?< br>cosx2
的图像.
（1）函数
f
?
x
?
和
g
?
x
?
的图像如图所示.

（2）由图像可知，两个图像共有5个交点，即方程
f
?
x
?
?g
?
x
?
的解的个数为5.
第2课时 函数y=Asin（ωx+φ）的性质
基础巩固
π
??
1．函数
y?3cos
?
2x?
?
?2
的最大值是（ ）
7
??
A．－2 B．－1 C．0 D．1
【答案】 D
π
?
π
?
2．把函数
y?sin
?
2x?
?
的图像向右平移个单位，所得的图像对应的函数是（ ）
4
4
??
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】 D
?
?
?
?
?
?
?
??
【解析】 ∵平移后的图像对应的函数为
y?sin
?
2?
?
x?< br>?
?
?
?sin
?
2x?
?
，而
4
?
4
?
4
??
?
?
?
?
?
?
?
????
sin
?
2?
?
?x?
?
?
??sin2x??sinx2?
????
，∴该函数为 非奇非偶函数.
444
??????
π
??
3．函数
y?2sin
?
x?
?
，x∈ [－π，0]的单调递减区间是（ ）
3
??
5π
??
5ππ
??
A．
?
?,?
?
B．
?
?
π,
?
?

6
?
6??
6
?
?
π
??
π
?
C．
?
?,0
?
D．
?
?,0
?
?
3
??
6
?

【答案】 B
2
???
?
?
2
??
?< br>,
?
的.令
x??t
，由
y?sint
，
t ?
?
?
?x??
3333
?
33
?
???
2
??
??
,?
?
，所以
y?2sin< br>?
x?
?
在区间
?
?
?
,0
?上的单图像知，
y?sint
的单调递减区间是
?
?
2
?
3
??
3
?
【解析】 由
?
?
?x?0
，得
?
5
?
??
调递减区间是
?
?
?
,?
?
.
6
??

π
??
π
4．设函数
f
?
x
?
?2sin
?
x?
?
，若对于 任意x∈R，都有f（x
1
）≤f（x）≤f（x
2
）成
5
??
2
立，则︱x
1
－x
2
︱的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】 B
1
2

【解析】 ∵对任意
x?R
，
f
?
x
1< br>?
?f
?
x
?
?f
?
x
2
?
均成立，∴
f
?
x
1
?
?f
?
x
?
min
??2
，
f
?
x
2
?
?f
?
x
?
max
?2
，∴
x
1
?x
2
min
?
T12
?
???2
. < br>22
?
2
?
π
??
ππ
?
5．若函 数f（x）=sinωx（ω>0）在区间
?
0,
?
上单调递增，在区间?
,
?
上单调递减，
?
3
??
32
?
则ω=__________．
【答案】
3
2

T
?
?
，所
43
【解析】 由于
f
?
x
?
?sin
?
x
?
?
?0
?
的图像过原点，所以由已知条件可知，
4
?
2
?
4
?
3
，所以，所以
?
?
.
?
3
?
32

能力提升
以
T?
π
π
6．已知点P（
?
，2）是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，
?
?
）的图像的一个对称
6
2
中心，且点P到该图像的对称轴的距离的最小值为
A．f（x）的最小正周期是π
B．f（x）的值域为[0，4]
C．f（x）的初相
?
?
D．f（x）在区间[
【答案】 D
【解析】 由题意知，
?
?
?
?
?k
?
?
k?Z
?
①，
m?2
，且函数
f
?
x
?
的最小正周期
6
π
，则（ ）
2
π

3
4π
，2π]上单调递增
3
?
2
??
?
?1
，将
?
?1
代入①，得?
?k
?
?
?
k?Z
?
，又
?
?
，所以
2T62
?
?
?
?
?
所以f
?
x
?
?sin
?
x?
?
?2，所以函数
f
?
x
?
的值域为
?
1,3
?
，初相为.故排除A，B，
?
?
，
6
?
66
?
T?4??2
?
，所以
?
?
C选项.
π
??
7．若函数
f
?
x
?
?s in
?
2x?
?
，则下面说法正确的是（ ）
6
??
?
A．函数的周期为
π

4

B．函数图像的一条对称轴方程为
x?
?
2π5π
?
C．函数在区间
?
,
?
上为减函数
?
36
?
D．函数是偶函数
【答案】B
π

3
【解析】 若
x?
是函数图像的一条对称轴，故选B.
33
8．为了使函数y=sinωx（ω>0）在区间[0，1]上至少出现50次最 大值，则ω的最小值
是（ ）
A．98π B．
【答案】B
1
?
1972
?
197197
?
【解析】 由题意 知
?
49?
?
?T???1
，所以
?
?
?
，故
?
的最小值为
?
.
44
?
22??
?
π
?
?
π
?
2
?
两点 ，则ω 9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω>0）的图像经过
A
??，?2
?
，
B
?
，
4
6
??
??
?
，则
f
?
x
?
?1
，∴直线x?
?
197199
π
C．
π
D．100π
22
的（ ）
A．最大值为3 B．最小值为3
C．最大值为
【答案】D
1
?
?
?
?
【解析】 因为A，B分别为函数
f< br>?
x
?
图像上的最低点和最高点，所以
T??
?
?< br>?
，
24
?
6
?
12
?
5
?
12
即
?
，所以
?
?
，故选择D.
?
2
?
125
10．[2014?江西九江七校联考]已知 函数f（x）=Asin（ωx+φ）+K（A>0，ω>0）的最大
1212
D．最小值为
55

值为4，最小值为0，最小正周期为
符合条件的是（ ）
π
??
A．
y?4sin
?
4x?
?

6
??
π
??
B．
y?2sin
?
2x?
?
?2

3
??
π
??
C．
y?2sin
?
4x?
?
?2

3
? ?
π
??
D．
y?2sin
?
4x?
?
? 2
6
??

【答案】D
π
π
，直线
x?
是其图像的一条对称轴，则下面各式中
2
3
【解析】 因为最大值为4，最小 值为0，所以
K?2
.因为最小正周期为
又直线
x?
?
，所 以
?
?4
.
2
?
3
是其图像的一条对称轴，所以D 符合题意.

π
??
11．[2015?福建清流一中测试]已知函数
f
?
x
?
?3sin
?
?
x?
?
（ω>0）和g（x）=2cos（2x+φ）
6
??
?
π
?
+1的图像的对称轴完全相同，若
x?
?
0,
?
，则f（ x）的取值范围是__________．
?
2
?
?
3
?
【答案】
?
?,3
?
?
2
?

【解析】 ∵
f
?
x
?
与
g
?
x
?
的图像的对称轴完全相同，∴
f
?
x
?
与
g
?
x
?
的最小正周期相
等，∴
?
?2
，又
?
?0
，∴
?
?2
，∴
fx
?
∴
??2?x?
?
.∵
0?x?
，
6
?
2666
1
?
?
3
?
?
?
3
?< br>??
∴
??sin
?
2x?
?
?1
，∴??3sin
?
2x?
?
?3
，即
f
?
x
?
的取值范围是
?
?,3
?
.
26
?
26
?
?
2
?

??
?
π
??
12．[2014?北京卷]函数
f
?
x
?
?3sin
?
2x?
?
的部分图像 如图1－5－6所示．
6
??
（1）写出f（x）的最小正周期及图中x
0
，y
0
的值；
π
??
π
（2）求f（x）在区间
?
?,?
?
上的最大值和最小值．
?212
?
i3s2
?
?n
?
x
?
?< br>?
?
?
???
5
，

【答 案】解：（1）
f
?
x
?
的最小正周期为
?
，x
0
?
7
?
，
y
0
?3
.
6
?
?
?
?
5
?
?
?
?
?
?
（2）因为
x?
?
?,?
?
，所以
2x??
?
?,0
?
.于是，当
2x??0
，即
x??
时，
6
?
6
?
612
?
212
?
f
?
x
?
取得最大值0；
当
2x?
?
6
??
?
2
，即
x??
?
3
时，
f
?
x
?
取得最小值-3
π
??
13．[2014?成都石室天府中学期末]已知
f
?
x
?
?2sin
?
2x?
?
?1
．
3
??
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）图像的对称轴的方程和对称中心；
?
ππ
?
（3）在给出的直角坐标系中，请画出f（x）在区间
?
?,
?
上的图像．
?
22
?